CC BY
7Теперь подсчитаем длину периода выходной последовательности: Ь(Рел,а) = (к + |а|(п - 1)(к - 1))|а|1 + |а|(п -1 + 1) = |а|21(п - 1)(к - 1) + |а|(п + (к - 1)1 + 1).
Таким образом, мы доказали следующую теорему.
Теорема 5. При п > 1 и к > 1 найдется автомат с магазинной памятью Р из М(п, 1,к), такой, что для входных последовательностей вида , где а = 0р-11, р € М, период выходных последовательностей будет квадратично зависеть от периода входной.
Заключение. В работе доказаны верхняя и нижняя оценки максимального периода выходной последовательности для автомата с однобуквенным магазином в зависимости от характеристик автомата и периода входной последовательности.
Доказана верхняя квадратичная от периода входа оценка. Приведен пример автомата, который на последовательностях вида (0р-11)те преобразует период квадратичным образом. Значит, верхняя и нижняя оценки лежат в классе полиномов второй степени, что существенно отличает класс автоматов с магазинной памятью от конечных.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Chomsky N. Context-free grammars and pushdown storage // Research Laboratory of Electronics, Massachusetts Institute of Technology. Cambridge; Mass, 1962.
2. Evey R.J. Applications of pushdown-store machines // Proc. AFIPS Fall Joint Computer Conference. Vol. 24. Las Vegas, 1963. 215-227.
3. Ginsburg S., Rose G.F. Some recursively unsolvable problems in ALGOL-like languages //J. Assoc. Comput. Mach. 1963. 10. 175-195.
4. Ginsburg S., Greibach S. Deterministic context free languages // Inform. and Contr. 1966. 9, issue 6. 620-648.
5. Бабин Д.Н. О полноте двухместных о.д.-функций относительно суперпозиции // Дискретн. матем. 1989. 1, вып. 4. 86-91.
6. Бабин Д. Н. Класс автоматов с суперпозициями, не расширяющийся до предполного // Интеллект. системы. 2016. 20, вып. 4. 155-166.
7. Летуновский А.А. Цикловые индексы автомата // Дискретн. матем. 2013. 25, вып. 4. 24-29.
8. Coy W. Automata in labyrinths // FCT. 1977. 65-71.
9. Иванов И.Е. Оценка длины периода выходной последовательности для автономного автомата с магазинной памятью с однобуквенным магазином // Интеллект. системы. 2017. 21, вып. 1. 106-140.
10. Кудрявцев В.Б., Алешин С.В., Подколзин А.С. Введение в теорию автоматов. М.: Наука, 1985.
Поступила в редакцию 04.10.2017
УДК 517.926.4
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОДНОВРЕМЕННОЙ УСЛОВНОЙ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ СТАБИЛИЗИРУЕМОСТИ И ДЕСТАБИЛИЗИРУЕМОСТИ ЛИНЕЙНЫХ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ
Т. В. Салова1
Доказано, что любая линейная гамильтонова система одновременно условно (относительно подпространства половинной размерности) экспоненциально стабилизируема и дестабилизируема равномерно малыми гамильтоновыми возмущениями.
Ключевые слова: линейные системы, гамильтоновы системы, стабилизируемость, де-стабилизируемость.
It is proved that any linear Hamiltonian system is simultaneously conditionally (with
1 Салова Татьяна Валентиновна — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: ш_ [email protected].
respect to a subspace of half dimension) exponentially stabilizable and destabilizable by uniformly small Hamiltonian perturbations.
Key words: linear systems, Hamiltonian systems, stabilizability, destabilizability.
Пусть в евклидовом пространстве R2n задан ортогональный кососимметрический оператор J € End R2n (J-1 = J * = -J), определяющий в R2n симплектическую структуру [1, § 37].
Обозначим через H2n пространство линейных гамильтоновых систем вида
x = A(t)x, x € R2n, t € R+ = [0, то),
с ограниченными кусочно-непрерывными оператор-функциями A : R+ ^ End R2n (отождествляемыми с самими системами), у которых по определению при каждом t € R+ оператор JA(t) симметричен. Линейное пространство H2n наделим равномерной на полупрямой t € R+ нормой
аА = ||А|| = sup \ A(t)\ < то, \A(t)\ = sup \A{t)x\, |ж| = л/{x, x), x € R2ra teR+ |x|=i
Для системы A € H2n и числа e > 0 обозначим через H£(A) множество всех систем B € H2n, удовлетворяющих условию ||B — Ay < e, а через Xa(t,T) (t,T € R+) ее оператор Коши.
Определение 1 [2, с. 125]. Пусть функция x(t), определенная на полуоси t € R+, не принимает нулевых значений. Назовем характеристическим показателем Ляпунова этой функции величину
Х(х) = lim j In \x(t)\. t^t t
Пусть на некотором подмножестве R числовой оси заданы числа t = т и вектор-функция x, принимающая ненулевые значения в нормированном пространстве.
Определение 2 [3]. Назовем ростом функции x от т до t число
t / ч 1 1 |x(t)|
Для функции, принимающей нулевые значения, понятие характеристического показателя Ляпунова и понятие роста будем считать неопределенными.
Определение 3 [4]. Система A € H2n при некотором k € N называется:
1) k-мерно экспоненциально устойчивой (неустойчивой), если существует такое k-мерное подпространство S решений системы A, что любое ненулевое решение x € S имеет отрицательный (положительный) характеристический показатель Ляпунова;
2) k-мерно экспоненциально стабилизируемой (k-мерно экспоненциально дестабилизируемой) в классе He(A), если существует k-мерно экспоненциально устойчивая (k-мерно экспоненциально неустойчивая) система B € He(A).
Следующая теорема анонсирована в работе [4].
Теорема. Для любой системы A € H2n и любого e > 0 существует система B € He(A), которая одновременно и n-мерно экспоненциально устойчива, и n-мерно экспоненциально неустойчива.
Доказательство. Для произвольной системы A € H2n и произвольного e > 0 положим для каждого j = 1, 2,...
e e 1 а = ceo = Ctj = 77;-7л—77-т;-гт <
J 6' J (3n + 2)n(6flA + 2e + 3) 6n + 3'
И пусть последовательность 0 = to < ti < ¿2 < ... удовлетворяет при каждом j = 1, 2,... условию
T = tj- tj-1 > max jl, 6A (а, , 6B (а, a, } , (1)
где функции 9a и QB описаны в лемме 5.4 [3]. Применяя к последовательностям {ej}, {tj} лемму 2 [5], получаем существование такой системы C € H2n, что для каждого j = 1, 2,... выполнены условия:
1) ön(j) ^ bn+i{j) — §Т, где 6i(j) — логарифмические сингулярные числа [6] оператора Xc(tj,tj-1) (заметим сразу, что справедливы неравенства 5n(j) ^ — |Т, 5n+i(j) ^ |Т);
2) \\А - С\\ ^ | (значит, аА - § ^ ас ^ аА + §)•
При этом система C удовлетворяет условиям леммы 3 [5]. Тогда по лемме 3 [5] с учетом (1) для этой системы C € H2n существует система B € H2n, удовлетворяющая при каждом j = 1, 2,... следующим условиям:
1) пространство решений системы B представимо в виде
E(B) = E^(B) ф El(B), dim E^(B) = dim (B) = n,
причем
а) для любого ненулевого решения s € El(B) выполнено неравенство
X(J_i)T(s) < f6n(j) +
б) для любого ненулевого решения b € E^ (B) выполнено неравенство
X(J_i)T(ft) ^ 7pSn+l(j) £
2) + Т + !)=§•
Тогда по свойству нормы
\\А-В\\<Ц<е.
Покажем, что для любого ненулевого решения 8 € Е™(В) верно неравенство х(з) ^ — Используя равенства
где к € М, получим оценки:
y(s) = lim - In |s(t)| = lim ^ , . . .. . ........... NmNI
к
te[kTr+1)T] t lj=T |s((j- 1)T)| T |s(kT)|
te[fcT,(fc+i)T] \j=1 j te[kT,(k+i)T ] \j= 1 v 7 '
-— Т ( ек * , Л Т— кТ / е \ -— Т , , , е
^ Т "12+^Н А™. А™. т^(в) = "12'
4е[кТ,(к+1)Т] 4 7 4е[кТ,(к+1)Т] Ье[кГ,(к+1)Г]
поскольку хкт(8) ограничен (см. свойство 1.4° [3]). Значит, все решения (кроме нулевого) из подпространства ЕП (В) имеют отрицательный характеристический показатель Ляпунова.
Покажем, что для любого ненулевого решения Ь € Е%(В) верно неравенство %(&) ^ Несложно заметить, что
Х(Ь) = ПЕ ± 1п т\ \Ь(кТ)\,
г к1
где к € М, откуда получаем оценки:
1 1 МП
fc-s-oo кТ V|b(0)l \Ъ(Т)\ \b((k-l)T)\J k^ook^T \b((j — 1)Т)|
ШК fb) > Ito уУ (hn+l(j)--) ^ШуУ (---)=-.
ж k —' V T 12 / к^ж k —' V 6 12 / 12
j=i j=1 j=1
Значит, все решения (кроме нулевого) из подпространства Е2£(В) имеют положительный характеристический показатель Ляпунова. Следовательно, для любой системы А € Н2п нашлась система
В € Не(А), являющаяся одновременно п-мерно экспоненциально устойчивой и п-мерно экспоненциально неустойчивой.
Теорема доказана полностью.
Автор приносит глубокую благодарность профессору И.Н. Сергееву за постановку задачи и ценные замечания.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Едиториал УРСС, 2000.
2. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967.
3. Сергеев И.Н. К теории показателей Ляпунова линейных систем дифференциальных уравнений // Тр. семинара им. И. Г. Петровского. 1983. Вып. 9. 111-166.
4. Салова Т.В. Об одновременной условной стабилизируемости и дестабилизируемости линейных гамильто-новых систем // Дифференц. уравнения. 2014. 50, № 12. 1676-1677.
5. Салова Т.В. Доказательство одновременной условной стабилизируемости и дестабилизируемости линейных гамильтоновых систем // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2017. № 6. 8-15.
6. Салова Т.В. Одновременная достижимость центральных показателей четырехмерных гамильтоновых систем при бесконечно малых гамильтоновых возмущениях // Дифференц. уравнения. 2014. 50, № 11. 1441-1454.
Поступила в редакцию 16.10.2017
УДК 531/534:57
ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ ТРАЕКТОРИИ САККАДИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ ГЛАЗА
А. П. Кручинина1,
Рассматривается задача описания и классификации быстрых движений глаз — сак-кад. Известно, что саккады бывают разных типов. Предложена классификация саккад по наличию и типу пресаккадического и постсаккадического движений. В работе представлен алгоритм определения параметров, по которым возможно формальное отнесение саккады к одному из заданных типов.
Ключевые слова: движение глаза, саккада, формы саккад, пресаккада, постсаккада.
The problem of description and classification of rapid eye movements called saccades is considered. It is well known that the saccades are of various types. A classification of saccades is proposed according to the presence and types of pre-saccadic and post-saccadic movements. An algorithm is developed to determine the parameters that can be used to formally assign the saccade to one of the given types.
Key words: eye movements, saccade, saccades forms, pre-saccade, post-saccade.
Анализ движений глаз широко используется для изучения и диагностики состояния нервной системы человека [1, 2]. Движения глаз разделяются на быстрые — саккадические и медленные: дрейфы, глиссады, слежения и т.д. [3]. Медленные достаточно широко изучены, в то время как активное исследование быстрых движений глаз — саккад — началось сравнительно недавно ввиду сложности их регистрации. Оказалось, что саккады различны по своей форме и несимметричны. Наблюдаются саккады разных типов — с пре- и постдвижениями [4, 5]. Наборы форм саккад у разных людей могут быть неодинаковыми [1]. Считается, что некоторые формы саккад являются
1 Кручинина Анна Павловна — науч. сотр. лаб. математического обеспечения имитационных динамических систем мех-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].
2 Якушев Андрей Германович — канд. физ-мат. наук, ст. науч. сотр. лаб. математического обеспечения имитационных динамических систем мех-мат. ф-та МГУ.
А. Г. Якушев 2
