Секториальная нормализация полугиперболических отображений Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

С. М. ВОРОНИН, П. А. ФОМИНА

СЕКТОРИАЛЬНАЯ НОРМАЛИЗАЦИЯ ПОЛУГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ОТОБРАЖЕНИЙ

В работе рассматриваются ростки полугиперболических отображений, т. е. двумерных голоморфных отображений, один из мультипликаторов которых параболический, а другой — гиперболический. Для простейших таких ростков доказана теорема о секториальной нормализации.

Ключевые слова: полугиперболические отображения, секториальная нормализация, аналитическая классификация, функциональные инварианты.

Введение

Задача об аналитической классификации ростков векторных полей (отображений) была поставлена в работах A. Пуанкаре [1-4]. Её вариантом является так называемая задача о нормализации (т. е. о приведении ростка аналитической заменой координат к простейшему виду — нормальной форме). Обе эти задачи были решены, в основном, в работах A. Пуанкаре [5], К. Л. Зигеля [6] и А. Д. Брю-но [7; 8]. Неисследоваными оставались лишь ростки типа Зигеля, при наличии резонансов или патологической близости к резонансам [9]. В 80-е гг. прошлого столетия существенные продвижения были осуществлены и для этих «особых» случаев: в работах J.-С. Yoccoz [10] — для «лиувиллевых» ростков; в трудах С. М. Воронина [11], J. Ecalle [12], J. Martinet и J. P. Ramis [13; 14] — для резонансных. Оказалось, что в резонансном случае препятствием к нормализации ростка являются так называемые «функциональные инварианты». Более того, они же содержат полную инфомацию об «аналитическом» типе ростка.

Функциональные инварианты аналитической классификации были изначально построены для ростков параболических отображений (одномерных голоморфизмов, касательных к тождественному) [11; 12; 15], для резонансных седло-вых [15] и седлоузловых [13] ростков векторных полей. В дальнейшем функциональные инварианты были обнаружены во многих других задачах аналитической классификации [16-19].

Одним из способов построения функциональных инариантов является следующий. Проколотая окрестность неподвижной (особой) точки покрывается сек-ториальными областями. На каждой из них строится аналитическая замена координат, нормализующая росток. Функции перехода полученного «нормализующего» атласа и доставляют искомые функциональные инварианты. Поэтому задача

о секториальной нормализации (т. е. задача о нормализации ростка на области, для которой неподвижная точка является не внутренней, а граничной) — первый

Работа поддержана грантом РФФИ 13-01-00512-а.

и важнейший этап решения задачи об аналитической классификации резонансных ростков.

Как отмечено выше, такую секториальную нормализацию удалось провести для одномерных резонансных отображений, седловых и седлоузловых резонансных векторных полей. Следующими по сложности являются двумерные отображения и трехмерные векторные поля. В настоящей работе исследуется задача об аналитической нормализации для самого простого из указанных объектов — для ростков полугиперболических отображений, т. е. ростков двумерных отображений, один из мультипликоторов которых — гиперболический (не равен 0 или 1), а второй — параболический (равен 1).

Следует отметить, что «секториальная» нормализация отображения f достаточно легко проводится в полуинвариантных областях Б, т. е. таких, что f(Б) С Б или f-1(Б) С Б (см. [11; 20]). Для ростков одномерных резонансных отображений нормализующий атлас как раз и строился из таких областей. Однако для полугиперболических ростков такое построение невозможно: в любой окрестности неподвижной точки ростка есть точки, покидающие окрестность как при положительных итерациях, так и при отрицательных. Поэтому в настоящей работе разработан специальный «метод факторизации», позволяющий строить секториальные нормализующие отображения и в неполуинвариантных областях.

1. Класс ростков 1т д.

Теорема о секториальной нормализации

Росток голоморфизма ^ : (С2, (0, 0)) м (С2, (0, 0)) будем называть полуги-перболическим, если один его мультипликатор равен 1, а другой является гиперболическим: ^(х, у) = (х + ... , Лу + ...), где |Л| = 0,1.

В частности, отображение ^Л(х,у) м (, еЛу), где ЯеА = 0, является по-лугиперболическим.

Пусть 1тл — класс ростков отображений, формально эквивалентных ростку ^л. Заметим, что росток ^ Е 1тл имеет инвариантное аналитическое подмногообразие, соответствующее гиперболическому мультипликатору. Его можно выпрямить голоморфной заменой координат. Поэтому без ограничения общности можно считать, что это инвариантное подмногообразие является прямой {х = 0}. Сужение ростка ^ на эту прямую — одномерный гиперболический голоморфизм, и по теореме Шредера [9] аналитически линеаризуемо. Поэтому можно считать, что на прямой {х = 0} ростки ^ и ^Л совпадают. Более того, т. к. ростки ^ и ^Л формально эквивалентны, мы можем считать, что

^(х,у) = ^Л(х,у) + 0(хМ1), х м 0, (1)

для некоторого достаточно большого N1. Пусть, наконец, 1т л — класс ростков вида (1). Ростки класса 1тл и являются объектом исследования данной работы.

Определение 1. Левой полуокрестностью (радиуса е) будем называть прямое произведение области {|х| < е, |х — 1| > 1} и диска {|у| < е}. Секториальным нормализующим отображением для ^ на левой полуокрестности и будем называть голоморфное обратимое отображение Н, сопрягающее ^ с его формальной

нормальной формой

Н о Я = О Н на и.

Основным результатом настоящей работы является следующая теорема.

Теорема 1. На любой достаточно малой левой полуокресности и полугипербо-лическое отображение класса 1т Л аналитически сопряжено со своей формальной нормальной формой. Секториальный нормализующий голоморфизм Н, удовлетворяющий условию Н(х, у) = (х,у) + (о(х2), о(х)) при 1тх ^ +0 (либо при 1тх ^ -0), существует и единственен.

2. Функциональные и гомологические уравнения

Вместо нормализующего отображения удобнее искать обратное к нему (т. е. строить голоморфное отображение Н, сопрягающее ^Л и Я):

Я О Н = Н О £Л. (2)

Мы будем решать эту задачу в координатах (С = — X, г = у). В новых координатах отображение Я имеет вид

£(£,*) = *Ь(С,г) + (Ді, Д2), (3)

где Д^-(С, г) = 0(С-^2), N = N1 — 2, ^0(С,г) = (С + 1,г), сопрягающее преобразование имеет форму Н = (С + Н(С, г), г + у(С, г)). Уравнение (2) распадается на

два функциональных уравнения

Н о ^0 — Н = Д1 о Н, (4)

У О ^0 — Лу = Д2 о Н. (5)

Считая Н, у, Ді малыми и пренебрегая членами порядка выше первого, из уравнений (4) и (5) получим так называемые гомологические уравнения

Н о ^0 — Н = Д1, (6)

у о ^0 — Лу = Д2.

Определение 2. Будем называть область Бм, полученную как дополнение к выпуклой оболочке объединения диска радиуса Я с центром в начале координат и сектора {С Є С : | а^(С) — п| < 8}, правой секториальной областью на плоскости переменной С.

Определение 3. Назовем правой секториальной областью в координатах (С, г) прямое произведение Бдйє = 5^ х {|г| < є}.

Параметр 8 Є (0,п/2) будем называть раствором секториальной области, а параметр Я — её радиусом.

Определение 4. Обрезанной правой секториальной областью будем называть пересечение правой секториальной области с полупространством {£ : Re£ > — 1}.

Теорема 2. В любой правой обрезанной секториальной области достаточно малых радиусов существует и единственна пара голоморфных решений (h(£, z), g(£, z)) первого и второго функциональных уравнений, причем h(£,z) ^

0, g(£, z) ^ 0 при Im£ ^ +то.

Замечание 1. Используя комплексное сопряжение в образе и прообразе, из теоремы 2 получим существование ещё одного решения системы функциональных уравнений, удовлетворяющего тем же условиям, но при базе Im£ ^ —то.

Теорема 1 является немедленным следствием теоремы 2.

Доказательство теоремы 2 проводится по следующему плану. В п. 3 будет решена система гомологических уравнений, являющаяся линеаризацией системы функциональных уравнений, в предположении, что нормализуемый росток имеет голоморфное центральное многообразие. Умея решать линеаризованную систему, мы в п. 4 получим решение системы функциональных уравнений по теореме о неподвижной точке. Наконец, в п. 5 будет доказано существование голоморфного «секториального» центрального многообразия для ростков класса ImA (этого достаточно для целей п. 3).

3. Решение системы гомологических уравнений

3.1. Решение 1-го гомологического уравнения

Пусть F = (£+A1(£, z), z+A2(£, z)) — голоморфное отображение, определенное в правой секториальной области Srs£, причем Aj(£, z) = O(£-N2). Определим норму функций Aj по формуле

II Aj IL = II Aj IL,s*4e = sup |A(£,z)(1 + |C|2)m/2|‘

SR6s

Отметим, что норма || Aj ||m конечна при всех R > R0 и m таких, что m < N2. Для произвольного параметра R и функции A1, удовлетворяющей описанным выше условиям, мы будем решать первое гомологическое уравнение в области

Sr&£:

h(£ +1, л^ — h(£,z ) = Ai(C,z)- (7)

3.1.1. Первый интеграл отображения F0. Инвариантные кривые. Сужение гомологического уравнения на инвариантные кривые

Заметим, что функция

J (£,z ) = ze-A? (8)

является первым интегралом отображения F0, т. е. при любом с £ C кривая Гс = {(£, z) £ SrS£ : J(£, z) = с} является инвариантной кривой отображения F0. Тогда на множестве Yc = {£ : (£,ceA^) £ Гс} функции h, A являются, соответственно,

функциями <^с(£) = h(£,ceA?), Ac = Ac(£) = A1 (£, ceA?). И уравнение (7) сводится

к уравнению

+ 1) — ) = Дс(С)> С Є 7с• (9)

Инвариантная кривая Yc определена как Yc = {С : (С,г) Є SR^e, ze_A^ = с},

поэтому, для того, чтобы С Є Yc, необходимо и достаточно, чтобы С Є Sr, ye_A^ = с, где |y| < є. Таким образом, для любых с должно выполняться неравенство |ceA? | < є, откуда находим, что ReC < A ln ^. То есть

Yc = |C Є Sr : ReC < 1 ln

3.1.2. Решение в полосе

Мы свели уравнения (6) к уравнениям (9) на некоторой области Yc. Заметим, что для с Є R, малых по модулю, область Yc содержит некоторую вертикальную полосу П = {С : ReC Є [A, A + |]}, A > R > 1. А именно, пусть функция Д(С) голоморфна на полосе П с конечной нормой

||Д||т = sup |Д(С) ■ (1 + |С|2)f|, m > 3.

п

Граница дП распадается на две части: дП = L+ — L_, где L_ = {С : ReC = A},

L+ = {С : ReC = A + З}. Покажем, что функция

^ = ¿7 Ц і

n=0 vJL

A(i)dt f (10)

_ t — £ — n JL+ t — С + n + 1

является решением уравнения (9).

Теорема 3. 1. Функция (10) голоморфна на полосе П = {£ : Re£ £ [A, A + |]} и удовлетворяет уравнению (9) на полосе П.

2. Справедливо неравенство

IMI = SUP И£)! < 25 ■ llAIU (11)

?еп

3. На полосе П при Im£ ^ ±то р(£) ^ , где

то = 1 f A(i)di.

4. Построенное решение (10) является единственным в классе голоморфных в полосе П функций, удовлетворяющих условию 3.

5. Если функция А аналитически зависит от некоторого параметра с, то и решение р — тоже.

Доказательство. 1. В силу конечности т-нормы функции р и условия т > 3 все интегралы, входящие в (10), сходятся и определены при Re£ + п = А, Re£ — п — 1 = А + 2, п > 0, в частности, при всех £ £ П. Голоморфность р на П следует

из голоморфности слагаемых ряда (10) и соответствующих оценок, приводимых ниже. То, что (10) является решением уравнения (9), проверяется подстановкой функции в уравнение:

Д(і)^і

2пі ^

га=0

і — £ — п — 1

+

^(£ +1) — ^(£) Д(і)^і I

Д(і)^і

і і — £ + п і і — £ — п ь+

Д(і)^і

і — £ + п + 1

1

‘ Д(і)^і

1

' Д(і)^і

2п*У £ — £ 2п*У £ — £

Поскольку А(£) ^ 0 при 1т£ ^ +то, £ £ П, то по интегральной формуле Коши сумма этих двух интегралов в точности равна А(£), что и требовалось.

2. Представим р(£) в виде суммы конечной части и остатка:

1 4

^(£) = 2ПІ £

п=0

2пі

?£

п=5

Д(і)^і

і — £ — п ' ,/ і — £ + п +1

+

Д(і)^і

+

+

Д(і)^і

Д(і)^і

і — £ — п ' ,/ і — £ + п + 1

Конечная сумма состоит из двух частей. Первая часть в полосе {£ : Re£ £ [А + 3, А + 5 ]} допускает оценку

1

2пі

Д(і)^і

га=0

і — £ — п

— 2П £

п=0

|Д(і)ІИ 5||Д||

|і — £ I

+-СЮ

— 1

• 2п У (1 + т2)т/2

— 6||Д||.

Используя, как и выше, интегральную формулу Коши, для первого слагаемого этой суммы, получим, что такая же оценка справедлива и на оставшейся части полосы П. Вторая часть в полосе {£ : Re£ £ [А, А + 2]} оценивается аналогично. Сначала на полосе [А; А + 2], а потом и на оставшейся части полосы П:

1

2пі

;£

Д(і)^і

га=0

і — £ + п + 1

2п |і — £ +1| “ 5 • 2^ (1 + т2)т/2

— 5|Д|т.

Собирая две полученных оценки вместе, получим оценку конечной части.

2пі

їЕ

п=0

Д(і)^і

і — £ — п ' У і — £ + п +1

+

Д(і)^і

11 Д

Таким образом, достаточно доказать существование постоянной а4 такой,

что при Re£ £ [А, А + 5] выполнено

5 (/3—п+/

Д(і)^і

і — £ — п ,/ і — £ + п +1

< а4||Д|

(12)

1

+

+

1

+

т

—со

— со

+

+

1

т

+

т

+

При любом n > 4 верно равенство

[ A(t)dt

A(t)dt

J t — £ — n J t — £ + n +1

L_ L+

так что вместо (12) достаточно показать справедливость неравенства

|<Рб(£)| < а ■ ||A||m,

где

ГО г,

^ t"

ГО г,

i 5/ЛИ

1

+

1

t — £ — n t — £ + n +1 2t — 2£ + 1

dt

(t — £ — n) (t — £ + n +1)

dt.

(13)

Прежде чем приступить к оценке этих интегралов, заметим, что при £ £ Ь_, Re£ £ [А, А + 5] выполняется неравенство

|Re(t — £)| < 2

Тогда при n > 4

n

|Re(t — £ — n)| > 2

n

|Re(t — £ + n +1)| > ^•

(14)

(15)

(16)

Пусть £ = и + ¿V, £ = А + гт. Разобьем интеграл из (13) на две части: интеграл по множеству {|т — ^| < 1} и по оставшейся части прямой Ь_. С учетом (14), (15) и (16) для первого интеграла имеем

iE

A(t)

2t — 2£ +1

|t—v|<1

(t — £ — n) (t — £ + n + 1)

dt

<

1

2П

<—E

A

n=5

|t—v| < 1

1 1 + 2(1+ 2) (1 + т 2)m/| (n )2

dr <

+ГО

1 „ * „ « , W dr 7,, A ,,

< 2П|A|m ■7 ■4 ■ 4J (1 + rI)m/| < 2l|A||m

— CO

Далее, заметим, что

ГО

у 1 < —

A1 + n1 2A

n=1

1

(это легко получить, заменяя сумму интегралом). Используя (14) и (17), для второго интеграла получим

1

2пг

те „

£./Аи

2£ — 2£ + 1

|т — V | > 1

(£ — £ — п)(£ — £ + п +1)

<

1

2П

<-Е

А

4 + |т — VI

п—5

|т—V | > 1

'(1 + т2)т/2 |т — VI2 + (П)2

< —1| А | 2п1 1

А

п ■ 4 Г 1 4 + |т — ^|

2 У (1 + т 2)т/2 21 т — VI

|т — V | > 1

51 т — VI

\

А

у|т—VI > 1

5

21 т — VI (1 + т2)т/2

<

2

(1 + т2)т/2 - 2

5п.. . ..

< — НА1Ц.

Итого: 521 + 11 + 2 < 25, оценка (11) получена и доказаны пункты 1 и 2 теоремы.

3. Для доказательства третьего пункта теоремы при 1т£ ^ ±то представим функцию р(£) в виде суммы

р<£) = 2пг Е (/

п=0

А(£)^£ + Г А(£)^£ Г А(£)^£ +

+ С А(£)^£ С А(£)^£ +

А(£)^£

£ — п — 1 У £ — п — 1 У £ — £ + п +1 ь+ ь+ ь+

2пг

¿Е

1

¿А(£)^£

п—0

(£+п)(£ — £ +п) 2п п=о•/(£ — п —1)(£ — £ +п+1)

1 1

2пг £ + п,

А(£)^£.

Рассмотрим первое слагаемое в полосе {Re£ £ [В — 1,В]}, где |т — VI > 1/2, |VI > 1/2 и !А — Re£ — n| > п. А значит, имеет место оценка

1

?Е

2пг ^ J (£ + п)(£ — £ + п)

п—0 £

<

1

т

1

т

т

— оо

1

+

1 f 4(А + |т|)|Д|т^г

2п П=о J (1 + |т|2)m/2(|Re£ + n| + M)(|r - v| + |A - Re£ - n|)

L—

^ 2.4||А,;||т Г + 2||Дс||т Г т^т

< п ¿¿У (1 + т2)(п + 1/2)2 + ¿У (1 + т2)3/2(п + 1/2)2 <

L_ L_

< 8||Ас||т ^А + ~^ •

Второе слагаемое рассмотрим в той же полосе, учитывая оценки ^ — £ + п + 1 > п +1, IVI > 1 и неравенство

те 1 те 2

П-0н+^—^ < П-0 и+п

которое верно для любых а,Ь £ С, а = 0. Рассуждая аналогично, получаем, что

1 f tA(t)di

•i /

2п^ “I J (£ — n — 1)(t — £ + n +1)

n=0 т L+

Заметим теперь, что

1 1 р 1 р 2Пй ^ £TW A(t)dt = Тctg(n£)’ где mo = 2 A(t)dt

п=-те L— L—

При Im£ ^ ±to, ctg(n£) ^ ^i, пункт 3 доказан.

4. Пусть ф — другое решение (голоморфное и ограниченное на полосе П). Тогда существует C G C такое, что ф = р + C. Действительно, пусть п = ф — р, тогда функция п голоморфна и ограничена на П и п(£ +1) — п(£) = 0. Так как п — 1-периодическая функция, то продолжаем её на всю комплексную плоскость по 1-периодичности и получаем ограниченную голоморфную на всей комплексной плоскости функцию. Значит, по теореме Лиувилля п = const. Учитывая пункт 3 теоремы, п = 0.

5. Аналитическая зависимость от параметра с следует из определения ре-

шения р, а также стандартных теорем о равномерной сходимости рядов и интегралов. □

3.1.3. Продолжение решения

В предыдущей секции доказано существование и единственность решения уравнения

рс(£ + 1) — рс(£) = Ac(£)

в полосе П = {Re£ G [A, B+1]}. Продолжим теперь это решение на всю область yc. Для любого £ с вещественной частью из отрезка [B + 1, j ln ] найдется некоторое

натуральное N < [^ 1п ^ — В] такое, что (£ — N) £ П. Тогда продолжение решения вправо может быть определено по формуле

N

рс(£) = рс(£ — N) + ^ Ас(£ — п)

(18)

П—1

и является конечной суммой голоморфных функций. Оценка продолжения вправо

N

N

!рс(£^ < !рс(£ — N)| + ^ |Аc(£ — n)| < ||Ас||т I 25 + ^

1

п—1

N

< ||Ас||т ( 21 +

п—1

(1 + (В — 1 + N — п)2)т/2

<

п—1 1 + ^£ — n|2)m/2

— ||Ас||т ( 25 +

<

р—1

(1 + р2)т/2

<

< (25 + 2) || Ас||т < 27|Ас

2

Продолжение влево может быть определено аналогично:

К-1

рс(£) = рс(£ + К) — ^ Ас(£ + к)

(19)

к—1

где К £ N таково, что (£ + К) £ П. По предположению

Ас т

!Ас(£)! <

(1 + Шт/2:

£ £ £

Заметим, что, так как К > 1, то множество точек {£ + к}К—01 £ лежит либо в полосе {Re£ > 1}, либо вне полосы {^т^ < 1}. Поэтому в первом случае

К1

Рс

(£ + К) — ^ Ас(£ + к)

к—0

<

К1

<

25||Ас||т + 5]

Ас

к—0

(1 + I£ + кр)т/2

<

25||Ас||т + || Ас |т ^ тт < 27|АС

во втором случае

^с(£)|

К1

рс(£ + К) — ^ Ас(£ + к)

к—0

к—0

<

К1

<

25|Ас |т + Х)

Ас

К1

с||т 1 к—0 С£ + кр + 1)т/2

<

25|Ас |т + Х)

Ас

к—0

((Иб£ + к)2 + 1)т/2

<

2| Ас

1

1

То есть продолжение решения влево ограничено. Учитывая (18) и (19), получим, что соотношение

выполнено на всей области 7с.

Рассмотрим асимптотику при 1т£ ^ ±то для продолжения решения влево. Пусть 1т£ = п > 0, тогда

при 1т£ ^ ±то, £ £ 7с. Продолжение вправо оценивается аналогично.

Единственность решения была подробно показана в предыдущей подсекции, единственность продолжения устанавливается аналогично.

Установим аналитическую зависимость решения от параметра с. В силу единственности решения рс(£) начинать его построение можно с любой полосы Пс. Для достаточно малых параметров с и для всех с, достаточно близких к с, полоса Пс содержится в 7с, т. е. полоса Пс может быть использована для построения всех решений рс с параметром с, достаточно близким к с. Пункт 5 теоремы

3 утверждает, что на полосе П решение рс аналитически зависит от параметра с, что в совокупности с формулами (18) и (19) дает аналитическую зависимость от параметра с решения рс на всей области 7с.

Рассмотрим случай с = 0. Для любого с = 0 область 7с содержится в области = 70. Поэтому построение «нулевого» решения, удовлетворяющего также соотношениям (20) и (21) (при с = 0), можно начинать с любой полосы Пс. По тем же соображениям, что приведены выше, будет получена единственность решения и аналитическая зависимость от параметра с в точке с = 0.

3.1.4. Малые секториальные области. Решение первого

гомологического уравнения в малой секториальной области

Для того чтобы начать построение решения рс в области 7с, необходимо, чтобы полоса П, определенная в предыдущей секции, содержалась в области 7с. Отсюда следует оценка на параметр с:

Определение 5. Будем называть малой секториальной областью а объединение инвариантных кривых Гс = {(£,2) £ £ 7с, £ = се-А^} по всем с таким, что

Напомним, что функция Ас(£) является сужением функции А1(£, 2) на кривую Гс, аналитически зависящим от параметра с. Таким образом, построено решение первого гомологического уравнения в малой секториальной области а. Это

IРс(£) < 25||Ас||т

(20)

и

Рс(£) ^ Тт-0

(21)

1 £

— 1п -—- > К + 2, А И

т. е.

И < £в-А(Д+2) = с0.

IсI < с0 = £в-А(Д+2)

решение является голоморфным на каждой кривой Гс и аналитически зависит от параметра с. Тем самым верна следующая лемма.

Лемма 1. Пусть функция А1(£,2) голоморфна в области а и

||А1||СТ)т = вир IА1 (£, 2)(1 + |£|2)т/2| < +ТО.

(£,г)€а

Тогда первое гомологическое уравнение имеет решение Л,(£,2), голоморфное в области а, для которого выполнены следующие условия:

1) ||й||ст = вир|Л,(£, 2)| < 291А1 |ст,т;

а

2) Л,(£, 2) ^ ^т0 при 1т£ ^ ±то, (£, 2) £ а;

3) решение единственно в классе голоморфных функций, удовлетворяющих условию 2.

3.2. Второе гомологическое уравнение

Вначале мы будем предполагать, что существует голоморфное центральное многообразие для отображения ^, значит, мы можем выпрямить его и считать, что оно совпадает с прямой {у = 0}: _Р(£, 0) = (... , 0).

3.2.1. Решение второго гомологического уравнения при наличии центрального многообразия

Для функции А2 (£,2) из (3) выполнено

А2(£, 0) = 0. (22)

Учитывая (22), можно считать, что существует некоторая голоморфная в области а функция А2(£, 2), такая, что функция А2 имеет вид

А2(£,2 ) = Л2А2(£,2 ). (23)

Более того, по лемме Шварца также выполнено условие

Д2(£,2) = 10(£),

£

где N достаточно большое. Таким образом, решение второго гомологического уравнения будем искать в форме

£(£,2) = 2 ■ ^(£,2). (24)

После подстановки (23) и (24) во второе гомологическое уравнение мы получаем

с ◦ *с - с = А2 (25)

Уравнение (25) аналогично уравнению (7) и к нему применимы теорема 3 и лемма

1.

Лемма 2. Пусть функция А2(£, 2) имеет вид (23), где А2 голоморфна в области аи

IIА2 ||т,а = вир | А2(£, 2)(1 + |£|2)т/2| < +ТО.

(?,^)€а

Тогда гомологическое уравнение (2) имеет решение с(£, 2) вида (24), для которого выполнены следующие условия:

1) ||<7||а = виР|с(£) 2 )| < 29 || А2 II т,а;

а

2) С(£, 2) ^ Тт0, где 1т£ ^ ±то, (£, 2) £ а;

3) решение единственно в классе голоморфных функций, удовлетворяющих условию 2.

3.3. Линейный оператор, разрешающий гомологическое уравнение

Предполагая, что существует центральное многообразие, можно искать решение гомологического уравнения в форме

Я о ^0 — Я = А,

где Я = с(£,2) = 2<К£,2), Я = я(£,2) и А(£,2) = (А1(£,2),А2(£)2)),

А2(£,2) = Л2А2(£,2). Зафиксируем параметр с0 = ев-Л(д+2) и предположим, что норма

||А ||а,т ||А1||а,т + || А2 ||а,т (26)

ограничена. Тогда по леммам 1 и 2 мы можем построить решения Я(£, 2) и д(£, 2), удовлетворяющие уравнениям (7) и (25) соответственно. Обозначим через С оператор, сопоставляющий паре А пару Я:

Я = СА.

Пусть В1 — нормированное пространство, состоящее из всех пар /А с нормой (26); через В2 обозначим нормированное пространство пар Я = (Я,с), голоморфных на

а, с нормой

Йа = ||Я||а + ||£||а.

Тогда леммы 1 и 2 могут быть переписаны в следующем виде.

Лемма 3. Оператор С является корректно определенным линейным ограниченным оператором, действующим из В1 в В2 :

УА £ В ||СА ||а < 58|| А |а,т.

4. Решение системы функциональных уравнений

В этом пункте мы будем решать функциональное уравнение в правой секто-риальной области в предположении существования центрального многообразия.

4.1. Нелинейный оператор подстановки

Пусть функции А1(£,2) и А2(£,2) голоморфны в правой секториальной области 50 = 5д0й£0. Функция А2(£,2) имеет вид А2(£,2) = Л2А2(£,2). Для функций А1 , А2 также верны оценки

|Ді(£,*)|< Сі|£|-М, |Д2(£,*)|< С2|Є!

-м

для некоторого достаточно большого N. Выберем некоторое положительное число £ < 1 £0 и Я1 > Я0 + 1. Тогда для любого £ £ 5д1г единичный диск с центром в точке £ целиком содержится в 5д0<5 . Выберем некоторое Я > Я1 и с0 < £в-Л(д+2), по ним построим малую секториальную область а. Пусть М = {Я £ В2 : ||Я|а < 4+} — шар радиуса 2л в банаховом пространстве В2

с метрикой, инуцированной нормой в В2.

Обозначим за Я оператор подстановки

Я : Я ^ (^1,^2),

где

ММ = Ді(£ + Я(£,5),5(1 + л^(С,2))), ¿2(£,5) = Д2(£ + Я(£,5),5(1 +Л<К£,5))) =

1 Д2(£ + Я(£,5 ),2(1 +Л^(С,2)))-

1

Лемма 4. Существует два положительных действительных числа с1 = с1(Д, т) и с2 = с2(Я, т) таких, что :

1) ||Я[Я]||СТ)т < сі УЯ Є М;

2) оператор К Липшицев с постоянной с2.

Доказательство. Пусть Я Є М, тогда |Я(£,5)| < 1/2 и |$(£,5)| < 2л• Обозначим £ = £ + Я(£, г), 5 = ¿(1 + Лд(£, 5)). Оператор К корректно определен на М, т. к. £ лежит в шаре {|£| < 1}, а |5| < ц+щ < 2|г|, поэтому пара (£, 5) лежит в 5д0гЄ0, если (£, г) лежит в а.

1. Для всех (£, г) Є а верны оценки

зир^і^ 5)(1 + |£ГГ^ = 8ир

Ді(£, ¿)(1 + |£ |Т/2 (1 + 1 £| 2)т/2

^ П ' (1 + |£ |2)т/2

< 2ш/2|| Д

1 ІІа.Шо

8ир!^2(£,5 )(1 + |£ |2)Ш/2! = йир

Д

:(£ ,5)(1 + |£?Г/2 (М]?)

2) \ т/2 2

1 + Л5(£,г)

< 2т/2+і|| Д

2 ІІа.то

откуда получаем, что с1(Я,т) = 2т/2 ■ (|А1|а,т + 2|А2|а,т).

2. Для всех Я, и £ М, где Я = Я + <7, и и = и + г>, имеют место соотношения

а

а

а

а

— \h — u\ ■ sup |А;1?| + \Лг\ ■ \g — v\ ■ sup \A;lz| —

a a

z и. I ||Al||a,m д i~ ~ I ||Al||a,m ^

-1 — u|' (1 + \i\2)m/2(R — Ro) + £ Лд — vV (1 + \i\2)m/2(eo — e) -

^ |h u |Al|a,m | \7. f,| llAllla,m 2Л(£о ^ ^|AlL,rn II h u

-|h — U| (1 + |£|2 )m/2 + \g — V| (1 + \e\2)m/2 2 ^o - (TTR^ ^ — ^

\ ^2 (h) — ^2 (u) \

A2(C + h(C,z),z(1 + л^(С,г))) A2(C + u(C,z),z(1 +лг;(С,г)))

<

1+л^(С,^) 1 + лг;(^,г)

A2(C + h(^ z), z(1 + z))) — A2(C + «(£, z(1 + A£(f, z)))

<

1 +Л0(М

Л\г g\ ||A2||a,m,

+

\1 + Л^\\1 + Лг;\ (1 + \C\2)m/2

<

- 2(\h — u\ ■ sup \A'\ +Ле ■ \g — v\ ■ sup ¡A^\) + 4Л(1 + Д£) m/2|| A2||a,m\v — g\ -

a

4Л| A2 ||a,m || ^ ^||

^ -------7y[-¡Г h-u a •

(1 + R2)m/ lla

Таким образом,

/Г, \ Л( II Al II a,m + 4|A2|a,m)

C2(R'm) = ---------(1 + R2)m/2-------•

□

Замечание 2. Постоянные cl и c2, полученные в теореме выше, являются быстро убывающими, т. е.

c(R, m) = max{cl, c2} ^ 0 при R ^ то.

4.2. Сжимающее отображение. Существование решений при наличии центрального многообразия

В предположениях двух предыдущих секций выберем параметр R > Rl, такой, что для постоянных с0 и c(R, m) из лемм 3 и 4 выполнено соотношение с0 ■ c(R,m) < 1. Обозначим через Ml единичный шар в банаховом постранстве Bi:

Ml = {h ^ Bl : ||h||m — 1}.

Лемма 5. Оператор H = LoR действует из Ml в Ml и является сжимающим.

Доказательство. Лемма 5 является непосредственным следствием результатов лемм 3 и 4. □

a

a

Следствие 1. Оператор Н имеет неподвижную точку — пару голоморфных в области а функций (Я,д). Она является решением пары функциональных уравнений (4) и (5) и удовлетворяет условию теоремы 2.

5. Секториальное центральное многообразие

В этом пункте будет доказано, что для полугиперболических ростков класса Im всегда существует центральное многообразие (определенное, может быть, не во всей окрестности начала координат). Вместе с построениями двух предыдущих пунктов это завершит доказательство теоремы 2.

В координатах (С, z) отображение F имеет форму

F (С,у) = Fo(£,z) + (Ai, Д2),

где F0(C, z) = (С + 1, Лz) и область определения SR0¿e0.

Лемма 6. Для заданного 5 £ (0; 2) и достаточно малого £ > 0 существует R1 такое, что для любого R > R1 и некоторой голоморфной функции

ф : М D£ = {|Z 1 < £}

её график Г = {(С,Ф(С)) : С £ SR} является инвариантным для F :

F(Г) С Г. (27)

Доказательство. Включение (27) означает, что

Лф(С) + Д2(С, ф(С)) = Ф(С +1 + Д1(С, Ф(С)))

или, по-другому,

ф(С) = Л-1(Ф(С + 1 + Д^С,Ф(С))) - Д2(С,Ф(С)) =: [Аф](С). (28)

Правая часть (28) определяет оператор А : ф м Аф, действующий на множестве функций ф с областью определения SR. Пусть M — метрическое пространство, состоящее из функций ф, голоморфных на SR с нормой

||ф|| = sup |ф(С)| < £

Srs

и метрикой, индуцированной этой нормой. Требуется для выбранного 5 и любого достаточно малого £ > 0 найти R1 > R0 такое, что для любого R > R1:

а) оператор А корректно определен на M;

б) А действует из M в M;

в) A — сжимающий.

1. Пусть

£i = £i(R) = l^illsRxDe = sup |Д*(С, z)|, i = 1, 2,

SR xDe

тогда для выполнения пункта а) достаточно условия, что при всех С £ SR точка (С,Ф(С)) принадлежит области SRo¿eo, а точка С + 1 + Д1(С,Ф(С)) должна принадлежать SR. Первое будет верно, если (см. рис. 1) £ < £0, а второе — при £1 < sin 5.

Рис. 1. Круг с центром в точке £ + 1 радиуса £i содержится в Sr, если £i < sin5

2. Если ф £ M, то

|[Аф](С)|< Л-1(||ф|| + ||Д2|) < Л-1 (£ + £2) < £.

Значит, Аф будет принадлежать M, если

£2 = £2(R) < £(Л — 1). (29)

3. Если С £ SR, где R > R1, то

|[Аф1](С) — А[ф2](С )| = л-1|ф1(С+1+Д1(С,ф1(С)))—ф2(С)(С+1+Д1(С,ф2(С))) — Д2(С,ф1(С ))+Д2(С,ф2(С))1 < л-1[|ф1(С)(С +1 + Д1(С,ф1(С))) — ф1(С)(С +1 + Д1(С,ф2(С)))1+ +|фх(С)(С+Д1 (С,ф2(С)))—ф2(С)(С+1+Д1(С,ф2(С)))1 + |Д2(С,ф1(С))—Д2(С,ф2(С))I ].

Правая часть неравенства состоит из трех слагаемых. Ниже оценим каждое из них.

4. Расстояния в SR изображены на рис. 2. Обозначим за y кратчайшую кривую, соединяющую точки С1 и С2. Тогда для любых двух точек С1 и С2 из области SR при любой голоморфной в SR функции f (С) выполнено условие

|f (Ы — f (С2)| < С ■ suP |f/(С)| ■ |С1 — С2|

£.&SRS

с некоторой константой c = с(5).

Оценим первое слагаемое. Пусть d = d(R) = sin 5 — £1 > 0. Тогда обе точки С1 = С + 1 + Д1 (С, ф1 (С)) и С2 = С + 1 + Д1(С, ф2(С)) лежат в круге K радиуса £1 с центром в точке С + 1. В таком случае

|ф1(С1) — ф1(С2)| < |Д1(С,ф1(С)) — Д1(С,ф2(С ))|- suP |ф/ (t)| <

|t-(?+1)|<£1

< sup K(t)|- suP |Д'Ь(С,z)| ■ |ф1(С) — ф2(С)|. (30)

|t-(£+1)|<£1 SRS xDs

Рис. 2. Расстояния в £дй от £1 до £2 _ длина кратчайшей кривой 7 С £дг, их содержащей

По интегральной формуле Коши если £ € К, £ € 5^, то ф(£)| < -^т-. Если е < у, тогда Д'1г (£, ¿)| < Цт0—| и, продолжая цепочку неравенств (30), получим

|ф1(С1) — ф1(С2)| <

|Д1|

d £0 — £

\ — ф2 ! < d( £1 (Í?)) |ф1 — ф2| d(£0 — £)

В частности, если

/т 1 . г £0

£1 = £ 1 (R) < 2 sin 5, £ < — ,

(31)

то

|ф1(С1) — ф1(С2)| <

2£1 sin 5

— ф2

Для второго слагаемого имеем неравенство |ф1(£2) — ф2(£2) | < ||ф1 — ф2||, для третьего — неравенство

£2(R) £0/2 ,

|Д2(С,ф1(С)) — Д2(С,ф2(С))| < |ф1 — ф2 || ' suP | Д2г — ф2 |

SR5 х D£

если £ < у, аналогично оценке первого слагаемого.

5. Из п. 4 данного доказательства следует, что

2£1 2

||Аф1 — Аф2|| < ||ф1 — ф2 | ■ Л-1 ■ I + 1+-----£2

sin 5 £0

6. При достаточно большом N величины е1(Д) и е2 (Я) стремятся к нулю при Я ^ то. Поэтому существует достаточно большое Я1 такое, что (31) разрешимо и

2е1 2

Л

1

+ — £2 + 1 < 1.

(32)

1

Тогда оператор A является сжимающим.

7. В завершение доказательства выберем е > 0 из промежутка (0, у), после этого мы выберем Ri такое, что выполнено (29), (31) и (32) для всех R > R^ Тогда пункты a), б) и в) выполнены, и по теореме о неподвижной точке, учитывая полноту метрического пространства M, получим утверждение леммы. □

Замечание 3. В приведенных выше рассуждениях параметр 8 был выбран произвольно. Поэтому из утверждения о единственности теоремы о неподвижной точке следует, что секториальное центральное многообразие единственно в следующем смысле: два любых секториальных центральных многообразия с различными областями определения совпадают на общей области определения.

Замечание 4. Вопрос о существовании секториального центрального многообразия рассматривался также в работах [21; 22].

Список литературы

1. Poincare, H. Memoire sur les courbes definies par une equation differentielle I /

H. Poincare // J. Math. Pures et Appl. — 1881. — Vol. 7. — P. 375-422.

2. Poincare, H. Memoire sur les courbes definies par une equation differentielle I /

H. Poincare // J. Math. Pures et Appl. — 1882. — Vol. 8. — P. 251-286.

3. Poincare, H. Memoire sur les courbes definies par une equation differentielle I /

H. Poincare // J. Math. Pures et Appl. — 1885. — Vol. 1. — P. 167-244.

4. Poincare, H. Memoire sur les courbes definies par une equation differentielle I /

H. Poincare // J. Math. Pures et Appl. — 1886. — Vol. 2. — P. 151-217.

5. Poincare, H. Sur les problem des trois corps et les equations de la dinamique /

H. Poincare // Acta Math. — 1890. — Vol. XIII. — P. 1-270.

6. Siegel, C. L. Vorlesungen uber Himmelsmechanik / C. L. Siegel. — Berlin ; Gottingen ; Heidelberg : Springer-Verland, 1957.

7. Брюно, А. Д. Аналитическая форма дифференциальных уравнений / А. Д. Брю-но // Тр. Моск. мат. об-ва. — 1971. — Т. 25. — С. 119-262.

8. Брюно, А. Д. Аналитическая форма дифференциальных уравнений / А. Д. Брю-но // Тр. Моск. мат. об-ва. — 1972. —Т. 26. — С. 199-239.

9. Арнольд, В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений / В. И. Арнольд. — М. : Наука, 1978.

10. Yoccoz, J. C. Linearisation des germes de diffeomorphismes holomorphes de (C, 0) / J. C. Yoccos // C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math. — 1988. — Vol. 306, № 1. — P. 55-58.

11. Воронин, С. M. Аналитическая классификация ростков конформных отображений (C, 0) ^ (C, 0) с тождественной линейной частью / C. M. Воронин // Функц. анализ и его приложения. — 1981. — Т. 15, вып. 1. — C. 1-17.

12. Ecalle, J. Sur les fonctions resurgentes / J. Ecalle. — Orsay : Publ. Math. d’Orsay,

1981.

13. Martinet, J. Probleme de modules pour des equations differentielles non lineaires du premier ordre / J. Martinet, J. P. Ramis // Inst. Hautes ’Etudes Sci. Publ. Math. —

1982. — № 55. — P. 63-164.

14. Martinet, J. Classification analytique des equations differentielles non lineaires resonnantes du premier ordre / J. Martinet, J. P. Ramis // Ann. Sci. Ecole norm. super. - 1983. - Vol. 16, № 4. - P. 571-621.

15. Malgrange, B. Travoux d’Ecalle et de Martinet-Ramis sur les systemes dinamique /

B. Malgrange // Asterisque. — 1982. — № 582. — P. 59-73.

16. Воронин, С. M. Аналитическая классификация типичных вырожденных элементарных особых точек ростков голоморфных векторных полей на комплексной плоскости / C. M. Воронин, Ю. И. Мещерякова // Изв. вузов. Математика. — 2005. — № 1. — C. 13-16.

17. Воронин, С. M. Аналитическая классификация седлоузлов / C. M. Воронин, Ю. И. Мещерякова // Тр. Моск. мат. об-ва. — 2005.— Т. 66. — C. 93-113.

18. Воронин, С. M. Аналитическая классификация пар инволюций и ее приложения /

C. M. Воронин // Функц. анализ и его приложения. — 1982. — Т. 16, № 2. — С. 21-29.

19. Воронин, С. M. Проблема Тома в задаче об орбитальной аналитической классификации вырожденных особых точек голоморфных векторных полей на плоскости / C. M. Воронин, Л. Ортис-Бобадилла, Э. Росалес-Гонсалес // Докл. Акад. наук. — 2010. — Т. 434, № 4. — C. 443-446.

20. ^Щербаков, А. А. Топологическая классификация ростков конформных отобра-

жений с тождественной линейной частью / A. A. Щербаков // Вестн. Моск. гос. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. — 1982. — Т. 37, № 3. — C. 52-57.

21. Ueda, T. Local structure of analytic transformations of two complex variables /

T. Ueda // Int. J. Math. Kyoto Univ. — 1986. — Vol. 26, № 2. — P. 233-261.

22. Ueda, T. Local structure of analytic transformations of two complex variables /

T. Ueda // Int. J. Math. Kyoto Univ. — 1991. — Vol. 31, № 3. — P. 695-711.