CC BY
68. Мищенко С.П. Метабелевы почти нилыготентные многообразия полиномиального роста // Мат-лы Меж-дунар. конф. по алгебре, анализу и геометрии. Казань: Казан, ун-т; Изд-во Академии наук ТР, 2016. 247-248.
9. Шулежко О. В. О почти нильпотентных многообразиях в различных классах линейных алгебр / / Чебы-шёвский сборник. 2015. 16, вып. 1. 67-88.
10. Мищенко С.П., Верёвкин А.Б. О многообразиях с тождествами однопорожденной свободной метабелевой алгебры // Чебышёвский сборник. 2016. 17, № 2(58). 21-55.
11. Зайцев М.В., Мищенко С.П. О кодлине многообразий линейных алгебр // Матем. заметки. 2006. 79, № 4. 553-559.
Поступила в редакцию 14.12.2016
УДК 517.926.4
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО УСИЛЕННОГО ВАРИАНТА ОДНОВРЕМЕННОЙ ДОСТИЖИМОСТИ ЦЕНТРАЛЬНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ В КЛАССЕ ЛИНЕЙНЫХ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ
Т. В. Салова1
Центральные показатели линейной гамильтоновой системы раздвигаются в стороны равномерно малыми гамильтоновыми возмущениями ее коэффициентов, а затем одновременно достигаются показателями Ляпунова с помощью бесконечно малых гамильтоновых возмущений полученной системы.
Ключевые слова: линейные системы, гамильтоновы системы, показатели Ляпунова, центральные показатели.
The central exponents of a linear Hamiltonian system are moved apart through uniformly-small Hamiltonian perturbations of its coefficients, and then they are simultaneously attained by the Lyapunov exponents through infmitesimally small perturbations of the Hamiltonian system obtained.
Key words: linear systems, Hamiltonian systems, Lyapunov exponents, central exponents.
Для заданного n € N обозначим через Л4п пространство линейных систем вида
х = A(t)x, жег, te М+ = [0, оо),
с ограниченными кусочно-непрерывными оператор-функциями А : R+ —>■ EndRra, отождествляемыми с самими системами. Линейное пространство Л4п всех таких систем наделим равномерной на полупрямой t € R+ топологией, задаваемой нормой (пространство Шп евклидово)
||А|| = sup \A(t)\, \A(t)\ = sup \A{t)x\, \x\ = y/(x,x), x € Mra
i€R+ \x\ = l
Обозначим через Xa оператор Коши системы A G Л4п, а через S*(A) множество всех ее ненулевых решений.
Для системы А € Л4п определим старший и младший характ,ерист,ические показатели Ляпунова [1, §2]:
Л(у1) = sup lim - In \x(t)\, Л(А) = inf lim - In \x(t)\,
XÇS4A) t x&St(A) t->co t
1 Салова Татьяна Валентиновна — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: m_messageQmail.ru.
а также верхний и нижний центральные показатели Винограда-Миллионщикова (см. работу [1, §3], где введены показатели Г2(у1) и й(А)): верхнепредельные
и нижнепредельные
Обычно в литературе для верхнего и нижнего центральных показателей системы А € А4п используются обозначения Çl(A) и со (А), что в настоящей работе соответствует и ш(А).
Если пространство Шп четномерно и в нем задан ортогональный кососимметрический оператор J: J~l = J* = —J, то в пространстве Л4п естественно выделяется линейное топологическое подпространство И™ так называемых линейных гамильтоновых систем, у которых оператор JA(t) симметричен при каждом t € К+. Для системы А € TLn и числа е ^ 0 обозначим через TLe(A) множество всех систем В € TLn, удовлетворяющих условию \\В — ^ е при е > 0 и условию lim IB(t) — A(t)\ = 0 при е = 0, а через TLe+o(А) множество всех систем В € TLn, удовлетворяющих
t—>оо
условию В € TLo(C) хотя бы для одной системы С € TLe(A).
Вопрос об одновременной достижимости показателями Ляпунова верхнего и нижнего центральных показателей линейной гамильтоновой системы произвольного порядка во множестве гамильтоновых возмущений изучен в работе [2], а для маломерных систем (при п = 2,4) — в работах [3, 4].
Определение 1. Зададим логарифмические сингулярные числа невырожденного линейного оператора X € Aut Rra формулами
Si = inf max 1п|Хж|, i = l,...,n,
L&GixeL, \x\ = l
где Gi — множество всех ¿-мерных подпространств L С Кга.
Замечание 1. Для любого X е AutRra имеем Si ^ ... ^ 6п, & если X — оператор Коши линейной гамильтоновой системы, то ¿i = —5п, 52 = —5п-\,... [5].
Лемма 1. Для любых е, Т > 0 и системы А € TLn Су'ЩбСТПвубТП CUCTÎIGJHCI Cji € TLn, удовлетворяющая условиям:
1) ö[ ^ ¿1 — еТ и 5'п ^ 5п + еТ, где 5\, 5п и 5'п — логарифмические сингулярные числа операторов Ха(Т,0) и Хщ(Т, 0) соответственно;
2) sup I A{t) - Cf(i)| < 2e.
OsiisiT
Замечание 2. Лемма 1 доказана в работе [4], откуда выводится и более точная оценка
sup \A(t) -Cf(i)|< е.
OsiisiT
Лемма 2. Для любых е > 0; последовательности 0 = to < t\ < ... и системы А € И™ существует система С € %е(А), удовлетворяющая условиям
Ш < Ш - e(tj - tj-1), 8'n(j) > Ш + e(tj - tj-1), j = 1,2,...,
где 6i(j), 5n(j) и ö[(j), 5'n(j) — логарифмические сингулярные числа операторов XA(tj,tj-1) и Xc(tj,tj-1) соответственно.
Доказательство. На каждом промежутке [tj-\,tj), j = 1,2,..., положим C(t) = Cf._tj_1 (t — tj-1), где оператор-функция С^ описана в лемме 1. Тогда утверждения леммы непосредственно следуют из леммы 1 с учетом замечания. Лемма 2 доказана.
Теорема 1. Для любых А € VJ1 и е > 0 существует система С € %е(А), удовлетворяющая неравенствам
Ù(C)^Ù(A)+e, Ù(C)^Ù(A)+e, û(C) ^û(A)-e, ш(С)^ш(А)-е.
Доказательство. Сначала дадим вспомогательное определение.
Определение 2 [6]. Взяв ¿о = 0, по положительной строго возрастающей неограниченной последовательности Т = (ij)jen определим неравномерные центральные верхнепредельный и соответственно нижнепредельный показатели для системы А € Л4п: верхние — формулами
АТ(А) = lim -— ^^ 1п |Хд(tj,tj—i)\, АТ(А) = lim 1 J] In\XA(fj}
fc—>OO Гд. ^ fc—)-00 tk ^
а нижние — формулами
5Г(Л) = ПЕ i^lnlX^-bijOr1. = limi^lnlX^bi,)!"1.
fc—)-oo Гд. ^ fc—)-oo lk .= 1
Далее, в теореме 2 работы [6] установлено, что для любой системы А € существует последовательность Т, удовлетворяющая условию tj — tj-\ —>■ оо при j —> оо (это следует из рассуждений, содержащихся в §8 работы [7]) и одновременно четырем равенствам:
АТ(А) = П(А), А Т(А) = П(А), 6Т(А) = <2>(Л), 5Г(Л) = й(Л).
Для этой последовательности Тпо заданному е > 0 построим систему С € TLe(A) в соответствии с леммой 2. Тогда справедливы соотношения для верхнепредельных показателей
й(А) = АТ{А) = ПЕ f tj—\) | = Ilm 1 <
/С—г ОО о t> лС—гОО о L¡»
i=i i=i
^ J1™ f -- ^--i)) = J1™ f E - ^ =
fc—>■оо Ти fc—>oo Zu
3=1 3 = 1
к
= Ü™ f Eln - £ = Ar(C) - e
3 = 1
и аналогичные соотношения для нижнепредельных
= Är(A) < Аг(С) - е.
В теореме 1 [6] установлено, что если последовательность Т удовлетворяет условию tj—tj-i —>■ оо при j —> оо, то для любой системы С € .Л/Р (а значит, и для С € TLn) выполнены неравенства
АТ{С) < П(С), АГ(С) < й(С), 5Т(С) ^ ш(С), 5Т(С) ^ й(С).
С учетом этого получаем
й(А) < АГ(С) - е < Cl(C) - е, &(А) < Är(C) - е < П(С) - е.
Таким образом, первые два неравенства теоремы 1 доказаны. Оставшиеся два неравенства доказываются с помощью равенств
Cl(A) = -й(А), П(А) = -ш(А),
справедливых для любой гамильтоновой системы А € TLn (замечание 1). Теорема 1 доказана.
Теорема 2. Для любых А € VJ1 и 5 > е > 0 существует система В е Tis(А) П %е+о(-А), удовлетворяющая неравенствам
А(В)^П(А)+е, Х(В) ^ш(А)-е.
Доказательство. По теореме 1 для любых А € Нп и е > 0 существует система С € Не(А), удовлетворяющая неравенствам
Cl(C)^Cl(A)+e, ш(С)^ш(А)-е.
По теореме из [2] для любых 5 > 0 и С € Нп существует такая система В € Нв-£(С) П Но (С), что
А(В) = П(С), \{В)=ш{С).
Отсюда имеем В € П"Не+о(Д) и
А(В) = П(С) > &(А) + е, \(В) = ш(С) < ш(А) - е.
Теорема 2 доказана.
Автор выражает глубокую благодарность И.Н. Сергееву за постановку задачи и ценные замечания.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Былое Б.Ф., Виноград Р.Э., Гробман Д.М., Немыцкий В.В. Теория показателей Ляпунова. М.: Наука, 1966.
2. Сергеев И.Н. Одновременная достижимость центральных показателей в классе линейных гамильтоновых систем // Дифференц. уравнения. 2015. 51, № 11. 1557-1558.
3. Салова Т.В. Об одновременной достижимости центральных показателей двумерных гамильтоновых систем // Дифференц. уравнения. 2006. 42, № 6. 854-855.
4. Салова Т.В. Одновременная достижимость центральных показателей четырехмерных гамильтоновых систем при бесконечно малых гамильтоновых возмущениях // Дифференц. уравнения. 2014. 50, № 11. 1441— 1454.
5. Сергеев И.Н. Точные границы подвижности показателей Ляпунова линейных гамильтоновых систем при малых в среднем возмущениях // Тр. семинара им. II. Г. Петровского. 1989. Вып. 14. 125-139.
6. Сергеев И.Н. Об универсальных формулах с неравномерными шкалами времени для центральных показателей линейных систем // Дифференц. уравнения. 2016. 52, № 11. 1589-1590.
7. Сергеев И.Н. К теории показателей Ляпунова линейных систем дифференциальных уравнений // Тр. семинара им. II. Г. Петровского. 1983. Вып. 9. 111-166.
Поступила в редакцию 20.12.2016
УДК 539.3
НЕКОТОРЫЕ ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ В НАПРЯЖЕНИЯХ ДЛЯ НЕСЖИМАЕМЫХ УПРУГИХ КОНИЧЕСКИХ ТЕЛ
Д. В. Георгиевский1
Приводится и анализируется точное решение задачи теории упругости в напряжениях для несжимаемого конического тела произвольной формы, в вершине которого действует заданная сосредоточенная сила. Представляется решение в напряжениях, имеющее особенность по порядку на единицу большую, чем в классическом решении. Находится поверхностная нагрузка на границе конического тела, приводящая к такому решению.
Ключевые слова: коническое тело, несжимаемый упругий материал, сосредоточенная сила, напряжение, уравнения совместности Бельтрами, особенность, поверхностная нагрузка.
The exact solution of the elasticity theory problem in terms of stresses for an incompressible conical solid of arbitrary shape under the action of a given point force applied at its vertex is given and analyzed. The solution in terms of stresses which has a singularity whose order is
1 Георгиевский Дмитрий Владимирович — доктор физ.-мат. наук, проф., зав. каф. теории упругости мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: georgievQmech.math.msu.su.
