CC BY
18
www.volsu.ru
МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
К 75-летию проф. В.М. Миклюкова. Часть I
DOI: https://doi.oгg/10.15688/mpcm.j'volsu.2019.2.1
УДК 517.765, 515.172.2, 512.816 Дата поступления статьи: 20.03.2019
ББК 22.161.5 Дата принятия статьи: 22.04.2019
об орбитах
__о ____о __о __________л
одной неразрешимой 5-мернои алгебры ли 1
Артем Викторович Атанов
Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры цифровых технологий,
Воронежский государственный университет
atanov.cs@gmail.com
Университетская площадь, 1, 394018 г. Воронеж, Российская Федерация
Александр Васильевич Лобода
Доктор физико-математических наук, профессор кафедры прикладной математики и механики, Воронежский государственный технический университет lobvgasu@yandex.ru
ул. 20 лет Октября, 84, 394006 г. Воронеж, Российская Федерация
Аннотация. В статье изучаются голоморфно однородные вещественные гиперповерхности пространства С3, ассоциированные с единственной неразрешимой неразложимой 5-мерной алгеброй Ли. В отличие от многих других 5-мерных алгебр, орбиты которых обладают «повышенной симметричностью», 2 невырожденные по Леви орбиты обсуждаемой алгебры оказываются «про-
^ сто однородными», то есть имеют в точности 5-мерные алгебры симметрий.
С точностью до голоморфной эквивалентности все такие орбиты совпадают с ^ конкретной индефинитной алгебраической поверхностью 4-го порядка.
Л Доказательства этих утверждений опираются на технику голоморфной
^ реализации абстрактных алгебр Ли. Существенным моментом является также
шг использование понятия нормальной формы Мозера для уравнений веществен-
< но-аналитических гиперповерхностей.
СО
° Ключевые слова: однородное многообразие, голоморфные преобразова-
ть ния, неразрешимые алгебры Ли, векторное поле, вещественные гиперповерх-
ности в С3.
Введение
Данная статья посвящена изучению задачи о голоморфно-однородных вещественных гиперповерхностях пространства С3. Основной интерес в этой задаче в настоящее время связан (см.: [3;4; 11; 13]) с невырожденными по Леви поверхностями, алгебры голоморфных векторных полей на которых имеют размерность 5.
При этом голоморфным реализациям 5-мерных алгебр в виде алгебр векторных полей на однородных гиперповерхностях часто соответствуют (см.: [1;2]) вырожденные по Леви орбиты или однородные поверхности с размерностями алгебр симметрии, большими чем 5. В такой ситуации естественно интересоваться просто однородными (Коссовский) поверхностями, алгебры векторных полей на которых являются в точности 5-мерными.
Ниже рассматривается одна из пяти неразрешимых 5-мерных алгебр, обозначенная в [5] через д5 и имеющая следующие коммутационные соотношения:
[еье2] = 2еь [еьез] = -&2, N ,ез] = 2ез, [еье4]= е5, (1)
[е2,е4]= е4, [е2,е5] = -е5, [ез,еб]= е4.
Главным результатом статьи является следующее утверждение о локальном устройстве однородных гиперповерхностей пространства С3, являющихся орбитами алгебры (1). Теорема 1. Пусть М — вещественно-аналитическая гиперповерхность в С3, невырожденная по Леви в некоторой точке. Если на М имеется 5-мерная алгебра голоморфных векторных полей со структурой д5, обладающая вблизи этой точки полным рангом, то М голоморфно эквивалентна (индефинитной) просто однородной поверхности
(V - Х2У1)2 + у^2 = уЪ (2)
где г2, и> — координаты в С3, х2 = Яе г2, у к = 1т гк (к = 1, 2), V = 1т т.
1. Упрощение базисов алгебр векторных полей
Используя технику работы [8], мы перейдем от рассмотрения абстрактной алгебры Ли (1) к соответствующей алгебре голоморфных векторных полей в С3. Элементы базиса такой алгебры будем записывать в виде
д д д
ек = ¡к (г1,г2,ь))~--+ дк (г1,г2,-ш)---+ кк (г1,г2,ь))— (к =1,..., 5). (3)
ог1 ох2 от
Здесь Д, дь, Н^ — голоморфные (вблизи обсуждаемой точки поверхности) функции. Для сокращенного представления формулы (3) будем использовать также запись вида
ек = (¡к,9к, Нк).
Через г1, х2, т здесь и далее обозначаются координаты в пространстве С3. Их вещественные и мнимые части будем обозначать через Хк = Яе гк, Ук = 1т гк (к = 1, 2), и = Яе w, V = 1тчи. Пару координат (г1,г2) мы часто будем объединять в двумерный комплексный вектор г.
Подчеркнем, что свойство однородности изучается в статье в локальном смысле, то есть речь идет о действиях локальных групп Ли голоморфных преобразований, являющихся транзитивными вблизи некоторой фиксированной точки д поверхности М.
Другими словами, это означает наличие вещественной алгебры Ли д(М) голоморфных векторных полей, определенных вблизи д и заметающих своими значениями касательные пространства к М во всех точках этой поверхности, близких к д.
Везде ниже будем считать обсуждаемую точку д однородной поверхности М совпадающей с началом координат пространства С3.
Из теории дифференциальных уравнений известно (см., например, [6]), что любое гладкое векторное поле можно выпрямить вблизи неособой точки подходящим координатным диффеоморфизмом. В работе [8], развивающей идеи Э. Картана [9], показано, что подобные упрощения можно производить с несколькими полями одновременно. Упрощение даже одного поля с учетом коммутационных соотношений, выполняющихся для конкретной алгебры, влечет за собой возможность упрощения и других полей.
Под упрощением здесь понимается сокращение числа аргументов у функциональных коэффициентов Д, дк, кк полей вида (3). За счет голоморфных преобразований координат часто удается сократить количество аргументов у ¡к, дк, кк до одного или двух (в случае, когда функциональный коэффициент зависит только от одной переменной х2, мы используем обозначение Д, дк, кк).
Отметим, что в статье рассматриваются только невырожденные по Леви поверхности. Определяющие функции таких поверхностей зависят от всех трех комплексных переменных, и матрица Гессе (см. [7]) вторых производных, суженная на комплексную касательную плоскость к такой поверхности, является невырожденной эрмитовой матрицей.
Сформулируем здесь три леммы о векторных полях на невырожденных гиперповерхностях, являющиеся уточнениями использованных (и обоснованных) в [8] утверждений.
Лемма 1. Если на невырожденной по Леви гиперповерхности М с С3 имеется пара коммутирующих голоморфных векторных полей ег и е2, линейно независимых над К, то голоморфной заменой координат эта пара может быть выпрямлена, то есть приведена (вблизи некоторой точки поверхности) к виду
ег = (0, 0,1), е2 = (1, 0, 0).
Лемма 2. Пусть два голоморфных векторных поля из базиса 5-мерной алгебры Ли имеют выпрямленный вид ег = (1,0,0), е2 = (0,0,1), а еще два поля е3, е4 имеют специальный вид
ек = (1к+ ¡к(г2),дк(?1,ы) + кк(к = 3, 4) (4)
с некоторыми голоморфными функциями ¡к (г2), дк (г2), кк (г2) и некоторыми линейными функциями 1кЬкЕсли при этом д3(0) = 0, то существует голоморфная замена переменных гг, г2> переводящая поле е3 в состояние (13(гг,т), 1, Ь3(гг,т)) и сохраняющая выпрямленный вид полей ег, е2, а также вид (4) поля е4.
Замечание. Уточним, что при замене из леммы 2 голоморфные функции /4(г2), д4^2), к4(г2) из представления поля е4, вообще говоря, изменяются, в отличие от остающихся неизменными линейных функций 14(гг,т), Ь4(гг,т).
Лемма 3. Если четверка базисных голоморфных полей 5-мерной алгебры д(М) полного ранга имеет вблизи некоторой точки М вид
б1 = (¿1, 22, 23), 0, Нх(21, 22, 23)) ,
е 2 = (21, 22, 23), 0,^(21, 22, 23)) , (5)
е 3 = (_/э(21, 22, 23), 0,^(21, 22, 23)) , ( )
6 4 = (Д(21, 22, 23), 0,Н4(21, 22, 23)) ,
то поверхность М является вырожденной по Леви (вблизи обсуждаемой точки).
Отметим, что утверждение леммы 3 вытекает из независимости определяющей функции обсуждаемой поверхности от переменных г1, т при выполнении условий вещественной линейной независимости рассматриваемой четверки полей.
Основная техническая идея доказательства сформулированной теоремы 1 состоит в постепенном упрощении (за счет голоморфных преобразований) нескольких базисных полей. Конкретные шаги таких упрощений аналогичны вспомогательным утверждениям из работы [8]. После нескольких таких шагов алгебры с упрощенными базисами удается проинтегрировать и получить явные уравнения обсуждаемых однородных поверхностей.
2. Голоморфные реализации алгебры д5
Так как в алгебре д5, задаваемой коммутационными соотношениями (1), два поля е1 и е5 коммутируют, то, согласно лемме 1, мы можем их выпрямить (в окрестности некоторой точки, близкой к началу координат) до состояния
д д
е1 = , е5 = — или е1 = (1, 0, 0), е5 = (0, 0,1). о 21 от
Рассматривая далее коммутационные соотношения [е 1, е4] = е5, [е4, е5] = 0, мы получаем формулы для поля
е4 = (Д(22), &(22), 21 + Н4(22)).
Аналогичные рассмотрения коммутаторов [е 1, е 2] = 2е 1, [е2, е 5] = — е 5 приводят к формулам
е 2 = (2 ¿1 + 22), &( 22), ы + Н2 (22)).
В силу леммы 3 можно утверждать, что вблизи начала координат пространства С3 найдется точка на поверхности М, в которой либо д2(г2), либо д4^2) принимает ненулевое значение. Перенесем начало координат в такую точку и рассмотрим далее два случая упрощения базисных полей:
1-й случай: д4(0) = 0,
2-й случай: ¿4(0) = 0, &(0) = 0.
Предложение 1. Базис (любой) голоморфной реализации алгебры д5 в первом случае можно привести голоморфным преобразованием к виду
б1 = (1,0,0), е 2 = (2¿1, — ,
е3 = (—22, 2122 — IV, — 2^) , (6)
е 4 = (0,1, 21), е 5 = (0, 0,1).
Доказательство. Для доказательства предложения 1 рассмотрим базис с учетом уже полученных упрощений отдельных его элементов
ег = (1, 0, 0) ,
е 2 = гг + /2(22), <Ь(Z2),w + к2(22)) ,
е4 = (Л(22), <?4(22), ¿г + к4(22)) , е 5 = (0, 0,1).
Применяя лемму 2 к полям е2, е4, имеющим вид (4), упростим поле е4 до вида е4 = (0,1, гг) и продолжим рассмотрение коммутаторов, связанных с полем е 3. Из [е3, е5] = е4 получаем
- (^^) = (0,1, хг),
так что
е з = (fä(z),—w + g3(z), —ziw + h3(z)). Аналогично из [еi, е3] = — е 2 получаем
fdfä ддз dh\ f0 . t , . t,
Ы ,—w+ihj = —(2z 1 + h,92 ,w + h2)
и
ез = (—z"2 — Zi f 2 + f3, —w — Ziij2 + дз, — ziw + zi h2 + hä).
После таких рассмотрений остаются неиспользованными три коммутационных соотношения из десяти, имеющихся в алгебре, а именно
[е2, е 4]= е4, [е3, е4] = 0, [е2, ез] = 2е3. (7)
Первое из них имеет в развернутой форме вид
(2 Z\ + Л)(0, 0,1) — (( f2, д'2, h'2) + ^(0,0,1)) = (0,1,Zl), и из него можно получить уточнение вида компонент поля
е 2 = (2 zi + А2, — Z2 + B2,w + A2Z2 + С2).
Здесь Ак, Вк, С — некоторые комплексные константы. Как следствие, уточняется и вид поля
е з = (—zl — A2Z1 + ¡з, —w — zi(—Z2 + B2) + дз, — Ziw + Zi(A2Z2 + C2) + h^ . (8) Покомпонентное рассмотрение второго из тройки соотношений (7), то есть
(—zf — A2Zi + Л) (0, 0,1) — ((¡3, Zi + д'з, A2Zi + h3) + zi(0, —1, — 2i)) = 0
приводит к следующим выводам:
¡з = A3; дз = Вз; А2 = 0, I13 = A3Z2 + Сз, ISSN 2587-6325. Математ. физика и компьютер. моделирование. 2019. T. 22. № 2 9
и к уточнению формулы (8) для поля е 3. На этом этапе получаем
е 3 = (—z2 + А3, г 1^2 — В22\ — ад + В3, —г\ад + С22 1 + ^3^2 + С3),
е 2 = (2 г 1, — ¿2 + В2, ад + С2).
Наконец, последнее соотношение [ 2, 3] = 2 3 примет (с учетом полученных уточнений формул для полей е 2, е 3) вид
2*1 (—2гь 22 — В2, — ад + С2) + (—22 + В2)(0, 2Ь А3) + (ад + С2)(0, —1, —21) — — (—22 + А3)(2, 0,0) — (2!22 — В22\ — ад + В3)(0, —1, 0) — — (—2гад + С22\ + А322 + С3)(0, 0,1) = 2е3.
Расписывая покомпонентно это равенство, получим
А3 = 0; В3 + С2 = 0; —2С22 \ — 4А322 + (А3В2 — ЗС3) = 0.
Это означает, что
С2 = А3 = В3 = С3 = 0,
а вся пятерка базисных полей обсуждаемой реализации алгебры 5 принимает (в первом случае) вид
б1 = (1, 0, 0), е 2 = (2^1, — 22 + В2, ад),
е 3 = (—22, 21 (22 — В2) — ад, — 21ад), (9)
е 4 = (0,1,21), е 5 = (0, 0,1).
Сдвиг переменной г* = 22 — В2 упрощает этот набор формул до состояния (6). Предложение 1 доказано.
Предложение 2. Голоморфные реализации алгебры <^5 во втором случае могут иметь только вырожденные по Леви орбиты.
Доказательство. Во втором случае начальные упрощения базиса позволяют записать четверку его элементов в виде
б1 = (1, 0, 0), е 2 = (2^1,1,ад) ,
е 4 = ( Л(22), 0, 21 + 4(22)) , е 5 = (0, 0,1).
Обсудим в этом случае еще неиспользованные коммутационные соотношения. Так, равенство [ 2, 4] = 4 имеет в развернутой форме вид
2 ^(0, 0,1) + ( /4, 0, ¿4) — Д(2, 0, 0) + (2! + ¿4(0, 0,1) = (Д(22), 0,21 + Ч22)). Из него следует, что
А(22) = А4е3*2 , ¿4(22) = С4е2^2
с некоторыми комплексными константами А4, С4, так что
е4 = (А4е322, 0, гг + С4е2"2). (10)
Рассматривая далее коммутаторы [ег, е3] = — е2, [е3, е5] = е4, получаем следующую информацию о компонентах поля е3:
(д¡з dgз дЬ,з\ , л
Ы ,dhj = —(2z - 1,w),
( dw ,dr ,dw ) = (A4^2, 0, Zi + C4<fi*).
\dw dw dw)
Это означает, что поле 3 обязано иметь следующий упрощенный вид
е 3 = (—— ША4е3г2 + ¡3, — гг + &(¿2), — + wС4e2z2 + к3(¿2)) .
Покажем, что в такой ситуации орбита голоморфной реализации обсуждаемой алгебры может быть только вырожденной по Леви. Для этого рассмотрим коммутатор
[ 2, 3] = 2 3.
В развернутой форме получаем здесь
2гг(—2гг, —1, —ги) + (—3А4те3*2 + ¡3, д'3) 2С4<ше2*2 + к'3) + + Ш(—А4е3г2, 0, — ¿г + С4е2г2) — (—— 1»А4е3х2 + Д)(2, 0, 0) — — (—+ тС4е2г2 + к3)(0, 0,1) = 2е3.
Первая компонента этого векторного равенства имеет вид
—4 г2, + (—3А4те3*2 + ¡3) — А4те3*2 — 2(—г2, — и)ААе3*2 + ¡3) = 2(—— тА4е3*2 + /3)
или
2 A4we3Z2 + (Л — 4 /з) = 0.
Последнее равенство формально содержит переменные г2 и т (слагаемые с переменной автоматически сократились). Необходимым условием его тождественного выполнения является равенство А4 = 0. Но в силу (10)
е4 = (0, 0, гг + С4е2х2).
Наличие в обсуждаемом базисе еще и поля е 5 = (0,0,1) означает, что определяющая функция Ф(гг, г2,1и) любой интегральной поверхности алгебры с таким базисом не зависит от переменной w. Следовательно, все такие поверхности (если они существуют) вырождены по Леви.
Предложение 2 доказано.
Замечание. Вопрос о существовании или невозможности существования таких вырожденных однородных поверхностей мы здесь не обсуждаем.
3. Получение уравнения однородной гиперповерхности
Теперь мы получим уравнения однородных поверхностей, являющихся орбитами алгебры (6). Уравнение каждой такой поверхности М ищем в виде
г; = Р (у1,Ж2, У2). (11)
При этом определяющая функция Ф = — V + Р поверхности удовлетворяет системе трех уравнений в частных производных
Ие(efc (Ф)|м) = 0, (£ = 2, 3, 4). (12)
Аналогичные уравнения, отвечающие полям 1, 5 и означающие независимость определяющей функции Ф от переменных ж1, и, фактически уже учтены в виде (11).
Итак, тройка уравнений (12) имеет в вещественной форме вид
2У19у! 9x2 У2 ду2 Р 0
— Ц + (Ж1^2 — У1У2 — и) Ц + (Ж1У2 — Ж2У1 — Р) Ц + + У1И) = 0, (13)
дх2 У1 0.
Заметим, что во втором уравнении системы (13) имеются две группы слагаемых, содержащих переменные ж1 и и. Но с учетом первого и третьего уравнений каждая такая группа тождественно равна нулю. Поэтому получаем упрощенный вариант системы (13) в виде
2У1 Я^т.п У2 Ят/п ^ 0
1 ду\ 2 дх2 "2 ду2
—ШУ2 Ц + (Х2Ш — Р) Ц = 0, (14)
дх2 У1 0.
Решение самого простого из этих уравнений Р(у1,ж2,у2) = ж2у1 + С(у2) с произвольной аналитической функцией С(у1, у2) подставим в два оставшихся уравнения системы (14). Эти два уравнения имеют теперь вид
ВС <9Р ВС 2
2У1 о--= С = — ШУ^
ОУ1 01/2
Решение первого из них есть функция вида
С(Уъ У2) = — Ф(У1У2) 2 2
с произвольной функцией одного переменного ф.
Тогда последнее уравнение изучаемой системы примет вид ОДУ
4ц' (4) — ц = — 42,
22 где 4 = У1У2, Ц = Ф2.
Решение этого ОДУ ц = — 42 + С4 с произвольной вещественной константой С
позволяет записать решение системы (13) в виде
( СУ2)2 + (шу2)2 = С (У1У2). (15)
После сокращения уравнения (15) на = 0 и перехода к исходным переменным задачи получаем уравнения искомых однородных поверхностей в виде
(г; — Х2У1)2 + у2у\ = Суъ (16)
Остается заметить, что при С = 0 уравнение (16) описывает не 5-мерную (гипер) поверхность, а объединение двух вещественных 4-мерных поверхностей
Гг = [у\ = 0, V = 0} и Г2 = {У2 = 0, V = Х2У1}
в комплексном пространстве С3. При С = 0 замена
* ^ (!) ,, ,2 ^ Й2
превращает параметр С этого уравнения в единицу, а само это уравнение задает индефинитную вещественную гиперповерхность (2).
Теперь для завершения доказательства теоремы 1 остается убедиться в простой однородности этой поверхности.
4. Нормальные формы и задача об однородности
Ответы на многие вопросы, связанные с вещественными гиперповерхностями комплексных пространств, удается получать с использованием понятия нормальной формы Мозера (см. [10], а также [3;4]).
Напомним, что уравнение всякой невырожденной по Леви вещественно-аналитической гиперповерхности М С C3 может быть приведено (вблизи любой своей точки) к виду
v = {z, z) + N220 (z ,z) + .... (17)
Здесь { z, z) — невырожденная эрмитова форма (форма Леви поверхности), N220(z, z) — однородный многочлен бистепени (2, 2) по переменным z = (z \, z2) и z = (zi, z2), а многоточия означают слагаемые более высоких степеней по переменным z, z, и = Reu>. При этом многочлен N220 является элементом специального пространства М22 многочленов бистепени (2,2), определяемого формой Леви поверхности.
Процедура приведения к такой нормальной форме является вполне конструктивной, хотя и достаточно громоздкой в силу ее многошагового характера. Для целей нашей статьи достаточно обсудить многочлены N220 из уравнений вида (17) для нескольких семейств однородных поверхностей.
Относительно подробно мы рассмотрим нормализацию уравнения (16) при С = 1, то есть
(V - Х2У1)2 + у2^2 = уь переписанного (после замены z = iz*) в виде
v = —х\у2 + ух — х2Х2. (18)
Точкой поверхности, вблизи которой проводится нормализация, выберем q(1, 0, г) € € С3. Разложение функции
F = -1 - (1 + X)У2 + ^(1 + Х) - (1 + Х)2
х0
в степенной ряд имеет вид
V = Р + Р + Рз + Р4 + ..., в котором отдельные тейлоровские компоненты определяются формулами
771 __1 2 1 2 ¿7 _ 1 3 3 2 ^ _ 5 4 3 22 1 4
Г2 - -- —Х1 - —Хо, Р 3 - -Х1 - "7X1X9, Р 4 ---Х1 - -Х1 Х9 - —Х9.
2 1У2 8 1 2 2' 3 16 1 4 1 2' 4 128 1 16 1 2 8 2
При возвращении к комплексным переменным (с одновременным растяжением координат по формулам Хк = Zk + 2^) получаем
1 2 1 2 р2 = (21 + 21) + г (21 + 21) (22 — 22) — 2 (22 — 22)
и эрмитову часть этого многочлена, то есть форму Леви обсуждаемой поверхности,
Н (г ,2) = г2221 — ¿2122 — 2222 — 12121. (19)
Для приведения этой формы к виду
Н = ¿122 + 22 21 (20)
воспользуемся линейной заменой координат
, = , + ,), , - * (А< , + ) + (4 — «>) . ^
2
43
Замечание. Приведение эрмитовой формы к каноническому виду может быть реализовано различными линейными преобразованиями. Выбранное нами преобразование обеспечивает при переходе к комплексным координатам наличие только вещественных коэффициентов у наиболее важных при нормализации многочленов Р3, Р4.
Вторым шагом после такой замены освобождаем полученное уравнение
V = (2122 + 2221) + Р3(2, 2) + Р4(2, 2) + ... (21)
от слагаемого Р3. При этом голоморфные слагаемые, входящие в Р3(2,2) (как, впрочем, и в остальные Р(2,2) при к ^ 1), не оказывают влияния на старшие компоненты нормализуемого уравнения и «просто удаляются» из него (см. [10]). Еще одна группа слагаемых из Р3(2,2) имеет вид
^1(2)21 + ^2 (2)22 (22)
с квадратичными формами
^1(2) = (1 + 1 ^ 22 + (2 — ^3) 2122 + (—243+ ^ 22,
^2(2) = 2 43—1^ 22 + ( —2 — ^3) 2122 + 43 — ^ 22
от двух комплексных переменных z1,
С учетом (22) мы строим квадратичную вектор-функцию /2(2) = (((¿),Я1(^)) и поправочное слагаемое
А22 = — /2,/2) = - ((мШд+ямоЩ.
После замены
г* = z + ¡2 + ..., ш* = ш + ... уравнение нормализуемой поверхности примет вид
ь=( г-1^2 + 2221) + Я22(2 ,г)+ Ны(г ,*),
где Н22 = Р22 + Д 22 •
Приведем развернутую запись многочлена
Н22 = ^ + А212112| 22|2 + Аз|22|4 + (В ^2^1 ¿2 + В Х1Х2^2) +
+ ( С ziz2zl + С z2 Z1Z2) + (DZ2Z22 + D z22zl),
(23)
каждый моном которого имеет вторую степень по переменной z и вторую — по z. В нашем случае все коэффициенты этого многочлена являются вещественными и определяются формулами
4 2 4 4 2
* = -3-7!' A = Аз = -4 +
в = 7+ * с = 7* d = 2. з Тз' з Тз' з
При этом при «простейшей нормализации» многочлен N220 из нормального уравнения обсуждаемой поверхности (21) равен (см.: [3;4]) проекции многочлена Н22 в пространство М22.
Лемма 4 (предложение 1.2, [3]). В случае формы Леви (z, z) = ziz2 + z2zi проекция многочлена (23) в пространство М22 описывается формулами
( F22)M = Al|z!|4 + Л2 (4|zi|2| Z2I2 - (z2z2 + z2z2)) + Лэ| 22 |4 + + %^i(z\ziz2 - Z1Z2Z2) + ¿Ц2(ziZ2~z\ - ZIZ1Z2),
где
Л1 = A, Л2 = 7(A2 - 2ReD), Лз = A3, Щ = ImB, Ц2 = ImC. 6
В силу этой леммы получаем набор коэффициентов (Л1, Л1, Л1, ц1, ц2) многочлена N220 из нормального уравнения поверхности (18), равный
/ 4 2 4 4 2 4
(-3 ~Т3 ■ -4■ — 3 + 73■0(24)
4 2 4 4
з -Тз, - 9, - з 1 у/з
Растяжение переменных с одновременной симметрией
Z\ ^ —гtZ\, z2 ^ -z2, w ^ —r w (25)
сохраняет нормальный вид уравнения (17) и форму Леви г122 + г221 обсуждаемой поверхности при произвольных положительных , .
Ненулевые коэффициенты многочлена Ж220 изменяются при замене координат (25) по формулам
2
А1 ^ — г2^4Л1, Л2 ^ — г2л2, Л3 ^ — — Л3
и становятся положительными.
Полагая ¿8 = Л3/Л1, г-4 = Л1Л3, мы превратим набор (24) в
(Л1, Л2, Л3, Щ, Ц2) = 3, 1, 0, о) . (26)
Итог описанной нормализации поверхности (18) можно сформулировать следующим образом.
Предложение 3. Существует нормальное по Мозеру уравнение вида (17) поверхности (18), в котором коэффициенты многочлена Ж220 имеют вид (26).
Отметим, что такой набор является частным случаем наборов типа 1 из предложения 1.5 в [3]. В силу теоремы 3.6 из этой же работы размерность алгебры симметрий обсуждаемой поверхности не превышает 6.
Предложение 4. Поверхность (18) является просто однородной, то есть ее максимальная алгебра симметрий является в точности 5-мерной.
Доказательство этого утверждения следует из сравнения голоморфно инвариантного набора (26) с аналогичными наборами для однородных гиперповерхностей пространства С3, имеющих «богатые» алгебры симметрий и индефинитную форму Леви (20).
Согласно результату [11] (теорема 1.1), для любой голоморфно-однородной невырожденной по Леви вещественной гиперповерхности М С С3 с нетривиальной алгеброй симметрий справедливо хотя бы одно из следующих утверждений:
1. М голоморфно эквивалентна квадрике V = |г112 ± |г2|2 (и тогда многочлен ^220 в
любом ее нормальном уравнении является нулевым),
2. М голоморфно эквивалентна одной из трубчатых поверхностей приведенного в
работе списка (содержащего 21 тип уравнений),
3. М попадает в картановский или винкельманновский тип.
Остается уточнить, что поверхности картановского (и псевдо-картановского, см. [3]) типа имеют номер 4 в упомянутом выше классификационном предложении 1.5 из [3], а винкельманновский тип имеет в этом предложении номер 6.
Из 21 типа трубчатых поверхностей работы [11] 6-мерные алгебры симметрий имеют лишь 12 типов, включенных в таблицы 7 и 8. При этом все поверхности, попавшие в таблицу 7, имеют сводимые к винкельманновскому типу уравнения вида
V = Ф(Х1)Х2 + 4(Х1).
В частности, это 8 типов поверхностей, имеющих 6-мерные алгебры симметрий (а и в — вещественные параметры):
V = Х1Х2 + х£, V = Х1Х2 +1пх1 , V = Х1Х2 + х1 1пх1, V = Х1Х2 + х1 1пх1, V = хх2 + еХ1, ^совХ! + х2 втх! = евж1, V = х2еХ1 — х2,
В таблице 8 имеется 4 типа поверхностей с 6-мерными алгебрами симметрий. Это
га1 = х2 — еха, v = х2 + еха, v = х2 + ех1 1пх1, v2 + е1х2 + е2х2 = 1, (27)
где а е М, е, е1, е2 = ±1.
Отметим, что в этом списке содержатся уравнения поверхностей как с индефинитной, так и с положительно определенной формой Леви. При этом индефинитные поверхности из (27) приводятся несложными преобразованиями, аналогичными описанным в начале этого раздела, к виду
^ = (I ¿1|2 — I "^212) + (| ¿1|4 + 4| ^|2| 2^212 + 12214) + ....
Такой вид соответствует, согласно [3], так называемым псевдо-картановым поверхностям, входящим в качестве отдельного подтипа в тип 4 классификационного предложения 1.5 из [3].
Тем самым предложение 4, а с ним и основной результат настоящей статьи — теорему 1, можно считать доказанными.
Замечание. Вопрос о возможной голоморфной эквивалентности поверхности (18) какому-либо известному однородному многообразию с 5-мерной алгеброй симметрий мы здесь не рассматриваем. Семейство известных однородных (и, в том числе, просто однородных) поверхностей достаточно велико. Например, оно содержит все трубчатые многообразия над аффинно-однородными поверхностями из М3 (обширный полный список таких поверхностей получен в [12]). Детальный анализ всего этого семейства в связи с обсуждаемой задачей выходит за рамки настоящей статьи.
ПРИМЕЧАНИЕ
1 Работа второго автора поддержана грантом РФФИ (проект № 17-01-00592-а).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Акопян, Р. С. О голоморфных реализациях нильпотентных алгебр Ли / Р. С. Ако-пян, А. В. Лобода // Современные методы и проблемы математической гидродинамики -2018 : материалы Междунар. науч. конф. (3-8 мая 2018 г.). — Воронеж : Изд-во Воронеж. гос. пед. ун-та, 2018. — С. 200-204.
2. Атанов, А. В. Голоморфные реализации разложимых пятимерных алгебр Ли / А. В. Атанов, А. В. Лобода // Современные методы теории функций и смежные проблемы : материалы Междунар. конф. : Воронежская зимняя математическая школа (28 янв. -2 февр. 2019 г.). — Воронеж : Издательский дом ВГУ, 2019. — С. 24-26.
3. Лобода, А. В. Однородные вещественные гиперповерхности в С3 с двумерными группами изотропии / А. В. Лобода // Труды МИАН. — 2001. — Т. 235. — С. 114-142.
4. Лобода, А. В. Однородные строго псевдо-выпуклые гиперповерхности в С3 с двумерными группами изотропии / А. В. Лобода // Матем. сб. — 2001. — Т. 192, № 12. — С. 3-24. — 001: https://doi.org/10.4213/sm614.
5. Мубаракзянов, Г. М. Классификация вещественных структур алгебр Ли пятого порядка / Г. М. Мубаракзянов // Известия вузов. Математика. — 1963. — № 3. — С. 99-106.
6. Олвер, П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям / П. Олвер. — М. : Мир, 1989. — 637 с.
7. Шабат, Б. В. Введение в комплексный анализ : в 2 ч. Ч. 2. Функции нескольких переменных / Б. В. Шабат. — М. : Наука, 1985. — 464 с.
8. Beloshapka, V. K. Homogeneous hypersurfaces in C3, associated with a model CR-cubic / V. K. Beloshapka, I. G. Kossovskiy // J. Geom. Anal. — 2010. — Vol. 20, № 3. — P. 538-564.
9. Cartan, E. Sur la geometrie pseudoconforme des hypersurfaces de deux variables complexes: I / E. Cartan // Ann. Math. Pura Appl. — 1932. — Vol. 11, № 4. — P. 17-90.
10. Chern, S. S. Real hypersurfaces in complex manifolds / S. S. Chern, J. K. Moser // Acta Math. — 1974. — Vol. 133. — P. 219-271.
11. Doubrov, B. Homogeneous Levi non-degenerate hypersurfaces in C3 / B. Doubrov, A. Medvedev, D. The. — arXiv.org. — Electronic text data. — Mode of access: http://arxiv.org/abs/1711.02389. — Title from screen.
12. Doubrov, B. Homogeneous surfaces in the three-dimensional affine geometry. / B. Doubrov, B. Komrakov, M. Rabinovich // Geometry and topology of submanifolds, VIII, Proc. of the 1995 Nordfjordeid Conference. — Singapore, 1996. — P. 168-178.
13. Fels, G. Classification of Levi degenerate homogeneous CR-manifolds in dimension 5 / G. Fels, W. Kaup // Acta Math. — 2008. — Vol. 201. — P. 1-82.
REFERENCES
1. Akopyan R.S., Loboda A.V. O golomorfnykh realizatsiyakh nilpotentnykh algebr Li [On Holomorphic Realizations of Nilpotent Lie Algebras]. Sovremennye metody i problemy matematicheskoy gidrodinamiki - 2018: materialy Mezhdunar. nauch. konf. (3-8 maya 2018 g.) [Contemporary Methods and Problems of Mathematical Hydrodynamics - 2018 (May 3 - May 8, 2018, Voronezh)] . Voronezh, VSPU Publ., 2018, pp. 200-204.
2. Atanov A.V., Loboda A.V. Golomorfnye realizatsii razlozhimykh pyatimernykh algebr Li [Holomorphic Realizations of Decomposable Lie Algebras]. Sovremennye metody teorii funktsiy i smezhnye problemy: materialy Mezhdunar. konf.: Voronezhskaya zimnyaya matematicheskaya shkola (28 yanv. - 2 fevr. 2019 g.) [Voronezh Winter Mathematical School «Contemporary Methods in Theory of Functions and Adjacent Problems» (January 28 -February 2, 2019, Voronezh)] . Voronezh, VSU Publ., 2019, pp. 24-26.
3. Loboda A.V. Odnorodnye veshchestvennye giperpoverkhnosti v C3 s dvumernymi gruppami izotropii [Homogeneous Real Hypersurfaces in C3 with Two-Dimensional Isotropy Groups]. Trudy MIAN [Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics], 2001, vol. 235, pp. 114-142.
4. Loboda A.V. Odnorodnye strogo psevdo-vypuklye giperpoverkhnosti v C3 s dvumernymi gruppami izotropii [Homogeneous Strictly Pseudoconvex Hypersurfaces in C3 with Two-Dimensional Isotropy Groups]. Matem. sb. [Sbornik: Mathematics], 2001, vol. 192, no. 12, pp. 3-24. DOI: https://doi.org/10.4213/sm614.
5. Mubarakzyanov G.M. Klassifikatsiya veshchestvennykh struktur algebr Li pyatogo poryadka [Classification of Real Structures of Lie Algebras of Fifth Order]. Izvestiya vuzov. Matematika [Russian Mathematics], 1963, no. 34, pp. 39-47.
6. Olver P. Prilozheniya grupp Li k differentsialnym uravneniyam [Applications of Lie Groups to Differential Equations]. Moscow, Mir Publ., 1989. 637 p.
7. Shabat B.V. Vvedenie v kompleksnyy analiz: v 2 ch. Ch. 2. Funktsii neskolkikh peremennykh [Introduction to Complex Analysis: Functions of Several Variables]. Moscow, Nauka Publ., 1985. 464 p.
8. Beloshapka V.K., Kossovskiy I.G. Homogeneous Hypersurfaces in C3, Associated with a Model CR-Cubic. J. Geom. Anal., 2010, vol. 20, no. 3, pp. 538-564.
9. Cartan E. Sur la Geometrie Pseudoconforme des Hypersurfaces de Deux Variables Complexes: I. Ann. Math. Pura Appl., 1932, vol. 11, no. 4, pp. 17-90.
10. Chern S.S., Moser J.K. Real Hypersurfaces in Complex Manifolds. Acta Math., 1974, vol. 133, pp. 219-271.
11. Doubrov B., Medvedev A., The D. Homogeneous Levi non-degenerate hypersurfaces in C3. arXiv.org. URL: http://arxiv.org/abs/1711.02389.
12. Doubrov B., Komrakov B., Rabinovich M. Homogeneous surfaces in the three-dimensional affine geometry. Geometry and topology of submanifolds, VIII, Proc. of the 1995 Nordfjordeid Conference. Singapore, 1996, pp. 168-178.
13. Fels G., Kaup W. Classification of Levi Degenerate Homogeneous CR-Manifolds in Dimension 5. Acta Math., 2008, vol. 201, pp. 1-82.
ON THE ORBITS OF ONE NON-SOLVABLE 5-DIMENSIONAL LIE ALGEBRA
Artem Viktorovich Atanov
Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Department of Digital Technology, Voronezh State University atanov.cs@gmail.com
Universitetskaya Sq., 1, 394018 Voronezh, Russian Federation
Alexander Vasilyevich Loboda
Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Department of Applied Mathematics and Mechanics, Voronezh State Technical University lobvgasu@yandex.ru
20 let Oktyabrya St., 84, 394006 Voronezh, Russian Federation
Abstract. This paper studies holomorphic homogeneous real hypersurfaces in C3 associated with the unique non-solvable indecomposable 5-dimensional Lie algebra g5 (in accordance with Mubarakzyanov's notation). Unlike many other 5-dimensional Lie algebras with "highly symmetric" orbits, non-degenerate orbits of g5 are "simply homogeneous", i.e. their symmetry algebras are exactly 5-dimensional. All those orbits are equivalent (up to holomorphic equivalence) to the specific indefinite algebraic surface of the fourth order.
The proofs of those statements involve the method of holomorphic realizations of abstract Lie algebras. We use the approach proposed by Beloshapka and Kossovskiy, which is based on the simultaneous simplification of several basis vector fields. Three auxiliary lemmas formulated in the text let us straighten two basis vector fields of g5 and significantly simplify the third field.
There is a very important assumption which is used in our considerations: we suppose that all orbits of g5 are Levi non-degenerate. Using the method of holomorphic realizations, it is easy to show that one need only consider two sets of holomorphic vector fields associated with g5. We prove that only one of these sets leads to Levi non-degenerate orbits. Considering the commutation relations of g5, we obtain a simplified basis of vector fields and a corresponding integrable system of partial differential equations. Finally, we get the equation of the orbit (unique up to holomorphic transformations)
(■v - x2yi)2 + ylyi = yi,
which is the equation of the algebraic surface of the fourth order with the indefinite Levi form.
Then we analyze the obtained equation using the method of Moser normal forms. Considering the holomorphic invariant polynomial of the fourth order corresponding to our equation, we can prove (using a number of results obtained by A.V. Loboda) that the upper bound of the dimension of maximal symmetry algebra associated with the obtained orbit is equal to 6. The holomorphic invariant polynomial mentioned above differs from the known invariant polynomials of Cartan's and Winkelmann's types corresponding to other hypersurfaces with 6-dimensional symmetry algebras.
Key words: homogeneous manifold, holomorphic transformations, non-solvable Lie algebras, vector field, real hypersurfaces in C3.
