О решении систем некоммутативных полиномиальных уравнений и приложении результатов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Решетнеескцие чтения. 2015

УДК 519.682

О РЕШЕНИИ СИСТЕМ НЕКОММУТАТИВНЫХ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

И ПРИЛОЖЕНИИ РЕЗУЛЬТАТОВ

О. И. Егорушкин, И. В. Колбасина, И. Р. Насыров, К. В. Сафонов

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31

E-mail: safonovkv@rambler.ru

Разработаны подходы к решению систем некоммутативных полиномиальных уравнений, основанные на связи c соответствующими коммутативными уравнениями. Результаты имеют приложение в теории автоматического управления.

Ключевые слова: некоммутативное кольцо, полиномиальные уравнения, формальный степенной ряд, коммутативный образ.

ON SOLUTION OF NONCOMMUTATIVE POLYNOMIAL EQUATIONS

AND APPLICATION

O. I. Egorushkin, I. V. Kolbasina, I. R. Nasyrov, K. V. Safonov

Reshetnev Siberian State Aerospace University 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation E-mail: safonovkv@rambler.ru

The approaches to solution of noncommutative polynomial equation systems based on the connection with according commutative equations are elaborated.

Keywords: noncommutative ring, polynomial equations, formal power series, commutative image.

Рассмотрим систему полиномиальных уравнений

P] (?, х) = 0,} = 1,..., п, (1)

где z = zn), x = (х^,...,xm) - переменные из кольца с некоммутативной операцией умножения и коммутативной операцией сложения; для них определена также коммутативная операция умножения на комплексные числа. Система (1) решается относительно переменных z1,...,zn в виде формальных степенных рядов (ФСР) от переменных х1,...,хт. Такие системы имеют прикладное значение, в частности, они порождают определенные классы формальных языков: контекстно-свободных, непосредственно составляющих, в нормальной форме Грейбах и др. В теории программирования система (1) рассматривается как грамматика над терминальными символами х1,...,хт - словами языка и нетерминальными символами z1,..., zn, необходимыми для задания грамматики [1-3]. Важное приложение таких уравнений лежит в области теории управляющих систем [4].

Однако подходы к решению таких систем практически не разработаны. Задача исследования состоит в получении условий совместности и несовместности системы (1), что позволило бы в дальнейшем разрабатывать методы решения.

В данной работе исследуется связь некоммутативной системы (1) с ее коммутативным аналогом, назы-

ваемым коммутативным образом системы, даются некоторые условия совместности и несовместности.

Уточним, что означает равенство двух ФСР от переменных х1,...,хт над указанным кольцом. Упорядочим члены ФСР следующим образом: сгруппируем все мономы от х1,...,хт в однородные многочлены, которые расположим по возрастанию степеней, затем, переходя от меньшей степени к большей, нумеруем мономы каждого однородного многочлена в лексикографическом порядке. Таким образом, нулевой номер присваивается моному нулевой степени (единице кольца), номера 1,...,т - мономам х1,...,хт, линейная комбинация которых образует однородный многочлен первой степени, далее в лексикографическом порядке нумеруются мономы однородного многочлена второй степени и т. д. При таком упорядочивании все возможные мономы от символовх1,...,хт единственным образом записываются в виде последовательности {щ 0, играющей роль универсального базиса ФСР от х1,...,хт, теперь каждый ряд 5 можно однозначно записать в виде разложения по универсальному базису:

; = Х< su > u

i=0

(2)

где < 5, щ > - числовой коэффициент при мономе щ.

Наконец, будем считать, что два ФСР равны в том и только в том случае, когда равны соответствующие

Прикладная математика

числовые коэффициенты этих рядов при мономах универсального базиса. Теперь имеет смысл вопрос не только о существовании, но и единственности решения системы уравнений (1).

Дадим следующее определение. Будем говорить, что система уравнений (1) имеет бесконечно много решений, если ее общее решение зависит хотя бы от одного произвольного ФСР от переменныхx1,...,xm .

Поставим в соответствие ФСР (2) его коммутативный образ с1(5) - степенной ряд, который получается из 5 в предположении, что символы x1,...,xm обозначают коммутативные переменные, принимающие значения из поля комплексных чисел.

В этом предположении любой моном и1 можно записать в виде х"1 .. хатт , где а^ - число вхождений (степень) degх. (и1) символа в моном. Если обозначить мультииндекс а = (а1,..., ат), то можно записать а = deg х (и1) и далее равенства:

ад ад

с/'(5) = с/'(^ < 5, и1 > и1) = I < 5, и1 > а (и) =

1=0 1=0

= Х ( I < 5, и >)ха=:£ саха.

а а^^ х (и1) а

Впервые коммутативный образ ФСР рассмотрел А. Л. Семёнов, использовав его как инструмент решения ряда алгоритмических проблем [5].

Обозначим г = г (х) = ^(х),..., 2п (х)) решение

системы (1), представленное ФСР.

Имеет место следующее предложение.

Предложение 1. Если г = г (х) - решение некоммутативной системы уравнений (1) в виде ФСР, то с1(г (х)) - решение коммутативной системы уравнений

С1(Р(г, х)) = ... = а(Рп (г, х)) = 0, (3)

записанное в виде коммутативных ФСР.

Для доказательства заметим, что имеют место равенства:

а(р3 (х)) |г=С1 (г(х)) = а(р(г(x), х)) = = ) = 10 • а(и1) = 0,_/ = 1,..., п;

т. е. с1( х( х)) - решение системы уравнений (3).

Итак, совместность, т. е. наличие решения, понимается для некоммутативной системы (1) в смысле символьных ФСР, а для коммутативной системы (3) -в смысле точки в комплексном пространстве.

Предложению 1 эквивалентно следующее предложение.

Предложение 2. Если система уравнений (3) не имеет решения г = г(х), то и система (1) не имеет решения.

Таким образом, условия несовместности системы уравнений (3) также представляют значительный интерес.

Пусть

J = J (z, x) = det

rd(ci( P (z, x)))Л

dz.

якобиан системы уравнений (3) относительно пере-

менных Zj,..., zn.

Имеет место следующая теорема.

Теорема. Если при некотором x0 имеет место равенство J (z, x0) = 0, то система уравнений (1) либо не имеет решения, либо их бесконечно много, т. е. общее решение зависит от произвольного ФСР.

Таким образом, можно сделать вывод о том, что ряд свойств систем некоммутативных полиномиальных уравнений, имеющих приложение в теории систем автоматического управления, может быть установлен на основе исследования коммутативного образа этой системы с использованием методов, разработанных ранее.

Библиографические ссылки

1. Сафонов К. В., Егорушкин О. И. О синтаксическом анализе и проблеме В. М. Глушкова распознавания контекстно-свободных языков Хомского // Вестник Том. гос. ун-та. 2006. № 17. С. 63-67.

2. Safonov K. V. On conditions for the sum of a power series to be algebraic and rational // Mathematical Notes. 1987. № 3(41). P. 185-189.

3. Safonov K. V. On Power Series of Algebraic and Rational functions in Cn // J. of Math. Analysis and Applications. 2000. Vol. 243. Р. 261-277.

4. Salomaa A., Soitolla M. Automata-theoretics Aspects of Formal Power Series. N.-Y. : Springer Verlag. 1978. 171 p.

5. Семёнов А. Л. Алгоритмические проблемы для степенных рядов и контекстно-свободных грамматик // Доклады АН СССР. 1973. Т. 212. С. 50-52.

References

1. Safonov K. V., Egorushkin O. I. [On syntax analysis and V. M. Glushkovs problem of recognition for context-free languages] // Vestnik TGU. 2006. No. 17, pр. 63-67 (In Russ.).

2. Safonov K. V. On Conditions for the Sum of a Power Series to be Algebraic and Rational // Mathematical Notes. 1987. No. 3(41), рp. 185-189.

3. Safonov K. V. On Power Series of Algebraic and Rational functions in Cn // J. of Math. Analysis and Applications. 2000. Vol. 243, рp. 261-277.

4. Salomaa A., Soitolla M. Automata-Theoretics Aspects of Formal Power Series. N.-Y. : Springer Verlag, 1978, 171 p.

5. Semenov A. L. Algorithmic Problems for Power Series and Context-Free Grammars // Soviet Doklady Mathematics. 1973. Vol. 212, рp. 50-52. (In Russ.)

© Егорушкин О. И., Колбасина И. В., Насыров И. Р., Сафонов К. В., 2015