Простейшие особые точки 1-форм, инвариантных относительно действия группы третьего порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Kulikov A.S., Podolskii V. V. Computing majority by constant depth majority circuits with low fan-in gates // 34th Symp. on Theoretical Aspects of Computer Science (STACS 2017). 2017. 49:1-49:14.

2. Engels C., Grag M., Makino K., Rao A. On expressing majority as majority of majorities // Electronic Colloquium on Computational Complexity. TR17-174.

3. Угольников А.Б. Классы Поста. M.: Изд-во ЦПИ при мех.-мат. ф-те МГУ, 2008.

Поступила в редакцию 27.12.2017

УДК 515.165

ПРОСТЕИШИЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ 1-ФОРМ, ИНВАРИАНТНЫХ ОТНОСИТЕЛЬНО ДЕЙСТВИЯ ГРУППЫ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА

Ф. И. Мамедова1

Классифицируются особые точки, которые не устранимы шевелениями 1-форм, инвариантных по отношению к действию циклической группы третьего порядка. Установлено, что для ^^-инвариантных 1-форм эквивариантный индекс особой точки как элемент кольца представлений группы совпадает с классом представления на пространстве ростков форм старшей степени, профакторизованном по подпространству форм, делящихся на данную 1-форму.

Ключевые слова: 1-формы, действия групп, эквивариантные деформации.

We classify singular points which cannot be excluded by deformations of 1-forms invariant with respect to an action of a cyclic group of order 3. It is proved that for Z3-invariant 1-forms the equivariant index of a singular point as an element of the representation ring of the group coincides with the class of the representation on the space of germs of the highest order forms factorized by the subspace of forms divisible by the given 1-form.

Key words: 1-forms, group actions, equivariant deformations.

В работе fl] был определен гомологический индекс для изолированного нуля 1-формы на комплексно-аналитическом многообразии с изолированной особенностью. Понятие гомологического индекса впервые было введено в работе [2], где он был определен для нуля векторного поля на комплексном многообразии с изолированной особенностью. Существуют также аналоги гомологического индекса (см. [2]) и классического индекса Пуанкаре-Хопфа (см. [3]) для С-инвариантных (Q — конечная группа) 1-форм на комплексно-аналитических многообразиях с действием группы G. Законы сохранения числа, а также тот факт, что для 1-формы на ростке гладкого комплексно-аналитического многообразия существует деформация с невырожденными нулями, позволяют доказать, что для голоморфной 1-формы на гладком комплексно-аналитическом многообразии гомологический индекс и классический индекс совпадают. С другой стороны, С-инвариантные деформации С-инвариантной голоморфной 1-формы на ростке (Сга,0) имеют, как правило, сложные особые точки (как минимум, для группы G более чем с двумя элементами). Для того чтобы доказать равенство гомологического индекса и редукции (образ при естественном отображении г : B(G) н->■ R(G) из кольца Бернсайда в кольцо представлений группы) эквивариантного радиального индекса, можно попробовать описать все особые точки, которые могут встречаться в общей С-инвариантной деформации (эта задача представляет самостоятельный интерес), и сравнить эти индексы для них. Данный подход представляется весьма трудоемким в общем случае. В настоящей работе мы реализуем эту программу для циклических групп Z2 и Z3. В [4] дано доказательство указанного утверждения, основанное на других идеях.

1 Мамедова Фируза Исамитдиновна — науч. сотр. Университета им. Лейбница, г. Ганновер, Германия, e-mail: mamedovaQmath.uni-hannover.de.

Все рассматриваемые далее ростки 1-форм голоморфны и имеют изолированные особые точки. Деформацией 1-формы (ростка) из на (Сга,0) называется 1-форма П на (Сп х Сл,0), такая, что П = 0 (т.е. 1-форма О может рассматриваться как семейство из\ 1-форм на окрестности начала координат в Сп для достаточно малых Л) и П^с^о) = из.

Пусть на ростке (Сп, 0) (пространства Сп в начале координат) действует группа %2 второго порядка. Без ограничений общности можно предположить, что

1 1 • • • 1

где а слева является образующей Ъ^ а справа равна —1, во € Ъ-^.

Несложно показать, что для любой Z2-инвapиaнтнoй голоморфной 1-формы на ростке (Сп, 0) с изолированным нулем в начале координат существует Z2-инвapиaнтнaя голоморфная деформация, имеющая только невырожденные нули. Множество ростков 1-форм с невырожденным нулем в начале координат связно и содержит 1-форму:

из0 = 21(121 + ... + гпйгп.

Вычисления эквивариантного радиального индекса и эквивариантного гомологического индекса 1-формы изо дают один и тот же результат. Из этого вытекает следующее утверждение. Предложение 1. Для Ъъ-инвариантной 1-формы на ростке (Сга,0) мы имеем

Пусть теперь на (Сга,0) действует группа Существуют такие координаты, что это действие может быть записано следующим образом:

<7(21, . . . , Хп) = (¿1, . . . , х30, СГХ30-\-1, . . . , СГХ,30-\-,31, (Т . . . , (Т

где слева а представляет образующую а справа а = ехр(27гг/3), «О) «2 € во + 8\ + = п. Для удобства мы считаем, что в2 «1. (Это может быть получено заменой образующей группы.)

Предложение 2. Для каждой Ъ^-инвариантмой, голоморфной 1-формы из на ростке (Сга,0) существует -инвариантная, голоморфная деформация из, определенная на малой окрестмост,и начала координат, в Сп, имеющая лишь невырожденные нули вне инвариантного подпространства ,г3о), а в каждом, нуле р € {г\,..., г3о) в координат,ах, центрированных в точке р (которые для, удобства мы обозначим теми же буквами), имеющая вид

«О «1

+ + • • • + Rso+j)c^Zs0-^-sl+j +

г=1 3=1

«1

) • • • ) Rso+Sl+k)dzso-^-|г-\-

к=1

+ X/ + Ь • • • ) + Яз0+2з1+1)(1г30+2з1+1, (1)

1=1

где 1\,..., ¿¿¡0+2.51 — линейные функции, р\,... ,р32-31 — однородные многочлены второй степени, К\,..., Кп — члены более высокого порядка, а, система 1\ = ... = ¿«0+2«1 = VI = ■ ■ ■ = Рз2-в1 = 0 имеет единственное решение (0,..., 0).

Доказательство. Сначала пошевелим 1-форму следующим образом: из^ = из + ¿1^1, где

«О «1 «1 «2-«1

шг = ^ Zidzi +

г=1 ]=1 к=1 1=1

выбирая ¿1 и меняя координаты таким образом, чтобы шевеление имело вид (1) в начале координат. Новая 1-форма соц может иметь нули вне начала координат.

Для каждого нового возникающего нуля (оц,..., а30, 0,..., 0) на инвариантном подпространстве (г\,..., г30) мы выполняем похожие шевеления: со^1 = со + ¿1 со', где

«О «1 «1 «2-«1

= ~~ aг)dZi + У^ г30+]<1г30+з1+] + У^ Z3o+3l+kdz3o+k + ^ ¿80+281+1^80+281+1,

г=1 ]=1 к= 1 1=1

выбирая параметры и меняя координаты таким образом, чтобы шевеления имели вид (1) в каждом нуле, включая начало координат. (Если каждое новое шевеление достаточно мало ("существенно меньше предыдущих"), то оно не меняет вид особых точек, уже имеющих вид (1)). Мы повторяем эту процедуру для каждого нового возникающего нуля на {х\,..., г30). Процесс должен остановиться через конечное число итераций. В итоге мы получим 1-форму Со, которая имеет вид (1) в каждом нуле на инвариантном подпространстве.

Пусть (Ь1,..., Ъп) — представитель одной из орбит нулей Со вне инвариантного подпространства. Рассмотрим 1-форму со'2, такую, что

п

со'2 = — Ъг) + члены более высокого порядка) dzi

г=1

в точке (Ь\,...,Ьп), а ее компоненты в двух других точках орбиты не содержат первых степеней (гг~Ьг), г = 1,...,п. После усреднения по действию группы мы получим Zз-инвapиaнтнyю 1-форму со2 с невырожденными нулями (Ьь ..., Ъп), (6Ь ..., Ь3о, аЪ3о+\,..., <тЬ3о+31, а2Ъ3о+31+\, ...,а2Ъп) и (Ъ\,..., Ь3о, (т2Ъ3о+\,..., а2Ъ3о+31, <т65о+51+1,..., (тЪп). Теперь мы можем построить новое Zз-инвapи-антное шевеление со^ = Со + ¿2^2, имеющее только невырожденные нули, где ¿2 и координаты выбраны таким образом, что имеет вид (1) в начале координат.

Применяя ту же процедуру к другим орбитам нулей (каждый раз выбирая параметры шевеления и координаты таким образом, чтобы деформация имела вид (1) в нулях на {х\,..., г3о)), мы получим С-инвариантную голоморфную деформацию, имеющую лишь невырожденные нули вне (¿1,..., г30), а в нулях на {г\,..., г30) — вид (1). □

Лемма. В (векторном) прост,ра,нет,ее V всех наборов (р\,... ,рт) из т однородных многочленов второй степени от т, (комплексных) переменных множество М всех наборов, обращающихся в нуль лишь в начале координат,, связно.

Доказательство. Дополнение V \ М к М является собственным комплексно-аналитическим подпространством V. Поэтому его дополнение М связно. □

Предложение 3. В окрестмост,и начала координат, 1-форма (1) и 1-форма

«О «1 «2-«1

г=1 з = 1 1=1

могут быть соединены непрерывным, семейством голоморных 1-форм, которые обращаются в нуль только в начале координат,.

Доказательство. Сначала построим непрерывное семейство между 1-формой (1) и 1-формой:

«О «1

^ ^ Zidzi ^ ^ (z30-^-jdz30-^-31-^-j z30-^-31-^-jdz30-^-jЛ)

г=1 ] = 1

82 — 81

+ ^ (^(^80 + 281 + 1, • • •

) + -^80+281+0^80 + 281+1- (3)

1=1

Пусть — сфера малого радиуса е с центром в начале координат. Для вектора, состоящего из линейных компонент 1\,..., ¿50+281 1-формы (1), мы имеем следующее неравенство: (((¿1,..., ¿80+281)1 2п II ^ £С Для некоторого с > 0. С другой стороны, для вектора, состоящего из членов более

высокого порядка, имеем равенство ||(-Й1, • • •, Яз2-з1)\ 2п || = 0(е2), откуда получаем, что

80 + 281 82-81 = ^ ((li + (l-5)Ri)dzi)+ ^2(р1(г30+281+1,---1=1 1=1

есть искомое непрерывное семейство голоморфных 1-форм.

Используя ту же идею для вектора (р... ,р32-31), мы можем ликвидировать члены высокого порядка в последних 82 — компонентах 1-формы.

Применяя лемму к набору (р\,... ,р32-31), мы в итоге получим непрерывное семейство голоморфных 1-форм между 1-формой (3) и 1-формой (2). □

Теорема. Для Z3-инвариантной 1-формы на ростке (Сга,0) имеем,

Ш11т(и,0)=пп<1^(и,0). (4)

Доказательство. В соответствии с предложениями 2 и 3 (и с тем фактом, что для индексов в обеих частях равенства (4) сумма индексов особых точек, возникающих при деформации, совпадает с индексом исходной особой точки) равенство (4) достаточно проверить для 1-формы (2). Для эквивариантного гомологического индекса имеем

0) = [ГГ/ГГ-1 Аш] = [<Сн2в1+1 • • • • • 1(«ь • • •, а32-31) € {0,¡\...1\<1хп] =

= (Лв2_в1[1] +С82-а1[<т] +В32_31[а2])[а^}, где [ак] — соответствующий класс в кольце представлений группы,

^ \ Зк 1/' Е (31 + 1)' С°2-°1= Е (з2Л + 2

к: 3fcsC.s2-.s1 к: Зк+К^-в! 4 7 к:

Вычисления дают

OS2-S1 I / l^ra-so . О OS2—S1 _ (_1 \n-so

ind£m(w,0) =-^-[1] +-^—(Н + [а ]). (5)

Эквивариантный радиальный индекс задан следующим равенством:

indfa3d(ReM,0) = a[Z3/Z3] +/?[Z3/{e}],

где а + 3/3 = (—l)n2S2~Sl — индекс действительной части 1-формы (2), а = (—l)s° — индекс 1-формы Re(zidzi + ... + zsodzso). Отсюда

о«2-«1 I Of —1 )so~n о«2-«1 _ f_l )so-n

rindfa3d(W,0) = r((-irindfa3d(ReM,0)) =--[1] +-i-J-(И + И),

что совпадает с (5). □

Замечание. Из вышеописанного следует, что для G = Z2 или Z3 множество ростков G-инва-риантных 1-форм с наименьшей кратностью связно и содержит дифференциал G-инвариантной функции. Можно предположить, что это имеет место для любой конечной группы.

Автор признателен рецензенту за ценные замечания, позволившие улучшить изложение и исправить существенную погрешность.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ebeling И".. Gusein-Zade S.M., Seade J. Homological index for 1-forms and a Milnor number for isolated singularities // Int. J. Math. 2004. 15, N 9. 895-905.

2. Gomez-Mont X. An algebraic formula for the index of a vector field on a hypersurface with an isolated singularity //J. Algebraic Geom. 1998. 7, N 4. 731-752.

3. Ebeling W., Gusein-Zade S.M. Equivariant indices of vector fields and 1-forms // Eur. J. Math. 2015. 1, N 2. 286-301.

4. Гусейп-Заде C.M., Мамедова Ф.И. Об эквивариантных индексах 1-форм на многообразиях // Функц. анал. и прил. 2017. 51, вып. 3. 22-32.

Поступила в редакцию 13.09.2017