CC BY
7
Челябинский физико-математический журнал. 2017. Т. 2, вып. 4- С. 447-455.
УДК 517.925
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ ТИПИЧНЫХ РОСТКОВ ПОЛУГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ОТОБРАЖЕНИЙ
П. А. Шайхуллина", С. М. Воронин6
Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия "fominapa@gmail.com, 6voron@csu.ru
Рассматриваются ростки двумерных полугиперболических отображений на плоскости, т. е. таких отображений, один из мультипликаторов которых параболический, а другой — гиперболический. Построены функциональные инварианты аналитической классификации таких ростков простейшего вида.
Ключевые слова: полугиперболическое отображение, секториальная нормализация, аналитическая классификация, функциональный инвариант.
Задача об аналитической классификации ростков векторных полей (отображений) была поставлена в работах Пуанкаре [1-4]. Её вариантом является так называемая задача о нормализации (т. е. о приведении ростка аналитической заменой координат к простейшему виду — нормальной форме). Обе эти задачи были решены в основном в работах Пуанкаре [5], Зигеля [6] и Брюно [7]. Неисследованными оставались лишь ростки типа Зигеля при наличии резонансов или патологической близости к резонансам [8]. В 80-е годы прошлого столетия существенные продвижения были получены и для этих «особых» случаев: в работах Йоккоза [9] — для «лиувиллевых» ростков, в работах Воронина [10], Экалля [11] и Мартине — Рамиса [12] и [13] — для резонансных.
Оказалось, что в резонансном случае препятствием к нормализации ростка являются так называемые функциональные инварианты. Более того, они же содержат полную информацию об «аналитическом» типе ростка.
Одним из способов построения функциональных инвариантов является следующий. Проколотая окрестность неподвижной (особой) точки покрывается сектори-альными областями. На каждой из них строится аналитическая замена координат, нормализующая росток. Функции перехода полученного «нормализующего» атласа и доставляют искомые функциональные инварианты.
В настоящей работе исследуется задача об аналитической нормализации для ростков полугиперболических отображений (то есть ростков двумерных отображений, один из мультипликаторов которых — гиперболический (не равен по модулю 0 или 1), а второй — параболический (а именно, равен 1).
В работе [14] была проведена предварительная формальная нормализация таких ростоков при некоторых ограничениях типичности, а в работе [15] — их секториальная аналитическая нормализация. Следующим шагом является построение функций перехода и функциональных инвариантов аналитической классификации.
Определение 1. Росток голоморфизма ^ : (С2, (0, 0)) ^ (С2, (0, 0)) будем называть полугиперболическим, если один его мультипликатор равен 1, а другой — гиперболический: ^(х,у) = (х + ...,Лу + ...), где |Л| = 0,1.
Работа поддержана грантом РФФИ 17-01-00739-А.
В частности, отображение (ж, у) м (уХх, еЛу), где ЯеЛ > 0, является полугиперболическим. Пусть Ел — класс ростков голоморфных отображений, формально эквивалентных ростку В этой работе мы ограничимся исследованием ростков класса ЕЛ.
Как было показано в работе [14], если ^л — формальная нормальная форма ростка ^ Е Ел, то существует некоторая полуформальная нормализующая замена Н, сопрягающая росток ^ с Тл Е Ел. Эта замена Н является формальным рядом по переменной ж с голоморфными по у коэффициентами. То есть если Нм частичная сумма ряда Н, то Нм голоморфна и переводит росток ^ в росток Тм, такой, что
Тм(ж,у) = ^Л(ж,у) + 0(жм) при ж м 0.
Аналитическую нормализацию удобнее производить в координатах (С = — X, г = у). В этих координатах росток Тм(ж, у) = ^Л(ж,у) + 0(жм) имеет вид
^ (С,*) = *ь(С,*О + О(С), (1)
где ^ = (С + 1,Лг), Л = еЛ, N' = N — 2.
Полиномиальное нормализующее преобразование Нм, сопрягающее ^ и ^Л с точностью до 0(жм), записанное в координатах (С, г), будем обозначать Нм.
Определение 2. Будем называть область 5—, полученную как дополнение к выпуклой оболочке объединения диска радиуса К с центром в начале координат и сектора | а^(£) — п| <8, правой секторшальной областью на плоскости £.
Определение 3. Будем называть область 5+ (5—), полученную как пересечение 5— и области {—8 < а^(£) < п — 8} (соответственно {—п + 8 < а^(С) < 8}), правой верхней (нижней) секторшальной областью на плоскости С.
Определение 4. Назовём правой верхней (нижней) обрезанной секторшальной областью на плоскости (С, г) прямое произведение (соответственно 5—) области (области 5-) и диска {|г| < е} в пересечении с полупространством {Яе С> — 1}.
Аналогично определим левые верхнюю и нижнюю обрезанные секториальные области и 5—. Здесь соответственно | а^(С)| < п и И,еС < 1, {8 < а^(С) < п + 8} ({—п — 8<а^(£) < —8}).
В работе [15] было построено секториальное аналитическое нормализующее преобразование для отображения в областях (5—) вида
Нм(С, г) = (С + йм(С, г), г(1 + (С, г))),
где
м 0 при 1тС м (2)
и доказана его единственность (при выполнении условия нормировки (2)). Отметим, что из построений [15] можно получить существенно более сильные оценки:
йм,0м(С,г) = 0(С), N мго, N'' = N' — 3. (3)
В левых секториальных областях аналитические нормализующие преобразования строятся аналогично (и для них также выполняется оценка (3), и утверждение о единственности).
Лемма 1. (Об асимптотике нормализующего преобразования). Формальное нормализующее отображение является асимптотическим для голоморфных секто-риальных нормализующих отображений.
Доказательство. Пусть, как выше, исходный росток уже приведён к виду (1) полиномиальным преобразованием Ы/. Аналитическую секториальную нормализующую замену координат отображения Р/ (£, г) в некотором произвольном секторе обозначим Ну(£,г) = id + ку(£,¿0, (£,г) = (£, г)) = 0(£). Итого-
вую аналитическую секторильную замену, сопрягающую росток Т и Р0, обозначим как Н(£,г). В силу указанной выше единственности аналитической секториальной нормализующей замены координат выполняется следующее равенство:
Н/ о Ы/ = Н,
т. е. Н = Ы/ + ). Таким образом, Н = Иш/Ы/ является асимптотиче-
ским рядом для Н. □
Заметим, что Н является универсальным асимптотическим рядом для аналитических нормализующих преобразований во всех секториальных областях.
Символами Нд_, Нд+, , будем обозначать секториальные нормализующие преобразования в областях $+., и соответственно.
Определение 5. Функции
Фк = Нд_ о Н_+, Фь = Нь_ о Н_+, Ф+ = Нк+ о Н_+, Ф_ = Ня_ о Н__
с естественными областями определения будем называть функциями перехода.
Замечание. В силу определения 5 и леммы 1 тождественное отображение является асимптотическим для функций перехода.
Напомним, что аналитическое нормализующее преобразование сопрягает Р и Р0: Н о р = Р0 о Н. Тогда для произвольной функции перехода Ф выполнены равенства
Ф о Р0 = Нг о Н_1 о Р0 = Нг о Р о Н_1 = Р0 о Нг о Н_1 = Р0 о Ф.
Т. е. функции перехода коммутируют с отображением Р0.
Пусть функция перехода Ф имеет вид Ф(£, г) = (£ + а(£, г), г + в(£, г)). В силу коммутируемости функций Ф и р0 выполняются равенства
Ф о Р0 = (£ + 1 + а(£ + 1, Лг), Лг + в(£ + 1, Лг)) =
= (£ + 1 + а(£, ¿),Лг + Лв(£, г)) = Р0 о Ф, из которых следуют два условия на функции а и в:
а(£ + 1, Лг) = а(£, г), в(£ + 1, Лг) = Лв(£, г). (4)
В правой секториальной области (см. [15]) существует голоморфное центральное многообразие. Как показано там же, отсюда следует возможность представления функции в в виде в(£, г) = гв(£, г), где /3 — ограниченная функция. Тогда
а(£ + 1,Лг) = а(£,г), в(£ +1,Лг) = в(£,г).
Рассмотрим отображение 3(С, г) м (£,т), действующее по правилу (£ = е2пг?, т = ге-Л^). Заметим, что 3 инвариантно относительно 3 о = 3.
Обозначим и (С, т) := а(С, теЛ^). Функция и тем самым инвариантна относительно сдвига С м С + 1:
и(С + 1,т) = а (С + 1,теЛ? еЛ) = а (С + 1,тЛеЛ?) = а(С + 1, Лг) = а(С,г) = и(С,т).
Обозначим ^(¿,т) := и(2^ 1пт). В силу инвариантности и относительно единичного сдвига функция V корректно определена (является однозначной). Аналогично определим функцию ш(£,т) := в(1п £,те —!1п*).
Определим теперь вид функций перехода в координатах (£, т). Воспользуемся уравнением ^ = 3 о Ф о 3-1, отсюда е2™(?+а) = е2™?е2™а = ¿е2™и(4'т) и
г(1 + в)е-Л(?+а) = т(1 + ш(£, т))е-Ли(4'т),
т. е. функции перехода , в координатах (£,т) определены по правилу
р(*,т) = (£е2пш(4'т ),т (1 + ш(£,т ))е-Ли(4'т)),
где функции и и ш в силу построения являются голоморфными и ограниченными в некоторой области.
В левой секториальной области нет центрального многообразия, поэтому вид функций Ф^ требуется установить исходя из условия (4). Заметим, что
в (С + 1, Лг) = Лв(С, г), Лв^ (С + 1, Лг) = Лв^ (С, г).
Если положить в^ (С, г) = ш( 2^ 1п те 2П11п *), то в (С, г) = £ 2^ 1п те 2П11п *), откуда находим, что
3 о Фь = (е2п^(«+"ь), (г + вь)е-Л(?+аь)) = (е2™?е2™аь, (ге-Л?е-Лаь)+ шье-Лаь),
<^(£,т) = (£е2пш^'т), (т + шь(у,т))е-Ли^'т)),
где функции и^ и ш^ в силу построения являются голоморфными и ограниченными в некоторой области.
Рассмотрим области определения функций и и ш. Для этого исследуем как преобразуются области определения функций перехода Ф под действием отображения
3(С, г).
Без ограничения общности (используя при необходимости подходящее изменение параметров К и е) можно считать, что области определения функций перехода имеют вид
^тФд = {|г| < е} х {И,еС > К, | а^(С)| < 8}, domФL = {|г| < е} х {И,еС < —К, | arg(С) — п| < 8}, domФ+ = {|г| < е} х {|ЯеС| < 1,1тС > К}, domФ- = {|г| < е} х {|И,еС| < 1,1тС < —К}. Под действием отображения 3(С, г) эти области переходят соответственно в области
dom^- = {0 < |£| < то} х {|т| < ее-Л-},
dom^L = {0 < |£| < то} х {|т| < то}, dom^+ = {|£| < е-2п-} х {|т| < ееЛ},
Повторим те же рассуждения для функций Фд1 = HR+ о H-1, Ф-1 = HL+ о H 1
dom^_ = {|t| > e2nR} х {|т| < eeA}.
iJ-1 rb-1 — ^
Ф-1 = Hl+ о H_+ и Ф-1 = Hl_ о H-1 и получим обратимость функций перехода, а значит, их инъективность.
Таким образом, vr, ur голоморфны по переменной t и ограничены на всей проколотой комплексной плоскости. По теореме об устранимой особенности и теореме Лиувилля они постоянны (при фиксированном т). Отсюда получаем равенства vr(t,T) = Vr(t) и UR(t,T) = ur(t), т. е. ^,т) = (te2niu4 т(1 + ^(т)^-^)). Функции vl = = const, отсюда
^L(t, Т) = (C1t, C2(т + С3)), C1, C2, Сз G C.
Определение 6. Набор построенных выше отображений , будем
называть набором функциональных инвариантов ростка F.
Определение 7. Два ростка F и F' будем называть строго аналитически эквивалентными, если существует сопрягающая их голоморфная замена координат, H :
H о F = F о H, (5)
такая, что
H (x,y) = (x + o(x2),y + o(x)). (6)
Теорема 1. Для строгой аналитической эквивалентности ростков класса F необходимым и достаточным условием является условие совпадения их наборов функциональных инвариантов.
Доказательство. Докажем сначала необходимость. Пусть F и F' строго аналитически эквиваленты, а H — сопрягающая их замена из (8). Пусть Hs — одно из секториальных нормализующих преобразований для F, определённое на сектори-альной области s. Тогда для F и Hs выполнено условие Hs о F = F0 о Hs на соответствующей области s. Тогда отображение Gs = Hs о H-1 является соответствующим нормализующим аналитическим отображением для F':
Gs о F' = Hs о H-1 о (H°F о H-1) = Hs о F о H-1 = F0 о Hs о H-1 = F0 о Gs.
Пусть Hs и Hs/ — два нормализующих секториальных отображения, определённых на соседних секториальных областях s и s', и Ф = Hs о H-1 — функция перехода для F. Тогда для функции перехода Ф ростка F' имеем
Ф = Gs о G-1 = Hs о H о (Hs о H)-1 = Hs о H о H-1 о H-1 = Ф.
Отсюда следует совпадение соответствующих росткам наборов функциональных инвариантов.
Докажем достаточность. Пусть для ростков F и F' заданы системы секториальных нормализующих отображений {Hs} и {Gs} соответственно и по ним построены наборы функций перехода {Ф.?}, {Ф.?}: Ф.? = Hs о H-1, Фs = Gs о G-1. Пусть наборы функциональных инвариантов, соответствующие этим наборам функций перехода, совпадают, тогда совпадают и сами наборы функций перехода: Ф61 = Ф^ Положим Ds = Hs-1 о Gs на каждой секториальной области s соответственно. Тогда на пересечении соседних областей s и s' выполнено следующее:
Ds = Hs-1 о Gs = Hs-1 о Ф-1 о Фs о Gs' = Hs-1 о Gs' = Ds'.
Поэтому на объединении всех секториальных областей корректно определено отображение Д, совпадающее с на 5. Это отображение сопрягает Т и Т':
в8 о т = я-1 о а8 о Т = я-1 о ^о о а8 = Т ◦ я-1 ◦ = Т ◦ в8.
Осталось отметить, что по теореме Хартогса [16] Д аналитически продолжается до локального голоморфизма Т>. Более того, из оценок секторильного нормализующего отображения следует выполнение условий нормировки (6) из определения строгой эквивалентности. Это даёт строгую аналитическую эквивалентность ростков Т и Т'. □
Список литературы
1. Poincare, H. Memoire sur les courbes definies par une équation différentielle. I / H. Poincare // Journal de Mathematiques Pures et Appliquees. — 1881. — Vol. 7. — P. 375-422.
2. Poincare, H. Memoire sur les courbes definies par une equation differentielle. II / H. Poincare // Journal de Mathematiques Pures et Appliquees. — 1882. — Vol. 8. — P. 251-286.
3. Poincare, H. Memoire sur les courbes definies par une equation differentielle. III / H. Poincare // Journal de Mathematiques Pures et Appliquees. — 1885. — Vol. 1. — P. 167-244.
4. Poincare, H. Memoire sur les courbes definies par une equation differentielle. IV / H. Poincare // Journal de Mathematiques Pures et Appliquees. — 1886. — Vol. 2. — P. 151-217.
5. Poincare, H. Sur les problem des trois corps et les equations de la dinamique / H. Poincare // Acta Mathematica. — 1890. — Vol. XIII. — P. 1-270.
6. Зигель, К. Л. О нормальной форме аналитических дифференциальных уравнений в окрестности положения равновесия / К. Л. Зигель // Математика. — 1961. — Vol. 5, no. 2. — P. 119-128.
7. Брюно, А. Д. Аналитическая форма дифференциальных уравнений / А. Д. Брю-но // Тр. Моск. мат. о-ва. — 1971. — Т. 25. — С. 119-262.
8. Арнольд, В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений / В. И. Арнольд. — М. : Наука, 1978. — 304 с.
9. Yoccoz, J. C. Linearisation des germes de diffeomorphismes holomorphes de (C, 0) / J. C. Yoccos // C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math. — 1988.— Vol. 306, no. 1. — P. 55-58.
10. Воронин, С. M. Аналитическая классификация ростков конформных отображений (C, 0) ^ (C, 0) с тождественной линейной частью / C. M. Воронин // Функционал. анализ и его приложения. — 1981. — Т. 15, вып. 1. — C. 1-17.
11. Ecalle, J. Sur les fonctions resurgentes / J. Ecalle. — Orsay : Publ. Math. d'Orsay, 1981.
12. Martinet, J. Probleme de modules pour des equations differentielles non lineaires du premier ordre / J. Martinet, J. P. Ramis // Inst. Hautes Etudes Sci. Publ Math. —
1982. — No. 55. — P. 63-164.
13. Martinet, J. Classification analytique des equations differentielles non lineaires resonnantes du premier ordre / J. Martinet, J. P. Ramis // Ann. Sci. Ecole norm. super. —
1983. — Vol. 16, no. 4. — P. 571-621.
14. Шайхуллина, П. А. Формальная классификация типичных ростков полугиперболических отображений / П. А. Шайхуллина // Мат. заметки Сев.-Вост. федер. ун-та. — 2015. — Т. 22, № 4. — С. 79-90.
15. Воронин, С. М. Секториальная нормализация полугиперболических отображений / С. М. Воронин, П. А. Фомина // Вестн. Челяб. гос. ун-та. — 2013. — № 28 (319). Математика. Механика. Информатика. Вып. 16. — С. 94-113.
16. Шабат, Б. В. Введение в комплексный анализ / Б. В. Шабат. — М. : Наука, 1969. — 577 c.
Поступила в 'редакцию 31.10.2017 После переработки 07.11.2017
Сведения об авторах
ШШайхуллина Полина Алексеевна, ассистент кафедры математического анализа, Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия; e-mail: fominapa@gmail.com. Воронин Сергей Михайлович, доктор физико-математических наук, профессор кафедры математического анализа, Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия; e-mail: voron@csu.ru.
454
n. A. fflaôxy.n^HHa, C. M. BopoHHH
Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal. 2017. Vol. 2, iss. 4- P. 447-455.
FUNCTIONAL INVARIANTS FOR TYPICAL GERMS OF SEMIHYPERBOLIC MAPPINGS
P.A. Shayhullina", S.M. Voroninb
Chelyabinsk State University, Chelyabinsk, Russia "fominapa@gmail.com, bvoron@csu.ru
Germs of two-dimensional semihyperbolic mappings, i. e. holomorfic mappings such that one of its multiplicator is parabolic and another is hyperbolic, are considered. Functional invariants of analytic classification for such germs of the simplest kind are constructed.
Keywords: semihyperbolic map, sectorial normalization, analytic classification, functional invariant.
References
1. Poincare H. Memoire sur les courbes definies par une equation différentielle. I. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 1881, vol. 7, pp. 375-422. (In French).
2. Poincare H. Memoire sur les courbes definies par une equation differentielle. II. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 1882, vol. 8, pp. 251-286. (In French).
3. Poincare H. Memoire sur les courbes definies par une equation differentielle. III. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 1885, vol. 1, pp. 167-244. (In French).
4. Poincare H. Memoire sur les courbes definies par une equation differentielle. IV. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 1886, vol. 2, pp. 151-217. (In French).
5. Poincare H. Sur les problem des trois corps et les equations de la dinamique. Acta Mathematica 1890, vol. XIII, pp. 1-270. (In French).
6. Zigel' K.L. O normal'noy forme analiticheskikh differentsial'nykh uravneniy v okrestnosti polozheniya ravnovesiya [On normal form of analytic differential equations in a neighborhood of equilibrium position]. Matematika [Mathematics], 1961, vol. 5, no. 2, pp. 119-128. (In Russ.).
7. Bryuno A.D. Analiticheskaya forma differentsial'nykh uravneniy [Analytic form of differential equations]. Trudy Moskovskogo matematicheskogo obshchestva [Proceedings of the Moscow Mathematical Society], 1971, vol. 25, pp. 119-262. (In Russ.).
8. Arnol'd V.I. Dopolnitel'nye glavy teorii obyknovennykh differentsial'nykh uravneniy [Additional chapters of ordinary differential equations theory]. Moscow, Nauka Publ., 1978. 304 p. (In Russ.).
9. Yoccoz J.C. Linearisation des germes de diffeomorphismes holomorphes de (C, 0). C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math., 1988, vol. 306, no. 1, pp. 55-58. (In French).
10. Voronin S.M. Analytic classification of germs of conformal mappings (C, 0) ^ (C, 0) with identity linear part. Functional Analysis and its Applications, 1981, vol. 15, no. 1, pp. 1-13.
11. Ecalle J. Sur les fonctions resurgentes. Orsay, Publ. Math. d'Orsay, 1981. (In French).
12. Martinet J., Ramis J.P. Probleme de modules pour des equations differentielles non lineaires du premier ordre. Inst. Hautes Etudes Sci. Publ Math., 1982, no. 55, pp. 63-164. (In French).
13. Martinet J., Ramis J.P. Classification analytique des equations differentielles non lineaires resonnantes du premier ordre. Ann. Sci. Ecole norm. supér., 1983, vol. 16, no. 4, pp. 571-621. (In French).
14. Shayhullina P.A. Formal'naya klassifikatsiya tipichnykh rostkov polugiperbolicheskikh otobrazheniy [Formal classification for typical germs semihyperbolic mappings]. Matematicheskie zametki Severo-Vostochogo federal'nogo universiteta [Mathematical Notes of North-Eastern Federal University], 2015, vol. 22, no. 4, pp. 79-90. (In Russ.).
15. Voronin S.M., Fomina P.A. Sectorial'naya normalizatsiya polugiperbolicheskikh otobrazheniy [Sectorial normalization of semihyperbolic mappings]. Vestnik Chelyabinskogo gosudarstvennogo universiteta [Bulletin of Chelyabinsk State University], 2013, no. 28, pp. 94-113. (In Russ.).
16. Shabat B.V. Vvedeniye v kompleksnyy analiz [Introduction in complex analysis]. Moscow, Nauka Publ., 1969. 577 p. (In Russ.).
Accepted article received 31.10.2017 Corrections received 07.11.2017
