Нормальные формы многомерных параболических отображений Текст научной статьи по специальности «Математика»

НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ МНОГОМЕРНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ ОТОБРАЖЕНИЙ

Рассматривается формальная классификация ростков двумерных аналитических отображений с тождественной линейной частью. Показано, что при выполнении некоторых ограничений типичности на 2-струю, росток строго формально эквивалентен квазиполиномиальной нормальной форме специального вида. Доказана единственность таких нормальных форм.

Ключевые слова: нормальные формы, параболические отображения, формальная классификация.

Введение

В соответствии с методом теории нормальных форм, прежде чем исследовать дифференциальное уравнение (отображение), его следует привести к возможно более простому виду. Слова «возможно более простой вид» здесь означают, что в разложении правой части уравнения (отображения) в ряд Тейлора в окрестности, скажем, положения равновесия, отсутствует как можно большее число младших членов ряда. Так, например, типичный одномерный нерезонансный голоморфизм в окрестности неподвижной точки приводится к линейному виду (теорема Пуанкаре-Шредера, см. [1]). Резонансное отображение по теореме Пуанкаре-Дюлака (см. [1]) формальной заменой координат приводится к так называемой предварительной нормальной форме (ПНФ по определению не содержит резонансных мономов). Однако часто ПНФ допускают дальнейшие упрощения. Так, например, для одномерного параболического отображения f : г ^ г +... его ПНФ совпадает с f, но это отображение приводится (формальной) заменой координат к полиномиальному виду (см. [2]). В многомерном случае ПНФ отображения с тождественной линейной частью также совпадает с самим отображением, но тем не менее может быть значительно упрощена. Построение соответствующих формальных нормальных форм и является целью настоящей работы.

Автор выражает благодарность профессору С. М. Воронину за постановку задачи и помощь в её решении.

1. Постановка задачи и формулировка основного результата

Определение 1. Два отображения Г и Г с неподвижной точкой 0 называются локально эквивалентными, если существует такая замена координат Н, определённая в окрестности нуля, Н(0) = 0, что в некоторой окрестности нуля

Г О Н = Н О Р. (1)

Соответственно классу гладкости Н эквивалентность называется аналитической, если замена координат Н голоморфна, и гладкой, если замена координат Н глад-

кая. Формальной заменой координат Н будем называть такой формальный степенной ряд (с векторными коэффициентами) без свободных членов, что матрица Н'(0) обратима. Отображения Г и Г называются формально эквивалентными, если равенство (1) справедливо для некоторой формальной замены координат Н. Эквивалентность будем называть строгой, если линейная часть формальной замены Н тождественна.

Отображение Г : х ^ Лх + ... называется параболическим, если спектр его линейной части лежит на единичной окружности.

Ниже мы будем рассматривать простейший случай параболических отображений, для которых линейная часть тождественная, т. е. Л = Е .В случае размерности п = 2 это означает, что

Г : (х, у) ^ (х + ... , у + ...).

Цель работы: получить строгую формальную классификацию типичных простейших параболических отображений.

Основным результатом настоящей работы является следующая теорема.

Теорема 1. Для типичных однородных многочленов А2, В2 второй степени отображение Г : (х, у) ^ (х + А2 + ..., у + В2 + ...) формально эквивалентно единственному отображению вида

ГР,д : (х, у) ^ (х + А2 + Р, у + В2 +

где Р = Р(х, С), Ц = ^(х,С) — многочлены второй степени по переменной х, коэффициенты которых — формальные степенные ряды от С(х, у) = уА2(х, у) — хВ2(х, у).

Замечание 1. Условия «типичности» многочленов А2, В2 состоят в выполнении шести алгебраических ограничений типа «неравенства», налагаемых на коэффициенты; точные формулировки этих ограничений приводятся в доказательстве основной леммы.

Замечание 2. Как известно [1], теории нормальных форм отображений и векторных полей параллельны. Близкие результаты для вырожденных особых точек векторных полей были ранее получены в работах [3-7]. В частности, теорема 1 является точным аналогом соответствующего результата о формальной классификации ростков голоморфных векторных полей из [6; 7].

2. Гомологическое уравнение. Основная лемма

Будем пытаться формальными заменами координат максимально упростить данное параболическое отображение. Именно, пусть замена координат Н(х, у) переводит отображение Г(х,у) в отображение Г(х,у). Это означает, что справедлива формула (1), т. е. Г о Н = Н о Г, где отображение Г дано, замена координат Н искомая, отображение ^ подбирается так, чтобы оно было как можно более простым и система (1) имела нетривиальное решение. Пусть

Н (х,у) = (х + Н2 +

,у + С2 + ... ),

F(x, y) = (x + A2 + ..., y + B2 + ...),

F(x, y) = (x + A2 + ..., у + B2 + ... ),

где Hk, Gk, Ak, Bk, Ak, Bk — однородные многочлены степени k. Подставляя эти выражения в (1) и приравнивания в этом равенстве однородные многочлены степени m > 2 (очевидно, что при m = 2 A2 = A2, B2 = B2), получаем систему

A2xHk + A2yGk — HkxA2 — HkyB2 = Am — Am =: ^4m,

~ (2)

B2xHk + B2yGk — GkxA2 — GkyB2 = Bm — Bm =: Bm,

где m = k + 1, k > 2,

Am Am + . . . j Bm Bm + . . . j

многоточием обозначены члены из системы (2), зависящие от Aj, Bj, Aj, Bj, i < m; Hs, Gs, s < k. При фиксированных Am, Bm эта система (гомологическое уравнение) линейна относительно неизвестных Hk, Gk, и Am, Bm. Её разрешимость и единственность решений в классе однородных многочленов Am, Bm специального вида даётся следующей основной леммой.

Лемма 1. (Основная лемма). Для типичных многочленов A2, B2 второй степени, для любого k > 2 и любых однородных многочленов Am, Bm степени m = k + 1 существуют единственные однородные многочлены Am ,Bm специального вида, такие, что система (2) имеет (причём единственное) решение Hk, Gk (Hk, Gk — однородные многочлены степени k). Многочленами специального вида здесь будем называть многочлены

а) при k = 2 + 3s : const ■ cs+1, s > 0, s G Z;

б) при k = 1 + 3s : const ■ cs ■ x2, s > 1, s G Z;

в) при k = 3s : const ■ cs ■ x, s > 1, s G Z.

3. Доказательство основной леммы

Заметим, что для однородных многочленов Hk, Gk степени k и A2, B2 степени 2 справедливы равенства

xHkx + yHky = kH, I xA2x + yA2y = 2A2,

xGL + yGky = kG, 1 xB2x + yB2y = 2B2.

(3)

Домножив обе части системы (2) на х, используя равенства (3) и полагая х = 1, получим систему

Ат(1, у) = аНк + + сНк)

Вт(1, у) = ^Нк + /^ + сСк,

(4)

где дифференцирование выполняется по переменной у, значения всех однородных многочленов вычисляются при х = 1 ,

а = (2 - k)A2(1,y) - yA2y (1,y), b = A2y (1,y), c = yA2(1, y) - B2(1, y),

рассматриваются в точке х = 1, так что система (4) — это система уравнений с полиномиальными по у коэффициентами а, Ь, с, й, / (deg а = deg й = deg / = 2, degЬ = 1, degс = 3) относительно неизвестных многочленов Н;(1,у), С;(1,у) степени к; многочлены Ат = Ат(1,у), Вт = Вт(1, у), где Ат = Ат + Ат, Вт = Вт + Вт — параметры системы, обеспечивающие её разрешимость, Ат, Вт даны.

Замечание 4. Очевидно, система (2) равносильна системе (4).

Замечание 5. Ясно, что слева всегда стоит многочлен степени к +1, а справа — степени к + 2. На самом деле, степень многочлена в правой части равна к + 1, так как в силу специфики коэффициентов системы коэффициент при у;+2 всегда сокращается.

Перейдём к доказательству основной леммы, которое будет проведено для системы (4), равносильной системе (2).

Будем налагать некоторые условия на многочлены А2, В2 второй степени. Именно, пусть С(х,у) = уА2(х,у) — хВ2(х, у). Тогда

Для высоких степеней многочленов к = 2 + 35,5 > 0, к =1 + 3з,з > 1, к = 35, 5 > 1,5 Є Ъ, решение будет проводиться индукцией по 5. Пусть (Н;, С;) — решение системы (4), где Н;, С; — многочлены степени к. Подставляя корни многочлена с(у), у = у^, і = 1, 2, 3, в систему (4), получим систему

Тогда определитель системы (5) равен det М(у^). Учитывая, что В2(1,у^) = у^ А2 (1, у^), получаем

с(у) := С(1,у) = уА2(1,у) — в2(1,у)-

Пусть для многочлена с(у) выполнены следующие условия.

У1. deg с(у) = 3.

У2. Многочлен с(у) имеет 3 различных корня у^, ] = 1, 2, 3. У3. Многочлены А2(1, у) и В2(1,у) не имеют общих корней.

-4т(1,уі) = а(уі)Н; (1,уі ) + ь(уі )с; (1,уі ), Вт(1,уі) = й(уі)Н; (1,уі ) + / (уі )с; (1,уі ),

(5)

где deg Н; = deg С; = к, deg Ат = deg Вт = т = к + 1. Пусть

М(у^-) = [А2 (к — 2)(уА2 + кА2 — В2)]

У=Уз

Так как А2(1,у-) = 0 по условию У3, то для выполнения условия det М(у-) = 0 осталось проверить, что [уА2 + кА2 — В2] \ = 0. Заметим, что

с = А2 + уА2 — В2 ,

поэтому

[уА2 + кА2 — В2]

Ао

так как гев-

Ао

= -

У=У.І

У=Уі

к-1

[С + (к — 1)А2] = 0

У=Уі

по условию У4.

Значит, система (5) разрешима для всех у-= 1, 2, 3, причём однозначно. Таким образом, можно найти значения Яд, Сд в точках (1, у-), ] = 1, 2, 3. По интерполяционной формуле Лагранжа построим многочлены Н^о = Н^о(у), Со = Со(у) степени 2 такие, что Я^у-) = Я,(1,у-), Со (у-) = С(1,у-). Рассмотрим многочлены

ДЯо(у) = Я (1,у) — ^о^^

ДСо(у) = С(1,у) — СДо(у)

степени к. Из единственности решения системы (5) следует, что многочлены ДНо(у) и ДСо(у) в точках у = у-, ^' = 1,2,3, равны нулю. С учётом условий У1, У2 они делятся на многочлен с(у), т. е. их можно представить в виде ДЯо(у) = с(у)Я,(у), ДСо(у) = с(у)С,, где многочлены Я,, С, степени к — 3. Таким образом,

Я (1,у) = Я°(у) = Яйо(у) +

С, (1,у) = Со (у) = С,о(у) + с(у)С, (у).

Подставим эти выражения в систему (4). Нетрудно заметить, что

[Ат(1,у) - а(у)Яйс(у) - 6(у)Сй0(у)]

У=Уі

0,

[Вт(1,у) - ^(у)Як0(у) - /(у)Ск0(у)]

У=Уз

І = 1, 2, 3. Значит, эти многочлены также делятся на многочлен с(у), т. е. пред-

ставимы в виде

Ат — аЯко — ЬС

гк0

Ят — ^Як0 — /Ск0

сА1

ьлт,

= сВ 1

т, і?т = Вт), где многочлены ,4т, степени т — 3. Поэтому получен-

(Ат = а

ные равенства можно сократить на многочлен с(у). Таким образом, система (4) сводится к системе

Ат(1,у) = Ат(1,у) — Як0 =я1(а+с)++с(я1), Вт(1,у) = Вт(1,у) — Ск0 = ^я1+(/+с )+с(ск) ,

1

с

с

0

где deg Ат = deg і?т = т — 3, deg Я^ = deg = к — 3.

Аналогичные рассуждения понижения степени проводим в раз, т. е. до тех пор, пока не получим систему, у которой степень искомых многочленов мала (а именно равна к, где к = 0,1 или 2). Тем самым вся процедура «спуска» выглядит следующим образом: на каждом шаге ищется решение Як, Ск, і = 0,1,... , в — 1, системы дифференциальных уравнений

(7)

Ат(1,у) = Я(а + гс ) + ЬС, + с(Я) вт(1, у) = ^Як + С,(/ + *с ) +с(С,)

для многочленов Як (у), С, (у) степени к — 3г. Это решение ищем в виде

Як = Якг + сЯк+1, С = С к к + сСк+1, (8)

где deg Я,к = deg С ,к = 2.

При г = 0 эта система есть в точности система (4), где ЯЮ = Я,, С, = С ,,

(1,у) = ^ш^у^ (1,у) = ^Вт(1,у)-

Подставляя в систему (7) значения у = у-, = 1,2, 3, получим систему

уравнений с матрицей Мк(у-), где

, , (а + гс Ь

Мк(у) = ( <; / + гс'

Определитель det Мк(у) этой матрицы равен det Мк(у) = а/+г2(с')2+гс(а+/) — Ь^. С учётом равенств В2(1,у-) = у-А2(1,у-), с = А2 + уА2 — В2, получим

det Мк(у-) = (гс — (к — 2)А.2)((г — 1)с — (к — 1)^2).

Предположим, что данный определитель равен нулю. Тогда можно найти корни получившегося уравнения. Так как А2(1,у-) = 0 по условию У3, то для выполне-

с

ния условия det Мк(у^-) = 0 осталось проверить, что ——

А2

А2

с

А2

= гев— с

У=Уі

і — 1 і = и-----л' и---о по условию У4.

У=Уз

Значит, эта система имеет единственное решение. Таким образом, находим значения многочленов Якк, С кк в точках у = у^, І = 1, 2, 3, и восстанав-

ливаем эти многочлены по интерполяционной формуле Лагранжа. Подставляя (8) в систему (7), после сокращения на многочлен с(у) получим систему такого же вида с многочленами Як+1 = Якк+1 + сЯк+2, Ск+1 = Скк+1 + сСк+2, А^1 = А^1 — Я'к, В+1 = В^1 — Скк, где А^1, В^1 — частные от деления многочленов Ат — (Якк(а + іс ) + ЬС кк) и Вт — (¿Якк + Скк(/ + іс )) на многочлен

с(у)-

В итоге, на в-м шаге получим систему вида

Ат(1,у) = Як(а+вс )+ьСк+с(Як) , (д)

Вт (1, у) = ¿Як + Ск (/ + вс') + с(С к)',

где deg Ат = deg Вт = к + 1, deg Як = deg Ск = к, к = 0,1 или 2.

Рассмотрим сначала случай к = 2 + 3s, s > 0. Проводим рассуждения, описанные выше, только теперь i = s. Далее, учитывая (8), будем полагать, что

Hk = Hk0 + ' ' ' + CS ^-1 + cSHk)

Gk = Gko + ■ ■ ■ + cs 1Gks-i + csGk,

где c(y) — многочлен третьей степени, Hk и Gk — многочлены степени к, а deg Hk = deg Gk = 2. Подставляя эти выражения в систему (4), получаем, что разность левой и правой частей данной системы делится на cs+1(y). Но левая и правая части системы (4) степени 3 + 3s, а degcs+1(y) = 3 + 3s. Значит, эти разности равны const ■ cs+1 (y). Поэтому, положив многочлены Am(1,y), Bm(1,y) равными соответственно этим разностям, мы обеспечим разрешимость системы (4), и они будут иметь «специальный» вид.

Теперь рассмотрим случаи, когда к = 1 + 3s или к = 3s,s > 1, s £ Z. Система (4) вновь сводится к системе (9), у которой Hk, Gk — многочлены первой или нулевой степени соответственно. Тогда все слагаемые данной системы имеют вторую или первую степень соответственно. Выпишем коэффициенты при соответствующих степенях из данной системы, учитывая обозначения

m

Am ^ ^ ^m-, Bm ^ ^ bm-jj, Am ^ ^ am-jj, Bm ^ ^ bm-y

j=0 j=0 j=0 j=0

y2

y1

y0

y2

y1

y0

y1

y0

y1

y0

k k 2 2

hk-j,j yj , Gk = 5^ gk-jj yj , A2 = 5^ a2-j,jyj , B2 = 5^ b2-j,jyj.

j=0 j=0 j=0 j=0

При k = 1 + 3s, s > 1, s £ Z, имеем

^02 = hi0 ((1 — s)an — (1 + 2s)b02) — ^01^02 + 2gi0«02i

Я11 = h10((2 — 2s)a20 — (1 + s)b11) — h01(sa11 + 2sb02) + 2g01a02 + gl0a1i;

^20 — h01 = h01((1 — 2s)a20 — sb11) + g01a11 — h10b20Í

b02 = h10b11 — g01a02 + g10( —sa11 + (1 — 2s)b02);

b11 = 2h01b20 + h01b11 — g10(2sa20 + sb11) + g01 ((—1 — s)a11 + (2 — 2s)b02);

b20 — g01 = 2h01b20 — g10b20 + g01((—1 — 2s)a20 + (1 — s)b11)-

При k = 3s, s > 1, s £ Z, имеем

a01 = h10((1 — s)a11 — 2sb02) + 2g10a02;

a10 = gl0a11 + h10 (2a20 — sb11); b01 = h10b11 + g10( — sa11 + (2 — 2s)b02); b10 = 2h10b20 + g10((1 — s)b11 — 2sa20) •

Будем решать систему (9) в предположении, что слагаемые с волной из левой части системы являются константами. Рассмотрим при k = 1 + 3s, s > 1, s £ Z, систему 4 х 4, полученную вычёркиванием третьего и шестого уравнений, а при k = 3s,s > 1, s £ Z, рассмотрим систему 2 х 2, полученную вычёркиванием второго и четвёртого уравнений. Выпишем матрицы этих систем и обозначим их

определители Л и N соответсвенно, т. е.

(1 — з)ац — (1 + 2з)6о2 (2 — 2й)й2о — (1 + з)6п 6ц 2620

-вйц + (1 — 2й)Ьо2 —25Й20 — збц

2^02

а11

(—1 — 5) а11 + (2 — 25)Ьо2

0

2^02

а02

(1 — 3)а11 — 25Ь02 2а02

6ц —5^11 + (2 — 2й)Ьо2

N.

Потребуем выполнения следующих условий:

У5. Й02&11 = 1 ((1 — в)ац — 2^602) ( 5йц + 2(1 — 5)602) ^5 > 0, 5 £ Ъ;

У6. а02 = 0, а11 + 602 = 0 и Л = 0 для всех 5 > 0, 5 €

Лемма 2. Условие У6 выполнено для почти всех многочленов А2, В2 второй степени.

Доказательство. Заметим, что Л = и-2620 + У, где и, V не зависят от 620, причём и — определитель матрицы 3 х 3, который равен и = а§2(1 — 4й)(а11 + 602). Пусть а02 = 0, а11 + 602 = 0, тогда и = 0 для всех в > 0,5 € ^. Значит, Л = 0 для почти всех 620, и поэтому для почти всех А2, В2. □

Так как определители матриц не равны нулю, то системы имеют единственное решение, т. е. Н|, С; находятся однозначно. Подставим решения в вычеркнутые уравнения исходных систем. Учитывая предположение о том, что слагаемые с волнами константы, находим Ат(1, у), (1, у). Возвращаясь к исходной систе-

ме (4), т. е. до применения индукции, находим Ат(1,у), Вт(1,у) (при этом они будут иметь «специальный» вид).

4. Доказательство теоремы 1

Выше функциональное уравнение (1) было сведено к бесконечной системе, состоящей из систем вида (2) для к > 2. Будем решать систему (2) индукцией

Доказательство. База индукции (к = 2,т = 3). В системе (2) не будет членов, зависящих от Ак, Вк, Ак, Вк, г < т; Н5, С8, 5 < к. По основной лемме для некоторых однородных многочленов А3, В3 третьей степени «специального» вида система (2) имеет единственное решение Н2, С2 (однородные многочлены второй степени).

Предположение индукции. Пусть уже решены все системы (из нашей бесконечной системы уравнений) с номерами, меньшими к, так что найдены однородные многочлены Ак, Вк, Ак, В, г < к; Н8, С5, 5 < к.

Шаг индукции. Покажем, что система (2) имеет решение при степени к. В к-й системе (2) определены все члены, обозначенные многоточием, по предположению индукции. Таким образом, в системе (2) известно всё, кроме однородных многочленов Н;, С; степени к и однородных многочленов Ат, Вт степени

по к.

m «специального» вида. По основной лемме для некоторых однородных многочленов Am, Bm степени m «специального» вида система (2) имеет единственное решение Hk, Gk (однородные многочлены степени k), т. е. шаг индукции сделан, и тем самым доказана разрешимость бесконечной системы уравнений (относительно неизвестных Hk, Gk, k > 2 и однородных многочленов Am, Bm, m = k + 1, m > 3, «специального» вида).

Это завершает доказательство утверждения о нормализации из теоремы 1. Единственность нормальной формы следует автоматически из единственности решения из основной леммы. □

Список литературы

1. Арнольд, В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений / В. И. Арнольд. — М. : Наука, 1978.

2. Воронин, С. М. Аналитическая классификация ростков конформных отображений (C, 0) ^ (C, 0) с тождественной линейной частью / С. М. Воронин // Функ-цион. анализ. — 1981. — Т. 15, вып. 1. — С. 1-17.

3. Ortiz-Bobadilla, L. Rigidity theorem for degenerated singular points of germs of holomorphic vector fields in the complex plane / L. Ortiz-Bobadilla, E. RosalesGonzales, S. M. Voronin // J. Dynam. Control Systems. — 2001. — Vol. 7, № 4. — P. 553-599.

4. Ortiz-Bobadilla, L. Rigidity theorem for degenerated singular points of germs of dicritic holomorphic vector fields in the complex plane / L. Ortiz-Bobadilla, E. RosalesGonzales, S. M. Voronin // Moscow Math. J. — 2005. — Vol. 5, № 1. — P. 171-206.

5. Ortiz-Bobadilla, L. Analytic normal forms of germs of holomorphic dicritic foliations / L. Ortiz-Bobadilla, E. Rosales-Gonzales, S. M. Voronin // Moscow Math. J. — 2008. — Vol. 8, № 3. — P. 521-545.

6. Воронин, С. М. Проблема Тома в задаче об орбитальной аналитической классификации вырожденных особых точек голоморфных векторных полей на плоскости / С.М. Воронин, Л. Ортис-Бобадилла, Э. Росалес-Гонсалес // Докл. Акад. наук. — 2010. — Т. 434, № 4. — С. 443-446.

7. Ortiz-Bobadilla, L. Thom’s problem for generic degenerated singular points of holomorphic foliations in the plane / L. Ortiz-Bobadilla, E. Rosales-Gonzales, S. M. Voronin // Preliminares del Instituto de Matematicas, UNAM. 2010. — № 867.