CC BY
27В € Не(А), являющаяся одновременно п-мерно экспоненциально устойчивой и п-мерно экспоненциально неустойчивой.
Теорема доказана полностью.
Автор приносит глубокую благодарность профессору И.Н. Сергееву за постановку задачи и ценные замечания.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Едиториал УРСС, 2000.
2. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967.
3. Сергеев И.Н. К теории показателей Ляпунова линейных систем дифференциальных уравнений // Тр. семинара им. И. Г. Петровского. 1983. Вып. 9. 111-166.
4. Салова Т.В. Об одновременной условной стабилизируемости и дестабилизируемости линейных гамильто-новых систем // Дифференц. уравнения. 2014. 50, № 12. 1676-1677.
5. Салова Т.В. Доказательство одновременной условной стабилизируемости и дестабилизируемости линейных гамильтоновых систем // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2017. № 6. 8-15.
6. Салова Т.В. Одновременная достижимость центральных показателей четырехмерных гамильтоновых систем при бесконечно малых гамильтоновых возмущениях // Дифференц. уравнения. 2014. 50, № 11. 1441-1454.
Поступила в редакцию 16.10.2017
УДК 531/534:57
ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ ТРАЕКТОРИИ САККАДИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ ГЛАЗА
А. П. Кручинина1,
Рассматривается задача описания и классификации быстрых движений глаз — сак-кад. Известно, что саккады бывают разных типов. Предложена классификация саккад по наличию и типу пресаккадического и постсаккадического движений. В работе представлен алгоритм определения параметров, по которым возможно формальное отнесение саккады к одному из заданных типов.
Ключевые слова: движение глаза, саккада, формы саккад, пресаккада, постсаккада.
The problem of description and classification of rapid eye movements called saccades is considered. It is well known that the saccades are of various types. A classification of saccades is proposed according to the presence and types of pre-saccadic and post-saccadic movements. An algorithm is developed to determine the parameters that can be used to formally assign the saccade to one of the given types.
Key words: eye movements, saccade, saccades forms, pre-saccade, post-saccade.
Анализ движений глаз широко используется для изучения и диагностики состояния нервной системы человека [1, 2]. Движения глаз разделяются на быстрые — саккадические и медленные: дрейфы, глиссады, слежения и т.д. [3]. Медленные достаточно широко изучены, в то время как активное исследование быстрых движений глаз — саккад — началось сравнительно недавно ввиду сложности их регистрации. Оказалось, что саккады различны по своей форме и несимметричны. Наблюдаются саккады разных типов — с пре- и постдвижениями [4, 5]. Наборы форм саккад у разных людей могут быть неодинаковыми [1]. Считается, что некоторые формы саккад являются
1 Кручинина Анна Павловна — науч. сотр. лаб. математического обеспечения имитационных динамических систем мех-мат. ф-та МГУ, e-mail: a.kruch@moids.ru.
2 Якушев Андрей Германович — канд. физ-мат. наук, ст. науч. сотр. лаб. математического обеспечения имитационных динамических систем мех-мат. ф-та МГУ.
А. Г. Якушев 2
следствием наличия нарушений в работе нервной системы [2], но не все. Часть типов саккадических движений глаза наблюдается у здоровых людей.
Для сравнения движений глаз и формализации критериев, по которым характеризуют движения глаз, необходимы алгоритмы аппроксимации записей движений глаз, так как ни одна из технологий, применяемых для отслеживания движения глаза, не позволяет определять положение глаза абсолютно точно. В настоящей работе предлагается аппроксимация саккады с учетом наблюдаемых особенностей собственной траектории глаза во время быстрого движения. Данная аппроксимация описывает тип пресаккадаческого и постсаккадического движения и асимметричность саккадиче-ского движения глаза.
Процесс зрения состоит из фиксаций взора, когда глаз нацелен на некоторую точку, и саккад, посредством которых глаз переходит с одной точки фиксации на другую [6]. Авторами настоящего исследования были сделаны экспериментальные записи саккад с помощью высокоскоростной системы видеорегистрации движений глаз SMI Hi-Speed 1250 с частотой развертки 1250 Гц. Экспериментальная работа проводилась в центре коллективного пользования психологического факультета МГУ "Движения глаз". В эксперименте приняли участие 9 добровольцев в возрасте от 18 до 22 лет. Добровольцам предлагалось следить за небольшой мишенью, перемещающейся по экрану в заданные положения скачком.
Эксперимент проводился в одинаковых для всех испытуемых условиях затемненного помещения. Предъявляемая мишень белого цвета возникала на черном фоне. Внутри мишени при каждом предъявлении помещалась точка в один пиксель одного из цветов: красного, синего или зеленого. Каждому добровольцу необходимо было подсчитать число мишений с точками одного из цветов. Таким образом, добровольцы фиксировали взор точно на центре мишени. В ответ на мгновенное перемещение мишени глаз человека совершал саккадическое движение и оптическая ось глаза стабилизировалась в новом положении так, что человек четко видел изображение точки внутри мишени, т.е. с точностью не менее 2° [6].
Начальным положением глаза перед саккадой будем называть угол (р\, который обеспечивал фиксацию на исходной точке, а конечным положением — угол ^>2, соответствующий конечной точке фиксации. Углы поворота глаза при фиксации определяются как среднее значение угла поворота за все время фиксации. Для описания саккады используем функцию вида
S = ■ Sb(t) ■ sr(t), (1)
где Sb(t) — функция, аппроксимирующая основную часть саккады; si(t) и sr(t) — функции, описывающие пре- и постсаккаду соответственно. Как и в работе [7], в качестве базовой функции Sb(t) выберем функцию косинуса. Половину амплитуды саккады обозначим через А, А = ; а срединное значе-
ние — через (рт = . Аппроксимируемый сигнал
отцентрируем так, чтобы начальное и конечное положения стали соответственно — A и A. Каждое из
Фиксация Саккада 'Фиксация
Возможные формы саккад: 1Ь — саккада с пресаккадой, 2Ь — саккада с медленным началом, 1е — саккада с медленным окончанием, 2е — саккада с постсаккадой. Сплошная линия — траектория саккады без пресакка-
дических и постсаккадических элементов пре- и постдвижений может быть направлено в ту же сторону, что и основная саккада, в противоположную сторону или отсутствовать, как показано на рисунке. Таким образом, получается, что число сочетаний возможных форм саккад равно 3 х 3 = 9. Выберем функции и вг(¿), которые описывают все сконструированные варианты пре- и постсаккад:
2"
Si(t) = 1 + Ai exp
t-ti
i = l,r.
(2)
Здесь — момент времени, отвечающий за положение пресаккадического пика; ^ — половина ширины пресаккадического пика. Аналогично Ьг и — величины, отвечающие за постсаккадический пик. Коэффициенты А[ и Аг соответствуют амплитудам пре- и постсаккадических элементов траектории глаза. Если пресаккадический коэффициент А[ положителен, то пресаккада происходит в противоположную сторону относительно основной саккады (участок 1Ь на рисунке, такое движение будем называть саккадой с пресаккадой); если А[ < 0, то в ту же сторону, что и основная
саккада (2Ь), таким образом, наблюдается саккада с медленным началом. Если постсаккадический коэффициент Аг положителен, то постсаккада происходит в противоположном от основной саккады направлении и присутствует возвратное движение (1е, такое движение будем называть саккадой с постсаккадой); при отрицательных значениях Аг наблюдается более плавное окончание саккады — медленная постсаккада (2е). Нулевое значение каждого из коэффициентов означает точные начало или конец саккады (такой тип показан на рисунке сплошной линией).
Как отмечается, например, в работе [8], саккада не является симметричным движением. Учтем это следующим образом: введем на первой половине новое время
= t • ew(i-im)
(3)
где р1 — некоторый параметр, подбираемый исходя из минимизации расстояния между аппроксимирующей и записанной траекториями угла поворота глаза, а Ьт — момент, соответствующий повороту глаза на угол ^>т. Параметр р будем называть коэффициентом асимметрии саккады. Таким образом, выражение (1) принимает вид
V - Vm = 1 + Aie
«г
. /2пт ' COS \Т^ + ^
(4)
где т определяется формулой (3), Т^ь — период аппроксимирующей косинусоиды. Для выбора параметров функции Бь, в том числе Т^, использовалась аппроксимация по пяти точкам, соответ-
ствующим следующим значениям угла поворота: срт, ± -^-Д (рт ± ^А. Времена и, г = 1, ... ,5, соответствующие найденным значениям, находятся методом линейной интерполяции. Период аппроксимирующей косинусоиды выбирается таким образом, чтобы сумма квадратов разностей теоретических и реальных значений переменной времени т в выбранных пяти точках была минимальна. В результате получается выражение Т^ = —1§ • + ^ ~~ 1$ ~~ Ц;)- Таким образом, базовая функция Бъ(Ь) полностью определена.
Теперь рассмотрим построение функций, отвечающих пре- и постдвижениям. На начальном отрезке саккады, основываясь на опыте, оценим его продолжительность в ^ секунд. Можно считать, что функция вг (Ь) тождественно равна 1, функция Бь близка к своему начальному значению, а в^(Ь) определяется формулой (2). Значения момента времени пика т\ и ширины пика ^ находятся численно так, чтобы минимизировать невязку между записанной траекторией движения и аппроксимацией.
Для поиска А1 воспользуемся тем, что на отрезке [0, Цт-] выражение (4) принимает вид
1 + Ai exp
t-ti 6
A ■ 1 = v(t) - Vn
(5)
Обозначим p(t) = _ Так как измерения дискретны, то на промежутке [0, существует
конечное число измерений п. Подставим зарегистрированные значения угла поворота глаза в (5). Из полученных п уравнений составим п разностей. Минимизируем сумму квадратов невязок:
5 = ^2(Ai exp
i= 1
tj — U 6
— p(ti))2 ^ min
Ai
Из необходимого условия минимума -щ- = 0 выразим Af
Ai =
n p(ti) exp г=1 ( u-tA2 [ 1 ft J J
п exp i=1 [ 2(v) ]
Аналогично определяется коэффициент Аг для конечного участка саккады, длину которого также возьмем равной уТ¡^
Предложенный алгоритм на любой записанной траектории дает некоторые значения для параметров А\ и Аг. Очевидно, что если А\ > 0, то саккада начинается с пресаккадического движения,
2
2
2
вестн. моск. ун-та. сер. 1, математика. механика. 2018. №4
71
направленного в противоположную относительно основного направления саккады сторону; если А\ < 0, то начальный этап саккады более медленный, чем ожидалось, т.е. происходит пресаккада в ту же сторону, что и саккада. Таким образом, все типы саккад, которые были сконструированы в начале статьи, описываются подобной аппроксимацией.
Введенные саккадические коэффициенты А[ и Аг связаны с фактическими амплитудами пре-и постсаккад соотношениями
Арге = 2А • Аи АрсЫ = 2А • Аг ■
Поиск значений А[ и Аг проведен по 315 реализациям саккад разных амплитуд девяти добровольцев. Для формализации критерия наличия или отсутствия пре- и постсаккады необходимо установить границы пороговых значений коэффициентов А[ и Аг, при превышении которых считается, что зарегистрировано наличие пре- или постсаккады. Для выбора критерия представляется несколько возможностей. В соответствии с критерием четкого видения, предложенного в [6] и использованного в [7], значением порога целесообразно выбрать 2°. С другой стороны, при фиксации взора на точке регистрируемые движения глаза в среднем не превосходят 2°, что дает то же самое значение порога.
Представительство типов саккад при установлении порога в 2° (в %) показано в таблице: I — точные саккады, II — саккады только с постсаккадой, III — саккады только с пресаккадой, IV — саккады с пре- и постсаккадой, V — типы с медленным началом и/или окончанием.
Тип саккады Участники исследования Полная выборка
1 2 3 4 5 6 7 8 9
I 87,2 72,5 77 69,4 43,6 64,1 61,5 50,8 59 66
II 0 20 0 19 12,8 35,9 7,7 28 33 17,4
III 12,8 7,5 23 7,6 41 0 30,8 15,2 3 14,2
IV 0 0 0 4 2,5 0 0 2 5 2,3
V 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0,3
По результатам анализа записей глаз можно сделать вывод, что не все саккады, которые были сконструированы в начале статьи как гипотетически возможные формы, наблюдаются в эксперименте у здоровых добровольцев, что представлено в таблице.
Более того, как предполагалось исходно, не у всех добровольцев наборы воспроизводимых саккад одинаковы. Например, у участника 1 преобладают точные саккады и присутствуют только два типа саккад, а у участника 2 — три разных типа.
Таким образом, можно говорить об индивидуальном наборе типов саккадических движений, присущих конкретному человеку. Предложенный алгоритм аппроксимации саккад делает возможным автоматизированный анализ типов саккад, встречающихся в конкретной записи.
Работа выполнена при поддержке гранта РНФ № 14-50-00029.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Рабичев И.Э., Котов А.В. Концепция сенсомоторной и мотивационной интеграции в механизмах бинокулярного зрения // Наука и образование. Якутск. 2012. 2, № 66. 97-102
2. Antoniades C.A., Kennard C. Ocular motor abnormalities in neurodegenerative disorders // Eye. 2015. 29, N 2. 200-207.
3. Филин В.А. Автоматия саккад. М.: Изд-во МГУ, 2002.
4. Zhao M., Gersch T.M., Schnitzer B.S. et al. Eye movements and attention: The role of pre-saccadic shifts of attention in perception, memory and the control of saccades // Vision Res. 2012. N 74. 40-60.
5. Kruchinina A.P., Yakushev A.G. A study of the edge segments of saccadic eye trajectory // Experimental and computational biomedicine: Russian Conference with International Participation in memory of Prof. Vladimir S. Markhasin. Екатеринбург: Изд-во Урал. ун-та, 2016. 34.
6. Ярбус А.Л. Роль движений глаз в процессе зрения. М.: Наука, 1965.
7. Штефанова О.Ю., Якушев А.Г. Критерий качества зрительного слежения при нистагме // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2008. № 4. 63-65.
8. Lefevreab P., Quaia C., Optican L.M. Distributed model of control of saccades by superior colliculus and cerebellum // Neural Networks. 1998. N 11. 1175-1190.
Поступила в редакцию 30.08.2017
