О нижних оценках сложности схем в базисе антицепных функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

(I-ß(\ + ß-\y)\ / — а(Л — \у))\

+Ч А + ß-\y Д1+ Ау(1-у) )Х

К1 _ а(л _ Ху)) + Л(1 - 7(Л + /х - Ау)) (l - f^g) ß{\ + ß~ Ay) + /ш(А - Лу) • - у

(20)

Из соотношения (19) видно, что условие ро > 0, эквивалентное неравенству у — Л(1 — (3(р))(1 + ца) > 0, есть необходимое условие существования эргодического распределения. Оно также и достаточное в силу того, что из соотношения (20) величина п(у) однозначно выражается через ро и является единственным стационарным решением системы (2). Теорема доказана.

Следствие. Если для описанной системы предположить, что О(х) = В(х) и интенсивность поломки прибора ц = 0, то производящая функция для числа требований в системе примет вид

в(Л — Лу) — у

где Ь — среднее время обслуживания требования. Это в точности совпадает с известной формулой Поллачека-Хинчина для производящей функции числа требований в обыкновенной системе Мс надежным прибором и одинаково распределенными временами обслуживания (см., например, [3]).

Автор выражает глубокую признательность профессору Л. Г. Афанасьевой за постановку задачи и полезные обсуждения и приносит благодарность рецензенту за ценные замечания, которые, безусловно, способствовали улучшению работы.

Работа выполнена при частичной поддержке гранта РФФИ № 10-01-00266-а.

х

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Gaver D.P.Jr. A waiting line with interrupted service, including priorities //J. Roy. Statist. Soc. 1962. B24. 73-90.

2. Марьянович Т.П. Однолинейная система массового обслуживания с ненадежным прибором // Укр. матем. журн. 1962. 14, № 4. 417-422.

3. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания. 5-е изд. М.: URSS, 2007.

4. Ушаков И.А. Надежность технических систем. М.: Радио и связь, 1985.

5. Smith W.L. Regenerative stochastic processes //J. Roy. Statist. Soc. 1955. 232. 6-31.

6. Севастьянов Б.А. Формула Эрланга в телефонии при произвольном законе распределения длительности разговора // 3-й Всесоюз. матем. съезд. М.: АН СССР, 1956. 58-70.

Поступила в редакцию 20.04.2012

УДК 519.6

О НИЖНИХ ОЦЕНКАХ СЛОЖНОСТИ СХЕМ В БАЗИСЕ АНТИЦЕПНЫХ ФУНКЦИЙ

О. В. Подольская1

Антицепной функцией называется характеристическая функция антицепи в булевом кубе. Множество всех антицепных функций образует бесконечный полный базис. В работе изучается сложность реализации булевых функций схемами в этом базисе. Доказаны нижние оценки порядка для сложности реализации линейной функции, функции голосования и почти всех функций от n переменных.

Ключевые слова: антицепная функция, булевы схемы, линейная функция, функция голосования.

The antichain function is a characteristic function of an antichain in the Boolean cube. The set of antichain functions is an infinite complete basis. We study the computational complexity

1 Подольская Ольга Викторовна — студ. каф. дискретной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

9 ВМУ, математика, механика, № 2

of Boolean functions over an antichain functional basis. In this paper we prove an asymptotic lower bound of order yfn on the computational complexity of the linear function, the majority function, and almost all Boolean functions of n variables.

Key words: antichain function, Boolean circuits, linear function, majority function.

1. Введение. Мы будем изучать сложность реализации булевых функций схемами из функциональных элементов в бесконечном полном базисе, состоящем из всевозможных булевых функций, которые принимают значение 1 только на попарно несравнимых наборах. Такие функции называются антицепными. Множество всех антицепных функций обозначается через AC.

Под сложностью схемы в базисе AC будем понимать число входящих в нее элементов. Через L(S) обозначаем сложность схемы S, через L(f) — наименьшую сложность реализации функции f схемами в базисе AC, наконец, через L(n) обозначим функцию Шеннона — наибольшую сложность реализации функций от n переменных. С этими и другими понятиями подробнее можно ознакомиться в работе [1].

Система антицепных функций полна, поскольку отрицание и конъюнкция лежат в AC, а они, как известно, образуют полный базис.

Линейную функцию x\ ® ... ® xn от n переменных будем обозначать ln(x\,... ,xn) или просто ln. Функцией голосования от n переменных назовем булеву функцию, которая принимает значение 1 на тех наборах, в которых число единиц не меньше чем а на оставшихся наборах — значение 0. Будем обозначать функцию голосования от n переменных mn(xi,... ,xn) или просто mn.

Когда мы говорим, что какое-то свойство выполнено для почти всех функций от n переменных, мы имеем в виду, что отношение числа функций, для которых это свойство выполняется, к числу всех функций от n переменных стремится к единице при n —> œ.

Базис AC изучался ранее в работах [2, 3]. Для функции Шеннона известны следующие оценки:

с • (n/ ln n)1/2 ^ L(n) ^ n + 1

для всех достаточно больших n и некоторой неотрицательной константы с.

Верхнюю оценку удалось улучшить в дипломной работе автора: L(n) ^ n. Нижняя оценка следует из доказанной в [2] оценки сложности схемы для линейной функции от n переменных порядка (n/ ln n)l/2. Ранее в [3] была установлена нижняя оценка сложности схемы для линейной функции от n переменных порядка n1/3.

Доказательство нижней оценки, приведенное в [3], основано на комбинировании двух методов. Первый из них — это известный метод подстановки констант. Второй метод, впервые предложенный в работе [3], связан с сужениями области определения функции. Более точная нижняя оценка доказана в работе [2] путем усовершенствования методов из [3].

В данной работе установлено, что для реализации линейной функции, функции голосования, а также почти всех функций от п переменных требуется по порядку не менее у/п элементов при п —оо, таким образом, улучшена нижняя оценка для функции Шеннона. Способ доказательства нижних оценок, предлагаемый в работе, состоит в развитии и модификации методов, использованных в [2].

2. Предварительные сведения. Будем называть булевым кубом Bn множество всевозможных наборов длины n с компонентами из B2 = {0,1}. Множество принадлежащих кубу Bn наборов, на которых функция f от n переменных принимает значение 1, будем обозначать через Nn(f ).

Под характеристической функцией множества наборов A Q BV? будем понимать функцию, принимающую значение 1 на тех и только тех наборах, которые лежат в множестве A. Таким образом, каждая функция, входящая в AC, есть характеристическая функция некоторой антицепи в булевом кубе соответствующей размерности. Константы 0 и 1, очевидно, входят в AC, а всякая антицепная функция, отличная от констант, зависит от своих переменных существенно. Множество AC замкнуто относительно операций подстановки констант и отождествления переменных.

В работе нам потребуется вероятностное распределение специального вида на булевом кубе Bn. Зададим вероятность произвольного набора булева куба а следующим образом:

Рп{а) =

Ca • (n + 1)

где \а\ — количество единиц в наборе а.

Разобьем булев куб на антицепи Ао,А\,...,Ап так: антицепь состоит из наборов, содержащих ровно Ь единиц. Количество таких антицепей п + 1. Назовем эти антицепи стандартными. Вероятность

произвольного набора в i-й стандартной антицепи равна

1

СП ■ (n + 1)

Л i АЛ — _

ra+1'

Ясно, что вероятность стандартной антицепи с номером £ равна = —тт, и тогда выполнено основное

п

свойство вероятности: ^ рп(Ак) = 1.

к=0

Рассмотрим произвольную антицепь в булевом кубе ВП, состоящую из в наборов: А = {а\, ...,а3}. Лемма 1. Для произвольной антицепи А = {а\, . ..,а3} над булевым кубом ВП

s 1

i=l Cn

Доказательство этого утверждения см., например, в [4].

и A над

Pn(A) <

Следствие. Для произвольной антицепи А над булевым кубом В2П выполнено неравенство

1

n+1

Доказательство. Пусть A = {ai, ...,as}. Тогда

s 1 1 1 Рп(А) = • --- £

сПа'\ (n + 1) n + 1'

i=i Cn

Посмотрим, что происходит с вероятностью множества единиц функции при отбрасывании несущественных переменных.

Лемма 2. Пусть у функции f (xi,... ,xn) переменные xs+i, ...,xn несущественные. Тогда

Pn(Nn(f)) = Ps(NS (fn-s)),

где fn-s — функция от s переменных, получаемая из f отбрасыванием ее n — s несущественных переменных.

Доказательство. Достаточно доказать утверждение для случая s = n — 1, тогда для любого s ^ n — 1 последовательно выведем

Pn (Nn(f)) = pn-i(Nn-i(fi)) = ... = Ps(N s(fn-s)).

В случае s = n — 1 отбросим у функции f(xi,...,xn) несущественную переменную xn. Получим функцию fi от n — 1 переменной. В нашем распределении

Pn(Nn (f ))= Pn(a).

7eN n(f)

Аналогично _

Pn-i(Nn-i(fi)) = Pn-i(P).

eeN n-1(fi)

При этом вероятность набора 7 = (71,... ,7ra_i) есть рга_ 1(7) = —тщ—. Для удобства введем обозначение

Cn-l'n

z = I7'. _ _

Рассмотрим сумму pn(Y0) + pn(Y 1). Имеем

11

Рп{70) + РпЫ) = , , +

Czn ■ (n + 1) Cn+1 ■ (n + 1)

1 + = сд+i = 1

П +1 VQ-C^+V П +1 c^-n

10 ВМУ, математика, механика, № 2

= Pn-l(Y),

где первое и последнее равенства получены по определению вероятности, а третье и четвертое — по свойствам биномиальных коэффициентов. Заметим, что условие 7 £ Nn-l(fi) равносильно тому, что 70,71 £ Nn(f), поэтому

Pn(N n(f )) = Pn-i(N n-l(h)).

Лемма доказана.

Введем еще несколько определений и обозначений, которые нам потребуются в дальнейшем.

Определение. Частичной функцией f (xi ,Х2, ■ ■■, xn) называется функция, определенная на подмножестве A единичного булева куба, f : A ^ Bn. Вне множества A функция не определена. Множество всех таких функций обозначается P2n(A).

Определение. Если A с B с Bn и f £ P^(B), то функция g £ P^(A), совпадающая с f на всех наборах из множества A, называется сужением функции f на множество A и обозначается через f

Обозначение. Сужение констант 0, 1 на множество A будем обозначать через 0\a, 1 \a■

3. Нижние оценки для линейной функции, для функции голосования и для почти всех булевых функций. Докажем общее утверждение о нижней оценке сложности схемы, реализующей произвольную функцию от n переменных в базисе AC, и выведем из этого утверждения нижние оценки порядка л/п для линейной функции, для функции голосования и для почти всех булевых функций от п переменных.

Для всякой функции f (xi, ■■■, xn) рассмотрим ar(f) — минимальное число, такое, что для любого подмножества переменных T мощности p ^ r этим переменным можно присвоить такие значения aix, ■■■,aip, где p ^ r, что для любого подмножества A с вп-р, имеющего вероятность pn-p(A) > ar(f), выполнено соотношение

f(xu^^ai!,■■■,aip,■■■,xn)\a / {0\a, 1\a}■

Лемма 3. Для всякого г ^ п — 3 справедливо неравенство аг(1п) ^

Доказательство. Рассмотрим линейную функцию от n переменных. Выберем любое подмножество переменных мощности p не больше r и рассмотрим подмножество A с Bn p, имеющее вероятность рп_р(А) > Фиксировав значения выбранного подмножества переменных нулями, получим линейную функцию ln-p.

Достаточно доказать, что ln-p (xi, ■ ■ ■ ,ah ,■ ■ ■ ,(цр ,■ ■ ■,x,n )\a / {0\a , 1\a }, где ah = ■■■ = aip = 0-

Предположим, что ln-p = 0^ Рассмотрим случай четного n — p■ Линейная функция принимает чередующиеся значения на стандартных антицепях. На Ao,A2,A4,■■■ ,An-p линейная функция равна нулю. Рассмотрим множество

A = U A2i ■

Вероятность этого множества равна рп_р(А) = + ^ Следовательно, для любого множества

А С , такого, что ¿га_рЦ = 0Ц, вероятность А будет не больше чем Противоречие.

В случаях нечетного п — р и константы 1 доказательство повторяет изложенное.

Аналогичная лемма формулируется и для функции голосования от п переменных.

Лемма 4. Для всякого г ^ п — 3 справедливо неравенство аг(тп) ^

Доказательство леммы для функции голосования проводится так же, как и для линейной функции, с той лишь разницей, что значения половины выбранного подмножества переменных следует фиксировать нулями, а другой половины — единицами.

Лемма 5. Вероятность события Р (<тг(/) ^ |) по случайной функции / от, п переменных при г = п/2 стремится к единице при п

Доказательство. Пусть f (х1,... ,хп) — случайная булева функция. Сначала зафиксируем подмножество индексов переменных мощности р ^ п/2 и зафиксируем нулями значения переменных с индексами из этого подмножества. Докажем для любого подмножества переменных мощности р ^ п/2, что при фиксировании их нулями вероятность того, что существует подмножество А с Вп-р, имеющее вероятность рп_р(А) > мала. Отсюда мы выведем, что вероятность того, что такое подмножество переменных существует, также мала.

Будем рассматривать f как функцию от оставшихся п — р переменных. Без ограничения общности будем считать, что это переменные Х1,..., хп-р.

Введем обозначение в = п — р. Рассмотрим разбиение куба В| на стандартные антицепи Ао,А1,...,А8. По определению вероятностного распределения р3 оно равномерно на стандартных антицепях.

Оценим Р — || >|) — вероятность события, что р5(Л^(/)) отличается от своего среднего

значения более чем на

Определим множество I С {0,...,«} так: I = {г \ г < или ъ > 1~1г1}> и ПУСТЬ 1Л = Я- Ясно, что

^Г" ^ 1 ^ Для достаточно больших 8. Определим также объединение антицепей

А = и Аг,

г/1

где Аг — стандартные антицепи. Тогда

n3(1) \ А = {] n3(/) п Аг. г/т

Заметим, что

Ясно, что

Ps(Ns(f )) - -

4

+

0 4 р3N3(/) п А) 4 р3(А) =

я

Поэтому Таким образом,

2 в + 1

4

в+1 я

1

4 -.

2(в + 1) ^ 8'

Г

Р.(Я'(П) - -

р.ттл)-1^-^-

> С1'

и достаточно оценить сверху последнюю вероятность, а именно вероятность того, что отклонение от среднего на центральных антицепях больше

Если такое отклонение имеет место, то хотя бы для одного к, такого, что ^ ^ ^ 1~1Г~1> веРно неравенство

зи) п Ак) -

1

>

1

8(в + 1 - я)

2(в + 1)

т.е. на одной из антицепей происходит отклонение от среднего больше, чем на д^руз^у, что не меньше, чем 20(8+1) • Оценим вероятность события

Р

рз^3и) п Ак) -

1

2(в + 1)

>

3

20(в + 1)

Для оценки воспользуемся следующим утверждением (см., например, [5]).

Теорема (следствие из неравенства Чернова). Пусть X = ¿1 + .. .+Ьп, где ¿г — независимые случайные величины из {0,1}. Тогда для любого е > 0 выполнено неравенство

Р{\Х - Е(Х)\ ^ е • Е(Х)} 4 2е- е/2} Е(х).

В нашем случае в качестве ^ выступают значения функции / в точках антицепи А^, где ^

к 4 Г^]. Величины ¿г равны единице с вероятностью | и нулю с вероятностью X — это сумма ^ ^г

С

£

г=1

математическое ожидание этой величины есть Е £ ¿г = • С3. Таким образом,

С

£ г=1

Р

р3 n3(и) п ак) -

1

2(в + 1) 11 ВМУ, математика, механика, №2

>

3

20(в + 1)

Р

ск

г=1

>

10

1 г<к 2

4 2е-Т•ск 4 2е

-т-2л

3

где т, X > 0 — некоторые константы. Мы оценили вероятность указанного отклонения на k-й антицепи при фиксированных значениях переменных величиной 2е-т . Ясно тогда, что для того чтобы оценить вероятность отклонения для антицепей по всему кубу, следует домножить эту величину на оценку количества антицепей s + 1, а для оценки вероятности события Р (оу(/) > §) добавить еще множитель 2га, оценивающий количество подмножеств индексов переменных мощности p, которые мы выбирали в начале доказательства леммы. Итак, получится оценка

где величина в правой части неравенства стремится к нулю при n —> ж, поскольку s ^ n/2.

Лемма 6. Пусть функция f(x\,...,xk) антицепная и существенно зависит от всех своих переменных. Рассмотрим функцию f '(xm+\,... ,Xk) = f (ci,... ,cm,xm+\,... ,Xk). Тогда либо f' зависит от переменных xm+i ,...,xk существенно, либо f' = 0.

Доказательство. От противного. Пусть существует набор (3 = (@m+\,..., Pk), такой, что f '((3) = 1, и, например, от xk функция f' не зависит существенно. Тогда f '(@m+\,..., Pk-i, 0)=f '(вт+i,..., Pk-i, 1) = 1.

Рассмотрим исходную функцию f. Ясно, что

f (сЪ ..., cm, вm+l, . .., Pk-1, 0) = f (cb ..., cm, вm+l, . . ., Pk-1, 1) = 1

Получено противоречие с тем, что f g AC.

Перейдем к доказательству ключевого утверждения, из которого будут следовать заявленные результаты.

Лемма 7. Пусть n,s,r g N, f — булева функция от n переменных. Пусть S — схема в базисе AC, реализующая /. Тогда L(S) > min{^, (s + 1)(1 — 0>(/))}-

Доказательство. Введем обозначение t = min{^, (s+l)(l—<тг(/))}. Доказывать будем от противного: предположим, что L(S) ^ t.

Рассмотрим схему S, будем считать, что она такова, что все входы элементов являются существенными для функций, реализуемых этими элементами. Введем на схеме естественную нумерацию элементов (см., например, [1]): ei,...,e^. Для каждого элемента ei рассмотрим функцию gei, реализуемую подсхемой схемы S с выходом ei, и множество переменных, которые подаются на вход, обозначим через Xei.

Определим некоторое множество переменных F. Будем строить это множество следующим образом. Вначале полагаем F = Начинаем обход элементов схемы в порядке нумерации. Для каждого элемента схемы ei смотрим, сколько элементов в множестве Xei \ F. Если \Xei \ F| < s, то полагаем F := F U Xei. Если \Xei \ F\ ^ s, то переходим к следующему по порядку элементу схемы. После того как пройдем один раз все элементы схемы, получим множество F, которое обозначим Fi. Так же совершим второй проход элементов схемы, получим множество F2. И так далее. Будем совершать проходы до тех пор, пока не получим Fk-i = Fk, т.е. новые переменные на k-м проходе уже не добавились. Ясно, что k ^ t, а \Fk\ < s ■ t ^ r. Полагаем F = Fk. Обозначим количество элементов в множестве \F\ = p.

Поскольку \F\ < r, то можно зафиксировать переменные из F значениями ai1 ,...,aip из определения ar(f), где p ^ r, и подать их на вход схемы. И будем рассматривать теперь схему S как схему от незафиксированных переменных. Тогда для любого элемента схемы S:

1) либо все переменные, которые подаются ему на вход, фиксированы;

2) либо у элемента не менее s входов, которые являются переменными, не входящими в F, а значит, не зафиксированы, а остальные входные переменные фиксированы. Тогда по лемме 6 получаем, что функция gei, реализуемая этим элементом, либо тождественно равна нулю, либо существенно зависит от не менее чем s переменных.

Для удобства обозначим ni = n — p. Рассмотрим наборы, в которых все переменные из множества F равны нулю. Они образуют подкуб В2П1. Рассмотрим вероятностное распределение рП1 на этом подкубе.

Мы будем доказывать, что для каждого i, 1 ^ i ^ t, можно найти множество Ci С В2,1, такое,что

PnAc^^i-i-j^j (1)

и

gei\Ci = const, . . .,gei-i\Ci = const. (2)

Рассуждение будет проходить по индукции.

Положим Co = В2П1. Тогда условие (1) выполнено.

Пусть нашли множество С—1, такое, что выполнены условия (1) и (2). Рассмотрим элемент е%. Для него возможны 2 случая:

1) либо все переменные, которые подаются ему на вход, принадлежат множеству ¥, а значит, они фиксированы некоторыми значениями и функция ден — константа на множестве С— 1. Тогда полагаем Сг = Сг—1;

2) либо не менее в его входов являются переменными, не лежащими в ¥, а остальные переменные, которые подаются ему на вход, фиксированы. Тогда по лемме 6 функция ден

(a) либо тождественно равна нулю,

(b) либо зависит не менее чем от в переменных существенно. В случае 2(а) полагаем С г = С—1.

Случай 2(Ь) изучим подробнее. Мы рассматриваем функцию от П1 переменных, не менее в из которых существенные. Оценим сверху число наборов, на которых функция ден обращается в единицу. Базис АС замкнут относительно подстановки констант, поэтому, если отбросим у ден несущественные переменные, получим равную ей функцию Ю(хг1 ,...,Хг3) € АС, существенно зависящую не менее чем от в переменных, которые являются входными переменными схемы, поскольку все элементы ек, где к < г, реализуют константы.

По лемме 2 имеем

Рт N п1 (дег )) = р3N3 (Ю)).

Далее, поскольку Ю € АС, то N3(Ю) — множество попарно несравнимых наборов, т.е. антицепь. Значит, согласно следствию из леммы 1, справедлива оценка

Итак, в условиях случая 2(Ь)

положим С г — Сг—1 \ Nп1 (д). Тогда РпЛСг) = РпЛСг-1 \ Л^ЧЫ) ^ РпЛСг-1) ~ РпЛ^1 (<7е,)) ^ РпЛСг-х) ~ 1

в+1

Таким образом строим множества Сг, по индукции находим С1. Для С1 будем иметь

РпЛСг) ^ рпЛСо)--7Т = 1 - 1

s +1 s +1

Следовательно, pni(Ct) > ur(f). Функция get — константа на множестве Ct. Получаем противоречие с определением ar(f). Значит, L(S) > t. Теорема доказана.

Завершим доказательство нижних оценок. Рассмотрим схему, реализующую линейную функцию или функцию голосования. Положим s = = п — 3. Получим L(S) > Для схем, реализующих

почти все булевы функции от п переменных, положим s = |_v/2rzj, г = п/2. Тогда получим, что L(S) > Автор выражает признательность О. М. Касим-Заде за внимание к работе.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Дискретная математика и математические вопросы кибернетики. Т. 1 / Под общей редакцией С. В. Яблонского и О. Б. Лупанова. М.: Наука, 1974.

2. Касим-Заде О.М. О сложности реализации булевых функций схемами в одном бесконечном базисе // Дискретный анализ и исследование операций. 1995. 2, № 1. 7-20.

3. Касим-Заде О.М. О сложности схем в одном бесконечном базисе // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1994. № 6. 40-44.

4. Айгнер M. Комбинаторная теория. М.: Мир, 1982.

5. Tao T., Vu V. Additive Combinatorics // Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 105. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2006.

Поступила в редакцию 15.06.2012

12 ВМУ, математика, механика, №2