Схема глубины два с ограниченным входным ветвлением для функций голосования Текст научной статьи по специальности «Математика»

Краткие сообщения

УДК 519.95

СХЕМА ГЛУБИНЫ ДВА С ОГРАНИЧЕННЫМ ВХОДНЫМ ВЕТВЛЕНИЕМ ДЛЯ ФУНКЦИЙ ГОЛОСОВАНИЯ

Ю.А. Комбаров1

В заметке доказано, что булева функция голосования от п переменных может быть реализована схемой глубины два, элементы которой вычисляют функции голосования от п — 2 переменных (для любого нечетного п, большего пяти).

Ключевые слова: схемы из функциональных элементов, булевы функции, функция голосования, ограниченное входное ветвление.

We show that majority Boolean function of n variables can be computed by a depth-2 circuit consisting of majority gates with fan-in n — 2 (for every odd n greater than 5).

Key words: Boolean circuits, Boolean functions, majority function, bounded fan-in.

Функцией голосованья от, n переменных будем называть n-местную булеву функцию MAJn, такую, что MAJn(x) = 1 тогда и только тогда, когда wt(ic) > ^ (здесь х — набор из {0,1}п, а wt(ic) — число единиц в х). Далее мы будем рассматривать функции голосования только от нечетного количества переменных.

Пусть В — множество булевых функций. Схемой из функциональных элементов в базисе В называется ориентированный граф без ориентированных циклов, вершинам которого приписаны переменные из алфавита {х\,х2, ■ ■ ■} пли функции из В. Вершинам входной степени 0 приписаны переменные, и эти вершины называются входам,и. Вершинам входной степени к приписаны /г-местные функции, такие вершины называются элементами. Один из элементов схемы выделен и называется выходным,. Каждой вершине схемы естественным образом сопоставляется булева функция, реализуемая этой вершиной. Говорят, что схема реализует некоторую булеву функцию /, если ее выходной элемент реализует эту функцию. Глубиной схемы называется наибольшая длина ориентированного пути, соединяющего вход схемы и ее выходной элемент. Ветвлением, схемы будем называть наибольшее число входов ее элемента (т.е. наибольшее число ребер, входящих в вершину схемы). Ветвление схемы S будем обозначать через F(S).

В заметке рассматриваются схемы глубины два в базисе M = {MAJ2k-i\k = 1,2,...}. В работе [1] ставится следующий вопрос: "Каково наименьшее ветвление схемы, реализующей функцию MAJnT\ Введем следующее обозначение: F (ri) = min F (S), где минимум берется по всем схемам S глубины два в базисе М, реализующим функцию MAJn (функция F (ri) определена только для нечетных ri). Верны следующие простые оценки: п? ^ F (ri) ^ п. Верхняя оценка очевидна. Нижняя оценка следует из того, что функция голосования зависит от всех своих переменных, и, следовательно, каждый из п входов схемы должен быть соединен ориентированным путем с выходным эле-

13 2

ментом. В [1] получена следующая нижняя оценка: F (ri) ^ Q(n« (logn)~w). Более сильная нижняя оценка получена в работе [2] для схем, на элементы которых один и тот же вход не подается более, чем один раз. Также в [1] для п = 7, 9,11 построены примеры схем с ветвлением п — 2, реализующих функцию MAJn. В настоящей заметке доказано, что схема с ветвлением п — 2, реализующая MAJn, существует для любого нечетного п, большего пяти, т.е. доказана верхняя оценка F (ri) ^ п — 2.

Далее схемы будут описываться при помощи целочисленных матриц. Пусть S — схема глубины два в базисе Men входами, выходной элемент которой имеет к входов. Схеме S сопоставим матрицу размера n х к, в которой число в г-й строке и j-м столбце равно числу входов г-го элемента схемы, соединенных со входом схемы, соответствующим j-й переменной. На рисунке изображены пример схемы глубины два с ветвлением 5, реализующей функцию MAJj (а), и соответствующая этой схеме матрица (б) (цифра у входа элемента соответствует номеру переменной, подаваемой на этот вход).

1 Комбаров Юрий Анатольевич — ассист. каф. дискретной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: у uri .kombarovQgmail .com.

МАЛ5)ЩАЛ5

МАЛ

МАЛ

МАЛ

МАЛ

Схема глубины два ветвления 5 для МАЗч

Набор х из множества {0,1}п будем называть тестовым, если тл^(ж) = \ — Множество всех тестовых наборов длины п будем обозначать Тп.

Лемма. Пусть п нечетно. Схема Б в базисе М с п входами реализует функцию МА.Хп тогда и только тогда, когда Б выдает значение 0 на каждом, наборе из Тп.

Для доказательства леммы достаточно отметить, что каждая функция, входящая в М, монотонна и самодвойственна [3], и, следовательно, всякая схема в базисе М реализует монотонную самодвойственную функцию.

Теорема. Пусть п нечетно и п ^ 7. Тогда существует схема Б глубины два в базисе М, содержащая только элементы МА.Хп_2 реализующая функцию МА.Хп.

Доказательство. Опишем п х (п — 2)-матрицу схемы Б. Все компоненты первой строки содержат нули, за исключением первых трех; первые компоненты содержат числа Г^-^], > (здесь через [ж] обозначается целое число, ближайшее к х). Легко видеть, что сумма этих чисел равна п — 2, а различаются они не более чем на единицу. Все остальные компоненты матрицы единицы и нули; в нервом, втором и третьем столбцах соответственно Г^р], 11 нулей, причем в каждой строке матрицы на первых трех местах не более однохт) нуля. Наконец, оставшиеся компоненты образуют (п — 3) х (п — 3)-матрицу, на дххахтжалхх которой нули, а вне дххахтжалхх единицы.

Так как матрица имеет п — 2 строки, выходной элемент соответствующей ей схемы имеет п — 2 входа; так как сумма чисел в каждой строке равна п — 2, остальные элементы также имеют но п — 2 входа. Выделим три хрухшы элементов: к грушю отнесем элементы, соответствующие строкам матрххцы, содержащххм нуль в г-й комххоненте (г = 1,2,3). Наххрххмер, матрххца п = 11 имеет следующий вххд:

С2 С3

/33300000000\ 0110111111 0111011111 0111101111 1011110111 1011111011 1011111101 1101111110 \11011111110/

Проверим, что схема выдает нуль на всех тестовых наборах длины щ после этоххх утверждение теоремы будет следовать ххз леммы. Пусть т € Тп. Пусть Е элемент, соответствующий первой строке матрххцы. Лсх'ко вххдеть, что Е реалххзует функцию МА,1^{х1, Х2, Хз). Рассмотрим два случая.

1. Элемент Е выдает значение один на наборе т. Тохда не менее двух ххз первых трех компонент т равны единице. Пусть без охраничения общности т\ = Т2 = 1. Тохда все элементы ххз групп С\ хх С'2 выдают нуль на наборе т. Действительно, в наборе т ровно ^^ единиц. На элементы ххз хрухшы не подастся первая компонента набора, а на элементы ххз хрухшы Сг вторая; поэтому на каждый ххз этххх элементов подастся не более ^^ единиц. Это количество меньше, чем следовательно, каждый ххз рассматрххваемых элементов выдает нуль. Число наборов в любых двух группах ххз Сг1,(т2,Сгз превосходит > ^^т (при п ^ 7). Поэтому большинство ххз элементов на первом уровне схемы выдает нуль на т, а значит, хх выходной элемент выдает нуль.

2. Элемент Е выдает нуль на наборе т. Тохда среди трех первых компонент т не более одной единицы, следовательно, среди последних п — 3 компонент т не менее ^^ единиц. Аналохтхчно предыдущему случаю сслхх т% = 1, то элемент, соответствующий (г — 3)-й строке матрххцы выдает нуль на т (при г > 3). Значит, среди элементов ххервохт) уровня не менее ^^ + 1 выдает нуль. Так как более хюловххны элементов ххервохт) уровня выдают нуль, вся схема выдает нуль. Теорема доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Kulikov A.S., Podolskii V. V. Computing majority by constant depth majority circuits with low fan-in gates // 34th Symp. on Theoretical Aspects of Computer Science (STACS 2017). 2017. 49:1-49:14.

2. Engels C., Grag M., Makino K., Rao A. On expressing majority as majority of majorities // Electronic Colloquium on Computational Complexity. TR17-174.

3. Угольников А.Б. Классы Поста. M.: Изд-во ЦПИ при мех.-мат. ф-те МГУ, 2008.

Поступила в редакцию 27.12.2017

УДК 515.165

ПРОСТЕИШИЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ 1-ФОРМ, ИНВАРИАНТНЫХ ОТНОСИТЕЛЬНО ДЕЙСТВИЯ ГРУППЫ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА

Ф. И. Мамедова1

Классифицируются особые точки, которые не устранимы шевелениями 1-форм, инвариантных по отношению к действию циклической группы третьего порядка. Установлено, что для ^^-инвариантных 1-форм эквивариантный индекс особой точки как элемент кольца представлений группы совпадает с классом представления на пространстве ростков форм старшей степени, профакторизованном по подпространству форм, делящихся на данную 1-форму.

Ключевые слова: 1-формы, действия групп, эквивариантные деформации.

We classify singular points which cannot be excluded by deformations of 1-forms invariant with respect to an action of a cyclic group of order 3. It is proved that for Z3-invariant 1-forms the equivariant index of a singular point as an element of the representation ring of the group coincides with the class of the representation on the space of germs of the highest order forms factorized by the subspace of forms divisible by the given 1-form.

Key words: 1-forms, group actions, equivariant deformations.

В работе fl] был определен гомологический индекс для изолированного нуля 1-формы на комплексно-аналитическом многообразии с изолированной особенностью. Понятие гомологического индекса впервые было введено в работе [2], где он был определен для нуля векторного поля на комплексном многообразии с изолированной особенностью. Существуют также аналоги гомологического индекса (см. [2]) и классического индекса Пуанкаре-Хопфа (см. [3]) для С-инвариантных (Q — конечная группа) 1-форм на комплексно-аналитических многообразиях с действием группы G. Законы сохранения числа, а также тот факт, что для 1-формы на ростке гладкого комплексно-аналитического многообразия существует деформация с невырожденными нулями, позволяют доказать, что для голоморфной 1-формы на гладком комплексно-аналитическом многообразии гомологический индекс и классический индекс совпадают. С другой стороны, С-инвариантные деформации С-инвариантной голоморфной 1-формы на ростке (Сга,0) имеют, как правило, сложные особые точки (как минимум, для группы G более чем с двумя элементами). Для того чтобы доказать равенство гомологического индекса и редукции (образ при естественном отображении г : B(G) н->■ R(G) из кольца Бернсайда в кольцо представлений группы) эквивариантного радиального индекса, можно попробовать описать все особые точки, которые могут встречаться в общей С-инвариантной деформации (эта задача представляет самостоятельный интерес), и сравнить эти индексы для них. Данный подход представляется весьма трудоемким в общем случае. В настоящей работе мы реализуем эту программу для циклических групп Z2 и Z3. В [4] дано доказательство указанного утверждения, основанное на других идеях.

1 Мамедова Фируза Исамитдиновна — науч. сотр. Университета им. Лейбница, г. Ганновер, Германия, e-mail: mamedovaQmath.uni-hannover.de.