CC BY
9<Тешетневс^ие чтения. 2016
УДК 519.682
ОБ ОДНОМ ПОДХОДЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ НЕКОММУТАТИВНЫХ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
О. И. Егорушкин, И. В. Колбасина, А. М. Попов, Н. А. Попов, К. В. Сафонов
Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31
E-mail: [email protected]
Разработаны подходы к решению систем некоммутативных полиномиальных уравнений, основанные на связи c соответствующими коммутативными уравнениями.
Ключевые слова: некоммутативное кольцо, полиномиальные уравнения, формальный степенной ряд, коммутативный образ.
ON AN APPROACH TO SOLVING NONCOMMUTATIVE POLYNOMIAL EQUATIONS
O. I. Egorushkin, I. V. Kolbasina, A. M. Popov, N. A. Popov, K. V. Safonov
Reshetnev Siberian State Aerospace University 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation E-mail: [email protected]
The approaches to solving noncommutative polynomial equation systems based on the connection with the relative commutative equations are elaborated.
Keywords: noncommutative ring, polynomial equations, formal power series, commutative image.
В теории формальных языков исходным объектом является алфавит, т. е. множество символов г1,...,2п, х1,...,хт, над которым определена некоммутативная операция умножения (конкатенации) и коммутативная операция формальной суммы, вместе с которыми алфавит образует полукольцо. Символы хь...,хт называются терминальными символами и образуют словарь формального языка, а символы г1,...,2п называются нетерминальными и нужны для задания совокупности грамматических правил (грамматики), которые порождают язык. По этим правилам определяются «правильные» мономы от терминальных символов хь...,хт, которые интерпретируются как правильные предложения языка. Определим также коммутативную операцию умножения символов на комплексные числа, тогда можно рассматривать символьные многочлены и формальные степенные ряды (ФСР) с числовыми коэффициентами. Формальным языком является такой ФСР, членами которого являются все правильные мономы, определенные данной грамматикой.
Известно [1; 2], что порождающую грамматику для важных классов формальных языков можно записать в виде определяющей системы символьных полиномиальных уравнений
Р} (2,х) = 0,Р} (0,0) = 0,] = 1,...,к, (1)
которая решается относительно символов 2 = (г1,...,2п) в виде ФСР, зависящих от символов
х = (хи ..., хт) : 2 = 2(х) = (21(х) ..., 2п (х)Х при этом
ФСР 21(х) является формальным языком, который определяется этой грамматикой.
Например, для контекстно-свободных языков (кс-языков) определяющей системой символьных уравнений (1) является система уравнений Хомского-Щутценберже
2} = Qj (2, х),] = 1, ..., п, (2)
где правые части удовлетворяют естественным условиям: Qj (0,0) = 0, и многочлены Qj (2,0) не содержат
линейных членов [1]. Отметим, что большинство языков программирования принадлежит классу кс-языков [2].
Для более широкого класса непосредственно составляющих (нс-языков) языков определяющую систему (1) можно записать в виде:
mj (2, х) = Мj (2, х), j = 1,..., к,
где mj (2, х) - моном, а Mj (2, х) - многочлен [2].
Наконец, отметим языки в нормальной форме Грейбах, которые также можно задать системой символьных полиномиальных уравнений второй степени, вводя при необходимости новые терминальные и нетерминальные символы [2].
Свойства некоммутативной системы уравнений (1) изучены мало, несмотря на её важность в теории формальных языков и грамматик. В частном случае системы уравнений Хомского-Щутценберже (2)
¡Прикладная математика
известно, что она имеет единственное решение г = (г1(х),..., 2п (х)) в виде ФСР, однако в общем случае для системы уравнений (1) условия разрешимости не известны, а трудности исключения неизвестных связаны с некоммутативностью умножения и отсутствием операции деления.
Цель данной работы состоит в том, чтобы сделать первый шаг по преодолению этих трудностей и описать следующий подход к решению систем некоммутативных уравнений. Рассмотрим коммутативный образ системы уравнений (1), считая, что терминальные и нетерминальные символы являются переменными, принимающими значения из поля комплексных чисел.Таким образом, коммутативный образ этой системы уравнений является системой полиномиальных уравнений в пространстве С^хт; при этом коммутативный образ формального языка становится кратным степенным рядом, представляющим алгебраическую
функцию в Ст, которая является решением этой системы. Теперь можно исследовать коммутативный образ системы уравнений (1), применяя методы многомерного комплексного анализа, в том числе разработанные для решения систем специального вида. Далее можно установить свойства некоммутативной системы уравнений (1), которые вытекают из свойств её коммутативного образа.
Изложим указанные рассуждения более подробно.
Упорядочим члены ФСР следующим образом. Пусть все мономы от х1,...,хт сгруппированы в однородные многочлены, расположенные по возрастанию степеней, затем перенумеруем мономы каждого из многочленов в лексикографическом порядке, переходя от меньшей степени к большей. При таком упорядочивании все мономы от символов х1,...,хт единственным образом записываются в виде последовательности {и}"=0, играющей роль базиса ФСР от х1,..., хт . Теперь каждый ряд 5 можно однозначно записать в виде разложения по этому базису:
; = Х
< 5,и > и-
(3)
с1(5) = с1 Х< 5, и > И; I =
VI=0 )
ш ( \
= X < 5 и > С'(Ч ) = X X < ^ и > х" =Х Саха.
г=0 а Vа=degx(иу) ) а
Впервые коммутативный образ ФСР рассмотрел
A. Л. Семёнов в статье [3], используя методы вещественного анализа для решения алгоритмических проблем, связанных с кс-языками. Эта статья открыла дорогу для приложений как вещественного, так и многомерного комплексного анализа в теории формальных языков и грамматик.
Например, коммутативный образ ФСР может быть использован при решении проблемы академика
B. М. Глушкова: установить критерии, с помощью которых можно выяснить, является ли данный ФСР кс-зыком или нет [2]. В самом деле, коммутативный образ кс-языка является кратным степенным рядом, представляющим алгебраическую функцию многих комплексных переменных, поэтому можно получить частичное решение этой проблемы, используя критерии алгебраичности для суммы степенного ряда.
Далее рассмотрим коммутативный образ системы символьных полиномиальных уравнений, который представляет собой систему полиномиальных уравнений в С, х .
На основе изложенного подхода можно показать, что если некоммутативная система (1) совместна, то коммутативная система (4) имеет голоморфное в начале координат решение. Обратное, вообще говоря, неверно.
В самом деле, система уравнений
2\ — Хт Х-
12'
21 2 2 = Х2 Х1
где < 5, и { > - числовой коэффициент при мономе и {.
Поставим в соответствие ФСР (3) его коммутативный образ с1(5) - степенной ряд, который получается из 5 в предположении, что символы х1,...,хт обозначают коммутативные переменные, принимающие значения из поля комплексных чисел.
В этом предположении любой моном и{ от символов х1,...,хт можно записать в виде хО1 • ...• хтт , где а у = deg (иу) - число вхождений (степень) символа ху- в этот моном, ] = 1,...,т. Если обозначить мульти-индекс а = (а1,...,ат) , то можно записать равенство а = deg х (и;), с учетом которого получаются следующие равенства:
является несовместной, тем не менее её коммутативный образ имеет решение
где 5 - произвольный ФСР.
Таким образом, можно сделать следующие замечания. Во-первых, множество решений коммутативной системы уравнений, вообще говоря, шире, чем множество соответствующей некоммутативной, и из совместности первой не следует совместность исходной некоммутативной системы. Во-вторых, естественная гипотеза о том, что система (1) совместна тогда и только тогда, когда её коммутативный образ имеет голоморфное в начале координат решение 2 = 2(х), не верна.
Назовём рангом матрицы наибольшее число её линейно независимых строк. Имеет место следующая теорема.
Теорема 1. Пусть А = (а у (х))^ у=1 - матрица, элементы которой являются многочленами от символьных некоммутативных переменных х = (х1,...,хт), и матрица сг( А) = (с1(ау (х)))^1 является коммутативным образом матрицы А. Тогда выполнено неравенство
=0
Решетневс^ие чтения. 2016
rang(ci(A)) < rang(A).
Доказательство. Пусть для определённости линейно независимыми являются строки с номерами 1,..., r, следовательно, rang (A) = r. Приравнивая к нулю линейную комбинацию этих строк с коэффициентами z1,..., zr, получим систему полиномиальных уравнений
z1a1 j (x) +... + zrarj (x) = 0, j = 1, ..., n,
которая имеет единственное решение в виде ФСР:
z1 = ... = zr = 0.
Коммутативный образ этой системы уравнений z1ci(a1j(x)) +... + zrci(arj(x)) = 0, j = 1, ..., n,
в соответствии с приведённым выше замечанием может иметь более широкое множество решений, включающее решение z1 = ... = zr = 0. В этом случае строки (коммутативные образы исходных строк) являются линейно зависимыми, следовательно, rang(ci(A)) < r.
Отметим также следующую теорему.
Теорема 2. Если коммутативный образ системы уравнений (1) не имеет решения, голоморфного в начале координат, то и некоммутативная система (1) несовместна.
Таким образом, условия несовместности системы коммутативных уравнений также представляют интерес.
Наконец, отметим, что система уравнений (1) имеет бесконечно много решений, если множество её решений зависит хотя бы от одного произвольного ФСР от символов x1,...,xm. Например, система из двух одинаковых уравнений x1 z1 - z2x2 = 0 имеет беско-
нечно много решений: z1 = sx2, z2 = x1s, где s - произвольный ФСР от x1, ..., xm.
Библиографические ссылки
1. Сафонов К. В., Егорушкин О. И. О синтаксическом анализе и проблеме В. М. Глушкова распознавания контекстно-свободных языков Хомского // Вестник Томского государственного университета. 2006. № 17. С. 63-67.
2. Salomaa A., Soitolla M. Automata-Theoretics Aspects of Formal Power Series. N.-Y. : Springer Verlag. 1978. 171 p.
3. Семёнов А. Л. Алгоритмические проблемы для степенных рядов и контекстно-свободных грамматик // Доклады АН СССР. 1973. Т. 212. С. 50-52.
References
1. Safonov K. V., Egorushkin O. I. [On syntax analysis and V.M. Glushkovs problem of recognition for context-free languages] // Vestnik TGU. 2006. No. 17, рp. 63-67. (In Russ.).
2. Salomaa A., Soitolla M. Automata-Theoretics Aspects of Formal Power Series. N.-Y. : Springer Verlag. 1978. 171 p.
3. Semenov A. L. Algorithmic Problems for Power Series and Context-Free Grammars // Soviet Doklady Mathematics. 1973. Vol. 212, рp. 50-52. (In Russ.).
© Егорушкин О. И., Колбасина И. В., Попов А. М., Попов Н. А., Сафонов К. В., 2016
УДК 519.6
ТОПОЛОГИИ МНОГОПРОЦЕССОРНЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ, ОСНОВАННЫЕ НА ГРАФАХ КЭЛИ ГРУПП ПЕРИОДА 41
А. А. Кузнецов1, А. С. Кузнецова2
Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31 2Красноярский государственный аграрный университет Российская Федерация, 660049, г. Красноярск, просп. Мира, 90 E-mail: [email protected]
Проведены исследования по определению структуры графов Кэли бернсайдовых групп периода 4. Предложено применять данные графы в качестве перспективных топологий многопроцессорных вычислительных систем.
Ключевые слова: граф Кэли, многопроцессорная вычислительная система.
1 Работа поддержана грантом Президента РФ № МД-3952.2015.9 (This work was supported by a grant from the President
of the Russian Federation № MD-3952.2015.9).
