CC BY
662
ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2018. №4
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Зеликин М.И., Киселев Д.Д., Локуциевский Л.В. Оптимальное управление и теория Галуа // Матем. сб. 2013. 204, № 11. 83-98.
2. McIntosh R.J., Roettger E.L. A search for Fibonacci-Wieferich and Wolstenholme primes // Math. Comput. 2007. 76. 2087-2094.
3. Kiselev D.D. Applications of Galois theory to optimal control // CEUR Workshop Proc. 2017. 1894. 50-56.
Поступила в редакцию 04.10.2017
УДК 511
АВТОМАТЫ С ОДНОБУКВЕННЫМ МАГАЗИНОМ
КАК ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
И. Е. Иванов1
Приводятся нижняя и верхняя оценки на максимальную длину периода выходной последовательности автомата с однобуквенным магазином в зависимости от характеристик автомата и периода входной последовательности.
Ключевые слова: автомат с магазинной памятью, автомат с однобуквенным магазином, периодическая последовательность.
We give lower and upper bounds of max period of output sequence for realtime one-counter transducers depending on the characteristics of the transducer and period of input sequence.
Key words: pushdown transducer, realtime one-counter transducer, periodic sequence.
Введение. Автоматы с магазинной памятью появились во второй половине прошлого века в связи с задачей описания естественного языка. Н. Хомский [1] и Р. Эви [2] показали эквивалентность автоматов с магазинной памятью и контекстно-свободных языков.
Очень скоро стало понятно, что класс контекстно-свободных языков устроен сложнее регулярных. Появились примеры алгоритмически неразрешимых задач, которые были алгоритмически разрешимы в случае конечного автомата [3]. Оказалось, что классы детерминированных и недетерминированных автоматов с магазинной памятью задают разные множества языков [4].
Полученные в общем случае подобные результаты приводили к тому, что математики рассматривали более узкие и более простые подклассы автоматов.
Конечные автоматы-преобразователи с операциями суперпозиции и обратной связи рассмотрены в работах [5-7]. В настоящей работе исследуется поведение одного автомата-преобразователя с однобуквенным магазином.
Определения. Инициальным детерминированным автоматом с магазинной памятью будем называть "девятку"
P = (A, Q, B, Г, ф, n, qo,7с),
где A — входной алфавит, Q — конечное множество состояний, B — выходной алфавит, Г — алфавит памяти (алфавит ленты магазина), ^ : AxQ х (ГиА) ^ Q — функция переходов, ф : AxQx(rUA) ^ B — функция выхода, n : A x Q x (Г U A) ^ Г* — функция памяти, qo € Q — начальное состояние, Yo € Г* — начальная запись в магазине.
Функционирование P можно определить с помощью системы канонических уравнений, которые задают в каждый момент времени t состояние автомата q(t), записанное в магазине слово Y(t) и выход автомата b(t) при подаче на вход a(t):
хИванов Илья Евгеньевич — асп. каф. математической теории интеллектуальных систем мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: ivanov.ilya.rus@gmail.com.
ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2018. №4
63
q(0) = qo,
7(0) = 7o,
z(t) = LS(y (t)),
q(t + 1) = <p(a(t),q(t),z(t)),
Y(t + 1)= S(7 (t))n(a(t),q(t),z(t)),
b(t)= ^(a(t),q(t),z(t)),
где LS : Г* — Г U {Л} возвращает последний символ при подаче непустого слова и LS(Л) = Л, а S : Г* — Г* стирает последний символ входного слова и S(Л) = Л.
Инициальный автомат с магазинной памятью определяет детерминированную функцию f : A* — B*. Обозначим через M(A, B) множество детерминированных функций, порождаемых автоматами с магазинной памятью. Отметим, что M(A, B) содержит множество ограниченно-детерминированных функций.
Обозначим n = |Q|, m = |Г|, k = max |n(q, z)| и будем говорить, что P € M(n,m,k).
(q,z)eQxru{A}
Здесь n — число состояний, m — арность (или ширина) магазина, k — максимально возможная длина записи в магазин за один такт.
Будем говорить, что автомат с магазинной памятью P является автоматом с однобуквенным магазином, если |Г| = 1.
Будем говорить, что автомат с магазинной памятью P является автономным (без входа), и писать P € M0(n, m, k), если |A| = 1.
В [8] доказана следующая теорема.
Теорема 1. Автономный автомат с магазинной памятью генерирует периодическую выходную последовательность.
Пусть L(P) — минимальная длина периода периодической последовательности, которую P генерирует. Тогда определим
L(n,m,k) = max L(P).
P&Mo(n,m,k)
В [9] доказана следующая верхняя оценка длины периода выходной последовательности.
Теорема 2. При k > 1
L(n, 1, k) < + (8 k + 32 )n.
Целью данной работы является обобщение результатов, полученных для автономного автомата с однобуквенным магазином, на случай автомата со входом.
Свойство сохранения периодических последовательностей. Пусть даны инициальный конечный автомат V = (А, Qу , В,^>у , фу, до) [10], который задает ограниченно-детерминированную функцию /у : А* ^ В*, и инициальный автомат с магазинной памятью Р = (В, Qp, С, Г, , фр, пр, Го,7о), который задает детерминированное отображение /р : В * ^ С *. Тогда суперпозицией конечного автомата V и Р будем называть отображение /р0у : А* ^ С*, где /р0у(а) = /р(/у(а)).
Лемма. Пусть V = (А, Qу,В,^у,фу, до) — инициальный конечный автомат, Р = (В^р, С, Г,^р, фр ,пр, Го, 7о) — инициальный автомат с магазинной памятью. Тогда /р 0у : А* ^ С * — суперпозиция V и Р — является детерминированной функцией, порожденной инициальным автоматом с магазинной памятью
Ру = (А^у х Qp, С, Г,^,ф,п, (до,го),7о),
где
у(а, (ду, др), г) = (<^>у (а, ду), ^р(фу (а, ду), др, г)), ф(а, (д у, др), г) = фр (фу (а, ду), др, г), п(а, (ду, др), г) = пр(фу(а, ду), др, г).
Доказательство. Рассмотрим системы канонических уравнений автоматов V и Р и подставим первую во вторую. Лемма доказана.
В [8] доказана следующая теорема.
Теорема 3. Пусть Р — автомат с магазинной памятью из М(А, В). Тогда Р переводит периодические последовательности в периодические.
Доказательство. Для любой периодической последовательности найдется конечный автономный автомат V, который ее генерирует. Рассмотрим суперпозицию V и Р. По лемме суперпозицией является автономный автомат с магазинной памятью, который, как известно, генерирует периодическую последовательность, что и требовалось доказать. Теорема доказана.
Обозначим через Ь(Р, а) период выходной последовательности при подаче последовательности
на вход автомата Р.
Верхняя оценка периода выходной последовательности.
Теорема 4. Пусть Р = (А, Я, В, Г, <,0, п, <0 ,7о)— автомат с магазинной памятью из М(п, 1,к) при к > 1. Тогда для любого непустого слова а из алфавита А имеет место оценка
ЧР,а) < к(:к~У\а\2п2 + (8к + Ща\п.
4к — 2
Доказательство. Пусть V — конечный автомат с |а| состояниями, генерирующий последовательность . Рассмотрим суперпозицию конечного автомата V и автомата с магазинной памятью Р. В силу леммы их суперпозиция является автономным автоматом из Мо(п, 1,к) с |а||Я| состояниями. К полученному автомату применим теорему о длине периода выходной последовательности для автономного автомата с магазинной памятью, откуда и получаем оценку. Теорема доказана.
Нижняя оценка периода выходной последовательности. Рассмотрим автомат с магазинной памятью Р1;1 = (А, Я, В, Г, <,0, п, П, Л) € М(п, 1,к), где 0 < I < п, А = В = {0,1}, Я = {<71, • • •, <7п-1, Г1,..., Г1}, Г = {1},
,, . | 1, если < = г1, г = Л, а = 1;
0(а,7,г) =
0 иначе, <, если а = 0;
<г+1, если < = qi, г = п — I, а = 1; г1, если < = а = 1;
<(а, <, г) = если < = г^ г = I, г = 1, а = 1;
г1, если < = г^, г = 1, а = 1; <1, если < = гi, г = Л, а = 1; < иначе,
1к, если < = г, если < = г, а = 0; 1, если < = г^ г = I, г = 1, а = 1; Л, если < = г^, г = 1, а = 1; 1к, если < = г^ г = Л, а = 1; Л иначе.
Исследуем поведение автомата при подаче последовательности на вход, где а = 0р-11. Автомат начинает работу из состояния п и находится в нем с пустым магазином до прихода первой единицы на вход. Далее автомат переходит в состояние <1 и начинает заполнение магазина. Переход в следующее состояние осуществляется каждые |а| тактов при подаче единицы на вход. Таким образом, автомат проходит по состояниям <1,..., после чего попадает в состояние гь При подаче нуля на вход магазин и состояние остаются неизменными, а при подаче единицы автомат переходит в следующее по циклу состояние. Так происходит до тех пор, пока автомат не достигнет состояния г^, где при подаче единицы на вход имеет место стирание и переход в состояние гь По циклу г1,..., г^ автомат ходит до опустошения магазина. Опустошается же магазин в состоянии п, что и будет означать зацикливание.
п(а, <, г) = <
Теперь подсчитаем длину периода выходной последовательности: ¿(Р1д,а) = (к + |а|(п - 1)(к - 1))|а|1 + |а|(п -1 + 1) = |а|21(п - 1)(к - 1) + |а|(п + (к - 1)1 + 1).
Таким образом, мы доказали следующую теорему.
Теорема 5. При п > 1 и к > 1 найдется автомат с магазинной памятью Р из М(п, 1,к), такой, что для входных последовательностей вида где а = 0р-11, р € М, период выходных последовательностей будет квадратично зависеть от периода входной.
Заключение. В работе доказаны верхняя и нижняя оценки максимального периода выходной последовательности для автомата с однобуквенным магазином в зависимости от характеристик автомата и периода входной последовательности.
Доказана верхняя квадратичная от периода входа оценка. Приведен пример автомата, который на последовательностях вида (0р-11)те преобразует период квадратичным образом. Значит, верхняя и нижняя оценки лежат в классе полиномов второй степени, что существенно отличает класс автоматов с магазинной памятью от конечных.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Chomsky N. Context-free grammars and pushdown storage // Research Laboratory of Electronics, Massachusetts Institute of Technology. Cambridge; Mass, 1962.
2. Evey R.J. Applications of pushdown-store machines // Proc. AFIPS Fall Joint Computer Conference. Vol. 24. Las Vegas, 1963. 215-227.
3. Ginsburg S., Rose G.F. Some recursively unsolvable problems in ALGOL-like languages //J. Assoc. Comput. Mach. 1963. 10. 175-195.
4. Ginsburg S., Greibach S. Deterministic context free languages // Inform. and Contr. 1966. 9, issue 6. 620-648.
5. Бабин Д.Н. О полноте двухместных о.д.-функций относительно суперпозиции // Дискретн. матем. 1989. 1, вып. 4. 86-91.
6. Бабин Д. Н. Класс автоматов с суперпозициями, не расширяющийся до предполного // Интеллект. системы. 2016. 20, вып. 4. 155-166.
7. Летуновский А.А. Цикловые индексы автомата // Дискретн. матем. 2013. 25, вып. 4. 24-29.
8. Coy W. Automata in labyrinths // FCT. 1977. 65-71.
9. Иванов И.Е. Оценка длины периода выходной последовательности для автономного автомата с магазинной памятью с однобуквенным магазином // Интеллект. системы. 2017. 21, вып. 1. 106-140.
10. Кудрявцев В.Б., Алешин С.В., Подколзин А.С. Введение в теорию автоматов. М.: Наука, 1985.
Поступила в редакцию 04.10.2017
УДК 517.926.4
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОДНОВРЕМЕННОЙ УСЛОВНОЙ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ СТАБИЛИЗИРУЕМОСТИ И ДЕСТАБИЛИЗИРУЕМОСТИ ЛИНЕЙНЫХ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ
Т. В. Салова1
Доказано, что любая линейная гамильтонова система одновременно условно (относительно подпространства половинной размерности) экспоненциально стабилизируема и дестабилизируема равномерно малыми гамильтоновыми возмущениями.
Ключевые слова: линейные системы, гамильтоновы системы, стабилизируемость, де-стабилизируемость.
It is proved that any linear Hamiltonian system is simultaneously conditionally (with
1 Салова Татьяна Валентиновна — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. математического анализа мех.-мат. ф-та
МГУ, e-mail: ш_ message@mail.ru.
