CC BY
11<Тешетневс^ие чтения. 2016
estimate]. Aktual'nye problemy gumanitarnykh i estestvennykh nauk, 2016, no. 9 (92). (In Russ.).
8. Pollard H. The mean convergence of orthogonal series. Duke Mathematical Journal, 1949. Vol. 16, 1. Pp. 189-191.
9. Kashin B. S., Saakyan A. A. Ortogonal'nye ryady [Orthogonal series]. 2nd ed. Moskow, AFC Publ., 1999. 560 p.
© Браништи В. В., 2016
УДК 519.682
СИМВОЛЬНЫЙ АНАЛОГ ТЕОРЕМЫ О НЕЯВНОМ ОТОБРАЖЕНИИ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ В ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКЕ
О. И. Егорушкин, А. М. Попов, Н. А. Попов, К. В. Сафонов
Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31
E-mail: safonovkv@rambler.ru
Разработаны подходы к решению систем некоммутативных полиномиальных уравнений, основанные на связи c соответствующими коммутативными уравнениями. Результаты имеют приложение в теории формальных языков.
Ключевые слова: некоммутативное кольцо, полиномиальные уравнения, формальный степенной ряд, коммутативный образ.
A SYMBOLIC ANALOG OF THE IMPLICIT MAPPING THEOREM AND ITS APPLICATION IN THEORETICAL INFORMATICS
O. I. Egorushkin, A. M. Popov, N. A. Popov, K. V. Safonov
Reshetnev Siberian State Aerospace University 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation E-mail: safonovkv@rambler.ru
The authors elaborate approaches to solution of noncommutative polynomial equation systems based on the connection with the relative commutative equations. The results have applications in formal language theory.
Keywords: noncommutative ring, polynomial equations, formal power series, commutative image.
Рассматривается система полиномиальных уравнений
Р] (2, х) = 0, ] = 1, ..., п, (1)
где 2 = (г1,..., ), х = (х1,..., хт) - переменные из кольца с некоммутативной операцией умножения и коммутативной операцией сложения; для них определена также коммутативная операция умножения на комплексные числа. Система (1) решается относительно переменных 21, ..., 2п в виде формальных степенных рядов (ФСР) от переменных х1, ..., хт . Такие системы имеют прикладное значение, в частности, они порождают определенные классы формальных языков: контекстно-свободных, непосредственно составляющих, в нормальной форме Грейбах и др. В теории программирования система (1) рассматривается как грамматика над терминальными символами х1,...,хт - словами языка, и нетерминальными символами 21,..., 2п, необходимыми для задания
грамматики [1-3]. Важное приложение таких уравнений лежит в области теории формальных языков и грамматик и теории автоматического управления [4].
Однако подходы к решению таких систем практически не разработаны. Задача исследования состоит в получении условий совместности и несовместности системы (1), что позволило бы в дальнейшем разрабатывать методы решения.
Поставим в соответствие ФСР (2) его коммутативный образ «(,5) - степенной ряд, который получается из 5 в предположении, что символы х1,...,хт обозначают коммутативные переменные, принимающие значения из поля комплексных чисел.
В этом предположении любой моном и можно
записать в виде х"1 •... • хтт , где а^ - число вхождений (степень) deg (и) символа в моном. Если обозначить мультииндекс а = (а1,..., ат), то можно записать а = deg х (и) и далее равенства
¡Прикладная математика
«(У) = с1 Х< s,и1 > и1 1 =
V ;=0 )
ш ( \
= Х< У Мг > С'(и>) = Х X < У Мг > =Х Са•
г=0 а Vа=degх (му) ) а
Впервые коммутативный образ ФСР рассмотрел А. Л. Семёнов, использовав его как инструмент решения ряда алгоритмических проблем [5].
Обозначим г = г(х) = (г1(х), ..., гп(х)) решение системы (1), представленное ФСР.
Связь между некоммутативными и коммутативными системами даёт следующая теорема.
Теорема 1. Если г = г(х) - решение некоммутативной системы уравнений (1) в виде ФСР, то сг(г(х)) - решение коммутативной системы уравнений
сг(Р(г, х)) = ... = с1(Рп (г, х)) = 0, (2)
записанное в виде коммутативных ФСР.
Однако наибольший интерес для приложений представляют условия, которые обеспечивают совместность системы некоммутативных символьных уравнений, а также единственность её решения. Следует найти другое условие, отличное от существования голоморфного в начале координат решения, которое влечёт существование и единственность решения системы (1). Оказывается, что это условие можно получить с помощью такого инструмента, как якобиан системы функций.
Пусть
/ (z, x) = D(ci( ci (P» = det
D( Zj,..., z„ )
rd(ci( p (z, x))) ^
dz;
якобиан системы уравнений (4) относительно переменных г1,..., гп.
Символьным аналогом теоремы о неявном отображении является следующая теорема.
Теорема 2. Если для некоммутативной символьной системы уравнений (1) выполнено неравенство У(0,0) Ф 0, то она имеет единственное решение в виде ФСР.
Как известно, неравенство У(0,0) Ф 0 является условием теоремы о неявном отображении для коммутативной системы уравнений (2) с переменными в Сп и влечёт существование и единственность её голоморфного решения; тем не менее оказывается, что это неравенство влечёт также существование и единственность решения исходной некоммутативной символьной системы уравнений (1).
Неравенство У(0,0) Ф 0 обусловлено свойствами линейных многочленов Ь1(.г),...,^ (г), которые совпадают со своими коммутативными образами. По этой причине это неравенство влечёт совместность
коммутативнои и некоммутативной систем уравнений.
Для доказательства теоремы 2 необходима следующая лемма.
Лемма 3. Если определитель числовой матрицы не равен нулю, то, умножая на числа строки и складывая их, можно привести эту матрицу к диагональному виду.
Таким образом, можно сделать вывод о том, что ряд свойств систем некоммутативных полиномиальных уравнений, имеющих приложение в теории формальных языков и грамматик, а также теории систем автоматического управления, может быть установлен на основе исследования коммутативного образа этой системы с использованием методов, разработанных ранее.
Библиографические ссылки
1. Сафонов К. В., Егорушкин О. И. О синтаксическом анализе и проблеме В. М. Глушкова распознавания контекстно-свободных языков Хомского // Вестник Томского государственного университета. 2006. № 17. С. 63-67.
2. Safonov K. V. On conditions for the sum of a power series to be algebraic and rational // Mathematical Notes. 1987. № 3(41). P. 185-189.
3. Safonov K. V. On Power Series of Algebraic and Rational functions in Cn // Journal of Math. Analysis and Applications. 2000. V. 243. Р. 261-277.
4. Salomaa A., Soitolla M. Automata-Theoretics Aspects of Formal Power Series. N.-Y. : Springer Verlag. 1978. 171 p.
5. Семёнов А. Л. Алгоритмические проблемы для степенных рядов и контекстно-свободных грамматик // Доклады АН СССР. 1973. Т. 212. С. 50-52.
References
1. Safonov K. V., Egorushkin O. I. [On syntax analysis and V. M. Glushkovs problem of recognition for context-free languages] // Vestnik TGU. 2006. No. 17, рp. 63-67. (In Russ.).
2. Safonov K. V. On Conditions for the Sum of a Power Series to be Algebraic and Rational // Mathematical Notes. 1987. № 3 (41), рp. 185-189.
3. Safonov K. V. On Power Series of Algebraic and Rational functions in Cn // Journal of Math. Analysis and Applications. 2000. Vol. 243, рp. 261-277.
4. Salomaa A., Soitolla M. Automata-Theoretics Aspects of Formal Power Series. N.-Y. : Springer Verlag. 1978. 171 p.
5. Semenov A. L. Algorithmic Problems for Power Series and Context-Free Grammars // Soviet Doklady Mathematics. 1973. Vol. 212, рp. 50-52. (In Russ.).
© Егорушкин О. И., Попов А. М., Попов Н. А., Сафонов К. В., 2016
