Об аналоге теоремы о неявном отображении для формальных грамматик и его приложении Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.682

ОБ АНАЛОГЕ ТЕОРЕМЫ О НЕЯВНОМ ОТОБРАЖЕНИИ ДЛЯ ФОРМАЛЬНЫХ

ГРАММАТИК И ЕГО ПРИЛОЖЕНИИ

О. И. Егорушкин, И. В. Колбасина, К. В. Сафонов

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31

E-mail: [email protected]

Исследуются системы полиномиальных уравнений над полукольцом (относительно символов с некоммутативным умножением и коммутативным сложением). Такие системы уравнений интерпретируются как грамматики формальных языков и решаются относительно нетерминальных символов в виде формальных степенных рядов, зависящих от терминальных символов. Рассматривается коммутативный образ системы уравнений в предположении, что символы являются переменными, принимающими значения из поля комплексных чисел. Доказывается дискретный аналог теоремы о неявном отображении для формальных грамматик: достаточным условием существования и единственности решения системы некоммутативных уравнений в виде формальных степенных рядов является отличие от нуля якобиана коммутативного образа этой системы.

Ключевые слова: некоммутативные переменные, полиномиальные уравнения, формальный степенной ряд, коммутативный образ.

ON ANALOG OF IMPLICIT MAPPING THEOREM TO FORMAL GRAMMARSAND

ITS APPLICATION

O. I. Egorushkin, I. V. Kolbasina, K. V. Safonov

Reshetnev Siberian State Aerospace University 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation E-mail: [email protected]

Systems of polynomial equations over a semiring (with respect to symbols with a noncommutative multiplication and a commutative addition) are investigated. These systems of equations are interpreted as the grammars of formal languages, and are resolved with respect to the nonterminal symbols in the form of formal power series depending on the terminal symbols. The commutative image of the system of equations under the assumption that the symbols are variables taking values from the field of complex numbers is considered. A discrete analogue of implicit mapping theorem on to formal grammars is proved: a sufficient condition for the existence and the uniqueness of the solution of the noncommutative system of equations in the form of formal power series is inequality to zero of the Jacobian of the commutative image of this system.

Keywords: non-commutative variables, polynomial equations, formal power series, commutative image.

Системы символьных полиномиальных уравнений имеют многочисленные приложения в теории информации. В частности, они могут использоваться при разработке технологий космической связи.

Рассмотрим систему полиномиальных уравнений

Pj (z, x) = 0, j = 1,..., n, (1)

P, (0,0) = 0, j = 1,..., n,

Актуальные проблемы авиации и космонавтики - 2017. Том 2

которая решается относительно символов г = (г1,...,гп) в виде формальных степенных рядов (ФСР), зависящих от символов х = (хь..., хт) (см. [1-4]).

В приложениях х1,..., хтх1,..., хт интерпретируют как алфавит, над которым определена

некоммутативная операция умножения (конкатенации) и коммутативная операция формальной суммы, кроме того, определена коммутативная операция умножения на комплексные числа, и потому можно рассматривать символьные многочлены и ФСР с числовыми (комплексными) коэффициентами [1; 2]. При этом символы х1,...,хт, называются терминальными и образуют словарь (алфавит) данного языка, а символы г1,...,2п, называются нетерминальными и необходимы

для задания грамматических правил; мономы являются предложениями (словами) языка, а ФСР, который является решением системы (1), рассматривают как порождённый грамматикой формальный язык, представляющий собой формальную сумму всех «правильных» предложений [5; 6].

Вопросы, связанные с решением символьных систем (1), изучены мало: основные трудности связаны с некоммутативностью умножения и отсутствием деления, препятствующих исключению неизвестных.

Целью данной работы является получение условия разрешимости системы (1) в терминах коммутативного образа этой системы, который получается в предположении, что все переменные, входящие в систему, принимают значения из поля комплексных чисел [7].

Наибольший интерес для приложений представляют условия, которые обеспечивают совместность системы некоммутативных символьных уравнений (1), а также единственность её решения. Оказывается, что это условие можно получить с помощью такого инструмента, как якобиан системы функций.

Рассмотрим систему уравнений (1) в случае, когда к = п. Пусть

з (г, х)=¿»Кд(а( р(г-х))))

якобиан системы уравнений (4) относительно переменных г1,..., гп.

Дискретным (символьным) аналогом теоремы о неявном отображении является следующая теорема.

Теорема. Если для некоммутативной символьной системы уравнений (1) выполнено неравенство 3(0,0) Ф 0, то она имеет единственное решение в виде ФСР.

Заметим, что неравенство 3(0,0) Ф 0 является условием теоремы о неявном отображении

для коммутативной системы уравнений с переменными в С и влечёт существование и единственность её голоморфного решения; тем не менее оказывается, что это неравенство влечёт также существование и единственность решения исходной некоммутативной символьной системы уравнений (1).

Для доказательства теоремы обозначим Ь1(г),...,Ьп(г) линейные части многочленов Р1( г, х),..., Рп (г, х) соответственно, зависящие только от

Ь (г) = а1 +...+ а]пгп; ] = 1,...,гЬ] (г) = ап2Х +... + а]пгп; ] = 1,...,г .

Далее, обозначая многочлены ^ (г, х) = Р^ (г, х) - Ь^ (г), запишем исходную систему уравнений в виде:

ап +... + а^п = 8} (z, x), ] = п. (2)

Рассмотрим число 3(0,0) Ф 0; легко видеть, что имеют место равенства

Лч , Л?1 (Ь (г))Х , ,д(Ь (г))ч , , ч

Таким образом, ¿е\(а^) Ф 0, следовательно, матрицу (а^) можно привести к диагональному виду, умножая на числа уравнения системы (2) и складывая их, тогда система (2) перейдёт

в эквивалентную систему уравнений Хомского-Щутценберже, определяющую контекстно-свободный язык; эта система имеет единственное решение, которое можно получить методом последовательных приближений [5; 6]:

k = 0,1,...; k = 0,1,...; z(0) = 0; z(0) = 0;

Q(z,x) = Qz,x),...,Qn(z,x))Q(z,x) = Qz,x),...,Qn(z,x));

z (x) = limk ^ z(k)(x).

Теорема доказана.

Заметим, что неравенство J(0,0) Ф 0 обусловлено свойствами линейных многочленов L1( z),..., Ln (z), а они совпадают со своими коммутативными образами. По этой причине неравенство влечёт совместность не только коммутативной, но и некоммутативной системы уравнений.

Библиографические ссылки

1. Сафонов К. В., Егорушкин О. И. О синтаксическом анализе и проблеме В. М. Глушкова распознавания контекстно-свободных языков Хомского // Вестник Томск. гос. ун-та. 2006. № 17. С. 63-67.

2. Safonov K. V. On conditions for the sum of a power series to be algebraic and rational // Mathematical Notes. 1987. 41(3). P. 185-189.

3. Safonov K. V. On Power Series of Algebraic and Rational functions in Cn // Journal of Math. Analysis and Applications. 2000. Vol. 243. Р. 261-277.

4. Egorushkin O. I., Kolbasina I. V., Safonov K. V. On Solvability of Systems of Symbolic Polynomial Equations // Journal of Siberian Federal University. Mathematics & Physics. 2016. 9(2). P. 166-172.

5. Глушков В. М., Цейтлин Г. Е., Ющенко Е. Л. Алгебра, языки, программирование. Киев : Наук. думка, 1974. 328 с.

6. Salomaa A., Soitolla M. Automata-Theoretic Aspects of Formal Power Series. N.-Y. : Springer Verlag. 1978. 171 p.

7. Семёнов А. Л. Алгоритмические проблемы для степенных рядов и контекстно-свободных грамматик // Докл. АН СССР. 1973. Т. 212. С. 50-52.

© Егорушкин О. И., Колбасина И. В., Сафонов К. В., 2017