Условия совместности систем символьных уравнений и приложения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.682

УСЛОВИЯ СОВМЕСТНОСТИ СИСТЕМ СИМВОЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

И ПРИЛОЖЕНИЯ

О. И. Егорушкин, И. В. Колбасина, К. В. Сафонов

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева

Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31

E-mail: [email protected]

Разрабатываются подходы к решению систем некоммутативных полиномиальных уравнений, имеющих приложения в математической теории языков и грамматик; системы решаются в виде формальных степенных рядов.

Ключевые слова: некоммутативные переменные, полиномиальные уравнения, формальный степенной ряд, коммутативный образ.

CONSISTENCE CONDITIONS OF SYSTEMS OF SYMBOLIC EQUATIONS

AND APPLICATIOS

O. I. Egorushkin, I. V. Kolbasina, K. V. Safonov

Reshetnev Siberian State Aerospace University 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation E-mail: [email protected]

Approaches to solving the systems of non-commutative polynomial equations, having applications in mathematical theory of languages are developed; systems are solved in the form offormal power series.

Keywords: non-commutative variables, polynomial equations, formal power series, commutative

image.

Введение. Системы символьных полиномиальных уравнений имеют многочисленные приложения в теории информации. В частности, они могут использоваться при разработке технологий космической связи.

Рассмотрим систему полиномиальных уравнений

Pj (z,x) = 0, j = 1,...,n, (1)

Pj (0,0) = 0, j = 1,..., n, которая решается относительно символов z = (zj,..., zn) в виде формальных степенных рядов (ФСР), зависящих от символов x = (x1,...,xm).

В приложениях z1,...,zn, xx,...,xm интерпретируют как алфавит, над которым определена некоммутативная операция умножения (конкатенации) и коммутативная операция формальной суммы, кроме того, определена коммутативная операция умножения на комплексные числа, и потому можно рассматривать символьные многочлены и ФСР с числовыми (комплексными) коэффициентами [1; 2]. При этом символы x1,...,xm , называются терминальными и образуют словарь (алфавит) данного языка, а символы zx,...,zn, называются нетерминальными и необходимы для задания грамматических правил; мономы являются предложениями (словами) языка, а ФСР, который является решением системы (1), рассматривают как порождённый грамматикой формальный язык, представляющий собой формальную сумму всех «правильных» предложений [1; 2].

Вопросы, связанные с решением символьных систем (1), изучены мало: основные трудности связаны с некоммутативностью умножения и отсутствием деления, препятствующих исключению неизвестных.

Секция «Математические методы моделирования, управления и анализа данных»

Целью данной работы является получение условий разрешимости системы (1) в терминах коммутативного образа этой системы, который получается в предположении, что все переменные, входящие в систему, принимают значения из поля комплексных чисел.

Предположим, что все мономы от х1,...,хт занумерованы в лексикографическом порядке по

возрастанию степеней в последовательность {и, }—0, играющую роль универсального базиса, тогда каждый ряд 5 можно однозначно записать в виде разложения по этому базису с числовыми коэффициентами < 5, и^ > при мономах:

да

5 = Х< 5,и, > иг . (2)

1=0

Поставим в соответствие ФСР (2) его коммутативный образ 01(5) - степенной ряд, который получается из 5 в предположении, что символы х1,...,хт обозначают коммутативные переменные, принимающие значения из поля комплексных чисел [3].

Обозначим г = г(х) = (г1(х),...,гп(х)) решение системы (1), представленное ФСР.

Имеет место следующая теорема.

Теорема 1. Если г — г(х) - решение некоммутативной системы уравнений (1) в виде символьных ФСР, то коммутативные ФСР г — о1(г(х)) над полем комплексных чисел сходятся в окрестности нуля, определяя ростки голоморфных алгебраических функций, и являются решением коммутативной системы уравнений

с1(Р1(г, х)) = ... = с1(Рп (г, х)) = 0. (3)

Обратное утверждение, вообще говоря, неверно: система уравнений г - г2 — х1х2, — г2 — х2х1 - несовместная, тогда как её коммутативный образ имеет бесконечно много решений: г = ^ + х1 х2, где г2 — ^ - произвольный ФСР.

Подчеркнём, что совместность, т.е. наличие решения, понимается для некоммутативной системы (1) и коммутативной системы (3) по-разному: в первом случае решением являются символьные ФСР, а во втором - точки в Сп, параметризованные голоморфным в нуле алгебраическим отображением г = г (х).

Теорему 1 можно сформулировать в эквивалентном виде.

Теорема 2. Если коммутативная система уравнений (3) несовместна, то и некоммутативная система (1) несовместна.

Таким образом, условия несовместности системы коммутативной уравнений также представляют интерес.

Известна теорема: если для якобиана системы голоморфных функций с/(Р1( г, х)),..., с1(Рп (г, х)) имеет место тождество

о* д(с'( Р (*х)))) - 0,

то система уравнений (3) при каждом х либо не имеет решения в пространстве СП , либо все её решения в этом пространстве - неизолированные [7, с. 39].

Покажем, для некоммутативных систем уравнений (1) подобная альтернатива (решений нет, либо решений бесконечно много) не имеет место.

Пример. Рассмотрим систему, состоящую из двух одинаковых уравнений:

х^ + х2 ^2 х^ х2 х2 х^ — 0.

Коммутативный образ этой системы имеет якобиан, тождественно равный нулю, и неизолированные решения.

Тем не менее, исходная система некоммутативных уравнений имеет единственное решение. В самом деле, записав уравнение в виде хх(г — х2) + х2(г2 — хх) — 0, получим, что первое слагаемое

принадлежит левостороннему идеалу, порождённому xx, а второе - левостороннему идеалу, порождённому x2. Очевидно, что сумма этих слагаемых может быть равна нулю только в случае, когда равны нулю оба слагаемых: z1 - x2 = 0, z2 — x1 = 0, следовательно, исходная система уравнений имеет единственное решение z1 = x2, z2 = x1.

Далее, можно показать, что в случае, когда якобиан коммутативного образа системы тождественно равен нулю, исходная система некоммутативных уравнений может: не иметь решений, иметь конечное число решений, иметь бесконечно много решений.

То же самое верно и для одного символьного полиномиального уравнения, что принципиально отличается от свойств уравнений и систем с комплексными переменными. Более подробно указанные вопросы изложены в работе [8].

Библиографические ссылки

1. Глушков В. М., Цейтлин Г. Е., Ющенко Е. Л. Алгебра, языки, программирование. Киев : Наукова думка. 1974. 328 с.

2. Salomaa A., Soitolla M. Automata-Theoretic Aspects of Formal Power Series. N.-Y.: Springer Verlag. 1978. 171 p.

3. Семёнов А. Л. Алгоритмические проблемы для степенных рядов и контекстно-свободных грамматик. Доклады АН СССР. 1973. Т. 212. С. 50-52.

4. Сафонов К. В., Егорушкин О. И. О синтаксическом анализе и проблеме В. М. Глушкова распознавания контекстно-свободных языков Хомского // Вестник Томск. гос. ун-та. 2006. № 17. С.63-67.

5. Safonov K. V. On conditions for the sum of a power series to be algebraic and rational. Mathematical Notes. 1987. 41(3). P. 185-189.

6. Safonov K. V. On Power Series of Algebraic and Rational functions in Cn // Journal of Math. Analysis and Applications. 2000. Vol. 243. Р. 261-277.

7. Айзенберг Л. А., Южаков А. П. Интегральные представления и вычеты в многомерном комплексном анализе. Новосибирск: Наука. 1979. 367 с.

8. Egorushkin O. I., Kolbasina I. V., Safonov K. V. On Solvability of Systems of Symbolic Polynomial Equations // Journal of Siberian Federal University. Mathematics & Physics. 2016. 9(2). P.166-172.

© Егорушкин О. И., Колбасина И. В., Сафонов К. В., 2016