Эквивариантная достаточность и устойчивость Текст научной статьи по специальности «Математика»

56

ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2018. №4

на отрезок I. По условию произведение X х I паранормально. По лемме 4 пространство X счетно-паракомпактно. Теорема 3 доказана.

Теоремы 4 и 5 доказываются совершенно аналогично с заменой леммы 1 на леммы 2 и 3 соответственно.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Комбаров Л.П. Об одной слабой форме нормальности // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2017. № 5. 48-51.

2. Katetov M. Complete normality of Cartesian products // Fund. math. 1948. 35. 271-274.

3. Zenor P. Countable paracompactness in product spaces // Proc. Amer. Math. Soc. 1971. 30. 199-201.

4. Chaber J. Conditions which imply compactness in countably compact spaces // Bull. Acad. pol. sci. Ser. sci. math. astronom. et phys. 1976. 24. 993-998.

5. Энгелькинг Р. Общая топология. М.: Наука, 1986.

6. Nyikos P. Problem Section: Problem B // Topol. Proc. 1984. 9. 367.

7. Комбаров Л.П. О ^-произведениях топологических пространств // Докл. АН СССР. 1971. 199. 526-528.

8. Kombarov Л.Р. On expandable discrete collections // Topol. and Appl. 1996. 69. 283-292.

9. Комбаров А.П. Об одной теореме А. Стоуна // Докл. АН СССР. 1983. 270. 38-40.

10. Комбаров А.П. О произведении нормальных пространств. Равномерности на S-произведениях // Докл. АН СССР. 1972. 205. 1033-1035.

Поступила в редакцию 31.05.2017

УДК 512.761.5

ЭКВИВАРИАНТНАЯ ДОСТАТОЧНОСТЬ И УСТОЙЧИВОСТЬ

И. А. Проскурнин1

Доказывается эквивариантный аналог теоремы Тужрона о степени определенности ростка с изолированной особой точкой, а также критерий устойчивости инвариантного ростка при инвариантных деформациях.

Ключевые слова: теория особенностей, инвариантные функции, устойчивые особенности, теорема Тужрона.

An equivariant version of Tougerone's finite determinacy theorem, along with a criterion for the stability of an invariant germ are proved.

Key words: singularity theory, invariant functions, stable singularities, Tougeron's theorem.

Эквивариантные задачи теории особенностей естественно возникают в ряде ситуаций, например при изучении особенностей ростков функций на многообразиях с краем [1] и с углами [2]. Они исследовались в ряде работ, в частности в [3, 4]. Имеется естественная аналогия между утверждениями "обычной" теории особенностей и ее эквивариантного аналога, однако есть и существенные отличия. В настоящей работе формулируется и доказывается эквивариантный (по отношению к действию конечной группы) аналог теоремы Тужрона о степени конечной определенности ростка функции. Он может рассматриваться как вариант теоремы Тужрона на соответствующем фактор-пространстве. Его формулировка дается не в терминах струй ростков (определяемых степенной градуировкой), а в терминах их эквивариантных аналогов, определяемых степенями идеала обращающихся в нуль инвариантных функций.

При этом в ряде случаев, а именно если действие группы не содержит тривиальных слагаемых, степень определенности оказывается отличной от той, которая подсказывается неэквивари-антной версией. Работа содержит также критерий устойчивости инвариантного ростка. В отличие от неэквивариантного случая, когда устойчивыми ростками являются невырожденные, устойчивые инвариантные ростки не всегда существуют.

1Проскурнин Иван Андреевич — асп. каф. высшей геометрии и топологии мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: dazai131@yahoo.com.

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2018. №4

57

Пусть на (Сп, 0) голоморфными диффеоморфизмами действует (нетривиальная) конечная группа О. Не теряя общности, можно предполагать, что это действие линейно, т.е. индуцировано представлением группы О на Сп. В настоящей работе функции, отображения, векторные поля предполагаются голоморфными, хотя большинство утверждений выполняется и для вещественных гладких функций.

Будем обозначать через О кольцо ростков голоморфных функций на (Сп, 0), его О-инвариантную часть (кольцо ростков инвариантных функций) — через О?. Максимальный идеал в кольце О? мы будем обозначать через ш?. Векторное поле V на (Сп, 0) эквивариантно, если ^(дж) = Отоб-

ражение Н : (Сп, 0) ^ (Сп, 0) эквивариантно, если Н(дж) = дН(ж). Эквивариантные отображения индуцируют эндоморфизмы кольца инвариантных функций.

Идеал 7/, порожденный частными производными ростка / € О, называется якобиевым идеалом ростка /. Фактор О/3$ называется локальным кольцом ростка / и обозначается Q $. Для ростка / € О? пересечение О? П 3$ мы будем обозначать через 3?, а фактор — через О?/3? — QG.

В доказательстве основного результата будет использоваться несколько технических утверждений. Производная О-инвариантной функции / вдоль эквивариантного векторного поля лежит в 3$?. Верно и обратное утверждение.

Лемма 1. Для ф € 3$? существует эквивариантное векторное поле V, такое, что функция ф равна производной функции / вдоль него.

Доказательство. Пусть ф = d/v*, где V* — некоторое векторное поле. Векторное поле v(ж) =

щу д~1и*(дх)) является эквивариантным и удовлетворяет соотношению ф = с1/и. □ 1 д&о

Росток / € О имеет в нуле изолированную критическую точку тогда и только тогда, когда локальное кольцо Q$ имеет конечную размерность как векторное пространство. Для О-инвариантной функции / справедливо следующее утверждение.

Лемма 2. О-инвариантная функция / имеет в нуле изолированную критическую точку тогда и только тогда, когда QG — конечномерное векторное пространство.

Доказательство. Очевидно, что из конечномерности Q $ следует конечномерность QG. Если кольцо QG конечномерно, то существует натуральное число к > 0, такое, что ш? С 3?, откуда ш?О С 3$. Множество нулей идеала ш?О состоит только из начала координат. Если бы начало координат было неизолированной точкой множества нулей, то любая О-инвариантная функция принимала бы на нем то же значение, что и в начале координат, что невозможно. Поскольку ш?О С 3 $, то и множество нулей идеала 3 $ совпадает с началом координат. □

Будем обозначать размерность О? через V(/) (или просто V, если из контекста понятно, о каком ростке / идет речь).

Лемма 3. Для О-инвариантной функции / имеет место включение ш? $ С 3?.

Доказательство. Пусть /1, ..., / — элементы ш?. Функции 1, /1, /1/2, ..., /1/2 • • • / линейно зависимы в QG (их число превышает размерность Q^). Таким образом, Ао + А1/1 + А2/1/2 + • • • + АV/1 • • • / = 0 в QG. Пусть Ак — первый ненулевой коэффициент в этой зависимости. Тогда /1 • • • /к(Ак + Ай+1/к+1 + • • • + А^Д+1 • • • /^) = 0. Поэтому /1 •••/к € 3? и, следовательно, /1/2 • • • /V € 3?. □

Следующее утверждение является аналогом теоремы Тужрона для инвариантных функций.

Теорема 1. Пусть / — О-инвариантная функция, V = V(/), ф € ш?+2, / = / + ф. Тогда существует эквивариантная замена координат Н(ж), такая, что /(Н(ж)) = /(ж).

Доказательство. Воспользумся гомотопическим методом в форме, описанной, например, в [5]. Будем искать (аналитически зависящее от Ь) семейство эквивариантных замен координат Н(ж), Ь € [0,1], таких, что

/ (Н* (ж))+ Ьф(Н*(ж)) = / (ж) (1)

для Ь € [0,1]. Продифференцировав равенство (1), получим "гомологическое уравнение" ф + V*(/ + Ьф) = 0 (второе слагаемое — производная функции / + Ьф вдоль векторного поля V*), т.е.

V*(/ + Ьф) = -ф V Ь € [0,1]- (2)

Для существования замены координат Н*(ж) достаточно разрешимости (2). Нам нужно, чтобы замены Н*(ж) оставляли на месте начало координат, для чего следует потребовать, чтобы V*(0) = 0

V £ € [0,1]. Далее, нам нужно, чтобы преобразования фазового потока Н были эквивариантными диффеоморфизмами, для чего достаточно, чтобы само векторное поле vt было эквивариантно при всех значениях

Поскольку (шс)^ С 3^ (по лемме 3), то для образующих М1,..., МN идеала ш£- существуют

п ^

(в силу леммы 1) разложения М3 = ^ где таковы, что ... Кп>3) — эквивариантное

векторное поле для любого 8, т.е.

Лх1 г=1

ЦтХ I

г=1 г=1

где п

г=1

п N

Тогда имеется разложение ^ Жс^-гя = ^ € Шс- Подставив это разложение в (3),

г=1 1 ' ¿=1

получим

^ ¿=1 ' г=1 г

В векторной записи это дает нам

(Мь.... ЛЗД( ^ +Ю)={± ...,±

г=1 г г=1 г

где С — N х N-матрица с инвариантными коэффициентами ¿>3.

Поскольку £¿,¿¡(0) = 0, то матрица (^xN + £С) для малых х при любом £ € [0; 1] обратима и обратная матрица (^XN + £С)-1 аналитически зависит от Кроме того, элементы этой матрицы как функции от хг инвариантны относительно нашего представления. Тогда имеем соотношение

(мь. ..,„„)=(£ ..,£ +¡о

г=1 г=1

которое означает, что существует N векторных полей w1, таких, что при любом £ производная / + £ф вдоль wj равна Mj, причем каждое из этих полей аналитически зависит от £ и эквивариантно.

Теперь завершим доказательство теоремы. Нам нужно доказать существование поля vt = ,... ,vin), аналитически зависящего от £ и такого, чтобы при любом £ производная / + £ф вдоль vt была равна —ф. Так как ф € шС+1, существуют d1 ,...,dN € , такие, что ф = Mj.

N

Очевидно, векторное поле vt = — ^ djwt• эквивариантно, аналитически зависит от равно нулю в

¿=1

нуле и производная / + £ф вдоль него равна —ф. □

Если действие (представление) группы С на Сп не имеет тривиальных компонент, то существует более низкая оценка на степень определенности С-инвариантного ростка.

Теорема 2. Пусть действие группы С на Сп не имеет тривиальных компонент, / — С-инвариантная функция, V = V(/), ф € шС+1, / = / + ф. Тогда существует эквивариантная замена координат Н(х), такая, что /(Н(х)) = /(х).

Доказательство. В описанной ситуации для всех г и в имеем Нг>3(0) = 0 (если Нг>3(0) = 0 для

п

некоторого з, то (/¿1^(0)... Л.га,«(0)) — ненулевой инвариантный вектор). Поэтому ^ ¿г^М €

г=1

для ф € шС+1. □

Замечание. Если действие группы С на Сп имеет тривиальные компоненты, то оценку V+2 для степени эквивариантной определенности С-инвариантного ростка, вообще говоря, нельзя улучшить.

Пусть циклическая группа Z3 действует на С2 по формуле а(х, у) = (ехр (^р)ж, у), а — образующая группы Z3. Для G-инвариантной функции f (ж, у) = ж3 + у2 имеем v(f) = 1. Пусть /(ж, у) = ж3 + у3. Тогда f — f € mG, однако функции f и f не переводятся друг в друга заменами координат: у них разные числа Милнора.

Известен еще один вариант теоремы Тужрона для инвариантных функций, в формулировке которого используется обычное(не эквивариантное)число Милнора ß.

Теорема 3. Если f € OG — инвариантная функция, ß(f) = ß, ф € mM+2 nöG, то существует эквивариантная замена координат h(x), такая, что

f (h(x)) + ф(Ь(ж)) = f (ж).

Доказательство. Действуя, как в доказательстве обычной теоремы Тужрона, получим (необязательно эквивариантное) поле vl, такое, что vl(f + ¿ф) = — ф, vl (0) = 0. Усредняя это равенство по действию, как в доказательстве леммы 1, получим уже эквивариантное поле vG : vG (f + ¿ф) =

—ф,vG (0) =0. □

Замечание. Пусть Z3 действует на С2 умножением на е~, ж3 + у3 — инвариантная функция. Очевидно, v(ж3 + у3) = 1. Любой другой невырожденный однородный полином третьей степени приводится к виду ж3 + у3 эквивариантной линейной заменой координат. С другой стороны, любая другая инвариантная функция имеет вид C+f+g, где C — константа, f — однородный полином третьей степени, а g € mG. Поэтому по теореме Тужрона для инвариантных функций(и предыдущему замечанию) любая инвариантная функция, начинающаяся с ж3 + у3, приводится к виду ж3 + у3 эквивариантной заменой координат. Таким образом, ж3 + у3 — эквивариантно устойчивая функция, т.е. любая близкая к ж3 + у3 инвариантная функция в подходящих эквивариантных координатах тоже имеет вид ж3 + у3.

Если мы рассматриваем обычные ростки на (Cn, 0) без действия какой-либо группы, то согласно классической теории особенностей устойчивы те и только те f, у которых ß(f) ^ 1. Докажем версию этого утверждения для инвариантных функций.

Лемма 4. Пусть G действует на Cn, f € mG имеет изолированную особую точку в начале координат. Тогда функция f эквивариантно устойчива, если и только если v(f) ^ 1.

Доказательство. Достаточность доказывается аналогично теореме Тужрона с той лишь разницей, что мы не можем утверждать, что cj;S(0) = 0, и в силу этого матрица (/nxN + tC) обратима не при всех t для малых ж, а только при малых t. Но нам этого достаточно.

Докажем необходимость. Пусть f эквивариантно устойчива. Это означает, что некая окрестность f в mG лежит в орбите f под действием группы DiffG эквивариантных диффеоморфизмов. Поскольку f имеет изолированную особую точку, то по теореме Тужрона она конечно-определена, т.е. орбита f совпадает с орбитой ß + 1-струи функции f (обозначим ее fТогда из устойчивости f следует, что и fустойчива в пространстве OG/m^+2 инвариантных полиномов степени ^ ß + 1. Действие DiffG на OG/m^+2 совпадает с действием Diff^^ — группы ß + 1-струй эквивариантных диффеоморфизмов. Пространство OG/mM+2 и группа DiffG+1 уже конечномерны, и теперь мы можем применить традиционные соображения из теории групп Ли: если некоторая окрестность f в (OG/mM+2) П mG содержится в орбите fM+1 под действием DiffG+1, то (поскольку сдвиг по орбите является отображением постоянного ранга) размерность касательного пространства к орбите f (в точке fM+1) совпадает с размерностью всего пространства (OG/mM+2) n mG. Но касательное пространство к орбите есть в точности JG П (OG/m^+2), и из совпадения размерностей следует, что (OG/mM+2) П mG С JG .С другой стороны, идеал шм+2 заведомо лежит в Jf .Но это значит, что весь идеал mG лежит в JG, т.е. v(f) ^ 1. □

Работа выполнена за счет гранта Российского научного фонда (проект №16-11-10018).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Арнольд В.И. Критические точки функций на многообразии с краем, простые группы Ли Bk, Ck, F4 и особенности эволют // Успехи матем. наук. 1978. 33, вып. 5(203). 91-105.

2. Siersma D. Singularities of functions on boundaries, corners, etc. // Quart. J. Math. Oxford. 1981. 32, issue 1. 119-127.

3. Slodowy P. Einige Bemerkungen zur Entfaltung symmetrischer Funktionen // Math. Z. 1978. 158. 157-170.

4. Wall C.T.C. A note on symmetry of singularities // Bull. London Math. Soc. 1980. 12, N 3. 169-175.

5. Арнольд В.И., Варченко А.Н., Гусейн-Заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений. Т. 1. Классификация критических точек, каустик и волновых фронтов. М.: Наука, 1982.

Поступила в редакцию 20.09.2017

УДК 512.623.3+517.977.5

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ, ВСЮДУ ПЛОТНАЯ ОБМОТКА ТОРА И ПРОСТЫЕ ЧИСЛА ВОЛЬСТЕНХОЛЬМА

Д. Д. Киселев1

В заметке с помощью теории Галуа и информации о распределении простых чисел Вольстенхольма строится задача оптимального управления, в которой управление за конечное время пробегает всюду плотную обмотку k-мерного тора для любого наперед заданного натурального k ^ 249 998 919.

Ключевые слова: обмотка тора, теория Галуа, простые числа Вольстенхольма. In this paper, using Galois theory and the knowledge of the Wolstenholme primes distribution, we construct an optimal control problem where the control runs an everywhere dense winding of a k-dimensional torus for arbitrary natural k ^ 249 998 919 given in advance.

Key words: torus winding, Galois theory, Wolstenholme primes. Рассмотрим обобщенную задачу Фуллера вида

г

J (ж) = / (x,Cx)dt ^ min (1)

Jo

на траекториях управляемой системы

|ж(п)| < 1, ж € V; ж(к)(0) = жк, 0 < k < n — 1,

где V — конечномерное евклидово пространство достаточно высокой размерности M (можно взять любое число M > 2n) со скалярным произведением (•, •), а C — некоторый невырожденный самосопряженный линейный оператор. Функция ж(£) считается абсолютно непрерывной вместе со своими n — 1 производными. Управление u(t) = ж(п)(t) € Li(0; +гс>). Поскольку в указанных предположениях задача (1) является выпуклой, то существование глобально оптимального решения равносильно разрешимости системы принципа максимума Понтрягина; при любых начальных условиях такое решение существует и единственно (см. [1]). Ясно, что для минимизации интеграла в (1) необходимо как можно быстрее выйти на особый режим ж = u = 0; весь вопрос в том, насколько сложным может быть соответствующее управление.

Определим [п/2]-элементное множество B С R решений системы:

Im Л (гж + j) = 0, j=i

' (—1)n-1Re П(гж + j) > 0, (2)

j=i

ж > 0.

\

1 Киселев Денис Дмитриевич — канд. физ.-мат. наук, ст. преп. каф. информатики и математики Всерос. акад. внешней торговли, г. Москва, e-mail: denmexmath@yandex.ru.