CC BY
16
МАТЕМАТИКА
www.volsu.ru
DOI: https://doi.Org/10.15688/jvolsu1.2016.5.10
УДК 517.55+004.94 ББК 22.161.5+32.973.2
ФОРМУЛЫ ДЛЯ МЛАДШИХ ТЕЙЛОРОВСКИХ КОЭФФИЦИЕНТОВ ОДНОРОДНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Валерий Игоревич Суковых
Ассистент кафедры цифровых технологий, Воронежский государственный университет [email protected]
пл. Университетская, 1, 394045 г. Воронеж, Российская Федерация
Аннотация. В статье развивается коэффициентный подход к задаче описания голоморфно-однородных вещественных гиперповерхностей 3-мерного комплексного пространства. В модельной ситуации поверхностей общего положения совокупность из 100 параметров, определяющих однородные строго псевдо-выпуклые многообразия, сводится к 7 тейлоровским коэффициентам нормального уравнения Мозера.
Описываются промежуточные формулы для коэффициентов и параметров векторных полей, касательных к обсуждаемым однородным многообразиям. Строится система полиномиальных уравнений на итоговую группу параметров. Получена оценка количества однородных поверхностей изучаемого класса.
Все необходимые сложные вычисления реализуются в пакете символьной математики Maple.
Ключевые слова: голоморфное преобразование, ряд Тейлора, вещественная гиперповерхность, алгебра Ли, нормальная форма уравнения, система полиномиальных уравнений, символьные вычисления.
Введение
СО
о Настоящая статья связана с задачей описания голоморфно-однородных веществен, ных гиперповерхностей в трехмерных комплексных пространствах, достаточно интенсив-pq но изучаемой в последние годы (см.: [7; 8; 10; 14]). В статье развивается общий подход к * изучению однородности на основе символьной математики и компьютерных вычислений. о Целью такого подхода является поиск аналогичного результату [4] решения задачи об и однородности в терминах тейлоровских коэффициентов функций, определяющих изу-@ чаемые многообразия. Упомянутый результат А.В. Лободы позволил кратко (см. для
сравнения статью [11] Э. Картана) описать все однородные вещественные гиперповерхности двумерных комплексных пространств.
Ясно, что в трехмерном случае аналогичная задача гораздо более сложна. Как показано в [3] (см. также [9; 13]), объем информации, необходимой для решения подобных задач, можно удерживать и эффективно обрабатывать лишь с помощью компьютерных технологий. При этом необходимо «соблюдать меру компьютеризации» задачи, поскольку полученные в [3] формулы имеют громоздкий вид, а главные результаты не дают окончательных «прикладных» формулировок.
В данной статье рассматривается один частный случай задачи об однородности строго псевдо-выпуклых (СПВ) гиперповерхностей, в котором результирующие формулы работы [3] существенно упрощаются. Такое упрощение позволяет ставить (и в ближайшей перспективе решать) задачу об оценке количества обсуждаемых однородных поверхностей как в изучаемом частном случае, так и (при обобщении и уточнении предлагаемой схемы) в общей ситуации.
Напомним, что любая из однородных поверхностей, изучаемых в работе [3], однозначно определяется набором из 16 тейлоровских коэффициентов своего нормального (по Мозеру) уравнения. При этом имеется система из 26 громоздких полиномиальных уравнений, связывающих элементы этого набора.
Главным результатом данной статьи является уменьшение количества параметров, описывающих свойство однородности. В рассматриваемом случае, связанном с обнулением части из 16 опорных коэффициентов, система [4] упрощается до 5 уравнений относительно 7 коэффициентов.
Кроме того, получены обозримые формулы, выражающие остальные параметры опорного набора через выделенную семерку коэффициентов. Эти формулы базируются на связях между параметрами голоморфных векторных полей, касательных к изучаемым однородным поверхностям. В обсуждаемом случае эти связи также имеют упрощенный вид.
Полученные в статье соотношения являются важным результатом, поскольку при многоступенчатом компьютерно-алгоритмическом способе получения подобных формул требуются постоянный контроль и многочисленные проверки вычислений. В статье рассмотрен пример, подтверждающий справедливость полученных в ней формул при сопоставлении их с коэффициентами реальной однородной поверхности. Этот пример использует тесные связи аффинной и голоморфной геометрии, конструктивно проявляющиеся на трубчатых многообразиях (см. также [2]).
1. Нормальное уравнение Мозера и опорный набор многочленов
Обозначим комплексные координаты в С3 через г\,г2,ы, выделяя при этом вещественную и мнимую части последней координаты:
и = Кечи, V = 1тт.
Вещественно-аналитическую СПВ-гиперповерхность М пространства С3 зададим нормальным по Мозеру (см. [12]) уравнением:
V =(Ы2 + Ы2)+ ^ Мк1т(г,г)ит. (1.1)
к,1>2,т>0
Здесь Ык1т(х, х) — однородный многочлен степени к по г, / по г, а строгая псевдовыпуклость поверхности гарантируется положительной определенностью формы Леви поверхности, то есть многочлена второй степени
< г,* >= Ы2 + Ы2
из уравнения (1.1).
Известно [8], что всякая голоморфно-однородная СПВ-гиперповерхность однозначно определяется опорным набором из семи многочленов
^220, ^221, ^222, ^320, ^330, ^321, ^420, (1.2)
содержащихся в уравнении (1.1).
Первые шесть многочленов из этого набора можно считать удовлетворяющими некоторым дополнительным ограничениям, введенным в [8] и [12].
Например, согласно [12] многочлены N220, N221, N222 из нормального уравнения Мозера (1.1) являются элементами 5-мерного пространства М22 вещественнозначных многочленов. Базисом этого пространства являются многочлены
^0 = Ы4 - 4Ы2Ы2 + Ы4, Е1 = ^ + 4^2, Е2 = г(^12 - 4*?), (1.3)
Е3 = (^1^2 + 2^1 )(|^1|2 - | ^212) , #4 = - ¿2 ¿1)(Ы2 - | ^2 |2).
В силу обсуждений [7; 8] основной интерес в задаче об однородности представляет ситуация, в которой
N220 = Е3 + ц^0, ц е м. (1.4)
Из [3] видно, что реализация предложенной в этой работе схемы изучения однородности приводит в случаях с произвольными ц к чрезмерно громоздким формулам. По этой причине ниже рассматривается случай
Ц = 0,
в котором обсуждаемые формулы существенно упрощаются.
Разложения многочленов М221,М222 из набора (1.2) будем записывать в виде
(1.5)
N2
221
^ Ак Ек, N2
к=0
5
222 = Ек, Ак, А е м.
к=0
(1.6)
Остальные многочлены из опорного набора (1.2) удобно задавать прямоугольными матрицами их коэффициентов. Например,
М-
320
/ ^2 ^3 \ / ^2 ш'3 \
ш4 , ^321 ~ ш'4 ! / ш'б /
ш7 )
\ ^10 ^11 ^12 ) V ш'10 Ш12
При этом
N.
320
1<к<3, 0^<3
3-3 ^3 ^2-к+1 -к-1
Х2 г1
2
(1.7)
(1.8)
С многочленами М420,М330 по аналогичным формулам, выписанным в [8], связываются их матрицы коэффициентов
N4
420
f 81 S2 83 \
S4 S5 Sß
S7 S8 S9
S10 S11 S12
V S13 S14 «15 J
N-.
330
( t1 t2 t3 t4 \
t5 te tj t8
tg tw tu t12
К t13 t14 t15 he j
(1.9)
Согласно формуле (1.8) многочлен М320 описывается посредством 12 комплексных коэффициентов. В действительности имеются еще условия
3^1 + Ш5 + Шд = 0, 3ш12 + + Ш4 = 0
(1.10)
принадлежности многочленов М320,М321 из нормального уравнения (1.1) специальным пространствам Мозера.
В силу условий (1.10) каждый из этих двух многочленов определяется не более чем 10 коэффициентами. В [4] показано, что в общей ситуации однородности число существенных коэффициентов для многочлена М320 может быть понижено до 6, но «понижающие формулы» также имеют чрезмерно громоздкий вид.
В качестве уменьшенного опорного набора, к которому мы сведем ниже задачу в изучаемом случае, можно взять набор
^1,^2,^3, Ш10, Шц, Шу2, A3
(1.11)
содержащий 6 коэффициентов многочлена М320 и один коэффициент многочлена М222.
Обозначим полный набор допущений, принятых в статье. Будем считать, что:
1) многочлен И220 = (г1г2 + г2^1){\г112 — |^2|2) в соответствии с (1.5);
2) коэффициенты , Ш2, ^3, ^10, ^11, ^12 из набора (1.8) вещественны;
3) коэффициент ш3 отличен от нуля.
Отметим, что последнее из этих условий по сути является не ограничением, а одним из нескольких возможных случаев. В [5] показано, что из условия (1.4) для однородной поверхности (1.1) следует неравенство Ы320 = 0. Случай обращения в нуль коэффициента ш3 (и наличия других ненулевых коэффициентов у многочлена М320) является частным по сравнению с допущением 3.
Более существенным ограничением может показаться переход от возможных комплексных коэффициентов многочлена М320 к вещественным (допущение 2). В то же время примеры с вещественными коэффициентами младших Мозеровских многочленов являются естественными при рассмотрении однородных трубчатых поверхностей. В связи с важностью этого класса однородных многообразий один такой пример (предоставленный А.В. Атановым) обсуждается и используется в статье.
Помимо введенных допущений 1-3 мы будем использовать также известные специальные свойства нормальных уравнений вида (1.1). Например, как ив [3], мы будем считать, что коэффициенты ш6,ш7 многочлена М320, а также коэффициент Л3 многочлена М221 равны нулю.
В заключение этого раздела статьи уточним, что все ее рассмотрения базируются на трех приводимых ниже уравнениях:
(go(0)N22i - д'о(0)N22o) + 2Re{dN220(fi)} + 2Пе{дМз2о(Ш)}я = 0, (1.12)
Ы0)^321 - д0 (0)^320) + + (2г < г, /0(0) > N220 - 2г<г,г> 5^220(70(0))) + + (г<г, /0(0) >N221 - г<г,г> №21(70(0))) + (1.13)
+ |5^220(/*)}^ + {№20(/0(0))Ы + {^^330(/0(0))}^ + + (^320(/1)+ ^КЛ)) = 0,
(^0(0)^222 - ^0'(0)^220) + ^{20^221 (Л) + 20^20(/1)} + (1.14)
+ 2^{№21(/0 (0))}|^ + 2Щд N320(10(0))} 1М = 0.
Эти уравнения были получены в [8] из условия касания голоморфными векторными полями
д д
г = / (г,ю) — + д(г,ю) — (1.15)
исходной однородной поверхности, заданной уравнением (1.1).
Они представляют собой, соответственно, (2,2,0)-, (3,2,0)- и (2,2,1)-компоненты так называемого основного тождества (см. [8]), связанного с однородностью, и являются основой предложенной в [3] схемы изучения однородности. В эти уравнения входят многочлены из уравнения (1.1) и некоторые производные компонент ¿',д голоморфных векторных полей.
2. (2,2,0)-компонента основного тождества
Уравнение (1.12), соответствующее (2,2,0)-компоненте основного тождества, было подробно изучено в [3] при произвольных значениях вещественного параметра ц. Ниже мы приведем упрощенные варианты необходимых нам утверждений из этой работы, получаемые за счет дополнительного условия ц = 0.
Для формулировки результатов напомним еще, что всякой голоморфно-однородной гиперповерхности пространства С3 соответствует алгебра Ли голоморфных векторных полей. Для поверхности, заданной уравнением (1.1), вещественная размерность этой алгебры не превышает 15 [8], а при выполнении ограничений
N220 = Е3 + Ц^0, ^3 = 0
эта алгебра может быть только 5-мерной [8].
Для коэффициентов (1.15), то есть для голоморфных функций д(г,1и) и вектор-функций f (г,т), можно выписать тейлоровские разложения
/ (г,т)= р + Сх + ат + ..., д(г,т) = д + ^ дытг ит (2.1)
к+1+т>0
в начале координат.
Здесь р = (р\,р2) = {(0) е С2, д = д(0) е М — свободные сдвиговые параметры поля. Их суммарная вещественная размерность равна 5. Остальные 10 из 15 параметров, однозначно определяющих поле, в изучаемом случае сами определяются (см. [3]) свободной (основной) пятеркой (р\,р2,д).
Связывая эти 10 (не являющихся основными) параметров с разложением (2.1), можно уточнить, что это
а = /:(0) е с2, С = /1(0) = ^(0) еМ(2, С), г = Не д'^(0) = Не 0(0) е К. (2.2)
При этом матрица С = f1(0) определяется пятью вещественными параметрами а1, а2, в1, в2, 62 и имеет следующий специальный вид (см. [8]):
С ( а + а $1 + гр^
^ —р1 + г$2 «1 + г&2 ) .
Для коэффициентного описания однородных поверхностей из тождеств (1.12) — (1.14) сначала извлекается необходимая информация о выражении неосновных параметров через основную (сдвиговую) пятерку ( 1, 2, ) и коэффициенты канонического уравнения (1.1).
Предложение 1 (упрощенный вариант Предложения 3.1 из [3]). При ц = 0 вещественные параметры а1(0), р1(0), |32(0), 62(0), формирующие матрицу /1(0), имеют вид:
3
а.1 = ^Яе {(3шю + 2^12 — Р1 + (^п — — ЗШ3)Р2} , (2.3)
3 1
Р1 = — ^Яе {Ш3Р1 + Ш10Р2} — ^ЯЛ1, (2.4)
31
$2 = 21т {^3Р1 — Ш10Р2} + 2 ЯЛ2, (2.5)
3
62 = «2 + 21т {(^2 + 2(^12 + 3с^ю) Р1 + (^11 + 2^1 + 3^3) Р2} + ФЛ4. (2.6)
Предложение 2 (упрощенный вариант Предложения 3.2 из [3]). При ц =0 из
(2,2,0)-соотношения (1.12) выводится следующая информация о коэффициентах многочлена М320:
ш4 = — 3(ш12 + ш10), = 3ш3, = 3ш10, = —3(ш1 + ш3). (2.7)
Замечание 3. Помимо формул на параметры векторных полей и коэффициенты многочлена М320 при условиях 1)—3) из (2,2,0)-соотношения выводится следующая связка на коэффициенты многочлена М221:
Л0 = —Л1. (2.8)
Замечание 4. Приведенные здесь формулы Предложения 2 являются непосредственными следствиями равенства ц = 0, а формулы (2.3)—(2.6) получены из аналогичных формул [3] с учетом упрощенного Предложения 2. Кроме того, в формуле (2.6) для параметра 62 исправлены опечатки в знаках слагаемых.
Замечание 5. Из пяти параметров, составляющих матрицу f1(0), только четыре удается выразить из (2,2,0)-тождества. Последний, пятый, параметр из этой матрицы выражается из (3,2,0)-компоненты, так же как и двумерно комплексный параметр а = (а1,а2) = = /'(0).
3. (3,2,0)-тождество: формулы для параметров
Рассмотрим более подробно (3,2,0)-тождество (1.13) в случае упрощающих ограничений. Левая часть этого тождества представляет собой вещественный многочлен от переменных z = (z1, z2) и от сопряженных к ним величин. Отделим в этом многочлене коэффициенты при различных мономах степени 3 по переменной z и 2 по z:
П 1 = z\Z'Y, П2 = Z1Z1Z2, П = z'z', П4 = Z1Z2Z1, П5 = Z^Z1Z'Z', =
П7 = ZiZ'Z2, = Z\Z2Z\Z2, Пд = Z\Z^Z^, П io = z'^z', П 1 1 = Z2Z\Z2, П1 2 = z'z'. Тогда можно говорить о 12 скалярных комплексных составляющих тождества (1.13).
Замечание 6. В действительности рабочими являются только 10 таких уравнений, а два из 12 уравнений, отвечающие, например, мономам П4 и Пд, не являются информативными в силу условий (1.10).
Тогда, например, два первых слагаемых из левой части (1.13) преобразуются согласно [3] в (qN321 — 2а1Ж320) и потому допускают разложение вида
12
а1 Шк )Пк.
к=1
Аналогично расписываются все остальные слагаемые тождества (1.13). В целом получаемые 10 уравнений устроены достаточно сложно. Поэтому ниже приведены только четыре из них, отвечающие мономам Пэ, П6, П7, П5:
Пэ : ( — ЗЗШ'Ш' + — Ш'Ш8 + 32 S') Р1 + ( — 7 Ш'Ш5 + 14Ш'Шд — 3Ш'Шц +8 Р2 +
+ (8 zÄ1 + 7ШЗШ8 — 14ШЗШ4 + Зшзш' — 8 Л2 + 81' + 8) р1 + + (—2 шэШд + шэЩ — 12 Ш2Ш10 + 21 Ш'Шц + 24 ¿4) р2 + + (—4 гШ2Л2 — 16 гшэЛ4 — 4 ш2Л1 + 8 шэ') q + 8 гшэа2 = 0,
Пб : (—18^1^3 — 27ш32 + 6 ^6) Р1 + (—9 + 4 sg) Р2 + (—9 ш2 + 4 Л4 + 2 ¿7) р1 +
+ (—2 i Л1 — 18 Ш1Ш10 — 27^3^10 + 2 Л2 + 618 — 2) р2 + (3.1)
+ (—6 гЛ2ш1 — 6 %Л2шз — 6 Л1ш1 — 12 Л1шз + 2 ш6') q — 8 iä1 = 0,
П7 : (9^Ш10 + 4 S7) Р1 + (27шю2 + 18^10^12 + 6 sw) Р2 +
+ (—2 iЛ1 + 27Ш3Шю + 18 ШЪШ12 — 2 Л' + 6 tg — 2) р1 + (9 Шю2 + 4 Л4 + 2 tw) р2 + + (—6 гЛ2ш10 — 6 гЛ2ш12 + 12Л1ш10 + 6Л1ш12 + 2 Ш7') q + 8 iä2 = 0,
П5 : (—81 ш2шз — Ь4ш%ш4 + 27 ш?,ш8 + 432 Шз^10 + 216^зш12 — 96 s1 + 48 s5 — 16 sg) p1 +
+ (—108 ш2ш!0 — 27шзш5 + 54 шзш9 + 81 шзш!! — 24 + 32 — 24 $!2) р2 +
+ (27 изЩ — 54 из Щ + 48— 189 Ш2Ш3 — 72 и + 32 и — 8 гп — 16) р! +
+ (27 шз (и — Щ + 3 шп) + 216 шт (2 шт + ш^) — 48 Л4 — 2412 + 32 и — 24 ^ р2 +
+ (36 гш2Л2 + 144 гЛ2ш!0 + 72 гЛ2ш!2 — 36 ш2Л! + 144 Л^ю + 72 Лхш12 + 24 ш5') д +
+ 72 га2шз + 96 га2 = 0.
Три первых уравнения (3.1) будут использованы ниже для получения формул, выражающих параметры (а2,а!,а2) через основную пятерку. А на примере четвертого уравнения будут иллюстрироваться все последующие действия. Описание таких действий для ВСЕХ изучаемых уравнений невозможно вместить в объем одной статьи.
Решая выписанные уравнения относительно тройки параметров (а2,а!,а2), получаем следующее утверждение.
Предложение 3. При выполнении условий 1)-3) параметры /'0(0) = (а!,а2), а2(0) выражаются из выписанных в (3.1) компонент (3,2,0)-тождества и имеют вид:
а! = %-(—9шз2 + 217 + 4 Л4) р! + ¿(2 ^ — 18ш шщ — 27 шзшт + 6 й +2 Л2 — 2)Р2 + 88
+ -(—18ш1шз — 27шз2 + 6 + ё(—9шзш!0 + 4 в9)р2 + (3.2)
88
1 _
+ -(6 г Л2ш! + 6 %Л2шз — 6 ш^ — 12 шзЛ! + 2 ш'б) (I, 8
1 __^ _
а2 = - (—21Л! — 27 шзшю — 18 шзши — 6 Ь9 + 2 Л2 + 2) Р! — о (9шю2 + 2 Ью + 4 Л4) 'Р2 —
88 % %
— - (9шзш!0 + 4 ^7) р! — - (27 Ш!02 + 18Ш10Ш12 + 6 йШ) Р! — (3.3)
88 £ _
— - (6 гЛ2Ш10 + 6 %Л2Ш!2 + 12 Л!Ш!0 + 6 Л!Ш!2 + 2 ш'7) д, 8
а-2 = -- ( — 33 ш2шз — 9 шзш!0 — 6 шзш!2 + 32 8з) Р! +
8 шз £
+ -— (—42 шзш! — 63 шз2 — 3 шзшп + 8 в6) р2 + (3.4)
8 шз
+ -— (3 ш2шз + 63 шзшю + 42 шзш!2 — 8 Л2 + 8 Ьз + 8 + 8г Л!) р! +
8 шз
£
+ -- (6ш!шз — 12 ш2ш!0 + 9шз2 + 21 шзшп + 24 +
8 шз
+--(—4 Л!ш2 + 8 ш з — 4г Л2ш2 — 16г Л4шз) д.
8 шз
Замечание 7. Выписанные формулы получены как решения системы комплексных уравнений. В то же время параметр а2 является вещественным. Это означает, что мнимая часть формулы (3.4) должна быть равна нулю при любых значениях основной пятерки параметров.
В силу этого замечания из уравнения (3.4) вытекает тождество вида
Не (Ар 1 + ВР2 + ) = 0 (3.5)
с некоторыми комплексными коэффициентами А, В, И.
Аналогично после подстановки полученных формул для всех параметров
а.1, а2, р1, р2, §2, «1,^2
в семь оставшихся уравнений (3,2,0)-тождества они превращаются в тождества вида
Акр 1 + ВкР2 + Мкр 1 + NkP2 + = 0, & = 1,..., 7. (3.6)
В силу несложного соображения (см., например, Лемму о единственности в [7]) это означает, что каждое из одиночных уравнений вида (3.5) или (3.6) распадается на пять уравнений (вещественных или комплексных соответственно). Каждое из таких уравнений свободно от основной пятерки параметров и зависит лишь от коэффициентов нормального уравнения (1.1).
Таким образом из (3,2,0)-тождества мы получаем 5 вещественных и 35 комплексных полиномиальных ограничений на коэффициенты уравнения (1.1). В частности, справедливо следующее утверждение.
Предложение 4. Если правая часть формулы (3.4) является вещественной, то:
-4гА1 - 15и2и3 + 27и3и10 + 18и3и12 + 4Т3 - 4Л2 + 16 з3 + 4 = 0, (3.7) -18ш1ш3 - 6ш2ш10 - 27и32 + 9и3и11 + 12¿4 + 4= 0, (3.8)
Ев (и'3) = 2 Ш2Л1. (3.9)
Схему получения 35 соотношений на коэффициенты уравнения (1.1) проиллюстрируем на примере последнего уравнения из (3.1). Подставляя в него выражения для параметров (3.2)-(3.4) и выделяя коэффициенты при р1,р2,р1,р2, д, получим 5 соотношений:
р1 : 54и2и3 - 18и3и4 + 9 и3и8 + 81и3и10 + 54и3и12 - (3.10)
- 24 ^ - 72 ^ 3 + 12 ^ 5 - 12 ^ 7 - 4 в9 = 0,
р2 : -27и2и10 + 9и3и5 - 18и3и9 + 27и3и11 - 81и102 - 54и10и12 - (3.11)
- 6 5 4 - 18 5 6 + 8 5 8 - 18 з10 - 6 з12 = 0,
р1 : -9и3и8 + 18и3и4 - 54и2и3 - 81и3и10 - 54и3и12 + 24Л2 - (3.12)
- 18 ¿1 - 18 tз + 8 ¿6 - 18¿9 - 2 ¿ц - 16 = 0,
р2 : 18и3и9 - 9ш3ш5 + 27и2и10 - 27и3и11 + 81и102 + 54и1 - (3.13)
- 6 г2 - 54 и + 8 г7 - 6 г10 - 6 г12 = 0, д : 18 ги2Л2 + 54 %Л2ш10 + 36 %Л2ш12 + 36 %Л4ш3 - 18 и'3 + 6 и'5 - 6 и'7 = 0. (3.14) Получаемые таким образом 35 уравнений удобно разбить на 3 группы:
— р-часть содержит 14 уравнений, отвечающих коэффициентам при параметрах ;р!,р2 в формулах (3.6);
— 14 уравнений р-части соответствуют коэффициентам при р^р2 в формулах (3.6);
— кроме того, имеется 7 уравнений д-части, соответствующих коэффициентам при параметре д в формулах (3.6).
Ниже подробно обсуждаются две первые группы уравнений. Рассмотрение д-части, «естественно» связанной с (2,2,1)-тождеством (см. [3] и § 6 настоящей статьи), будет более кратким.
4. р-часть (3,2,0)-тождества
Набор из 14 уравнений р-части (3,2,0)-тождества, полученный по описанной выше схеме, имеет вид, приводимый ниже.
Уравнения, отвечающие параметру р! в коэффициентах при различных мономах:
П : 36 ш!ш2шз + 54 ш!шзш!0 + 36 ш!шзш!2 — 27 шз2ш!0 — 54 шз2ш!2 —
— 48 ш^ + 24шзз! — 6шзв5 + 12 шзз7 — 4шзз9 = 0, (4.1) П2 : 12 ш!шз2 — 9ш22шз — 9ш2шзш!0 — 6ш2шзш!2 — 18 шзз + 16 ш2зз — 16 шзз2 = 0. (4.2)
П5 : —6 5 7 + 6 5 5 + 27 ш2шз + 81 шзш!0 + 54 шзш!2 — 36 зз — 12 ^ — 2 = 0, (4.3) П8 : 108 ш!шз2 + 135 ш2шзш!0 + 162 шзз + 54 шз2ш!! + 243 шзш!02 +
+ 162 шзш!0ш!2 — 12 шзз4 — 36 шзз6 + 16 шзз8 — 12 шзз!2 — 144ш!0зз = 0. (4.4)
Пю : 21 ш2шзш!0 + 45 шзш!02 + 30 шзш!0ш!2 + 4 шз^ю — 16 шювз = 0, (4.5)
Пп : 9ш2шзш!! — 6шз2ш!0 + 18 шзш!0ш!! + 12 шзш!!ш!2 + 2шз«ц — 8шпзз = 0. (4.6) П!2 : 54ш!шз2 — 45 ш2шзш!2 + 81 шзз + 18 шз2ш!! — 81 шзш!0ш!2 —
— 54 шзш!22 + 6 шзв4 — 18 шзв6 + 4 шзв8 — 6 шзв!2 + 48 ш!2вз = 0. (4.7) Уравнения, отвечающие параметру 2 в коэффициентах при различных мономах:
П! : 36 ш!2шз + 54 ш!шз2 + 18 ш!шзш!! + 18 ш2шзш!0 + 81 шзш!02 +
+ 54 шзш!0ш!2 — 12 ш!вб + 6 шзз4 — 4 шзз8 + 18 шзз!0 — 6 шзз!2 = 0. (4.8)
П2 : 6ш!ш2шз + 9ш2шз2 + 3 ш2шзш!! + 12 шз2ш!0 — 4ш28в + 4шзз5 = 0, (4.9) П5 : 54ш!шз — 27ш2ш!0 + 81 шз2 + 27шзш!! — 81 ш!02 —
— 54ш!0ш!2 — 6 з4 — 18 з6 + 8 з8 — 18 з!0 — 6 з!2 = 0. (4.10)
П8 : 54ш!шзш!0 + 81 шз2ш!0 + 81 шзш!0ш!! — — 8шзв7 — 24шзз9 + 24шззп — 48шзз!5 — 36 ш!0з6 = 0, (4.11)
П!0 : 30ш!шзш!0 + 45шз2ш!0 + 21 шзш!0ш!! + 16шзз!з — 4ш!0в6 = 0. (4.12) П!! : 12 ш!шзш!! + 18 шз2ш!! — 9шзш!02 + 6шзш!0ш!2 +
+ 6шз ш!-\2 + 8 шзв!4 — 2ш!!86 = 0, (4.13)
П!2 : 54ш!шзш!0 + 54ш!шзш!2 + 27шз2ш!0 + 81 шз2ш!2 + 27шзш!!ш!2 —
— 4 w3s7 + 12—3s9 — 6—3sn + 24—3s15 — 12—12s6 = 0. (4.14)
Уточним, что уравнения (4.3) и (4.10) получены из пары уравнений (3.10), (3.11) предыдущего параграфа за счет сведения набора коэффициентов —к к основной шестерке
(—1,—2,—3,—10,—11,—12) (4.15)
с использованием формул (2.7).
Все уравнения (4.1)-(4.14) линейно зависят от коэффициентов многочлена N420, количество которых, в соответствии с формулой (1.9), равно 15. В [3] было отмечено, что ранг этой системы равен 13. В связи с этим целесообразно расширить систему уравнений р-части за счет еще двух уравнений (3.7) и (3.8), также линейных относительно коэффициентов N420. В итоге получаем 16 уравнений относительно 15 коэффициентов многочлена N420.
Предложение 5. При условии —3 = 0 система из 16 уравнений расширенной p-части (3,2,0)-тождества имеет полный ранг относительно 15 коэффициентов многочлена N420. Подстановка формул для этих коэффициентов, получаемых из подсистемы полного ранга, обращает все 16 уравнений системы в верные тождества.
Доказательство этого предложения получается за счет вычисления миноров и решения системы, например, в пакете MAPLE. Формулы (наиболее краткие) для некоторых коэффициентов sk приведены ниже:
s 3 = —(4г Л1 + 15—2—3 — 27—3—10 — 18—3 —12 — 413 + 4Л2 — 4), (4.16)
16
3 _
s 6 = 4(6—1—3 + 2—2—10 + 9—3 2 — 3—3—11 — ¿4), (4.17)
s10 = —— (2 гЛ1 — Зш2ш3 — 36—3—10 — 24—3—12 — 213 + 2 Л2 — 2), (4.18) 2—3
3—
s 13 = — —— (2—1—3 — —2—10 + 3—32 + 5—3—11 + 2 ¿4). (4.19) 8—3
Замечание 8. Расширение р-системы за счет двух уравнений (3.7) и (3.8) приводит к появлению в формулах для коэффициентов многочлена М420 коэффициентов еще одного многочлена Ж330 из опорного набора.
Замечание 9. Аналогичные вычисления были проведены и в [3]. Однако в этой работе за счет «стыковочных погрешностей» компьютерных вычислений с рассуждениями был сделан неверный вывод о 16-м уравнении расширенной р-системы. Выписанная «содержательная» формула (21) из работы [3] в действительности является тождественно нулевой.
Замечание 10. В формулах этого раздела статьи использованы лишь два из трех допущений и не привлекалось условие вещественности коэффициентов шк. Их вещественный характер значительно облегчает обсуждения следующего раздела.
5. р -часть (3,2,0)-тождества
Описанные выше принципы построения системы из 14 комплексных уравнений р-части уже проиллюстрированы уравнениями (3.12) и (3.13) в § 3.
Аналогично можно выписать остальные 12 комплексных соотношений р-части (3,2,0)-тождества. Однако в отличие от предыдущего параграфа в каждом из этих 14 уравнений приходится выделять вещественную и мнимую части. Это связано с тем, что основная цель данного параграфа — освобождение опорного набора (1.2) от коэффициентов многочленов Мзз0 и М22\, входящих в обсуждаемые р-уравнения линейным образом.
При этом в силу вещественности многочлена Мзз0 его (4 х 4)-матрица из формулы (1.9) является эрмитовой. Это означает, что диагональные элементы Ь1, Ь6, ¿п, Ь16 этой матрицы вещественны, а для внедиагональных элементов имеются условия попарной комплексной сопряженности:
t5 = ¿2, t9 = ¿3, Ью = ¿7, tl3 = ¿4, = ¿8, 115 = ¿12. (5.1)
Поэтому, например, входящие в уравнение (3.13) комплексные коэффициенты Ь7 и 10 не являются независимыми величинами.
Система уравнений, отвечающая мнимым частям 14 р-соотношений, изучена при вещественных коэффициентах из (4.15) в [1]. Сформулируем основной интересующий нас факт из этого доклада.
Предложение 6 ([1]). Если уравнение (1.1) однородной поверхности удовлетворяет допущениям 1-3, то коэффициенты многочленов N420 и N330 из этого уравнения являются вещественными. Кроме того, для коэффициентов многочлена N221 выполняются условия Л0 = Л1 = 0.
Используя это утверждение, остается изучить вещественные части 14 р-уравнений. Приведем здесь промежуточное утверждение, связанное с линейными относительно набора
(г к, Л2, Л4) (5.2)
слагаемыми этих уравнений. В силу предложения 6 набор (5.2) содержит 12 независимых вещественных коэффициентов.
Предложение 7. При допущениях 1-3 из десяти р-уравнений удается выразить все коэффициенты набора (5.2), кроме Ь3, Л2.
Примеры трех из десяти получаемых формул приведены ниже:
U
(8 ш32 — З3ш3ш11 + 4шюш12 — 16ш^3)Л2 + (16 ш1ш3 — 12 ш32 — 4ww(VI2 + З^з^ц)t3
24J ;
12 = — ш0 (Л2 — tз), Ь4 = — —— (Л2 — ¿з). 2 шз 3 шз
Замечание 11. Формулы для коэффициентов Ь1, Ь6, Ь11, Ь16, возникающие при решении р-подсистемы, автоматически удовлетворяют так называемым ^-условиям (см. [8])
3 и + г 6 + ¿и + 3 = 0. (5.3)
Следствие. В силу Предложения 2 от 14 уравнений р-системы остается подсистема из 4 уравнений, линейная относительно пары (Ъ3, Л2). Коэффициентами этой системы и ее правой части являются многочлены от шестерки коэффициентов (4.15).
Заметим, что уравнения этой небольшой системы также достаточно сложны:
(4-2-10 — 8-э2) ¿з + (—4-2-10 — 8-з2) Л2 + 4-2-10 + 8-з2 = (5.4)
(2 2 2 3 \
= — (6-1-2-3 + 12-1-3 -10 + 9-2 -3-10 + 9-2-3 ) —
— (—3-2-32-11 + 45-2-3-102 + 30-2-3-10-12 — 18-33-10) ,
(2 -3-и — 4 -102) Í3 + (8 -32 — 2 -3-11 + 4 -ю2) Л2 + 8 -32 + 2 -3-11 — 4 -ю2 = (5.5)
= — (—30-1-32-10 + 6-2-32-11 — 9-2-3-102 — 36-33 -10 — 6-33-12) —
— (9-32-10-11 + 12-32-11-12 — 45-3-103 — 30-3-102-12) ,
(24 -1-3 + 36 -32 + 36 -102 + 24-10-12) Í3 + (5.6)
+ (—24-1-3 — 36-32 — 36-102 — 24-10-12) Л2 =
2 2 2 3 2
= — (36-1-2-3 + 270-1-3 -10 + 180 -1-3 -12 + 72-2-3 + 81 -2-3-10 ) —
( 3 3 2 2 3 \
— (54-2-3-10-12 + 405-3 -10 + 270-3 -12 + 9-3 -10-11 + 18-3 -11 -12405-3-10 ) — — 540 -3-102-12 + 180 -3-ю-122 + 24-1-3 + 68-32 + 36-ю2 + 24-w-12) ,
4 (-10-11 — 2 -3-12 + 2 -1-10 — -2-3) ¿3 + (5.7)
+ 4 (-2-3 + 2 -3-12 — -10-11 — 2 -1-10) Л2 = — (8-1-10 — 4-2-3 + 18-1-2-3 -10 + 90-1 -3-102 — 24-2-32-12 + 24-1-32-п) —
— (24-12-32 — 9-2-32-10 + 72-1-33 — 18-32-10-12 — 8-3-12 + 36-33 - п) —
( 2 2 2 2 \
— (4-10-11 + 60-1-3-10-12 + 9-2-3-10-11 + 6-3 -11 — 3-2 -3 ) —
— (30-34 + 45-3-102-11 + 30-32-102 — 36-32-122 + 30 -3-10-11-12) . Линейная относительно (t3,Л2) часть полученной (4 х 2)-системы имеет матрицу
/ 4-2-10 — 8-32 —4-2-10 — 8-32 \
12 (2-1-3 + 3-32 + 3-102 + 2-10-12) —12 (2-1-3 + 3-32 + 3-ю2 + 2-10-12)
2-3-11 — 4-102 8-32 — 2-3-11 + 4-102
\ 2 (2-1-10 —-2-3 — 2-3-12 + -10-11) —2(2-1-ю —-2-3 — 2-3-12 + -10-11) /
(5.8)
Для нее верен следующий факт. Предложение 8. Если система (5.4)-(5.7) совместна, то ранг матрицы (5.8) этой системы является полным.
Для доказательства допустим, что ранг (5.8) меньше 2. Тогда все миноры второго порядка этой матрицы равны нулю. В силу пропорциональности двух ее строк есть смысл обсуждать лишь три минора второго порядка матрицы (5.7), определяемые парами строк (1,2), (1,3), (2,4); остальные пропорциональны трем указанным. При этом
т1,2 = 192 шз2 (2 ш1шз + 3 шз2 + 3 шю2 + 2 шюш^), (5.9)
т1,з = 32 шз2 (ш2шю — 2шз2 + шзшп — 2шш2), т2,з = 32 шз2 (2 ш1шю — ш2шз — 2шзш12 + шшши). Пользуясь неравенством шз = 0, выразим отсюда коэффициенты ш1, ш2, шц:
_ 3шз2 + 3 шю2 + 2шюш12 _
ш1 —----, ш2 — —ш10 — 2 шу2,
2 шз
2 шз2 + 3 ш102 + 2 ш10 ш12
ш11 =-. (5.10)
шз
Но при таких значениях этой тройки коэффициентов уравнение (5.6) выписанной (4 х 2)-системы превращается в противоречивое равенство 32 ш32 = 0.
Предложение 8 доказано. Следствие. При допущениях 1-3 ВСЕ коэффициенты подмножества
N220, N221 ,N320, N330, N420, (5.11)
опорного набора (1.2) выражаются ТОЛЬКО через шестерку коэффициентов (4.15) многочлена ^20.
Действительно, достаточно выразить пару Ь3, Л2 из полноранговой (2 х 2)-подсис-темы системы (5.4)-(5.7) из четырех уравнений.
Замечание 12. Шесть коэффициентов набора (4.15) не являются свободными для однородных поверхностей, удовлетворяющих допущениям 1-3. Например, любая такая шестерка должна удовлетворять двум уравнениям, остающимся после решения системы (5.5)-(5.7) относительно пары Ь3, Л2.
Одно из таких уравнений (полученное из (5.5) при условии т1,з = 0) приведено ниже:
9ш32ш2ш11 — 432 ш32ш1ш10 + 180 ш32ш1ш2 — 288 ш12ш1ш102 +
2 2 2 2 / ч
+ 18 ш1ш2 ш10 — 18 ш3 ш12ш11 — 180 ш12ш10 ш11 — 9ш10 ш2ш11 + (5.12)
+ 18 ш102ш2ш1 — 36 ш122ш11ш10 + 432 ш3ш12ш102 — 32 ш3 ш11 +
+ 192 ш3ш1 — 32 ш10ш2 + 225 ш33 ш2 + 432 ш33ш12 — — 225 ш103ш11 — 432 ш1ш103 + 192 ш12ш10 — 36 ш1 ш3ш12ш11 + + 36 ш12ш2ш1 ш10 + 162 ш12 ш2ш10ш3 — 162 ш11 ш3ш1ш10 — 18 ш10ш2ш12ш11 + + 18 ш1ш3ш2ш11 + 352 ш32 + 352 ш102 — 288 ш3ш12ш10 + + 288 ш32ш1ш12 + 9 ш22 ш10ш3 + 225 ш102ш2ш3 + 36 ш3ш12 ш2 — — 225 ш32ш10ш11 + 288 ш3ш122ш10 — 18 ш3ш12ш112 — 9ш3 ш10ш112 = 0.
Замечание 13. Несмотря на формулировку следствия 1, выписать по итогам этого параграфа единый набор формул для коэффициентов 3, Л2 (а значит, и для остальных коэффициентов опорного набора) не представляется возможным. В зависимости от взаимных связей коэффициентов многочлена ^320 для однородных поверхностей возможны три случая (связанные с определителями (5.9)) и три визуально разных набора формул для опорных коэффициентов.
Напомним, что в начальный опорный набор помимо многочленов (5.11) входили также Ж222 и ^321. Коэффициенты этих многочленов мы обсудим в следующем параграфе.
В [3] выписана схема исследования последнего из тройки уравнений (1.12)—(1.14) с учетом результатов и формул, выводимых из двух первых уравнений. Здесь мы кратко напомним эту схему и обсудим получаемые конкретные выводы и уточнения начальных прогнозов работы [3], вытекающие из трех допущений настоящей статьи.
В (2,2,1)-компоненте основного тождества определяется через набор (р,р, д) последний из «вспомогательных» параметров векторных полей, а именно, параметр
На это расходуется одно из пяти (по числу базисных многочленов £0, £1, £2, £-3, £-4 пространства Аг2) вещественных уравнений, составляющих (2,2,1)-компоненту. После подстановки в оставшиеся 4 уравнения формул для параметров
нужно, как и в случае (3,2,0)-компоненты, отделить в них 1-, 2-, -составляющие. Напомним, что при этом общее количество получаемых более простых уравнений увеличивается в 5 раз.
Четыре вещественных ^-уравнения (из получаемых 20) позволяют выразить через младшие многочлены опорного набора четверку коэффициентов
многочлена ^222. Коэффициент Л'3 этого многочлена невозможно выразить через другие элементы опорного набора из тройки начальных уравнений (1.2), и он остается одним из элементов итогового упрощенного опорного набора.
В оставшиеся 16 вещественных уравнений р-части (2,2,1)-компоненты входят коэффициенты всех элементов опорного набора (1.2), кроме ^222. Эти уравнения удобно записать в виде 8 комплексных соотношений. При этом зависимость этой системы от коэффициентов многочлена Ж321 является линейной в комплексном смысле.
Эту восьмерку уравнений естественно объединить с семью уравнениями д-части из (3,2,0)-компоненты, в которых многочлен Ж321 также участвует в линейной форме. Получаемая таким образом система из 15 комплексных уравнений названа в [3] смешанной системой. Именно к ней относится наиболее существенное уточнение, связанное с рассматриваемым в данной работе классом поверхностей.
6. (2,2,1)-компонента и смешанная система уравнений
«4, а2, р1, р2, §2, «1,«2
Л0, Л1, Л2, Л4
Смешанная система имеет полный ранг относительно набора ш'к даже в общем случае работы [3], то есть при единственном ограничении
¡э = 0.
В силу этого является оправданным утверждение о пяти остающихся от этой системы уравнениях-следствиях, которые являются соотношениями только на коэффициенты многочлена N320. В то же время в предыдущих разделах статьи некоторые из получаемых соотношений на коэффициенты опорного набора оказывались тождественно верными и не давали дополнительных ограничений.
Предложение 9. Для всякой однородной поверхности (1.1), удовлетворяющей основным допущениям 1-3, из пяти уравнений-следствий (2,2,1)-тождества содержательными являются лишь три уравнения.
Эти уравнения оказываются еще более громоздкими по сравнению с обсуждавшимися выше соотношениями. Например, в «предварительной» форме они содержат, соответственно, 42, 42 и 44 слагаемых. Поэтому ниже для иллюстрации приводится только одно из них:
9 ш2шэ ¡¿lo2 + 4 u2uws7 + 8 uwui2s7 — 8 \2ш2ш\2 — 18 ¡3¡i02¡i2 +
+ 4^10 (¿7) ¡э — 6¡¡2se¡¡3 + 4¡¡ns7¡¡3 + 18 ¡i¡2¡32 + 12 s7¡¡32 + (6.1)
+ 4 (¿10) ¡io¡¡3 + 108 ¡ээ¡12 + 207 ¡33¡¡io + 72 ¡¡i¡¡32¡¡i2 — 4 Á2¡¡22 +
2 2 2 2 / — \ + 50 A2 — 4¡2 — 26 — 20 ~К2ш2ш10 + 20 и{А2иэ + 36 u11u10+ 12(tg)u1¡¡3 —
— 12 шэ2 (¿g) + 16 ¡2A4¡¡3 — 8¡2¡12 — 20 ¡2¡10 — 12 s10¡10¡3 + 27 ¡¡ээ¡2 + 8 s7¡¡1¡¡3 +
+ 9 ¡¡эи10э + 18 шэ2 (¿g) — 52 ш1шэ — 10 ш11шэ + 64 ¡10A4¡3 + 8 sgu32 + 10 ш11А2шэ +
+ 162 ш1ш10шэ2 + 20 ¡>102s7 + 18 ш11ш12шэ2 — 18 s6¡¡10¡¡э — 12 s6u12¡¡3 + 6 ¡11 (¿g) ¡э = 0.
После подстановки полученных выше формул для коэффициентов tk, Sj, А2, А4 в три уравнения-следствия (2,2,1)-тождества все они превращаются в соотношения на шестерку коэффициентов (4.15) многочлена N320. С учетом двух уравнений, остающихся от р-системы, общее количество таких уравнений равно 5. Таким образом получается основной результат настоящей статьи.
Теорема 1. Голоморфно-однородная гиперповерхность (1.1), удовлетворяющая основным допущениям 1-3, однозначно определяется набором (1.11) из семи коэффициентов своего нормального уравнения. При этом шесть первых коэффициентов названного набора удовлетворяют полиномиальной системе из 5 уравнений.
Замечание 14. Исследование полученной системы из 5 полиномиальных уравнений связано со значительными трудностями. Так, первые два многочлена имеют четвертую степень, а три последних — шестую; количества слагаемых этих многочленов также достаточно велики. В итоге даже «простое» определение ранга якобиевой матрицы полученного полиномиального отображения Р : R6 ^ R5 (в произвольной точке) представляет собой практически неразрешимую задачу. Использование пакета Maple также не дает здесь эффекта.
В этой связи возникает вопрос о практической значимости как основного полученного результата, так и промежуточных утверждений проделанной работы. Частично отвечает на этот вопрос завершающий статью параграф.
7. Проверка вычислений на примере однородной поверхности
Здесь будет рассмотрен пример однородной поверхности, удовлетворяющей допущениям 1-3. На нем подтверждается справедливость полученных выше формул для коэффициентов канонических уравнений (1.1). Вычисления, связанные с нормальными формами этой поверхности, были проведены и предоставлены автору А.В. Атановым. Предложение 10 (Атанов). Трубчатое многообразие над аффинно-однородной поверхностью
Ж3Ж1
<у* _ пг>
О «Л/
8/5
(7.1)
из пространства R3 можно привести к нормальному уравнению Мозера вида
5
г>= |¿i|2 + |-Ы2 + -(£i — £0) + ....
(7.2)
При этом многочлены ^320,^420 из уравнения (7.2) имеют следующие матрицы:
N
32о
V3
36
/ —1 0 —1 / 7 0 —1 \
0 —18 0 5 0 40 0
, N420 ~ ТТГ 90 0 — 30
—15 0 21 420 144 0 —600 0
V 0 50 0 V —325 0 75 /
(7.3)
Замечание 15. Унитарным преобразованием с вещественными коэффициентами
1
z = Uz *, U =
V/1T
m2
/ m — 1 \ у 1 m J ,
m
1 + v^
(7.4)
пространства С2 (с координатами 24, 22) и последующим растяжением координат многочлен (£1 — £0) превращается в £3.
Это означает, что у трубки (7.1) имеется нормальное по Мозеру уравнение, удовлетворяющее первому из трех основных допущений статьи.
Ясно также, что вещественный характер коэффициентов многочлена Ж320 из формулы (7.3) не изменится после замены (7.4). Так достигается выполнение второго из основных допущений. Кроме того, еще одним преобразованием ф(е,а,о) (см. [8]), сохраняющим свойство вещественности коэффициентов многочлена ^320, можно обнулить два из них, например, шб,ш>7.
В итоге трубка (7.1) имеет нормальное уравнение с Ж220 = £3 и
4+13 m
N
32о
V2970 — 1230 m
90
4 m
4+6 m
— 12m — 3 12 + 18m 0
0 54+ 132m —24 — 57m V 18 +44m 48m + 20 —17 — 40m/
(7.5)
Такая матрица удовлетворяет третьему из основных допущений статьи. Остается убедиться, что полученные выше результаты и формулы (типа (5.12), (6.1) и др.) верны для элементов матрицы (7.5). Например (и это достаточно «легко»
1
проверить с помощью пакетов символьной математики), приведенное выше уравнение (5.12) действительно превращается в тождество на элементах этой матрицы.
Отметим, что на элементах этой матрицы отличны от нуля все три минора т1,2, т1>э, т2,э из формулы (5.9).
Еще одно утверждение, вытекающее из полученных выше результатов и опирающееся на символьные вычисления, относится к вопросу о количестве голоморфно различных голоморфно-однородных гиперповерхностей в пространстве C3. Предложение 11. Ранг итоговой системы 5 уравнений относительно опорной шестерки коэффициентов (4.15) является полным в точке пространства R®, отвечающей поверхности (7.1).
Следствие. Вблизи многообразия (7.1) имеется не более чем 2-параметрическое семейство голоморфно однородных гиперповерхностей (1.1), удовлетворяющих основным допущениям 1-3 данной статьи.
Отметим, что получение точных результатов о количестве изучаемых объектов возможно в многомерном комплексном анализе, как правило, лишь в очень специальных случаях (см., например, [15]).
В заключение автор выражает благодарность своему научному руководителю профессору А.В. Лободе. Настоящая статья представляет собой расширенное изложение совместного с А.В. Лободой доклада [6], сделанного в рамках конференции «Геометрический анализ и его приложения» (Волгоград, 2016 г.).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Арапов, В. С. О вещественных тейлоровских коэффициентах однородных гиперповерхностей пространства Сэ / В. С. Арапов, А. В. Лобода // Материалы 12-й международной летней школы-конференции. — Казань : Изд-во Казан. мат. о-ва, 2015. — C. 34-35.
2. Кружилин, Н. Г. Аффинная и голоморфная эквивалентность трубчатых областей в C2 / Н. Г. Кружилин, П. А. Солдаткин // Мат. заметки. — 2004. — Т. 75, вып. 5. — C. 670-682.
3. Лобода, А. В. Использование компьютерных алгоритмов в задаче коэффициентного описания однородных поверхностей / А. В. Лобода, В. И. Суковых // Вестник ВГУ. Системный анализ. — 2015. — № 1. — C. 14-22.
4. Лобода, А. В. Локальное описание однородных вещественных гиперповерхностей двумерного комплексного пространства в терминах их нормальных уравнений / А. В. Лобо-да // Функцион. анализ. — 2000. — Т. 34, вып. 2. — C. 33-42.
5. Лобода, А. В. О тейлоровских коэффициентах голоморфно-однородных поверхностей общего положения / А. В. Лобода, В. И. Суковых // Тез. докл. Воронеж. зим. мат. шк. — Воронеж : Изд-во ВГУ, 2015. — C. 72-73.
6. Лобода, А. В. Об опорных наборах коэффициентов для голоморфно-однородных СПВ-гиперповерхностей в Сэ / А. В. Лобода, В. И. Суковых // Геометрический анализ и его приложения : материалы 3-й Междунар. шк.-конф. — Волгоград : Изд-во ВолГУ, 2016. — C. 133-138.
7. Лобода, А. В. Об определении однородной строго псевдо-выпуклой гиперповерхности по коэффициентам ее нормального уравнения / А. В. Лобода // Мат. заметки. — 2003. — Т. 73, № 3. — C. 419-423.
8. Лобода, А. В. Однородные строго псевдо-выпуклые гиперповерхности в Сэ с двумерными группами изотропии / А. В. Лобода // Мат. сб. — 2001. — Т. 192. — C. 3-24.
9. Applications of differential algebra for computing Lie algebras of infinitesimal CR-automorphisms / M. Sabzevari, A. Hashemi, B. M. Alizadeh, J. Merker // Electronic text
data. — Mode of access: http://arxiv.org/abs/1212.3070. — Title from screen.
10. Beloshapka, V. K. Homogeneous hypersurfaces in C3, associated with a model CR-cubic / V. K. Beloshapka, I. G. Kossovskiy // J. Geom. Anal. — 2010. — Vol. 20, № 3. — P. 538-564.
11. Cartan, E. Sur la geometrie pseudoconforme des hypersurfaces de deux variables complexes / E. Cartan // Ann. Math. Pura Appl. — 1932. — Vol. 11, № 4. — P. 17-90.
12. Chern, S. S. Real hypersurfaces in complex manifolds / S. S. Chern, J. K. Moser // Acta Math. — 1974. — Vol. 133, № 3. — P. 219-271.
13. Eastwood, M. On affine normal forms and a classification of homogeneous surfaces in affine three-space / M. Eastwood, V. V. Ezhov // Geom. Dedicata. — 1999. — Vol. 77. — P. 11-69.
14. Fels, G. On affine normal forms and a classification of homogeneous surfaces in affine three-space / G. Fels, W. Kaup // Acta Math. — 2008. — Vol. 210. — P. 1-82.
15. Isaev, A. V. On the number of affine equivalence classes of spherical tube hypersurfaces / A. V. Isaev, W. Kaup // Math. Ann. — 2011. — Vol. 349. — P. 59-74.
REFERENCES
1. Arapov V.S., Loboda A.V. O veshchestvennykh teylorovskikh koeffitsientakh odnorodnykh giperpoverkhnostey prostranstva C3 [Real Taylor Coefficients of Homogeneous Hypersurfaces in Space C3]. Materialy 12-y mezhdunarodnoy letney shkoly-konferentsii. Kazan, Izd-vo Kazan. mat. o-va, 2015, pp. 34-35.
2. Kruzhilin N.G., Soldatkin P.A. Affinnaya i golomorfnaya ekvivalentnost trubchatykh oblastey v C2 [Affine and Holomorphic Equivalence of Tube Domains in C2]. Mat. zametki [Mathematical Notes], 2004, vol. 75, iss. 5, pp. 670-682.
3. Loboda A.V., Sukovykh V.I. Ispolzovanie kompyuternykh algoritmov v zadache koeffitsientnogo opisaniya odnorodnykh poverkhnostey [Using of Computer Algorithms in the Problem of Coefficients Description Homogeneous Surfaces]. Vestnik VGU. Sistemnyy analiz, 2015, no. 1, pp. 14-22.
4. Loboda A.V. Lokalnoe opisanie odnorodnykh veshchestvennykh giperpoverkhnostey dvumernogo kompleksnogo prostranstva v terminakh ikh normalnykh uravneniy [Local Description of Homogeneous Real Hypersurfaces of the Two-Dimensional Complex Space in Terms of Their Normal Equations]. Funktsion. analiz, 2000, vol. 34, iss. 2, pp. 33-42.
5. Loboda A.V., Sukovykh V.I. O teylorovskikh koeffitsientakh golomorfno-odnorodnykh poverkhnostey obshchego polozheniya [Taylor Coefficients of Holomorphically Homogeneous Surfaces of General Position]. Tez. dokl. Voronezh. zim. mat. shk. Voronezh, Izd-vo VGU, 2015, pp. 72-73.
6. Loboda A.V., Sukovykh V.I. Ob opornykh naborakh koeffitsientov dlya golomorfno-odnorodnykh SPV-giperpoverkhnostey v C3 [Basic Sets of Coefficients for Holomorphically Homogeneous SPC-Hypersurfaces in C3]. Geometricheskiy analiz i ego prilozheniya: materialy 3-y Mezhdunar. shk.-konf. Volgograd, Izd-vo VolGU Publ., 2016, pp. 133-138.
7. Loboda A.V. Ob opredelenii odnorodnoy strogo psevdo-vypukloy giperpoverkhnosti po koeffitsientam ee normalnogo uravneniya [Determination of a Homogeneous Strictly Pseudoconvex Surface From the Coefficients of Its Normal Equation]. Mat. zametki [Mathematical Notes], 2003, vol. 73, no. 3, pp. 419-423.
8. Loboda A.V. Odnorodnye strogo psevdo-vypuklye giperpoverkhnosti v C3 s dvumernymi gruppami izotropii [Homogeneous Strictly Pseudoconvex Hypersurfaces in C3 with Two-Dimensional Isotropy Groups]. Mat. sb. [Sbornik: Mathematics], 2001, vol. 192, pp. 3-24.
9. Sabzevari M., Hashemi A., Alizadeh B.M., Merker J. Applications of differential algebra for computing Lie algebras of infinitesimal CRautomorphisms. Available at: http://arxiv.org/abs/1212.3070.
10. Beloshapka V.K., Kossovskiy I.G. Homogeneous Hypersurfaces in C3, Associated with a Model CR-Cubic. J. Geom. Anal., 2010, vol. 20, no. 3, pp. 538-564.
11. Cartan E. Sur la Geometrie Pseudoconforme des Hypersurfaces de Deux Variables Complexes. Ann. Math. Pura Appl., 1932, vol. 11, no. 4, pp. 17-90.
12. Chern S.S., Moser J.K. Real Hypersurfaces in Complex Manifolds. Acta Math., 1974, vol. 133, no. 3, pp. 219-271.
13. Eastwood M., Ezhov V.V. On Affine Normal Forms and a Classification of Homogeneous Surfaces in Affine Three-Space. Geom. Dedicata., 1999, vol. 77, pp. 11-69.
14. Fels G., Kaup W. On Affine Normal Forms and a Classification of Homogeneous Surfaces in Affine Three-Space. Acta Math., 2008, vol. 210, pp. 1-82.
15. Isaev A.V., Kaup W. On the Number of Affine Equivalence Classes of Spherical Tube Hypersurfaces. Math. Ann., 2011, vol. 349, pp. 59-74.
THE FORMULAS FOR THE LOWER TAYLOR COEFFICIENTS OF HOMOGENEOUS SURFACES
Valerii Igorevich Sukovykh
Assistant, Department of Digital Technology, Voronezh State University [email protected]
Universitetskaya Sq., 1, 394045 Voronezh, Russian Federation
Abstract. This article is related to the descriptions of problem for holomor-phically homogeneous real hypersurfaces in three-dimensional complex spaces. A common coefficients approach is developing to the study of homogeneity on the base of symbolic mathematics and computing.
The aim of this approach is to look for opportunities to describe homogeneous real hypersurfaces of a 3-dimensional complex space in terms of the Taylor coefficients of their defining functions.
The result of A.V. Loboda (2000) may be called here a reference point. It allows to describe homogeneous hypersurfaces in two-dimensional complex space in terms of triple of real Taylor coefficients. This triple itself satisfies certain polynomial constraints.
To study the problem in a much more complicated three-dimensional case it is necessary to work with a large amount of information. In this article, it is done by a Maple symbolic computation computer package.
In this article one particular case is considered of strictly pseudo-convex real hypersurfaces in which foreseeable formulas can be obtained for the parameters and coefficients of the problem under consideration.
The main result of this paper is the reduction of the number of parameters describing the property of homogeneity from 16 coefficients (according to the result of the author and A.V. Loboda, 2015) to 7 ones. The obtained polynomial system of restrictions on these coefficients, involves five equations. Its consequence is the estimate of the number of homogeneous surfaces of studied class.
In the article the relations are given between the parameters of holomorphic vector fields tangent to the studied homogeneous surfaces. In the case under discussion, these relationships also have a relatively simple form.
The article describes an example confirming the validity of the formulas obtained in it by comparing them with coefficients of concrete homogeneous surface.
Key words: holomorphic transformation, Taylor series, real hypersurface, Lie algebra, normal form of equation, system of polynomial equations, symbolic computation.
