Пространство орбит группы автоморфизмов модельной поверхности типа (1, 2) Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2008. №3

13

УДК 517.55; 514.76

ПРОСТРАНСТВО ОРБИТ ГРУППЫ АВТОМОРФИЗМОВ МОДЕЛЬНОЙ

ПОВЕРХНОСТИ ТИПА (1, 2)

В. К. Белошапка

С каждым вполне невырожденным ростком вещественного подмногообразия комплексного пространства ассоциирована его касательная модельная поверхность [1]. Группа голоморфных автоморфизмов модельной поверхности — это группа Ли, действующая в объемлющем комплексном пространстве бира-циональными преобразованиями ограниченной степени. Возникает соответствие:

модельная поверхность м- группа голоморфных автоморфизмов.

Модельные многообразия занимают особое место среди многообразий фиксированного СЛ-типа. Прежде всего это связано с тем, что данные поверхности обладают самыми богатыми (по размерности) группами голоморфных симметрий среди многообразий данного типа. Отсюда интерес как к самим группам симметрий модельных многообразий, так и к их голоморфным действиям.

Если начать с простейшей ситуации — с модельной поверхности типа (1, 1), т.е. с вещественной гиперповерхности в С2, то картина ясна. Модельная гиперповерхность 1тад = |г|2 делит пространство на две открытые орбиты 1т ад > |г|2 и 1т ад < |г|2, общей границей которых является особая орбита — сама гиперповерхность. С точностью до проективного преобразования это шар, сфера и внешность шара, т.е. полный аналог хорошо известной одномерной ситуации: группа конформных автоморфизмов круга в С1 — группа Мебиуса — действует на всей плоскости и имеет три орбиты: круг, окружность и внешность круга. Та же картина реализуется для гиперповерхности в пространстве произвольной размерности с той лишь оговоркой, что модельных гиперповерхностей и соответственно групп становится несколько. В С3 их, например, две: 1т ад = | 12 + | ^212 и 1т ад = |12 — |^212. Во всех упомянутых случаях орбита точки общего положения открыта. Первый пример ситуации, где это не так, это модельная поверхность типа (1, 2). Описание совокупности орбит группы голоморфных автоморфизмов модельной поверхности типа (1, 2) — это основное содержание данной работы.

Модельная поверхность типа (1, 2), т.е. вещественно 4-мерная поверхность, задается в трехмерном комплексном пространстве с координатами (г, ад2,адз) двумя уравнениями М = {1т ад2 = |г|2, 1т адз = 2Ке(^2^)}. То, что эта поверхность является модельной по отношению ко всему классу невырожденных многообразий СЛ-типа (1, 2), означает, в частности, что она является самой симметричной, вполне невырожденной поверхностью этого СЛ-типа (ее группа автоморфизмов 5-мерна, группы остальных ростков этого типа не более чем 4-мерны) [2].

5-Мерная группа голоморфных автоморфизмов М действует в С3 треугольно-квадратичными преобразованиями:

г м А,г + р, ад2 м А2ад2 + 2грА,г + г|р|2 + 92, ад3 м А3ад3 + 4(Иер)А2ад2 + 2г(2|р|2 + р2)А,г + 2грА2,г2 + 2г Иер2р + д3,

где А € К*, р € С, (92,93) € К2. Соответствующая ей алгебра Ли векторных полей д в естественной градуировке имеет структуру д = д-3 + д-2 + д-1 + до. Заметим, что подалгебра д-3 + д-2 + д-1, которая входит в эту сумму как полупрямое слагаемое, — единственная 4-мерная нильпотентная алгебра Ли. Данная группа не является связной, она состоит из двух компонент. Связной компонентой, содержащей единицу, является подгруппа, соответствующая значениям А > 0. Обозначим ее через С.

Прямое вычисление ранга вещественной матрицы

0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 1 0

х у 2и2 2-и2 3и3 3-и3 ,

1 0 —2у 2х (4^2 — 4ху) (4^2 + 2х2 — 2у2)

\ 0 1 2х 2у (2х2 — 2у2) 4ху /

14

ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2008. №3

составленной из пяти 6-мерных векторов, порождающих алгебру Ли д группы С, показывает, что всюду, кроме точек М, ранг равен пяти, а на М он равен четырем. Таким образом, М — это единственная 4-мерная орбита, все остальные 5-мерны.

Рассмотрим орбиту точки (а, Ь, с). Эту орбиту можно параметризовать следующим образом:

г = Аа + р,

■ = А2Ь + 2грАа + г|р|2 + 92, (1)

ш3 = А3 с + 4(Ке р)А2Ь + 2г(2|р|2 + р2)Аа + 2грА2а2 + 2г И,е р2р + д3.

Из первого уравнения получаем р = г — Аа, из второго получаем 1т■ — |г|2 = А2(1т Ь — |а|2). Это означает, что многочлен Р = 1т ■ — |г|2 является относительным инвариантом группы С веса два. Из полученного соотношения видно, что орбиты делятся на три вида: те, что накрывают внутренность шара Р > 0; те, что накрывают внешность Р < 0; те, что лежат над сферой Р = 0.

Рассмотрим сначала орбиты первого вида, т.е. предположим, что 1т Ь — |а|2 > 0, тогда вдоль всей орбиты 1т Ш2 — |г|2 > 0 и мы имеем

д/1тгУ2 — И2 А = —. .

д/1т Ь — | а |2

Если теперь взять мнимую часть третьего соотношения в (1) и подставить в нее найденные выражения для р и А, то мы получим задающее орбиту уравнение, которое принимает вид

1т ш3 = — 2И,е х2х + 4И,е г 1т ш2 + ^(1т ш2 — |г|2)3/2, где 2

(1т с + 2 И,е а2 а — 4 И,е а 1т Ь) (1т Ь — |а|2)3/2 '

Нетрудно убедиться в том, что, варьируя (а, Ь, с), можно получить для ц любое вещественное значение. Таким образом, наша орбита есть область на вещественно-алгебраической гиперповерхности:

(1т ш3 — 4И,е г 1т ш2 + 2|г|2 И,е г))2 = ^2(1т ш2 — |г|2)3,

лежащая над шаром Р > 0. Для того чтобы охарактеризовать тип формы Леви данной орбиты, достаточно в силу голоморфной однородности сделать это в любой ее неособой точке. Поскольку переменная ■3 в правой части отсутствует, то форма Леви — это просто эрмитова часть 2-струи по переменным (г, г, Ш2, Ш2). В качестве пробной точки возьмем точку (0, г), соответствующее значение 1т ■ — это Вычисляя эрмитову часть, получаем

-■^/Ф!2 + иггйг - ш2<г + -^т/х|-ш2|2.

2 16

В силу закона инерции число отрицательных собственных значений этой формы равно числу перемен знака в последовательности угловых миноров

и мы видим, что при любом значении ^ орбита представляет собой однородную гиперповерхность с невырожденной и незнакоопределенной формой Леви.

Пусть теперь Р < 0, тогда это неравенство сохраняется вдоль всей орбиты, и мы имеем А = Уравнение орбиты принимает вид

1т ш3 = — 2И,е х2х + 4И,е г 1т ш2 + V (|г|2 — 1т ш2)3/2, где 2

(1т с + 2 И,е а2а — 4 И,е а 1т Ь) " = (|а|2 - 1т б)3/2 '

Полученная орбита также представляет собой часть вещественно-алгебраической гиперповерхности,

заданной уравнением

(1т^з - 4Ие г 1т+ 2|^|2 Ив= V2(|^|2 - 1т

(2)

которая лежит над внешностью шара Р < 0. Параметр V, так же как и д, может принимать все вещественные значения. Для того чтобы выяснить вид формы Леви полученной гиперповерхности, возьмем в качестве пробной точки точку (0, —г); соответствующее значение 1ти>з — это V. Вычисляя эрмитову часть 2-струи правой части уравнения (2), получаем

2 16

Можно заключить следующее. Определитель соответствующей эрмитовой матрицы равен Д2 = — 1).

Поэтому при ту > рр гиперповерхность положительно определена; при V = она вырождена, ранг

формы Леви равен единице; при и < и V ф — рр гиперповерхность невырожденная и незнакоопреде-ленная.

Пусть, наконец, Р = 0, тогда вдоль всей орбиты 1т и>2 = |г|2. При этом условии третье соотношение (1) дает 1т ^з — 2И,е = А3 (1т с — 2И,е а2а). Это означает, что модельная поверхность делит гиперповерхность 1т^2 = |г|2 на две части: (1ти>з — 2И,е > 0 и (1т^з — 2Ие < 0, каждая из которых является орбитой. Гиперповерхность 1т^2 = |г|2 обладает структурой прямого произведения вещественной гиперповерхности в С2 и одномерной комплексной прямой.

Отметим, что многочлен Ц = 1т ^з — 4Ие г 1т ^2 + 21г|2 И,е г является относительным инвариантом действия О веса три. При этом модельная поверхность имеет вид {Р = Ц = 0}, орбиты над шаром —

3 3

вид {(^ = цР^, Р > 0}, орбиты над внешностью шара — вид {(^ = Р)а, Р < 0}, над сферой — вид {Ц > 0 Р = 0} и {Ц < 0 Р = 0}. Полученное нами описание строения орбит иллюстрирует рисунок на плоскости значений (Р, Ц).

В какой мере данная картина является типичной? Большинство модельных поверхностей обладает группой автоморфизмов, алгебра Ли которых в естественной градуировке имеет следующий вид:

+ ■ ■ ■ + + до, при этом подалгебра до = И, одномерна, т.е. алгебра представляет собой полупрямую сумму И и нильпотентной алгебры Ли д- = д^ + ■ ■ ■ + д-1, которая совпадает с алгеброй Леви-Танаки модельной поверхности. Такие модельные поверхности называются жесткими. Разобранный выше случай поверхности типа (1, 2) относится, очевидно, к этому классу. При этом группа Ли, соответствующая д- , действует в комплексном пространстве треугольно-полиномиальными преобразованиями, а подалгебре до соответствует группа растяжений, однородных в естественной градуировке. В такой ситуации легко заключить, что орбиты представляют собой полуалгебраические множества, и дать оценку их степени. По-видимому, это верно и в общем случае. Далее, можно предположить, что, как и в разобранном случае, сама модельная поверхность представляет собой орбиту минимальной размерности, которая лежит в замыкании любой другой орбиты. Было бы интересно выяснить, как обстоит дело с относительными полиномиальными инвариантами нашего действия — аналогами полиномов Р и Ц.

Вопрос о групповой структуре для групп жестких поверхностей сводится к вопросу о том, какие нильпотентные группы могут быть реализованы в таком виде.

Невырожденные голоморфно однородные 5-мерные вещественные многообразия изучались в серии работ Лободы (см., например, [3]), а вырожденные — в работе Фелса и Каупа [4]. Какое место занимают полученные однородные вещественно-алгебраические гиперповерхности в их классификациях? Поставим вопрос шире: насколько общим является описанный прием построения голоморфно однородных подмногообразий С^?

Если не принимать во внимание многообразия нулевой CR-размерности, то в пространство C3 можно вложить вещественные многообразия лишь двух типов: (2, 1) и (1, 2). О строении пространства орбит групп автоморфизмов модельных поверхностей этих типов сказано выше. В пространстве C4 есть три возможности: (3, 1), (2, 2) и (1, 3). Существуют два модельных многообразия типа (3, 1). Это Q+ = {Imw = |zi|2 + |z2|2 + |z3|3} и Q± = {Imw = |zi|2 + |z2|2 — |z3|3}. В обоих случаях группа автоморфизмов 24-мерна, при этом имеются три орбиты: две области и разделяющая их модельная гиперповерхность. Модельные многообразия типа (2, 2) — это 6-мерные многообразия вида

Qi = {Imw' = |zi|2 + |Z212, Imw" = zi¿2 + Z2¿i}, Q-i = {Imw' = |zi|2 — |Z212, Imw" = ziz2 + Z2Zi}, Qo = {Imw' = |zi|2, Imw'' = ziz2 + Z2Zi}.

Группы автоморфизмов Qi и Q-i 20-мерны, а группа Qo 21-мерна. Орбита точки общего положения открыта, но при этом не исключена возможность существования и других особых орбит, кроме модельной поверхности, например 7-мерных гиперповерхностей. Имеется единственная модельная поверхность типа (1, 3). Это 5-мерная поверхность вида

Q = {Im w2 = |z|2, Imw3 = 2Re(z2z), Imw3 = 2Im(z2z)}.

Группа ее автоморфизмов 7-мерна, поэтому орбита точки общего положения является однородной гиперповерхностью. При этом возможны и 6-мерные орбиты. Однородные вещественные гиперповерхности в C4 изучены мало. Не известна даже размерность пространства модулей. Описанная нами конструкция позволяет расширить список примеров.

Работа выполнена при финансовой поддержке грантов РФФИ № 08-01-00735 и 08-01-00743.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Белошапка В.К. Универсальная модель вещественного подмногообразия // Матем. заметки. 2004. 75, № 4. 507— 522.

2. Beloshapka V.K. CR-varieties of the type (1, 2) as varieties of "super-high" codimension // Russ. J. Math. Phys. 1998. 5, N 2. 399-404.

3. Лобода А.В Однородные строго псевдовыпуклые гиперповерхности в C3 с двумерными группами изотропии // Тр. Матем. ит-та РАН. 2001. 192. 3-24.

4. Fels G., Kaup W. CR-manifolds of dimension 5: A Lie algebra approach // arXiv:math.DS/0508011v1, 1 aug 2005.

Поступила в редакцию 18.10.2007

УДК 517.982.256

ВЫПУКЛОСТЬ 2-ЧЕБЫШЕВСКИХ МНОЖЕСТВ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

П. А. Бородин

Пусть (X, У-У) —действительное банахово пространство. Множество М С X называется чебышевским [1], если для каждого х € X существует и единствен ближайший к х элемент в М, т.е. такой элемент у € М, что Ух — уУ = р(х, М) := т!{Ух — : г € М}.

Известна трудная проблема выпуклости чебышевских множеств (Н.В. Ефимов, С.Б. Стечкин, В. Кли; см. обзоры [2-4]). Наиболее остро эта проблема стоит в гильбертовом пространстве: всякое ли чебышевское множество в гильбертовом пространстве выпукло? Цель настоящей работы — показать, что при замене свойства "чебышевское" на (вообще говоря, более сильное) свойство "2-чебышевское" этот вопрос получает положительный ответ.

Для двух произвольных элементов х1,х2 € X положим

p(xi,X2,M) =inf{||xi — y|| + ||Ж2 — y|| : y € M},