О решении простейшего функционального уравнения в области типа "криволинейная полоса" Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические заметки СВФУ Октябрь—декабрь, 2017. Том 24, № 4

УДК 517.9

О РЕШЕНИИ ПРОСТЕЙШЕГО ФУНКЦИОНАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ В ОБЛАСТИ ТИПА «КРИВОЛИНЕЙНАЯ ПОЛОСА» П. А. Ш^айхуллина

Аннотация. Рассматривается функциональное уравнение и(£ + 1) — и(£) = £ € П, в области П с С типа «криволинейная полоса». Для достаточно быстро убывающих на бесконечности и голоморфных внутри области П функций <!(£) показано существование голоморфного и ограниченного решения, исследован вопрос единственности. Получены точные оценки найденных решений и асимптотика.

Б01: 10.25587/8УРи.2018.4.11319 Ключевые слова: полугиперболические отображения, функциональные уравнения, аналитическая классификация.

1. Введение

В работе рассматривается одно из простейших функциональных уравнений

«(С + 1) - «(С) = ¿(С), С е 5 с с. (1)

Это уравнение возникает в многочисленных задачах анализа и является разностным аналогом простейшего дифференциального уравнения X = й(£). К уравнению (1) сводятся и линейные функциональные уравнения вида

« о — « = й (2)

в случаях, когда заданное отображение ^ удается сопрячь с единичным сдвигом.

Если область Б инвариантна относительно единичного сдвига Т : С ^ С +1, Т(Б) С Б, а итерации й о Тп достаточно быстро убывают, то решение уравнения (1) удается найти явно: «(С) = — й ◦ Тп. Аналогично обстоит дело в

п=о

случае «обратной инвариантности» Т-1(Б) С Б; решение задается формулой « =5^ й о Т-п. Отметим, что именно так строились решения для уравнения

п=1

(2), например, в работах А. А. Щербакова [1].

Однако если область Б не инвариантна относительно сдвига Т, задача о разрешимости уравнения (1) становится существенно сложнее.

Например, в работе [2] рассматривается задача о классификации ростков полугиперболических отображений, формально эквивалентных ростку

© 2017 Шайхуллина П. А.

Линеаризация соответствующего функционального уравнения приводит к функциональному уравнению

и(гЬ'Ау) ~u(x>y) = D(x>y)- (з)

Сужение этого уравнения на инвариантную кривую 7с = {у = А =

1пЛ, отображения Fo приводит уравнение (3) к виду (1) (с функцией d(£) = -D(—j, сел^), £ = —i — параметр на 7С). Отметим, что в случае, когда функция D из (3) определена на полидиске {|ж| < е, |y| < е}, область определения функции состоит из точек удовлетворяющих ограничениям |£| > ^ и Re £ < j In -щ. Эти ограничения при малых значениях параметра с задают область О типа «полуплоскость без диска». Она не инвариантна относительно сдвига T и описанные выше формулы для решений неприменимы.

Область О можно представить в виде объединения двух подобластей: О = О' U П, где О' уже инвариантна относительно T, а П — область типа «полоса». На О' уравнение решается по описанной выше схеме, однако для областей П нужно рассматривать описанную ниже методику. Отметим, что именно отсутствие результатов о разрешимости уравнения (1) не позволило авторам [3] получить аналитическую классификацию полугиперболических ростков отображений (в работе была проведена лишь частичная нормализация — соответствующая областям О').

Более того, если в приведенном выше примере при вещественных Л можно было рассматривать в качестве полосы П вертикальную полосу Re £ £ [а; в], то при невещественных Л соответствующая полоса должна быть наклонной. Более того, помимо рассмотренных в примере нормальных форм Fo ростков полугиперболических отображений имеются и другие, несколько более сложные (см. [4]). Для них рассмотренная ниже схема применима, но соответствующее уравнение (1) приходится рассматривать уже в «криволинейных» полосах.

Замечание 1. Аналогичные эффекты и проблемы возникают во всех задачах классификации ростков отображений, для которых отсутствует «полуинвариантность» (как положительные, так и отрицательные полуорбиты точек покидают сколь угодно малую окрестность точки). В частности, рассматриваемая задача будет полезна не только для полугиперболических ростков, но и при исследовании ростков «седловых» отображений (типа (ж, у) —> (2ж + ..., ^у +...)).

2. Основные определения и результат

Определение 1. Пусть L_ = {£ = (x(y) + iy) : y £ R} — кусочно гладкая кривая, где функция x(y) удовлетворяет ограничению

|x'| < cn, сп £ R. (4)

Пусть кривая L+ = L_ + | и кривые L_ и L+ образуют границу некоторой

о

криволинейной полосы П. Пусть П = Int П — внутренность полосы П.

Рассмотрим класс 'З функций, голоморфных в П и непрерывных на П, с конечной нормой

1И||п,т = зир|^)(1 + |^|2)^|<+оо, ш>3. (5)

п

Определение 2. Решением уравнения (1) с правой частью й е 3 будем

о

называть функцию «(С), голоморфную на расширенной полосе П1 = П и {С :

оо

С — 1 е П} и удовлетворяющую уравнению (1) на П. Норму решения на полосе П будем задавать стандартным способом:

||«||п = эир |и(С)|. п

Теорема 1. Функция

п=0 Ь- ь+

является решением уравнения (1) с правой частью й е @ на полосе П, причем

1) существует некоторая константа с(т,сп) такая, что

У«(С)||п < с(т,сп)|й|п,т;

2) существует константа Мо = ^ / <1(Ь)М такая, что для любого £ £ П

Ь-

I /Л х м , .С(т,сп)||й||п,т Т , ,

НО±Мо\<--— при ±оо;

3) решение «(С) вида (6) единственно в классе голоморфных и ограниченных функций, удовлетворяющих условию 2.

Доказательство. Функция «(С) действительно является решением уравнения (1), так как

и(£ + 1 = / 7—Т—ТТТ +

2П2 п=0и (* — С — п — 1) J (I — С + п)

п=0 Ь- Ь+

1 ( [ Ф) м г ¿(г) м

-^¿Л] (I - £ - п) + У + п +

п=0 Ь- Ь+

1 ( Г ^ [

2пг УУ 4 — С У 4 — С

Ь+ Ь-

й(С).

Часть полосы ПЕе. Рассмотрим часть полосы

ПЕе = ПП | |1т£| < тах < 1; —-—I 1 1 1 + сп

Доказательство проведем на полосе П ширины 1, граница которой состоит из

кривых L_ = L_ + j и L+

L+ — j. В дальнейшем мы сможем продолжить

решение с полосы П на полосу П, используя уравнение (1). При этом голоморфность и ограниченность решения будут сохранены, так как функция в правой части уравнения голоморфна и ограничена на всей полосе П.

Пусть ПЕе — часть полосы П на области ПЕе. На полосе ПЕе обе подынтегральные функции голоморфны при п > 1 и мы можем перейти к интегрированию по одной из границ, допустим, по и сложить интегралы:

КС)| <

1

d(t) dt t-ç +1

+

d(t) dt t-ï

+

— V

2П ^

(2t - 2С + 1)d(t) dt

n= 1 г

(t - С - n)(t - С + n + 1)

Замечание 2. Здесь и далее при оценивании мы опираемся на следующее утверждение: для любой пары неотрицательных чисел (ж, у) выполнено

(1 +х2 + у2)^ > ^(1 + ах + ау) Уа<1.

Утверждение доказывается возведением в квадрат обеих частей неравенства. Так как кривая = {4 = ж(у) + ¿у} обладает свойством (4), а £ € П, то

Vt G L_ |t - С| >

1

= ; Vt G L+ |t - С + 1|>

1

Vt G L_ Vn > 1 |t - С - n| >

|t - С + n +1| >

\dt\ < y/l + c2udy.

Также полоса П (а значит, и П) гарантированно пересечет или прямые Im С = 1 и = —1, или прямые = -^^jRe^ и = —-^^jRe^, причем на полученном криволинейном четырехугольнике выполнено неравенство

|С| < max{|x(0)| + 5/2 + cn; (cn + 1)(|x(0)| + 3/2)} < (cn + 1)(|x(0)| + 3).

Из условия (4), в частности, следует, что

|cnM-|x(0)|| < |x(y)| < (|x(0)| + cn|y|). (7)

Из правой части последнего неравенства получаем

|2t - 2С + 1| < (2|x(y)| + 2|y| + 21С| + 1) < (2(cn + 1)|y| +2(cn + 2)|x(0)| + 3cn +7). Из свойства функции d(t) (5), замечания (2) и последнего неравенства имеем |2i _ ^ + < (^п + 1)Ы+2(сп + 2)И0)| +3Сп + 7)2-|И||п,т

(1 + Иу)| + \у\)т Если |x(0)| < cn|y|, то, отбрасывая |x(y)| в знаменателе, получим (2(4 + 3cn + 1)|y| + 3cn + 7)2m||d||n,m

|2t - 2С + 1||d(t)| <

(1 + |y|)m

(спЫ + cn)^m|Mlln,r

(l + |y|)m

2

2

n

n

и

2

2

Если |ж(0)| > сп|у|, то из левой части неравенства (7), выделяя целую часть и отбрасывая |х(0)| в знаменателе, получим в точности ту же оценку. Так как в нашей задаче т > 3, то

dy <2,

(1 + |y|)

и из равномерности оценок выше и сходимости ряда — следует голоморф-

~ п=1 "

ность решения и(£) на части полосы ПЕе а также ограниченность:

SupKO|<7H8||d||n,; f dV

п R

2п \ У (1 + |y|)m

— О

I / + 0 + 0

^(1+^)2"ЧИ|п,т( f C^dy [(<*-!) dy

¿1 \ J (1 + М)"1-1 J (i + M)m

т. е.

sup |u(£)| < ci(m, cn)||d||n,m-

п Re

Часть полосы П1т. На части полосы вне области П1т = П \ ПЕе потребуется преобразовать вид решения.

Заметим, что для любого натурального числа s > 1 на подмножестве П1т выполнено

00 / 1 £

п=0 V (С + п)(£ + П +1) ... (С + П + 5 + 1)

Это легко проверить прямыми вычислениями. Функции вида ¿(¿+1) . .. голоморфны на П, поэтому суммы следующего рода будут равны нулю:

¿Д/ + « + ^ +

[ К1+1)...{1 + 8)й{1)М \ =

m

— оо

Будем последовательно прибавлять и вычитать из решения и(С) суммы вида (8)

для всех в = 0, то — 3 и получим следующий результат:

1 ^ {Г *(* +1) ••• (* + т - 3Ш)

2™ (£ + п)(£ + п + 1) ••• (£ + п + т - 3)(* - £ - п)

п-и ь_

Г t(t+í)...(t + m-3)d(t)dt

+ У (С - П - 1)(£ - п)... (£ - п + то - 4)(£ - £ + п + 1) ь+

1 ^ 1

2пг ^^ £ + п

Ь-

Первое. На для любого неотрицательного п > 0 и любого £ € П, так

1

4'

как полоса П отстоит от на 4, множитель из знаменателя имеет оценку

|* - £ - п| >

I +п

у7^

На Ь+ аналогично для тех же п и £ имеем

- £ + п + 1| >

I +п

Второе. В силу условия (5) на функцию ¿(¿), параметризации кривых интегрирования и условия (4), а также замечания (2)

|*|+т-3)т-2Ип,т|<й|

| *(* + 1) ••• (* + т - 3)^(*) <

(1 + №)¥

<

(1 + |у|)2

Третье. Так как область П1т не содержит начало координат, для любого £ € П1т если п = 0, то согласно замечанию 2

1 1 / 1 \ п

|£+п|>-(|Ке£ + п| + |1т£|)>- |Ке£ + п| + —-1 ) >

2Ч s 1 1 " 2 V s 1 1+ сП' "2(1+ ел)'

Отсюда

п

|£+п|...|£ + п + то-3| >

2(1 + ел) п

|£ - п - 1| ••• |£ - п + т - 4| >

2(1 + ел)'

Если же п = 0, то |£||£ + 1| • • • |£ + т - 3| > 1, |£ - 1||£| • • • |£ + т - 4| > 1.

В силу сходимости интеграла / < 2 и ряда для всех £ £ П1п

— ^ п=1

выполнено

оо

Е

п=0

+

t(t + l)...(t + m-3)d(t)dt

< С2(т, сп^ИНпт

(£ + п)(£ + п + 1) ••• (£ + п + т - 3)(* - £ - п) *(* +1) ••• (* + т - 3)^(*)

(£ - п - 1)(£ - п) • • • (£ - п + т - 4)(* - £ + п + 1) Ь+

Осталось оценить хвост

1

2пг £ + n

d(t) dt

n= —оо

— ctg(Tr£) пг

Заметим, что при 11т£| > 1 котангенс ограничен: | ctg(п£)| < 3, и так как функция удовлетворяет (5), а кривая — условию (4), то

+^

1

1

2пг £ + n

d(t) dt

n=

< сз(т, cn)ydyn,m-

Пусть

c(m, cn) = max{ci(m, cn); c2(m, cn) + C3(m, cn)}. Тогда решение u(£) голоморфно на П и ограничено:

sup |u(£)| < c(m,cn)||d||n,m. п

Продолжим решение с полосы П на полосу П по уравнению (1), причем так как правая часть голоморфна и на П удовлетворяет условию (5), продолжение решения на П также голоморфно и удовлетворяет оценке

1К£)||п < c(m,cn)||d||n,m-

АсимптотикА. Для построения асимптотической оценки вернемся к третьему шагу доказательства выше, но не будем теперь забывать про вещественную часть Im£. Так как | Re£| может быть произвольно большим, для каждого значения n £ Z может существовать £ £ П такое, что | Re £ — n| = 0. Если перенумеровать ряды

1

1

(£ + n)(£ + n +1)... (£ + n + m — 3)'

n=0

n=0 vs

1)(£ — n)... (£ — n + m — 4)

так, что 111е£+п+з| — к = 0 для некоторого целого к (в = 0, то — 3), то, учитывая, что множителей в знаменателе каждого из рядов ровно то — 2, получим

Е

n=0

1

(£ + n)(£ + n +1)... (£ + n + m — 3)

^E-

<

k=0

(k + | Im£|)m-2 " (m — 3)| Im£|m-3'

аналогично

oo

n=0

(£ — n — 1)(£ — n)... (£ — n + m — 4)

<

(m — 3)| Im£|m-3'

Отсюда

1 A 1

n= —OO

£ + n

d(t) dt

< C(m, cn)

2m+1

(m — 3)| Im£|m-3'

1

m— 1

2

2

m

1

2

m

где

С(т'сп)= .1 -(ГТЙ^-'

интеграл сходится в силу условия (4).

Заметим, что ctg(п£) принимает различные по знаку значения при 1т £ ^ Поэтому оценку асимптотики естественно проводить отдельно в верхней и нижней полуплоскостях.

Пусть Im £ > 0, тогда —i ctg(n£) / d(t) dt + Mo <

2

1 + g2n Im £

M\nlra,Jdt\ JM||n,m

—-, ' m < constlm, Cn)-;--

(l + |i|2)f " v ' | Im£|m

K0±M)|< -iTi^---при Im£ —> ±oo.

L- L-

В нижней полуплоскости оценка аналогична.

Мы сейчас рассматриваем ситуацию, когда мнимая часть достаточно велика, поэтому можем считать, что | Re£| < | Im£| и | Im£| > Щ-. Тогда, продолжая решение с полосы П на полосу П, получим

С(т, cn)||rf||n,m №

Единственность решения. Пусть U — другое решение (голоморфное и ограниченное на полосе П). Пусть Su = u — щ тогда Su голоморфна и ограничена на П и 1-периодическая. Продолжаем ее на всю комплексную плоскость по 1-периодичности и получаем ограниченную голоморфную на всей комплексной плоскости функцию. Значит, по теореме Лиувилля Su = const. С учетом асимптотики Su = 0. □

Замечание 3. Используя уравнение (1), можно продолжить решение и(£) даже чуть дальше полосы П — на полосу П1 (дП1 = {L+ + 1} — {L_}) по следующим формулам:

и(£ + 1)= u(£)+ d(£).

ЛИТЕРАТУРА

1. Щербаков А. А. О ростках отображений, аналитически не эквивалентных своей нормальной форме // Функцион. анализ. 1982. Т. 16, № 2. С. 94—95.

2. Воронин С. М., Фомина П. А. Секториальная нормализация полугиперболических отображений // Вестн. ЧелГУ. 2013. № 16. С. 94-113.

3. Ueda T. Local structure of analytic transformations of two complex variables I. // J. Math. Kyoto Univ. 1991. V. 31, N 3. P. 695-711.

4. Шайхуллина П. А. Формальная классификация типичных ростков полугиперболических отображений // Мат. заметки СВФУ 2015. Т. 22, № 4. С. 79-90.

Статья поступила 28 сентября 2017 г.

Шайхуллина Полина Алексеевна Челябинский гос. университет, кафедра математического анализа, ул. Братьев Кашириных, 129, Челябинск 454001 :£от1пара@§;та11 • сот

Математические заметки СВФУ Октябрь—декабрь, 2017. Том 24, № 4

UDC 517.9

ON SOLUTION TO THE SIMPLEST FUNCTIONAL EQUATION IN CURVILINEAR-BAND-TYPE DOMAIN P. A. Shaikhullina

Abstract: We consider the functional equation u(Ç +1) — u(Ç) = d(Ç), Ç € n, in the region n c C of "curvilinear band" type. For sufficiently fast decreasing at infinity and holomorphic within the domain n functions d(Ç) the existence of a holomorphic and bounded solution is shown, the uniqueness of the solutions is investigated. We also obtained precise estimates of the constructed solutions and its asymptotic behavior.

DOI: 10.25587/SVFU.2018.4.11319 Keywords: semihyperbolic maps, functional equations, analytic classification.

REFERENCES

1. Shcherbakov A. A., "On germs of mappings analytically non-equivalent to their normal form [in Russian]," Funkt. Anal. Pril., 16, No. 2, 94-95 (1982).

2. Voronin S. M. and Fomina P. A., "Sectorial normalization of semihyperbolic maps [in Russian]," Vestn. Chelyabinsk. Gos. Univ., 16, 94-113 (2013).

3. Ueda T., "Local structure of analytic transformations of two complex variables," Int. J. Math. Kyoto Univ., 31, No. 3, 695-711 (1991).

4. Shaykhullina P. A., "Formal classification of typical germs of semihyperbolic mappings [in Russian]," Mat. Zamet. SVFU., 22, No. 4, 79-90 (2015).

Submitted September 28, 2017

Polina A. Shaikhullina Chelyabinsk State University,

129 Br. Kashirinykh Street, Chelyabinsk 454000, Russia fominapa@gmail•com

© 2017 P. A. Shaikhullina