Интегральное представление синтаксического многочлена Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

Прикладная математика

УДК 519.682

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИНТАКСИЧЕСКОГО МНОГОЧЛЕНА

О. И. Егорушкин, И. В. Колбасина, К. В. Сафонов*

Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31

E-mail: [email protected]

Разрабатывается подход к синтаксическому анализу контекстно-свободных языков, основанный на интегральном анализе синтаксического многочлена. Результаты имеют приложение в теории формальных языков.

Ключевые слова: формальные степенные ряды, контекстно-свободные языки, синтаксический анализ, интегральное представление.

AN INTEGRAL REPRESENTATION OF THE SYNTACTICAL POLYNOMIAL

O. I. Egorushkin, I. V. Kolbasina, K. V. Safonov*

Reshetnev Siberian State University of Science and Technology 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation E-mail: [email protected]

The article elaborates the approach to syntax analysis of context-free languages, based on an integral representation of the syntactical polynomial. The results have applications in the formal languages theory.

Keywords: formal power series, context-free language, syntax analysis, integral representation.

В теории формальных языков исходным объектом является алфавит, т. е. множество символов 21, ..., 2п, х1, ..., хт. Над этими символами определена некоммутативная операция умножения (конкатенации) и коммутативная операция формальной суммы; алфавит вместе с операциями является полукольцом. Символы XI, ..., хт называются терминальными символами и интерпретируются как словарь формального языка, а символы ..., 2п называются нетерминальными и нужны для задания совокупности грамматических правил (грамматики), которые порождают язык. По этим правилам определяются правильные мономы от терминальных символов хь ..., хт, которые интерпретируются как правильные предложения языка. Определим также коммутативную операцию умножения символов на комплексные числа, тогда можно рассматривать символьные многочлены и формальные степенные ряды (ФСР) с числовыми коэффициентами. Формальным языком является такой ФСР, членами которого являются все правильные мономы, определенные данной грамматикой [1-4].

Одной из важных проблем, связанных с разработкой систем и языков программирования, является проблема синтаксического анализа программ. Как было отмечено выше, большинство языков программирования является кс-языками, которые можно представить в виде ФСР, поэтому каждая программа, написанная на языке программирования, может рассматриваться как моном соответствующего ФСР. В связи с этим рассмотрим проблему синтаксического анализа мономов кс-языка.

Для того чтобы сформулировать эту проблему, рассмотрим подробнее систему полиномиальных

уравнений Хомского-Щутценберже, которая определяет кс-язык. Как известно [3; 4], грамматика кс-языка является множеством правил подстановки

2з ^ М2, х), ..., 2з ^ (2, х),} = 1, ..., п, (1)

где х) является мономом от некоммутативных символьных переменных с числовым коэффициентом, равным единице. Правила подстановки (1) можно применять к начальному символу 21, а затем к другим мономам в любом порядке неограниченное число раз, что позволяют выводить новые правильные мономы, образующие кс-язык.

Проблема синтаксического анализа мономов состоит в том, чтобы определить, принадлежит ли моном данному кс-языку, т. е. может ли быть получен из начального символа при помощи правил подстановки (1), а также установить, какие правила подстановки и сколько раз использовались при выводе этого монома; при этом порядок использования правил подстановки не имеет значения.

Информацию о мономиальных метках монома можно получить в виде (п+т)-кратного интеграла по циклу, где числа п и т не зависят от степени монома и равны числу нетерминальных и терминальных символов грамматики кс-языка соответственно.

Рассмотрим коммутативный образ ФСР сгруппированный в кратный ряд Гартогса [5].

а( х, I)) ^ (?) ха, (2)

а

Имеет место следующее предложение.

Предложение. При всех мультииндеках а голоморфные в нуле коэффициенты ряда Гартогса sа (/) являются многочленами.

Решетневские чтения. 2017

многочленом

* ,

Определение. Синтаксическим монома v относительно кс-языка z1(x) = z1*(x, e) называется коэффициент 5а (0 ряда Гартогса (2), такой, что xа = С/(у).

Замечание 1. Мономиальные метки, содержащиеся в некоммутативных мономах кс-языка, не исчезают при переходе от ФСР к его коммутативному образу (2) и сохраняются в виде мономов синтаксических многочленов, поскольку все коэффициенты ФСР являются целыми положительными числами. Следовательно, если синтаксический многочлен монома относительно кс-языка равен нулю, то моном не принадлежит этому языку.

Замечание 2. Для проведения синтаксического анализа монома V, такого, что а(у) = ха, следует найти синтаксический многочлен 5а (/). Каждый моном многочлена 5а (0 является произведением мономиальных меток правил подстановки, которые позволяют получить некоторые мономы, имеющие тот же коммутативный образ ха, поэтому для завершения синтаксического анализа монома V остаётся проверить, можно ли получить его с помощью правил подстановки, соответствующих всем мономам синтаксического многочлена 5а (0.

Следующее предложение дает принципиальную возможность получить синтаксические многочлены 5а (0 в виде кратного интеграла по циклу, который может быть вычислен с помощью многомерных вычетов.

Предложение. При всех (х, 0, достаточно близких к нулю, голоморфная в нуле алгебраическая функция с^1 (х, 0) представленная рядом Гартогса (11), задаётся формулой

z1 det

ci

(( {x, t ))

■i

-

d(ci (q*( z, x, t)))

dz;

(2ni) I (z - ci (((z, x, t)))

-dz. (3)

Вычисляя тейлоровские коэффициенты параметрического интеграла (3), можно получить синтаксиче-

ские многочлены любого монома, осуществив тем самым его синтаксический анализ.

Библиографические ссылки

1. Сафонов К. В., Егорушкин О. И. О синтаксическом анализе и проблеме В. М. Глушкова распознавания контекстно-свободных языков Хомского // Вестник Томск. гос. ун-та. 2006. № 17. С. 63-67.

2. Safonov K. V. On conditions for the sum of a power series to be algebraic and rational // Mathematical Notes. 1987. № 3 (41). С. 185-189.

3. Safonov K. V. On Power Series of Algebraic and Rational functions in Cn // Journal of Math. Analysis and Applications. 2000. Т. 243. С. 261-277.

4. Salomaa A., Soitolla M. Automata-Theoretics Aspects of Formal Power Series. N.-Y.: Springer Verlag. 1978. 171 с.

5. Семёнов А. Л. Алгоритмические проблемы для степенных рядов и контекстно-свободных грамматик // Доклады АН СССР. 1973. Т. 212. С. 50-52.

References

1. Safonov K. V., Egorushkin O. I. [On syntax analysis and V. M. Glushkov's problem of recognition for context-free languages] // Vestnik TGU. 2006, No. 17. Р. 63-67. (In Russ.)

2. Safonov K. V. On Conditions for the Sum of a Power Series to be Algebraic and Rational // Mathematical Notes. 1987. Vol. 3 (41). P. 185-189.

3. Safonov K. V. On Power Series of Algebraic and Rational functions in Cn // Journal of Math. Analysis and Applications. 2000. Vol. 243. P. 261-277.

4. Salomaa A., Soitolla M. Automata-Theoretics Aspects of Formal Power Series. N.-Y.: Springer Verlag. 1978, 171 p.

5. Semenov A. L. Algorithmic Problems for Power Series and Context-Free Grammars // Soviet Doklady Mathematics. 1973. Vol. 212. P. 50-52. (In Russ.)

© Егорушкин О. И., Колбасина И. В., Сафонов К. В., 2017