Аналитическая классификация ростков голоморфных векторных полей с вырожденной элементарной особой точкой Текст научной статьи по специальности «Математика»

АНАЛИТИЧЕСКАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ РОСТКОВ ГОЛОМОРФНЫХ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ С ВЫРОЖДЕННОЙ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ОСОБОЙ ТОЧКОЙ*

С.М. Воронин, Ю.И. Мещерякова

Исследуются изолированные вырожденные элементарные особые точки ростков голоморфных векторных полей в (С2,0). Получена их аналитическая классификация; показано, что аналитическая классификация имеет в 2 раза больше модулей (числовых и функциональных) по сравнению с орбитальной аналитической. Доказана теорема о секториальной нормализации.

Ключевые слова: вырожденная особая точка, голоморфное векторное поле, аналитическая эквивалентность ростков.

1. Введение

Пусть V — класс ростков голоморфных векторных полей в (С2,0) с изолированной вырожденной элементарной особой точкой 0 (т.е. таких, что линейная часть ростка в нуле вырождена, но не все ее собственные значения равны 0).

Ростки V и V из V называют аналитически (формально) эквивалентными, если существует локальная голоморфная (формальная) замена координат Н в (С2,0), переводящая один росток в другой: //' • г г о //.

Ростки V и V из V называются орбитально аналитически (формально) эквивалентным,и, если существует локальная голоморфная замена координат, переводящая фазовый портрет одного ростка в фазовый портрет другого (если существует формальная замена координат Н и формальный степенной ряд к с ненулевым свободным членом такие, что Н'-V = к-уоН).

Орбитальные аналитическая и формальная классификации ростков из V хорошо известны ([2], см. также [1, с. 29, 33]). В настоящей работе получена аналитическая классификация ростков из V; оказалось, что эта класификация имеет в два раза больше модулей (как числовых, так и функциональных) по сравнению с орбитальной аналитической.

Отметим, что такое же соотношение для модулей аналитической [6; 7] и орбитальной аналитической ([3], см. также [1]) классификаций было получено для резонансных седел.

* Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 03-01-00270), СШЭР (грант № 1Ш-1-2358-МО-02).

Для типичных вырожденных элементарных особых точек аналитическая классификация рассматривалась в [8]: там приводится ее полное описание, однако лишь со схемами доказательств. В настоящей работе рассматривается общий случай и приводятся полные доказательства всех утверждений.

Наконец, в общем случае, недавно аналогичный результат получен в работах [4; 5] но другим методом. В указанных статьях для каждого ростка

V из V исследуется аналитическая классификация ростков, пропорциональных V, с учетом известных результатов [2] об орбитальной аналитической классификации ростков из V, это позволяет получить аналитическую классификацию ростков всего класса V. В настоящей же работе основной является теорема о секториальной нормализации ростков из V. Построив с ее помощью нормализующий атлас (см. [1]) для ростка V € V, мы определим инварианты аналитической классификации ростка V по функциям перехода этого атласа. Отметим, что теорема о секториальной нормализации имеет и самостоятельное значение и является обобщением аналогичной теоремы для орбитальной эквивалентности (см. [1]).

1.1. Формальная классификация. Классы Ур.\.а и

В работах [1; 2] показано, что росток из V формально орбитально эквивалентен одному из ростков вида уР!\ = х-^ + А € С. Обозна-

чим через а класс ростков, формально орбитально эквивалентных уР!\.

Теорема 1 (о формальной классификации). Каждый росток из Ур5д формально эквивалентен одному из рост,ков Ур.\.а = ур.\ • а(у), р

где а(у) = ^ ак'У , «о Ф 0, ак € С, к = 0,1,... ,р.

к=О

Через д обозначим класс ростков из V, формально эквивалентных

Ур, А,а-

Следствие 1.1. Для любого N € N и любого V € Ур,\,а существует V € Ур,\,а> такой, что Ъ аналитически эквивалентен V, и $Ъ = $Ур^а.

Теорема 1 и ее следствие, могут быть значительно усилены.

оо

Определение 1. Степенной ряд ^2 1к(х)ук с коэффициентами, голоморф-

к=О

ными в некоторой окрестности нуля (одной и той же для всех к), будем называть полуформальным рядом,; отображение, компоненты которого -полуформальные ряды, будем называть полуформальным отображением.

Обозначим через 1/ А а класс ростков из V с нормализованной

(2 р + 1)-струей:

^ -2р+1 -2р+1 ю € ^р,Х,а ^ За ю — За юР,Ка-

Теорема 2. Для, любого ростка V € V' А а существует и единственна формальная нормализующая замена Н такая, что ^+1Н = 1(1. Эта замена является полуформальным отображением и сопрягает ростки Ур.\.а и V:

Н' • '0рХа = V о Н.

Следствие 2.2. Для любого ростка V € Ур.х.а и для, любого N € N существует росток V, аналитически эквивалентный V, такой, что

Ъ{Х, у) - УрХа(х, у) = + °(уМ+Р}^ У ^ 0 ’

Определение 2. Полуформальную замену координат Н из теоремы 2 будем называть нормированной; через 1/^А а при N > р + 1 обозначим класс ростков V, удовлетворяющих условию (1).

Замечание 1. В теореме 2 говорится, что из переменных (ж, у) „плохой11 является только переменная у: по ж формальная нормализующая замена ана-литична. Соответственно, следствие 2 позволяет аналитическими заменами нормализовать Ж-струю поля V € 1/ А а не только в точке 0 (как утверждает следствие из теоремы 1), но и во всех точках сепаратрисы {у = 0}.

Замечание 2. Отметим, что 1/Аа С Ур>л>а, и, поскольку N > р + 1, то

Ур\а С У'рХа- Поэтому, по теореме 2, для любого V € Ур\а существует и

единственна нормированная нормализующая замена Н для ростка V. Более того для полуформального отображения Н из теоремы 2 можно получить несколько более точную асимптотику:

Н(х,у) = (х,у) + 0(уТ*~р,уТ*). (2)

Доказательство. Полное доказательство теоремы 1 приведено в [9]. Это же доказательство, применительно к классу V' ^а, дает и доказательство теоремы 2 вместе с утверждением единственности нормированной полуформальной нормализующей замены и оценкой (2) для нее. □

1.2. Секториальная нормализация

Пусть а € (^! р) • Для ] £ К, 1 < } < 2р рассмотрим области Q,j = {(ж, у) € С2 : |ж| < е, 0 < |у| < е, | &щу + ^ — ^-\ < а}. Систему областей Щ} (7 = 1,... ,2р) будем называть хорошим покрытием (см. [1]) области {|ж| < е, 0 < |у| < е}; параметры а и е будем называть, соответственно, раствором и радиусом, хорошего покрытия.

Определение 3. Пусть 17 — окрестность нуля в С, Б С С — сектор конечного радиуса с вершиной в нуле. Область П = 17 х Б будем называть

ОО

векториальной областью. Полуформальное отображение II V Д(ж)уй

к=О

с голоморфными в и коэффициентами будем называть асимптотическим для голоморфного отображения ІЗ” : ГЇ —> С2 на секториальной области

П

П = 17 х Б, если для любой частичной суммы //„ = ^ Ікіх)ук имеем

к=О

Н(ж, у) - Нп(х, у) = о(уп) при (ж, у) Є О, у ->• 0.

Теорема 3 (о секториальной нормализации). Для любого ростка V € и любого хорошего покрытия П = {%} с заданным, раствором и достаточно малым радиусом, существует единственный набор голоморфных отображений Ну : 0,у ^ Ну(0,у) С С2 таких, что:

1° Ну сопрягает на, росток V и его формальную нормальную форму Ур, А,а •’

Щ • УР,х,а = V о Hj на пг (3)

2° Нормированная формальная нормализующая замена Н ростка V является асимптотической для Ну на, О,у.

Доказательству теоремы о секториальной нормализации посвящен параграф 2.

1.3. Аналитическая классификация

Вместе с аналитической эквивалентностью будем рассматривать также строгую эквивалентность.

Определение 4. Ростки V, V € а назовем строго эквивалентными, если они эквивалентны, причем сопрягающая их замена координат имеет вид Н(ж, у) = (ж + о(1), у + о(ур+1)).

Замечание 3. Строгая эквивалентность удобнее эквивалентности тем, что формальная нормализующая замена единственна. Каждый росток из а, не только формально эквивалентен своей формальной нормальной форме '°р,\,а,1 н0 и строго формально эквивалентен ей.

Пусть Л4Ру\ — пространство всех наборов (с, ф, ф) таких, что с £ С?; Ч> = ^р), Ф = (Фи--- ,Фр), 4>з и Фз голоморфны в (С,0); ^-(0) =

^■(0) = 0, <р'к(0) = 1, Ук < р, <р'р(0) = ехр(27г*А).

Пусть ра - наибольший общий делитель р и всех тех к € {1, • • • ,р}, для которых ф 0, па = р/ра- Два набора (с, ф, ф) и (с, ф, ф) из МРу\ будем называть эквивалентными, если для некоторого С € С?, С = (С\,... , Ср) И некоторого s€Z,0<S<pa

Ч+вПа = С] ' С]1 Фз+впо(^) = С^'-Ы+вПо '^+8Па (г) = Ф{Су М (4)

(нумерацию считаем циклической). Пусть МРух.а — пространство классов эквивалентности из Л4Ру\.

Теорема 4 (об аналитической классификации ростков из Ур5А5а). Существует такое отображение

т : Ур,а,а ->• МрЛа, т : и н тв,

что справедливы следующие утверждения:

1° Эквивалентность и эквимодальность. V ^ V <=} ту = т^.

2° Реализация. Для любого т € ^Р,\,а существует такое V € Урд^, чт,о т = т„.

3° Аналитическая зависимость. Для любого аналитического семейства у£ рост,ков из Ур5а,а некоторые представители це модулей тщ также образуют аналитическое семейство.

Эта теорема является точным аналогом известной теоремы об орбитальной аналитической классификации ростков из УРу\ [2; 1, §3, с. 33]. Отметим, что количество модулей в задаче об аналитической классификации увеличилось вдвое по сравнению с задачей об орбитальной аналитической классификации. Действительно, орбитальная аналитическая классификация имеет р + 1 числовых (один формальный модуль Лир модулей с = (с1,... , Ср) аналитической классификации) и р функциональных модулей аналитическая классификация имеет 2р + 2 числовых (р + 2

формальных модулей Л, а,а,... ,ар и р аналитических модулей набора с) и 2р функциональных модулей {Фз}-

Все три утверждения теоремы 4, для краткости, заменим одной фразой: „Пространство МРу\уС1 является пространством модулей аналитической классификации ростков класса Ур\аи- Тогда имеет место следующая

Теорема 5. Пространство А4Ру\ является пространством модулей строгой аналитической классификации ростков класса 1/^А а.

Теоремы 4 и 5 будут доказаны в 3.2 - 3.5, при этом теорема 4 будет получена из теоремы 5. Отмеченная выше неединственность нормализующей замены в задаче об аналитической классификации объясняет взаимосвязь пространств А4Ру\ и МРухуа- пространство МРу\уС1 получается из пространства Л4Руа факторизацией по отношению эквивалентности (4), происходящему из этой неединственности.

2. Доказательство теоремы о секториальной нормализации

В этом параграфе мы докажем теорему 3.

2.1. Схема доказательства

Решение Ну функционального уравнения (3) с данным V = + Д

будем искать в виде Н^ = 1с1 + 1п, Ь = (Л,д); векторы ДиЬ будем называть, соответственно, невязкой и поправкой. Выделяя в (3) все линейные относительно поправки члены и собирая их в левой части равенства, перепишем это уравнение в виде

СЪ = ЩЪ, А) (5)

с линейным оператором С в левой части и нелинейным оператором 71 справа. Пренебрегая в уравнении (5) членами второго порядка малости относительно невязки - поправки, получили так называемое гомологическое уравнение:

СЪ. = А. (6)

Пусть Ф = — оператор, решающий уравнение (6), тогда уравнение (5)

при заданном А сводится к уравнению

Ь = ЗД, (7)

где 5(Ь) = Фо'7?.(Ь, А). Оказывается, при надлежащем выборе метрического пространства Л4 = {Ь} оператор Б действует из Л4 в Л4 и является сжимающим. Это гарантирует существование и единственность решения Ь € Л4 уравнения (7), что и доказывает первое утверждение теоремы 3. При этом условие Ь € Л4 гарантирует выполнение некоторых оценок на Ь, аналогичных (2). Варьируя Ж, из этих оценок и единственности решения получим доказательство второго утверждения теоремы 3.

Полное доказательство теоремы приводится в пунктах 2.2 - 2.11 (случай ^ = 1) и пункте 2.12 (^ > 1). В пункте 2.2 выводится гомологическое уравнение и в явном виде выписаны операторы Си 71. Гомологическое уравнение исследуется в пунктах 2.3 - 2.7. В пункте 2.8 приведены некоторые оценки, используемые затем в пункте 2.9 для оценок оператора 71 (его нормы и липшицевости). Сжимаемость оператора Б (и доказательство первого утверждения теоремы 3) получены в 2.10. Второе утверждение теоремы доказано в 2.11.

2.2. Гомологическое уравнение

Пусть ш(у) = 1^хуР ■ В обозначениях из пункта 2.1 функциональное уравнение (5) для поправки Ь = (Л, д) имеет вид

(х (1 + Ых) + ш(у) Н'у) а(у) = (х + /г) а(у + д) + Ах (хд'х + и (у) (1 + д'у)) а(у) = ш(у + д) а(у + д) + Д2,

где Ау = Ау(х + /г, у + д), А = (Дь Д2), /г = /г(ж, у), д = д(х, у).

Собрав в левой части члены, линейные относительно поравки Ь = (И,д), перепишем систему в виде

(хЫх + ш{у)к'у - Н)а{у) - ха’(у)д = Пх[Аъ /г, д)

(хд'х + и(у)ду)а(у)-д'(у) д = 112^2,11, д],

где д(у) = а(у)ш(у) и 72-1, 72г содержат все нелинейные компоненты:

72-1 [Дх, Л, д] = А\ + 72ц + 72-12,

72ц = Л, • (а(у + д) - а(у)),

П12 = х ■ (а(у + д) - а(у) - а’(у)д), (10)

72-2 [Дг; 11, д] = Д2 + 72-22,

7222 = д(у + д) - д(у) - д’(у) д.

Соответствующее гомологическое уравнение (6) из пункта 2.1 в развернутом виде запишется как система:

Г {хк'х+ш{у)Ь'у-к)а{у)-ха'{у)д = Аъ

\ {хд'х + ш{у) д'уЫ’у) - д'{у) д = а2-

Таким образом, линейный оператор С из равенств (5), (6)

определяется левой частью системы (11), а нелинейный оператор 72 = (721,722) из (5) определяется формулами (10).

Исследование системы (11) будет проведено в следующем пункте.

2.3. Редукция гомологического уравнения к вспомогательному уравнению

Рассмотрим вначале второе уравнение системы (11). Отметим, что функция д(у), очевидно, удовлетворяет соответствующему однородному уравнению. Полагая д = дкр и подставляя это во второе уравнение системы (11), получим для неизвестной функции (р уравнение

х (р'х + ш (р'у = 82,

(12)

где 62 = A2/(aq).

Сделаем в последнем уравнении замену переменной £ = А(у), где а(у) = + A In у. Так как А'(у) = то ш(у) ^ = J?, и уравнение (12)

принимает вид

хф’х+ (13)

где Ф(х,£) = <р(х,у), 8(х,£) = 82(х, у), £ = А(у).

Это уравнение будем называть вспомогательным; оно исследуется в пункте 2.4.

Первое уравнение системы (11) так же сводится к вспомогательному уравнению. Действительно, подстановка h = ф • ехр(А(у)) сводит его к уравнению

хф'х + шф'у = Sl2 (14)

с- (Ai+xa'(y)g) ехр(Л(и))

с правой частью д\2 = Л— , где g - решение второго уравне-

ния системы (11). Та же замена приводит это уравнение к уравнению вида (13).

2.4. Существование и единственность решения вспомогательного уравнения

Верхней векториальной областью с параметрами /3, е, R, (5 G (7г/2р, 7г/р), е > О, R > 1 будем называть область

П = 0(/3,e,R) = {\х\ < е} х D(/3, R), где D{P,R) = {С : |arg£ - || < p/3, max{| Re£|, Im£}} > R}.

Следующая лемма дает существование и единственность решения вспомогательного уравнения на области такого вида.

Лемма 1. Пусть функция 8 голоморфна в некоторой верхней векториальной области П и для, некоторого s > 1 удовлетворяет оценке

8(х, £) = 0((lm£)-s) при I in г +-х. (i,()efi. (15)

Тогда в этой области существует и единственно решение уравнения (13), нормированное условием

ф(х,£)=о( 1) при Im£ —> +00, (i,()efi. (16)

Это решение дается формулой

+гоо

Ф(х,0 = ~ J ~8{xe\i + t)dt. (17)

о

Доказательство. Докажем вначале единственность. Для этого положим «(£) = ф(хе+ £). Тогда из (13) следует д|«(^) = 5(же*,£ + £). Интегрируя это равенство вдоль луча [0,+гоо] и учитывая (16), получим для решения ф уравнения (13) представление (17).

С другой стороны, при условии (15) интеграл в правой части равенства (17) сходится, так что функция ф корректно определена. С помощью оценок Коши из (15) легко получить и равномерную сходимость на компактных подмножествах П интегралов от производных; применение стандартных теорем о дифференцируемости по параметрам дает тогда голоморфность (р на О и возможность дифференцирования под знаком интеграла. После этого проверка выполнения равенства (13) тривиальна. Оценка (16) очевидно следует из (15), поскольку 5 > 1. □

Замечание 4. Несколько необычный вид области П в этом пункте объясняется очень просто: для таких областей нет проблем с выбором пути интегрирования.

2.5. Оценки решений вспомогательного уравнения

Пусть П = П(/3, е, Е) — область из пункта 2.4. Рассмотрим пространство В8, состоящее из голоморфных на О функций 8 с конечной нормой ||5||5 = Бир |<5(ж, £)| • |£|5. Определим оператор #2 : 8 ^ ф равенством (17). п

Лемма 2. Оператор #2 действует, из В3 в В3-\ и ограничен:

ЭС = С(Р,з) : ||МЬ-1 <С\\6\\8.

Доказательство. Пусть ||5||5 = 1; тогда |<5(ж,£)| < |£|-5 и из (17) следует

+оо

- / |£-Нт|«- (18)

О

Пусть ( = !! + !», В случае, когда &тg£t € [тг / 4, 37г / 4], имеем у/2 V >

|£| и интеграл в (18) оценим так:

+ СЮ +СЮ 5_!

[ [ Г^ = —т*1-8 < ^тК!1"8-

3 |£ + *т|5 ] |г! + г|5 5 — 1 5 — 1

о о

В противном случае имеем |ал^£ — 7г/2| € (я/4,р/3), так что \и\ > с|£| для некоторой константы с = с(/3). Тогда интеграл в (18) можем оценить

следующим образом:

+оо +оо

dr [ dr , 1_s Г dr 11—s

|C+T|S J [и2 + (v + r)2)s/2 J (l+r2)s/2

о 0 v/\u\

+00

где const = c1-s f , %»/2 • Из этих двух оценок следует, что произведение

—оо

Иж,С)||£|1-5 ограничено некоторой константой, зависящей лишь от s и /3, что и требовалось. □

2.6. Свойства выпрямляющего отображения А. Стандартные области fle.R

Пусть а(у), ш(у) = i^xyp ~ параметры формальной нормальной формы и пусть по-прежнему q{y) = а(у)ш(у). Выберем некоторое ра > О так, чтобы функции и ш(у) были голоморфными на круге {|?/1 < ро}. Тогда для некоторых сі, С2 > 0 справедливы оценки

ci<|a(y)|<c2 псп

ci|y|p+1 < \q(y)\ < с2|у|р+\ |у| < ро-

Пусть Т>£>а = {у : |у| < є, argу Є — а, ^ + а)} - секториальная область.

Тогда £ = А(у) = + A In у - выпрямляющее отображение на T>£)U для

векторного поля ш = ш(у)-щ: А!(у)ш = щ.

Для заданного а Є (^, |) выберем а1, /З Є (а, так, что а1 > /3; пусть £>(/3, Д) - область из пункта 2.4.

Лемма 3. 1° Зрі Є (0, ро); До > 1 такие, что А инъективно на Vо := *Dpi,а' > U

А(Т>о) э i>i3,Ro ='■ Va

(и, в частности, на Vо определено обратное отображение A: Vо T>q). 2° УД > Д0 Зр = p(R) > 0 : А-1(ЩК) э Vp,a.

3° Для, некоторых положительных констант сз, С4 справедливы оценки:

с3|уГр < |А(у)| < с4|у|_р на Х>0 ,9т

с3|СГ1/р<|А-1(С)|<с4|С|-1/р на Т>о- { }

Доказательство. Чисто техническое. □

Начиная с этого места, параметры р, А, щ (т.е. коэффициенты многочлена а) формальной нормальной формы будем считать фиксированными.

Зафиксируем также раствор а секториальных областей и соответствующие параметры а', /3, До и р\ из последней леммы. Через Пе5д будем обозначать произведение {|ж| < е} х Т>ц, где £>д = А^1(Т>(/3, К)), К > Щ, е > 0. Из второго утверждения леммы 3 следует, что для любого е > 0, К > Ко область ^е,к содержит некоторую секториальную область типа (см. п. 1.2) при 3 = 1 раствора а и достаточно малого радиуса. Поэтому теорему 3 достаточно доказать для областей вида Ое5д, называмых ниже стандартными.

2.7. Решение гомологического уравнения в области Пе д

Пусть П = Ое5д - стандартная область. Для любого N > 0 рассмотрим

пространство В\. состоящее из голоморфных на О функций (р с конечной

нормой ||<ур||лг = зир\(р(х, у)||у|-ЛГ. Пусть П = {(х,А(у)) : (ж, у) € О}; рас-п

смотрим оператор „замены переменой" Z : (р = ср(х, у) ^ ф = ф(х, £) = ср(х, А^1(£)) и операторы умножения С: (р ^ крд, (^2 : (р ^ скрд. Следующая лемма очевидна в силу оценок (20) и (19).

Лемма 4. 1° - биекция В у на Вм+\+р, г = 1,2,

2° Z - биекция, В\ на Т/р,

3° операторы С,^ : В\ ^ В]\г+р+ъ ^ : В\ ^ В^/р,а также обратные к ним,, ограничены; нормы всех этих операторов не превышают, некоторой константы, зависящей только от, N (и, па,ра,м,ет,ров формальной нормальной формы).

2.7.1. Решение второго уравнения системы гомологических уравнений

В соответствии со схемой редукции из пункта 2.3, по лемме 1, решение д второго уравнения системы (11) на области П существует, если 82 € В^^р, N > р + 1, и единственно, если его искать в классе В\. Это решение определяется цепочкой Д-2 л'-_> •-> 8 = Z8'^1 ^ ф = #2$ <Р =

Z^lф д = где #2 - оператор из п. 2.5. Обозначим через #2 оператор, решающий второе уравнение системы (11), так что #2 : Дг ^ д- Тогда Фг = Я\ ° У- 1 о Ф2° У ° и из лемм 2, 4 следует

Лемма 5. Оператор #2 действует из В у - Р в В\ и ограничен:

ЗС = С(М) : УД2 € Вм+Р ||Ф2Д2|к < С||Д2|к+р.

2.7.2. Решение первого уравнения системы гомологических уравнений

Пусть в системе (11) Дх € В\. Д2 € В\ . р. По лемме 5 для решения д второго уравнения имеем д € В\. так что функция Д12 = (Д1 + кд)/а,

к = ха'(у) также принадлежит классу В\. Определим, в соответствии с пунктом 2.3, функции ф и 8\2 и в (14) сделаем замену переменных £ = А{у). Тогда для функций ф = Еф и 8\2 = ^12 получим уравнение

хф'х + ф'^ = ^12, (21)

которое решается также, как и уравнение (13). К сожалению, функции ф и 8\21 вообще говоря, не попадают ни в один из классов В8. Заметим, однако,

что для функций Л = ЯЛ и А12 имеют место равенства

Цх, О = Ф(х, £)е?, А12(ж, С) = С)е?• (22)

Поскольку на асимптотические равенства (15), (16) наличие множителя никак не влияет, то, по лемме 1, получим существование (в предположении В\. А2 € В\ -X |>1) решения к первого уравнения системы (11), а также единственность решения (в классе Вм) и формулу для его вычисления (она получается из (17) после замены (р на ф и 8 на £12)- Используя (22), получим из нее окончательно для функции к = Zh формулу

гоо

Л(ж, ^) = А12(же*,^+ ^)е_*Л, (23)

о

где А12 = Я А12. Определим оператор #1 : А12 Ь, формулой (23).

Лемма 6. Оператор #1 действует из В3 в В8-\ и ограничен.

Доказательство, в точности такое же как и леммы 2, поскольку |е*| = 1 при Ые£ = 0. □

Пусть, наконец, #1 : Д12 •-> Н ■■■■■■■■■■ оператор, решающий уравнение хЫх + юЫу = Д12. Поскольку #1 = Z^lФlZ, то из лемм 4 и 6 немедленно получим

Следствие 5.3. Оператор #1 действует из В\ в В \ /( и ограничен.

2.7.3. Оператор Ф = £-1

Рассмотрим оператор I!, действующий из Вм х Вм в Вм по формуле Е(А1,^) = (Д1 + х а1 (у) д)/а. Определим, наконец, оператор #1 формулой

Ф1(ДЬ Д2) = Ф1 ° £(Дъ #2(Дг))-

В соответствии со всеми предыдущими построениями, оператор Ф = (Ф1, Ф2) : (Д1,Д2) ^ (Л, д) решает систему гомологических уравнений (11)

(т.е. является обратным к оператору С из пункта 2.1) и для него справедливо следующее

Предложение 1. Оператор Ф действует, из Вм х В^+р в В м-р х Вм и ограничен:

2.8. Предварительные оценки

В этом пункте будут приведены некоторые оценки, которые потребуются в дальнейшем для исследования нелинейного оператора 71.

2.8.1. Оценки функций, определяемых параметрами формальной нормальной формы

Пусть ро из пункта 2.6, такова что ш, 1 /а голоморфны в точках круга {|у| < ро}, и справедливы оценки (19). Следующие утверждения леммы очевидны:

Лемма 7. Пусть гц(у, Ь, д) = Н(а(у + д) — а,(у)), гх2(ж, у,д) = х(а(у + 9) - а(у) - а’(у)д), г22(у,$) = д(у + д) - д(у) - д (у)до- Тогда существует константа С\ такая, что для всех х, у, |ж| < 1, |у| < ро/2 и любого 8,

О < 8 < ро/2 имеем:

1° из условия \д\ <8, Щ <8 следует,

Иі(у,М)І < Сі\к\\д\, |гі2(ж,у,5>)| < Сг\д\\ \г22(у,д)\ < Сг\д\2, (25)

2° из условия \д^\ < 8, |/^| < 8, г = 1,2 следует,

|щ(у, /11,51) -Ш(у,/12,52)1 < Сг\к1 — Л211^711 - Щ\д1 521, \гМх,у,дг) -Г12(ж,у,5>2)| < Сх Ц^]2 - |5>2|2|, (26)

к22(у,51) ^22(у 152) | < Сх 11^7112 - Ы21 .

2.8.2. Оценки для невязки

Пусть V € Ур\а, V — Ур,А,а = А = (Ах, А2). В соответствии с определением класса Ур.\.а это значит, что А\(х,у) = 0(ум), Д2(ж,у) = 0(ум+р), при у —у 0. Отсюда следует, что существуют такие константы С2,ео, что при всех (ж,у) € С2, |ж| < £о, |у| < £о справедливы оценки

ЗС = С(АГ) : УДі Є В\. Д2 Є Вк+Р

тах{||/г||лг_р, \\д\\и} < С • тах{11Д11|лг, ||Д2||лг+Р}-

(24)

|А і(х,у)\<С2\у\м,\А2(х,у)\<С2\у\м+р

(27)

^Д!(*,у)| < С2\у\м, 1^А2(ж,у)| < С2\у\м+Р

(28)

||а1(^)1<с2ы-,||л2(^)|<с2|„|—. (»,

Отметим, что константы £о, С*2 зависят только от ростка v € Vp\a-

2.9. Оценки оператора 1Z

В этом пункте мы покажем „ограниченность11 и липшицевость оператора TZ. Пусть П = 0,£.в, - стандартная область, В\ - нормированное пространство из пункта 2.7. Положим р = p(R) = sup{|y| : (ж,у) € в

соответствии с леммой 3,

p(R) -> 0 при R -> +оо. (30)

Положим е* = min{£o, pa, 1}, где £о _ из пункта 2.8.2, а ра - из пункта 2.6. Пусть £,/) е (0,£*/2), П = Q£j_r, р = p(R). Рассмотрим пространство В\ = В м-р х Bn с нормой

IK^fiOlliV = max{|/i|jv_p, \g\N} .

Пусть M-d ={h € B\ : ||h||jv <d} замкнутый шар в B*N радиуса d. Лемма 8. Пусть N > р + 1, а параметры, d и р таковы, что

8 = dp < е/2. (31)

Тогда существуют некоторые константы > 0; к = 3,4, 5, 6; не зависящие от, pud, т,акие, что 1° пусть d! = Сз + C^d?p. Тогда

ЩМ%)СМ%+Р; (32)

2° отображение 1Z на шаре М.^ липшицево с константой L = р(С§ + Cq d)

V h1, h2 G M.% : ||^(h1)^^(h2)||Jv+p<L||h1^h2||Jv. (33)

Доказательство. При (ж, у) € О имеем |у| < р < 1, так что

\h(x,y)\ < ||/1||лг-Р|уГ-р < dpN~p < dp = 8 < £/2,

\g(x,y)| < Iblklyl^ < dp1*-1 < dp = 8\p\.

Следовательно, |ж + h(x,y)\ < £*, |y + g(x, y)| < e* и также |y + g(x, y)| < 2|y|. Значит, мы можем использовать формулы (27) для оценки слагаемых

Аэ и формулы (25) - для оценки слагаемых 71^. Их применение дает для компонент , %2 оператора %:

\\Пг(Л,5)||лг < С22м + С\ё2ры-р + Сгё2рм\

\\П2(Н,д)\\м+р < С22у '+ С\(Ррх

так что достаточно положить Сз = С2 • 2м+Р, С4 = 2С\. Аналогично для доказательства липшицевости, для любых двух точек И1, И2 € М)'. V = (Лг,5гК* = 1,2, получим |/^| < 6, \д^\ < 5, \х + Нэ{х,у)\ < е0, \у+_д^(у)\ < £0-Тогда из оценок (28), (29) получим оценки разностей |Д^ —Д2|, Д*- = Ау'Н1, 'Нг = + Ьг, а из оценок (26) - оценки разностей — 72^-(Ь2). В

результате получим (33) с константой Ь = р(С15 + С$ё), где = 2С2, Съ = ЪСъ ' □

2.10. Сжимаемость оператора Б. Существование решения Ь системы (5)

Напомним, что при заданной невязке Д оператор <5 определяется равенством Б : Ь Ф о ЩА, Ь), где Ф - оператор, решающий гомологическое уравнение (см. п. 2.1). Следующая лемма является очевидным следствием леммы 7 и предложения 1:

Лемма 9. Пусть параметры, рис! удовлетворяют условиям (31). Тогда оператор Б отображает шар М.^ в шар Л4^„, ё" = Сё' и является лип-шицевым на М.$ с константой V = СЬ.

Напомним, что ё! = Сз + С^ё?, Ь = р(С^ + Саё). Положим ё = СС^ + 1 и выберем р так, чтобы выполнялось неравенство (31), а также неравенства Сё2С^р < 1 и СЬ < 1. Тогда ё! < ё, так что Б(М^) С М) ■ и Б - сжимающий на его константа Липшица V = ЬС < 1. Заметим, что норми-

рованное пространство В\ - банахово, и потому метрическое пространство М. = М.(с метрикой dist(h1,h2) = ЦЬ1 — Ь211лг) - полно. Поэтому, по теореме о сжимающих отображениях, существует и единственно решение Ь = (Л, д) уравнения (5) с асимптотикой

\Цх,у)\ < ё\у\м-р, \д(х, у)\ < ё\у\м, у -»• 0. (34)

Поскольку область содержит некоторую секториальную область типа Пх (раствора а и достаточно малого радиуса), то тем самым первое утверждение теоремы 3 доказано.

Замечание 5. В этом рассуждении константу ё на самом деле можно взять произвольной, большей ССз, а выполнение неравенств ё' < ё, (31) и V < 1

можно обеспечить за счет выбора р. Следовательно, по теореме единственности для аналитических функций наши рассуждения доказывают единственность секториального нормализующего отображения Н \ = 1(1 + (Л, д) и в более широком классе функций для которых оценка (34) заменена более слабой

Цх, у) = 0(ум-р), д(х, у) = <Э(ум) у -»• 0. (35)

2.11. Доказательство второго утверждения теоремы 3

Пусть V € УД а, N > р + 1, Н = \й + (Н, д) нормализующее отображение на секториальной области П, построенное выше. Пусть Н — нормированная полуформальная нормализующая замена координат ростка V, 00 "

Н(х,у) = ^ Нк{х)'ук- Обозначим через Нп - п-ю частичную сумму ряда к=0

Н. Пусть голоморфная замена координат //„ переводит росток V в росток уп: Н'п'о = 'оп о //„: тогда уп € У”^а+1. Пусть %п — секториальная нормализующая замена для ростка уп, определенная в соответствии с пунктами

2.2 — 2.10, тогда

^п(ж, у) = 1(1 + о(уп-2% у ->• 0. (36)

Но тогда замена координат Н = 'Нп о //„ является нормализующей для ростка V. Для замены Н справедливы асимптотические формулы (35). Но они же справедливы (при п > N + р) в силу (2) и для Н. Поэтому из замечания 5 следует совпадение // н // (на некоторой секториальной области): Н = Нп о II,,. Из (36) тогда следует

н(х,у) - Нп—2р(х, у) = о(уп~*П, У ->• 0-

Поскольку п - произвольно, то это и означает, что Н - асимптотическое отображение для Н.

2.12. Окончание доказательства теоремы 3

В пунктах 2.1 - 2.11 мы доказали существование секториального нормализующего отображения на секториальной области типа Ох, показали, что Н - его асимптотическое отображение, и доказали единственность секториального нормализующего отображения в классе отображений с асимптотикой (35) (замечание 5). Поскольку для нормированной полуформальной замены Н также имеет место аналогичная асимптотика (2), то тем самым установлена и единственность секториального отображения, удовлетворяющего условиям 1°, 2° теоремы о секториальной нормализации. Это завершает доказательство теоремы для области Q,j для 3 = 1.

При нечетном 3 > 1 доказательство в точности такое же: надо только позаботиться о том, чтобы ветвь логарифма в определении отображения А определялась соответственно ограничениям на аргумент переменной у.

При четных 3 доказательство также аналогично: надо только верхние стандартные области заменить аналогичными им „нижними11, интегрирование в (17) вести в пределах (—гоо, 0), и поменять там же знак.

Таким образом, теорема о секториальной нормализации доказана.

3. Доказательство теоремы

об аналитической классификации

В этом параграфе мы докажем теоремы 4, 5.

3.1. Схема доказательства

Теорема о секториальной нормализации позволяет для каждого ростка V € Vp^ а и некоторого правильного покрытия ш построить однозначно определенный набор отображений 'Ну = {Н^} - так называемый нормализующий атлас: в картах нормализующего атласа формальная нормальная форма Ур^х^а совпадает с V. Рассмотрим функции перехода этого атласа. Оказывается, набор функций перехода — инвариант строгой аналитической эквивалентности. Набор функций перехода нормализующего атласа обладает следующими свойствами: функции перехода сохраняют формальную нормальную форму; тождественное отображение является для них асимптотическим. Оказывается, любой набор отображений с такими свойствами является набором функций перехода нормализующего атласа некоторого ростка из Ур5а,а- Поэтому пространство ТЦ- всех таких наборов есть пространство модулей строгой аналитической эквивалентности ростков из Ур,\,а- Осталось дать описание этого пространства.

Фазовые кривые формальной нормальной формы урХа = ' а па~

раметризуем значениями на них первого интеграла J = х ехр(—А(у)) поля ур^\. Функции перехода сохраняют формальную нормальную форму ур^\^а, а значит, переводят фазовые кривые уР!\ в фазовые кривые уР!\. Тем самым каждой функции перехода соответствует некоторое корректно определенное отображение из пространства параметров в себя. Оказывается, половина этих отображений являются сдвигами на пространстве параметров (и это дает нам набор констант с модуля ц = (с,ср,ф) € Л4Ру\, на которые происходит сдвиг); другая половина дает набор отображений ср. Отметим, что эти два набора (с, ф) и есть в точности модули Мартине-Рамиса [2]. Наконец, набор функций ф = {'фу} модуля р состоит из функций фу = ф](г), показывающих, на сколько функции перехода сдвигают фазовые кривые поля 'ор^хА по сравнению с некоторым „стандартным11 сдвигом, отвечающим наборам (с,(р).

Таким образом, пространство КТ модулей строгой эквивалентности можно отождествить с Мр.х, что и доказывает теорему 5. Теорема 4 получается из 5, так, как это было указано во введении.

Полное доказатеьство приводится ниже в пунктах 3.2 - 3.5. В пункте

3.2 дается точное определение нормализующего атласа и расматриваются свойства его функций перехода. В пункте 3.3 дается точное определение пространства ИТ и доказывается, что оно и есть пространство модулей строгой аналитической эквивалентности. Описание элементов пространства ПТ и построение взаимно-однозначного соответствия между элементами ЯТ и Л4р,х проводится в пункте 3.4; это завершает доказательство теоремы 5. Доказательство теоремы 4 приведено в пункте 3.5.

3.2. Нормализующий атлас и его функции перехода

Пусть ш = - правильное покрытие. Любое правильное покры-

тие и/ = с меньшими раствором и радиусом будем называть сужением правильного покрытия ш\ при этом области П'- будем называть также сужениями областей Qj.

Определение 5. Систему отображений {Д^}, Н^ ^ С2 будем на-

зывать нормализующим атласом, для ростка V (и правильного покрытия ш = {%}), если для них выполняются условия 1°, 2° теоремы 3 и, кроме того, следующие два условия: з° Щ инъективны на О^-,

4° для некоторого сужения и/ = правильного покрытия ш справедливы включения Ну (П?-) и П'-.

Предложение 2. Для любого ростка V € УД а, N > р + 1 нормализующий атлас существует. Нормализующий атлас единственен в следующем, смысле: любые два нормализующих атласа ростка V совпадают на некотором правильном, покрытии.

Доказательство. Нормализующий атлас можно построить из набора сек-ториальных нормализующих отображений теоремы 3, сужая их области определения. Действительно, по утверждению 2° теоремы 3, отображения Щ Щ -»• С? имеют асимптотическое на некоторое полуформальное отображение Н с асимптотикой (2). Но N > р + 1, поэтому для компонент (Л, д) = Ну — 1(1 на Оj справедливы оценки

Цх,у) = 0(у2), д(х, у) = 0(у2), у -> 0. (37)

Отсюда, с помощью неравенств Коши, легко получить оценки производных

Ых(х, у) = 0(у2), Иу(х, у) = О (у),

д'х(х, у) = 0(у2), д'у(х, у) = О (у), у -)• О

на любом сужении О, у области Qj. Отсюда следует малость производной (Н^ — 1(1)* на области (если ее радиус р достаточно мал), что и гарантирует инъективность Ну на О у.

Условие 4° выполняется автоматически, если только радиус р сужения и/ достаточно мал. Действительно, рассмотрим гомотопию IV = \й + 1(к, д), соединяющую отображения Н° и Н1 = Н^. В силу оценок (37) для любого (я/, у1) € степень отображения И' на области О, у относительно точки (х',у') одна и та же для всех £ € [0,1] (если только р достаточно мало). Но степень Н° на Оj относительно (х',у') равна 1, так как (х',у') € О Следовательно, по свойству степени, (х',у') € Н1(0,у), что и требовалось. Утверждение единственности является прямым следствием соответствующего утверждения о единственности из теоремы 3. □

Пусть ш = - правильное покрытие радиуса е и раствора а €

(^, ^). Рассмотрим систему 8ш = {Я?}, состоящую из областей ву = {|ж| <

е} х (М < е; I аг8У — ^1 < а ~ ^}• Эта система, как легко видеть, состоит из попарных пересечений областей хорошего покрытия ш : ву = П Ц7+1 (при р > 1). Нумерация здесь циклическая, т.е. 02р+1 = ^1-

Замечание 6. При р = 1 хорошее покрытие состоит только из двух областей Пх и П2, пересечение которых распадается на две компоненты связности и 52. С целью единообразия записи, и в этом случае, под пересечением Пх и П2 будем понимать область бх, а 52 считать пересечением П2 и Пз (хотя Пз и совпадает с Пх).

Определение 6. Пусть И, = {Д?} - нормализующий атлас на правильном покрытии ш = } для ростка V € Ур\а- Набор отображений 8% =

% = МI '| ° Ну - будем называть набором функций перехода нормализующего атласа %.

Лемма 10. Существует такое правильное покрытие и/ = для ростка V € Ур\а, что для системы областей 8ш' = {5^-} выполняется следующие условия:

1° отображения Фj и ФJl голоморфны и инъективны на в'р 2° Ф^ сохраняет формальную нормальную форму

3° тождественное отображение является асимптотическим, для Фу на

Ф^ ' Ур,А,а — Ур,А,а ° Ф] МЯ Б у,

(38)

Доказательство. Доказательство первого утверждения леммы аналогично доказательству последнего утверждения предложения 2. Второе и третье утверждения немедленно следуют из свойств 1°, 2° нормализующего атласа. ' ' ' □

3.3. Пространство модулей КТ

Обозначим через Т протранство всех наборов отображений {#_?}, удовлетворяющих условиям 1° - 3° леммы 9. Два набора {Ф^€ Т назовем эквивалентными, если для некоторого правильного покрытия ш = при всех 3 отображения Ф^- и Фу определены и совпадают на области ву системы областей дш' =

Классы эквивалентных наборов из Т будем называть, как обычно, ростками; класс эквивалентности, содержащий набор Ф € Т, обозначим Ф. Пусть, наконец, КТ — пространство всех ростков наборов из Т.

Как было показано в предыдущем пункте, корректно определено отображение Щ : УД а ^ КТ, ставящее в соответствие ростку V € УД а росток Ф„ набора 8% = {Ф^} функций перехода некоторого нормализующего атласа % ростка V, Щ : V —> Ф„. Следующее предложение утверждает, что Щ есть „отображение модулей строгой эквивалентности11:

Предложение 3. 1. Ростки ги,'д € УДа строго аналитически эквивалентны тогда и только тогда, когда совпадают их ростки функций перехода: Ф„ = Ф{;.

2. Для любого Ф € КТ существует V € УД а такой, что Ф = Ф„.

Доказательство. 1. (=>) Пусть ростки V и Ъ строго аналитически эквивалентны, т.е. существует голоморфная замена координат Н, Н{х,у) = (х + о(1),у + о(уР+1)) такая, что IVс Ь о //. Пусть {Ну} и {Ну} — нор-

мализующие атласы для V и V соответственно. Но тогда набор отображений {Су}, Gj = Но Ну также является нормализующим атласом для V для некоторого правильного покрытия. Из единственности нормализующих атласов (см. предложение 2) следует совпадение отображений Gj и Ну на областях О,у некоторого правильного покрытия ш = {%}• Но тогда Фj = (Hj+l)-1 о Ну = (Н о НН1)-1 о (Н о Н^ = (Ну+х)-1 о Ну = Фу. Отсюда и следует совпадение ростков Ф^ и Ф$.

(-4=) Пусть ростки Ф^ и Ф{; совпадают. Отсюда следует совпадение на областях ву набора пересечений 8ш некоторого правильного покрытия ш отображений Ф^- = (Ну+х)-1 о Ну и Фу = (Ну+\)-1 о Hj, построенных по нормализующим атласам {Ну} и {7?^} ростков ушу соответственно. Положим, Gj = HjoHJl■, композиции Gj определены на областях О,у некоторого сужения ш покрытия ш. Так как Ну и Ну сопрягают с V ш V соответственно фор-

мальную нормальную форму vp.\.a, то Gj сопрягает v и v: GjV = voGj на Qj. Так как Фj = Фj, то Gj = Gj+i на пересечении секториальных областей Qj и Oj+i. Следовательно, на UQj = П корректно определено отображение G,

совпадающее с Gj на Qj, причем G'v = voG на О. Пусть // н // формальные нормализующие нормированные замены координат для v и v; тогда из

свойства 2° нормализующих атласов следует, что ряд G = Н о (Н)-1 является асимптотическим для G. Из нормированности рядов // н // следует нормированность ряда G :

G(x,y) = (х,у) + (o(yN-p-l),o(yN-1)).

Отсюда немедленно следует существование предела lim G(x,y) = (ж, 0).

у^О

Доопределяя на прямой {у = 0} с помощью этого равенства отображение G, получим искомую голоморфную замену координат, устанавливающую строгую эквивалентность v и v.

2. Пусть Ф € RT, {Ф^} - представитель ростка Ф, Ф^ : Sj С2, {Sj} = 8uj, ш = {%} - правильное покрытие раствора а и радиуса е. Рассмотрим топологическое пространство Л4, полученное из областей fij склейкой по отображениям Ф^-: точками Л4 являются точки из Оf. при этом для всех j = 1,... ,2р точки Р € Oj и Q G flj+i (Р € Sj, Q = Фj(P)) отождествляются. Пусть ij : Qj ^ Л4 — естественные вложения, Clj = ij(Qj), 7Tj = ij1 : Clj ^ flj. Топология на A4 определяется стандартным образом:

множество U С Л4 открыто если и только если множества 7tj(U П fij) открыты. Как показано в [1, Paper IV] параметры а, г можно выбрать так, что Л4 является хаусдорфовым, поэтому карты {Qj,iTj) определяют на Л4 структуру комплексного многообразия; более того, там же показано, что это многообразие биголоморфно эквивалентно некоторой области V, полученной из окрестности нуля в С2 удалением точек с нулевой у-координатой. Это значит, что существует голоморфное отображение И. : Л4 ^ V, являющееся биекцией; голоморфность отображения И. означает, что отображения Hj = 'Hoij : О j —у С2 голоморфны, причем на областях Sj отображения Hj и Hj+^j совпадают. Из биективности И. следует инъективность отображений Hj. В [1, Paper IV] также показано, что для любого N € N параметры (а, е) и отображение И. можно выбрать таким образом, что отображения щ являются „iV-плоскими по у“:

Hj(x,y) = o(yN) при у ->• 0, (х,у) € ttj. (39)

Рассмотрим векторное поле v на А4, являющееся образом векторного поля vp,А,а ПРИ отображениях ij:

V°ij = (ij)*-Vp, А,а на fij,

где индекс обозначает касательное отображение; поскольку о

ij\sj = Ф^, а отображения Ф^ сохраняют векторное поле ур^\^а, то поле V корректно определено, и является голоморфным векторным полем на Л4. Пусть V - образ векторного поля Ъ при отображении 'Н:

'Нхгд = уо'Н на М.

Тогда отображения Н^ переводят поле Ур,\,а в поле V.

(Ну)^'ир,х,а = V о Ну на 0,у. (40)

Поскольку отображения Ну являются “Ж-плоскими по у“, то на областях Уу = Ну(Пу) справедливы асимптотические равенства у(х,у) = '°р,\,а{х,у) + °{у ) при у —> 0, (ж, у) € Уу. Следовательно, такое же асимптотическое равенство справедливо и на всей области V =

ъ(х,у) = УрХа(х,у) +о(уК) при у^>0, (х,у)€У. (41)

Это асимптотическое равенство показывает, что при каждом фиксированном „ж“ точка у = 0 является устранимой особой точкой для голоморфной вектор-функции у(х, у). Доопределим вектор-функцию V в точках прямой {у = 0}, положив

д

у(х, 0) = Нт у(х, у) = ур \ а(х, 0) = х—;

у—*0 ’ ОХ

продолженную таким образом вектор-функцию обозначим той же буквой V. Тогда вектор-функция V определена на некоторой окрестности нуля V С С2, такой, что V = У\{у = 0}; у(х, у) голоморфна по „у“ при каждом фиксированном „ж“, и голоморфна по „ж“ при каждом фиксированном „у“. Отсюда по теореме Хартогса следует голоморфность поля V на V. Учитывая (41), получим, что V € Ура\> поэтому V формально эквивалентно полю «о- Из (39) и (40) следует, что отображения Ну являются секториальными нормализующими отображениями для поля V. Поскольку (Ну+х)-1 о Ну |$. = Ф^-, то набор отображений {Ф^} является набором функций перехода для нормализующего атласа {Ну} векторного поля V, откуда и следует совпадение ростков Ф и Фг Второе утверждение теоремы доказано. □

3.4. Построение биекции Щ : Ш7 ^ Л4р,а

Пусть {Ф^} - представители ростка Ф € Ш7, Фj : Sj —*■ С2, {<5^} = 6ш, ш ■■■■■■■■■■ правильное покрытие. Пусть Ф^- = (ау,/^-). Из (38) тогда следует

Г а(у)(хауХ + ш{у)(Хуу) = (Ху -ао/Зу \ а(у)(х^х + ш{у)Руу) = аоРу-шо Ру.

3.4.1. Модули Мартине - Рамиса

Пусть J = «/(ж, у) = же-'4^. Так как А'(у) = то 7 - первый

интеграл для уР!\, и следовательно, для гор^\А. Положим = JoФj, и пусть 4>у(у,г) = 'Ф ^(геА^у\у). Тогда из (42) немедленно следует -^'Фj(y,z) = 0. Это значит, что функция 'Фj зависит только от г: Ф^(у,г) = Фу (г) для некоторой голоморфной функции Фу (г) одной переменной. При этом по теореме единственности, Фу (г) продолжается аналитически на всю область Wj = J(Sj). Повторяя те же рассуждения для Ф^1 (и, может быть, заменяя

исходное покрытие ш его сужением), получим обратимость отображения Фj (и, следовательно, его инъективность на Wj). Отметим, что при нечетном 3 область совпадает со всей плоскостью (и тогда Фj - линейное), при четном 3 область являетя проколотой окрестностью нуля.

Далее, тождественное отображение явяется асимптотическим для Ф^-(утверждение 3° леммы 9):

Уп ау(ж,у) = о(уп), /3,(ж,у) = у + о(уп), у ->• 0, (ж,у)б57-. (43)

Отсюда следует, что

ф.?(ж,у) = {х + о(уп)) ■ ехр(--^(1 + о(уп))) = г-{1 + хГ1о{уп))-{1 + о{уп-р))

при г = х • ехр(^А(у)), у ^ 0, х ф 0.

Для четного 3 = 2к отсюда следует Ф2к(г) = г + о(г): г 0 (и, значит, совпадает на (С*,0) с некоторой голоморфной в (С,0) функцией ср/;, для которой (^(0) = 0, <^(0) = 1). Для нечетного ^ = 2к — 1 отсюда следует ^2к-1^) = 2 + °(г)) % °°) откуда, учитывая линейность Ф2£, получим

Фг к(г) ~ + ‘‘к-

Замечание 7. При построении наборов с, (р имелся некоторый произвол, состоящий в выборе ветви многозначного отображения А(у) = ^^р- + А1пу,

использованного в определении первого интеграла </(ж, у) = же”'4^. Мы исключили этот произвол, выбирая ветвь 1п у на области в у в соответствии с фигурирующими в ее определении ограничениями на &Щ'у- Наконец, при 3 = 2р, будем использовать вместо многозначной функции J ее ветвь J = J • V, V = ехр(2-7г*А); тогда все расуждения останутся верными и будет обеспечено выполнние условия (р'р(0) = V.

Тем самым инварианты с = {с^} и (р = {(рк} (инварианты Мартине -Рамиса [2]) построены.

3.4.2. Построение „временной части“ ф инварианта

Пусть В (у) - первообразная для функции '■ В'(у) = ■

Рассмотрим функцию ^(х,у) = В о /3^(ж, у) — В (у), и пусть £у(у, г) = Ь^геА(у\у). Из второго уравнения системы (42) следует

дЦ 1 (х$х

~-----------1 --— 1

ду а о ^ ■ ш о [3^ у ш(у)

ЗУ

1 _ А(у) а(у)ш(у) '

Это значит, что функция Ь^(у,г) зависит фактически лишь от переменной г: Ъу(у,г) = Ъу(г) для некоторой голоморфной функции Ь^. Как и выше, получим, что функция Ьу аналитически продолжается на всю область Wj = Далее, из асимптотических равенств (43) следует, что для любого п Ъу(х,у) = о(уп) при у —у 0, (ж,у) € ву] отсюда получим, что для функции Ъу(г) имеет место асимптотическое равенство

Ъз(хе~А{-у)) = о(уп) при у -»• 0, (ж,у) € 5. (44)

При нечетном 3 область совпадает с С, а из (44) следует Ъ^(г) —> О при г ^ оо. Следовательно, в этом случае bj = 0.

При четном 3 = 2к область есть проколотая окрестность нуля, а из (44) следует, что Ь2к(^) 0 при г ^ 0. Поэтому точка 0 является

устранимой для функции Ь2к^): функция Ъ2к совпадает на (С*,0) с некоторой голоморфной в (С, 0) функцией фк, такой, что фк{0) = 0. Тем самым построена и последняя компонента ф = {фк} элемента Цу € Л4р,х-

Таким образом, каждому ростку Ф € ИЗ- соответствует однозначно определенный элемент ц = (с,(р,ф) € А4Ру\. Определенное таким образом отображение обозначим через Щ, П2 : ИТ Мр,\.

3.4.3. Биективность отображения Щ

Пусть ц = (с,(р,ф) € МРуА, С = {ск}, (р = {(Рк}, Ф = {Фк}, Фк,<Рк -голоморфны в (С, 0), срк(0) = ^(0) = 0, ^(0) = 1, к = 1,2,... ,р — 1, (р'р =

V = ехр(2-7иА). Пусть ш - правильное покрытие малого радиуса, 8ьо = {Я?}-Пусть <7* Ло - фазовый поток формальной нормальной формы Ур,\,а-Для четного 3 = 2к рассмотрим отображения

С2к ■ (ж,у) ^ (<рк(хе А{у])еА{у\у), Р2к(х,у) = 5о*й(ж,у)

-Му)

и пусть Ф2к = С2к ° Р2к (ветви многозначной функции А{у) выбираем в соответствии с замечанием 7).

Для нечетного ^ = 2Л: — 1 рассмотрим отображение $2к-\{х, у) = (ж + Ск еА^у\у). Наконец, обозначим построенный набор отображений {Ф^} через Ф^. Следующая лемма доказывается прямыми выкладками.

Лемма 11. 1. Для любого ц € Л4Р \ Ф^ € Т.

2.П2([Фц])=».

Следствие 5.4. Отображение ц [Ф^] является обратным к отображению П2 (и, значит, П2 - биекция, ИТ на Л4Ру\).

3.4.4. Окончание доказательства теоремы 5

Рассмотрим отображение П : Ур,А,а ^ М.р,\, П : V —> = Щ(ФУ)-

Элемент € Л4 будем называть модулем (строгой аналитической эквивалентности) ростка V.

Утверждения „эквивалентность и эквимодальность“, а также „реали-зация“ (см. формулировку теоремы 4) немедленно следует из предложения 3 и следствия из леммы 11. Аналитическая зависимость модуля от параметра получается применением стандартных теорем о дифференцируемости по параметру на каждом из этапов построения модуля.

3.5. Докзательство теоремы 4

Заметим, что сохраняют формальную нормальную форму следующие отображения: растяжения : (х,у) (кх,у); сдвиги Т% : (х,у)

д^рХа(х, у) за фиксированное время £ € С; повороты : (х,у) (х,ету), где е = ехр(—) - корень из единицы степени ра. Напомним, что ра - наибольший общий делитель р и тех к € {1,... ,р}, для которых Щ Ф 0 (и, конечно, композиции <?£ * т таких отображений). В классе формальных замен переменных список сохраняющих формальную нормальную форму замен (так называемых симметрий) этим и исчерпывается (см. [9]). Поэтому любое отображение Н, сопрягающее пару ростков из УД а, однозначно представимо в виде композиции Б о Но, где <5 - симметрия, а Но - замена, нормированная условием (2). Поэтому классы аналитической эквивалентности ростков из УД а получаются из классов строгой аналитической эквивалентности объединением всех классов из орбиты действия группы 5 = {5} всех симметрий Б формальной нормальной формы. Действие группы симметрий 5 на пространстве УД а определяется естественным образом: Б (у) = V Б'у = V о Б, и индуцирует действие группы 5 на пространстве нормализующих атласов: Б({Ну}) = {б'оД^о,?-1}. Это определяет действие группы 5 на пространстве функций перехода Т:

£({%}) = {%'}, при % = 5-1 о Ф^+2то„о о Б, Б = Зк,г,т,па=р/ра (45)

(симметрия = Лд; о Т/~ о ят переводит секториальную область БJ си-

стемы 8и) = {<‘\/} в область, близкую К Зу+2тпа)- Поэтому, в соответствии с предложением 3, пространство орбит действия группы 5 на ИТ и дает пространство модулей аналитической эквивалентности ростков из УД а.

Наконец, перенося отношение эквивалентности (45) с помощью биекции Щ на пространство Мр,\ (с учетом замечания 7), получим отношение эквивалентности (4) на пространстве А4Ру\. Это завершает доказательство теоремы 4.

Список литературы

1. Il'yashenko Yu., editor. Nonlinear Stokes Phenomena // Adv. in Sov. Math. 14. Amer. Math. Soc. Providence, 1993.

2. Martinet J., Ramis J.P. РгоЫёте de modules pour des equations differentielles non lineaires du premier ordre // Publ. Math. Inst. Hautes Etud. Sci. 1982. 55. P. 63-164.

3. Martinet J., Ramis J.P. Classification analytique des equations differentielles non lineaires resonnantes du premier ordre // Ann. Sci. Ecole norm, super. 1983. 16, №. P. 571-621.

4. Teyssier L. Equation holomologique et cycles asymptotiques dune singularite neoud-col // Preprint I.R.M.A. Lille. 2001. Vol. 55, ch. III.

5. Teyssier L. Analytical classification of singular saddle-node vector fields // Journal of Dynamical and Control Systems (в печати).

6. Voronin S.М., Grinchii A.A. Analytic classification of saddle resonant singular points of holomorfic vector fields on the complex plane // Journal of Dynamical and Control Systems. 1996. Vol. 2, .Y" 1. P. 1-15.

7. Гринчий А.А. Аналитическая классификация седловых резонансных особых точек на комплексной плоскости. Деп. в ВИНИТИ 24.05.96. JM690-B96, 24 с.

8. Воронин С.М., Мещерякова Ю.И. Аналитическая классификация типичных вырожденных элементарных особых точек ростков голоморфных векторных полей на комплексной плоскости // Изв. вузов. Математика. 2002. Л" 1. С. 1316.

9. Мещерякова Ю.И. Формальная классификация вырожденных элементарных особых точек // Уравнения соболевского типа: Сб. науч. работ / Челяб. гос. ун-т. Челябинск, 2002. С. 197-206.

Челябинский государственный университет [email protected], [email protected]