Об особенностях типа Ak на кривых и поверхностях заданной степени, квазистепени или мультистепени Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика

УДК 512.761

ОБ ОСОБЕННОСТЯХ ТИПА Ак НА КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЯХ ЗАДАННОЙ СТЕПЕНИ, КВАЗИСТЕПЕНИ ИЛИ МУЛЬТИСТЕПЕНИ

Е. А. Асташов1

В работе изучается вопрос о том, какие особенности типа Ак могут иметь алгебраические кривые (соответственно поверхности) фиксированной степени, квазистепени или мультистепени в С2 (соответственно в С3).

Ключевые слова: классификация особенностей, особенности алгебраических кривых и поверхностей, особенности типа Akin this paper we study Ak-singularities that can exist on curves (surfaces, respectively) of fixed degree, quasi-degree, or multi-degree in С2 (C3, respectively).

Key words: classification of singularities, singularities of algebraic curves and surfaces, Ak-singularities.

1. Введение. Существует общая задача описания алгебраических многообразий с особенностями заданного типа и о связи степени многообразий с параметрами этих особенностей (см., например, [1]).

Пусть /: (Сп, а) —>■ (С, 0) — росток голоморфной функции, к G N. Напомним, что росток гиперповерхности {/ = 0} С Сп в точке а имеет особенность типа Ak, если в окрестности этой точки в Сп существуют локальные координаты z\,... ,zn, которые центрированы в точке айв которых функция / имеет вид f(z\,..., zn) = z\+l + z\ + ... + z2.

В настоящей работе мы изучаем особенности типа Ak на плоских кривых в С2 и на гиперповерхностях в Сп фиксированной степени, квазистепени или мультистепени. Обозначим через kn(d) наибольшее из таких к € N, для которых существует гиперповерхность степени d в Сп с особенностью типа Ak в какой-либо точке. В работе [2] доказаны следующие утверждения.

Утверждение 1. Имеет место неравенство

d—^оо а 4

Утверждение 2. Имеет место неравенет,во lim Щ>г- ^

d—>оо

Из этих утверждений, в частности, следует, что ^(d) ~ d2 при d оо. Утверждение 2 может быть обобщено на случай произвольной размерности, а именно справедливо

Утверждение 3. Для любого натурального числа п ^ 2 имеет место неравенство

1

<i—)• оо а'~

Это неравенство следует из примера 1 работы [3].

В работе [4] результат утверждения 2 улучшается и обобщается на случай гиперповерхностей в комплексном пространстве произвольной размерности следующим образом.

Утверждение 4. Для любого натурального числа п ^ 2 имеет место неравенство

Ш 1

^ 11" ' 209 2"-2

В настоящей работе мы получаем верхнюю оценку для случая п = 3 (теорема 1). Кроме того, для случаев п = 2 и п = 3 нижняя оценка обобщается на случай кривых и поверхностей фиксированной квазистепени (теоремы 2 и 3) или мультистепени (теорема 4).

2. Верхняя оценка для случая поверхностей в С3. Очевидно, что для всех и • 2 н (/ •• >• справедливо неравенство kn(d) ^ dn. Для п = 3 эту оценку можно улучшить следующим образом.

1 Асташов Евгений Александрович — асп. каф. высшей геометрии и топологии мех.-мат. ф-та МГУ; e-mail: ast-

eaQyandex.ru.

Теорема 1. Имеет место неравенство Ит Щ*г- ^ §•

(I—>оо

Доказательство. Пусть поверхность С = {/(ж1,ж2,жз) = 0} С С3, заданная алгебраическим уравнением степени с^ / = (1, имеет особенность типа Лк в некоторой точке. Рассмотрим проективное замыкание этой поверхности в СР3; пусть оно задано в однородных координатах (жо '■ Х\ \ Х2 '■ Жз) уравнением Р(хо : Х\ : Х2 '■ Жз) = 0, где /■' — однородный многочлен степени (1 (считаем, что аффинное пространство С3 С СР3 задано условием хо ф 0).

Пусть II (0) С С — окрестность нуля в С, {Р\ | А € II (0)} — аналитическое по Л семейство шевелений отображения Р общего вида (т.е. таких, что множества {Р\ = 0} при Л € 11(0) \ {0} являются гладкими многообразиями) степени (1. Существует такое число 5 > 0, что при любом Л € 11(0) \ {0} пересечение поверхности {Р\(хо : Х\ : Х2 : Жз) = 0} с шаром В$(0) радиуса 6 и с центром в начале координат диффеоморфно слою Милнора особенности типа Лк, т.е. пересечению поверхности {¡'(х\,х2,хз) = е} при малом е € С \ {0} с шаром В§(0) (более подробно об этом см. в [5, гл. IV, §2.11).

Поверхность = 0} в свою очередь диффеоморфна поверхности В = {жд + + ж2 + = 0} С СР3. В самом деле, все неособые поверхности степени с1 в СР3 диффеоморфны поверхности В, поскольку в пространстве алгебраических кривых степени <1 в СР3 множество кривых с особенностями имеет положительную коразмерность. Аффинная часть поверхности В, т.е. поверхность А = В П С3, задается уравнением жf + ж2 + Жд = 1.

Лемма 1. Отрицательный индекс инерции формы пересечений в группе гомологий Н2(А]Ж) эквивалентен |с?3 + 0(с12) при с1 —> оо.

Доказательство. Длиной монома хау@г7 назовем величину 1(хау/3г1) = "+/3+7+3. По теореме 2 работы [6] отрицательный индекс формы пересечений в группе гомологий равен количеству мономов {ж"у/3г11 0 ^ а, ¡3,7 ^ с1 — 2, 1(хау/3г1) ф. Z, [1(хау/3г7)] нечетно}. Здесь и далее [•] означает целую часть числа. Другими словами, этот индекс равен сумме по всем т € М, для которых число нецелое и имеет нечетную целую часть, количеств разбиений числа т в сумму трех целых неотрицательных слагаемых а, (3,7, каждое из которых не превосходит (1 — 2 (такие разбиения будем называть хорошими, а все остальные — плохими). При этом разбиения, отличающиеся порядком слагаемых, считаются различными.

Если 0 ^ т ^ (I — 2, то все разбиения числа т в сумму трех целых неотрицательных слагаемых: т = а + [3 + 7 удовлетворяют условию 0 ^ а, /3,7 ^ с? — 2. Таких разбиений, очевидно, всего При этом число [га^3] будет нечетным (а именно равным единице) только при т = (1 — 2. Так что

для 0 ^ т ^ (I — 2 хороших разбиений будет С|_2+2 = ^.

Если (1 — 1 ^ т ^ 2с1 — 3, то среди разбиений числа т в сумму трех целых неотрицательных слагаемых: т = а + [3 + 7 (которых всего помимо хороших разбиений будут еще плохие, в

которых одно из слагаемых больше числа (1 — 2. (Если в разбиении хотя бы два слагаемых больше числа (1—2, то т > 2(1—3.) Число разбиений, в которых первое слагаемое есть (1-\-к, к ^ — 1, равняется т — (1 — к + 1 (столько способов разбить число т — ((1 + к) в сумму двух целых неотрицательных слагаемых). Значит, число разбиений т = а + /3 + 7, в которых (1 — 1 ^ а ^ т, равно

^(ш-(1-к + 1) = {т-а + 2^т-а + 1). к=-1

По стольку же разбиений т = а + (3 + 7 получим в случае (¡-Ц^тив случае (1 — 1 ^ 7 ^ т.

Таким образом, для (1 — 1 ^ т ^ 2(1 — 3 существует 3(т )(т ПЛОхих разбиений и

2 3(т - (1 + 2)(т- (1+1) _ (т + 2)(т + 1) 3(т - (1 + 2)(т -й + 1)

т+2 2 ~ 2 2 хороших разбиений.

Отметим, что при 2(1 — З^т^Зс? — 6 число [т(]'3] будет четным (точнее, оно будет равняться двум), а при т > 3(1 — 6 хотя бы одно слагаемое в разбиении т = а + (3 + 7 будет больше числа (1 — 2. Поэтому для чисел т ^ 2(1 — 3 хороших разбиений нет вовсе. В то же время при (1 — 1 ^ т ^ 2(1 — 4 число всегда будет нечетным (точнее, оно будет равняться единице). Общее число

интересующих нас разбиений, таким образом, равно

2(1-4

<1(<1 — 1) ^ 9 ^

т=(1— 1

Лемма доказана.

(т + 2)(т + 1) 3(т - й + 2)(т - (1 + 1)

= \(Р+ 0((12), (1^ оо.

О

Лемма 2. Отрицательный индекс инерции формы пересечений в группе гомологий Н2(В]Ж) эквивалентен |с?3 + 0(с12) при с1 —> оо.

Доказательство. Для любого целого т ^ 2 имеем

Нт{В,А)~Нт_2{В\А).

В самом деле, если а € Ст(В) — относительный цикл, т.е. да € А, то, пересекая все клетки этого цикла с В \ А, получим (т — 2)-мерный абсолютный цикл в В \ А. Обратно: всякий (т — 2)-мерный абсолютный цикл в В \ А можно получить как пересечение некоторого т- мерного относительного цикла в В с В\ А (например, такой цикл можно получить, умножив все клетки данного абсолютного цикла на С).

Кроме того, кривая (В\А) гомотопически эквивалентна поверхности {х^ -\-х2-\-х3 = 0} С СР3. Отсюда, в частности, следует, что

Н3(В, А) ~ Нг(В \ А) ~ м(^-1)(й-2)/2) „ Яо(Б \ ~

Из точной гомологической последовательности пары (В, А)

Я3 (В, А) % Н2{А) ^ Н2{В) ^ Н2(В, А) ^ ...

получаем, что сЦт(Кегг*) = 0(с?2) при с? —> оо. Отсюда следует, что отрицательные индексы инерции форм пересечений в группах Н2(А) и Н2(В) отличаются не более чем на (Э(с?2). Тем самым утверждение леммы 2 следует из леммы 1. Лемма доказана.

Форма пересечений для особенности типа Ак от трех переменных отрицательно определена, а значит, невырождена (описание этой формы пересечений дается в теореме 15 книги [5, гл. IV, §24]). Поэтому имеет место вложение группы исчезающих гомологий Н = (А^=1 особенности типа Ак (здесь Аг, г = 1,..., к, — исчезающие циклы; определения см. в [5, гл. IV, §23]) в группу Н2(В; М). Из этого также следует, что отрицательный индекс инерции формы пересечений в группе Н2(В]Ш) не меньше, чем отрицательный индекс инерции формы пересечений в группе Н. В силу отрицательной определенности формы пересечений для особенности типа Ак от трех переменных этот последний индекс равен размерности группы Н, т.е. к. Отсюда с учетом леммы 2 следует неравенство к ^ |с13 + О (с12) при с1 —> оо. Теорема доказана.

3. Нижние оценки в случае кривых и поверхностей фиксированной квазистепени.

Пусть а = (а\,..., ап) € — набор натуральных чисел, взаимно простых в совокупности. Будем говорить, что моном х- = х\г ... х^п имеет квазистепень с? относительно набора весов а (или для краткости а-квазистепень), если выполнено равенство а\к\ + .. . + апкп = й. Квазистепень многочлена определяется как наибольшая из квазистепеней мономов, присутствующих в нем с ненулевыми коэффициентами.

Обозначим через кп(а',с1) наибольшее из таких к € М, для которых существует гиперповерхность, заданная многочленом а-квазистепени с! в Сп с особенностью типа Ак в какой-либо точке.

Теорема 2. Для любых взаимно простых а, /3 € N имеет место следующее неравенство:

к2((а,РУ,<1) > И2 ¿£> " 209'а/3"

Доказательство. Рассмотрим последовательность многочленов

Яз(х, у) = у2 - 2уА3(х, у) + В8(х, у),

где

А3(х, у) = X+ х101^)уш(з) + а2Х91(8)у2т(8) + _ _ _ + ацу11т^ , В3{х,у)=х221^ + 2 х^)уш(з) + Ь2Х201(з)у2т(з) + ^Щз) у3т(з)

Здесь а2,..., ац,Ь2,Ьз — вещественные коэффициенты, являющиеся решением следующей системы алгебраических уравнений:

(1)

Ъ2 = 1 + 2 а2, Ьз = 2 а3 + 2 а2, 0 = 2а4 + 2аз + О = 2Й>5 + 2а4 + 2аза2, О = 2аб + 2й>5 + 2а4а2 + а2,

О = 2Й>7 + 2ö6 + 20502 + 20403,

О = 2а8 + 2Й>7 + 2аб02 + 20503 + а\ О = 2ад + 2а8 + 20702 + 2абаз + 20504, О = 2аю + 2ад + 2ава2 + 20703 + 2абй4 + а2,

О = 2ац + 2 аю + 2адаг + 2аваз + 20704 + 2а%аы

О = 2 ац + 2аюй2 + 2адаз + 2ава4 + 20705 + а2, О = 2аца2 + 2аюаз + 2ада4 + + 2ajae.

В [4, разд. 3] доказывается существование у этой системы ненулевого вещественного решения.

Величины /(s) и m(s) выберем так, чтобы (а, /5)-квазистепень многочлена Qs была равна (a,ß)-квазистепени монома — 2ацу11т+1, присутствующего в слагаемом —2yAs(x,y), и была не меньше (а, /5)-квазистепени монома Ьзх191у3т, присутствующего в слагаемом Bs(x,y). Это условие дает относительно / и m неравенство ß ■ (lim + 1) ^ а ■ 19/ + ß ■ 3m, или

ß ■ 8m + ß ^ а ■ 191. (2)

Без потери общности можно считать, что а > ß. Если а = ß, то из условия взаимной простоты этих чисел получим а = ß = 1; этот случай уже рассмотрен в утверждении 4.

В случае, когда а > ß и числа 19а и 8/5 взаимно просты, неравенство (2) можно заменить соответствующим уравнением:

ß ■ 8т + ß = а ■ 191. (3)

Это уравнение разрешимо в целых числах, а его общее решение в этом случае имеет вид

l(s) = ß ■ 8s + ¿0, m(s) = а ■ 19s + m0, (4)

где (lo,mo) — частное решение уравнения (3). Отметим, что независимо от конкретных значений Iq и то величины l(s) и m(s) при достаточно больших s € N будут принимать натуральные значения. Тогда (а, /5)-квазистепень многочлена Qs будет равна

ds = ß ■ (llm(s) + 1) = 11 aß ■ 19s + llß -mQ+ß. (5)

Кроме того, при таком выборе I = l(s) и m = m(s) мономы в многочленах As и Bs оказываются расположенными по возрастанию (а, /5)-квазистепеней:

а ■ 111 < а ■ 101 + ß ■ m < ... < а ■ I + ß ■ 10m < ß ■ 11 m,

(6)

a • 22/ < a • 21/ + ß • m < a • 20/ + ß • 2m < a • 19/ + ß • 3m

(при таких s, для которых m(s) > /(s)).

Отдельно следует рассмотреть случай, когда числа 19а и 8/3 не взаимно просты. В этом случае равенство в неравенстве (2) недостижимо (уравнение (3) неразрешимо в целых числах). Тогда положим

/(s) = 8 (3s, m(s) = 19as. (7)

Для таких /(s) и m(s) при всех s € N выполнено неравенство (2), а также неравенства (6) (мы по-прежнему предполагаем, что а > (3).

Далее будем действовать по аналогии с доказательством основной теоремы в работе [4]. Именно если ввести новую переменную z = у — As(x,y), то в переменных (x,z) уравнение кривой = 0} примет вид

Qs(x, z) = z2 — cxks+1 + члены высших порядков = 0.

Здесь ks = 154l(s)m(s) + 8l(s) — 1, а члены высших порядков — это мономы вида CijXlz3, где 1 > i (эт0 следует из неравенств (6)). Соответствующие им точки лежат выше диаграммы Ньютона многочлена Ps(x,z), поэтому кривая = 0} с помощью дополнительной замены переменных х = х(х, z), z = z(x, z) может быть приведена к виду

Qa(x,z) = z2+xks+l = 0

(определение диаграммы Ньютона и доказательство соответствующего факта см. в [5, гл. II, §12]). В итоге получим, что кривая = 0} имеет в начале координат особенность типа Aks, где ks = 154l(s)m(s) + 8l(s) — 1. С учетом формул (4) и (5) находим

= (В)

s^ood2 209 а[3 v '

Аналогичные вычисления можно проделать и в случае, когда l(s) и m(s) задаются равенствами (7) (с заменой /о и то на нули).

Очевидно, найдется такое jo € N, что если существует кривая (а, /3)-квазистепени d с особенностью типа Ak в начале координат, то для любого натурального j ^ jo существует кривая (а, /3)-квазистепени d + j с особенностью типа Ak в начале координат. (В качестве jo можно взять наименьшее из таких j € N, для которых существуют числа u(j), v(j) € N, удовлетворяющие равенству u(j)a + v(j)/3 = j.) Поскольку величины образуют возрастающую арифметическую прогрессию, отсюда с учетом равенства (8) и неравенства ks ^ к2 ((a,/3);ds) получаем утверждение теоремы.

Теорема 3. Для любых взаимно простых в совокупности а, /3,7 € N имеет место неравенство

Ит k3((a,l3,j)]d) > 56 1

d^o d3 209 aßY

Доказательство. Рассмотрим последовательность многочленов

Qs(x 1,х2,х3) =х\- 2x2As(x\,x2) + Bs(xi,x2) + (х2 - x£s))2,

где

Л , \ Ш(» . 10 lis) mis) , 9 lis) 2m(s) , , 11 mis)

As(x\,x2)=xl x2 + a2xl x2 +... + ацх2 ,

Bs(Xl, x2) = xfl{» + 2xT[{S)X™{S)+ b2xfli+ b,xf{s)x^{s).

Здесь a2,..., ац,Ь2,Ьз — вещественные коэффициенты, являющиеся решением системы уравнений (1). Величины l(s), m(s) и v(s) выберем следующим образом:

/(s) = 16/З7 s, rri(s) = 380:7s, v{s) = 209aßs. (9)

При этом (a, /3, 7)-квазистепень многочлена Qs равна (а, /3, 7)-квазистепени монома — 2ацХ21т^+1, присутствующего в слагаемом — 2x2As(x\, х2).

Как и при доказательстве теоремы 2, без потери общности можно считать, что а > ß. В случае а < ß поменяем местами переменные х\ и х2, а если а = ß ф 7, поменяем местами переменные Х\ и Х3. Тогда при сделанном выборе I = l(s) и m = m(s) (и в предположении а > /3) для всех s € N мономы в многочленах As и Bs оказываются расположенными по возрастанию (а, ß, 7)-квазистепеней :

а ■ 111 < а ■ 101 + ß ■ m < ... < а ■ I + ß ■ 10m < ß ■ 11 m,

(10)

a • 22/ < a • 21/ + ß ■ m < a ■ 201 + ß ■ 2m < a ■ 191 + ß ■ 3m.

Итак, l(s),m(s),v(s) выбраны таким образом, чтобы (a, /3, 7)-квазистепень многочлена Qs была равна

ds = ß • (llm(s) + 1) = AlSaß-js + ß. (11)

Далее снова будем действовать по аналогии с доказательством основной теоремы из работы [4]. Именно с помощью замены переменных

Ух = х2 - As(xi,x2), y2 = x2-x"}s\ Уз = Хз

приведем уравнение поверхности = 0} к виду

Яз(У1,У2,Уз) =У\+У1 + q/3S+1 + остаток = 0.

Здесь ks + 1 = lll(s) ■ 14m(s) • u(s) + 8l(s) ■ v(s), а остаток содержит мономы вида Ск1тУ\ • У2 ' УТ> показатели степени которых удовлетворяют неравенству

kl т

2 + 2 + ks + 1 >

(это следует из неравенств (10)). Соответствующие им точки лежат выше диаграммы Ньютона многочлена Qs, поэтому поверхность = 0} с помощью дополнительной замены переменных Vi = У\(У1,У2,Уз), У2 = 2/2(2/1, У2, Уз), Уз = Уз(У\,У2,Уз) может быть приведена к виду

Яз(У1,У2,Уз) = fi + yi + Узке+1 = 0.

В итоге получим, что поверхность = 0} имеет в начале координат особенность типа Лкд, где ks + 1 = ll/(s) • 14m(s) • v(s) + 8l(s) ■ v(s). С учетом формул (9) и (11) находим

= (12)

^00 clss 209 aß7 v 7

Очевидно, найдется такое число jo € N, что если существует поверхность (а, ß, 7)-квазистепени d с особенностью типа Лк в начале координат, то для любого j ^ jo существует поверхность (а, ß, 7)-квазистепени d + j с особенностью типа Лк в начале координат. Поскольку величины образуют возрастающую арифметическую прогрессию, отсюда с учетом равенства (12) и неравенства ks ^ кз((а, ß, 7); ds) получаем утверждение теоремы.

4. Нижние оценки для случая гиперповерхностей фиксированной мультистепени. Будем называть мультистепенью многочлена Р(х..., хп) набор чисел (d\,..., dn) € где di — наибольшая степень, в которой переменная Xi входит в мономы этого многочлена. Будем обозначать через Kn(d\,..., dn) наибольшее из таких к € N, для которых существует гиперповерхность мультистепени (d\,..., dn) в Сп с особенностью типа Лк в какой-либо точке. Теорема 4. Имеют место неравенства

K2(di,d2) 7 K3(di,d2,d3) . 7 lim ———- ^ —, hm -——- ^ —.

(ib(i2^oo d\d2 11 (ib(i2,(i3^oo «10203 22

Доказательство. Пусть n ^ 2. Рассмотрим многочлены

Qs(x 1,... ,xn) = x\- 2xiAs(xi,x2) + Bs(xi,x2) + (x2 - x^(s))2 + ... + (xn-i - x^)2,

где

A , ч HL(s) . M(s) 10 L(s) . 2 M(s) 9 L(s) . . UM(s)

As(x\,x2) = x2 + xx x2 + a2xl x2 + ... + ацх1 ,

Bs(x1,x2) =xfL{s) +2x^s)xllL{s) +b2x\M{s)xfL{s) +b3xlM(-s)xl29L(-s).

Здесь a2,... ,ац,Ь2,Ьз — вещественные коэффициенты, являющиеся решением системы уравнений (1); L(s), M(s) и N(s) — натуральные числа, такие, что

lim L(s) = lim M(s) = lim N(s) = 00,

s—>oo s—>oo s—>oo

и для всех s € N, кроме, быть может, конечного числа, выполнено неравенство L(s) < M(s). Многочлен Qs в этом случае будет иметь мультистепень

(HM(s) + 1, 22 L(s), 2 N(s),..., 2 N(s)) .

Как и при доказательстве двух предыдущих теорем и основной теоремы работы [4], с помощью замены переменных

Ух = Х\ - As(xi,x2)-, Уг = Xi -X^s)n \ I = 2, . . . ,П - 1] уп = Хп

многочлен Qs можно привести к виду Qs(yi, ...,уп)=у2 + ...+ yl_x + где ks + 1 = ПОД • 14ЛОД • N(s)n~2 + 8 ОД • iV(s)ra "2.

Отсюда следует, что

к8 7 1 lim - = — --

s^oc (llM(s) + 1) • 22ОД • (2N(s))n~2 11 2га"2

Кроме того, имеет место равенство Kn(d\,d2, d3, d3,..., d3) = Kn(d2, d\,d3, d3,..., d3) (мы можем перенумеровать переменные). Поэтому ограничение L(s) < M(s), наложенное нами ранее, на самом деле несущественно для вычисления указанного предела. Отсюда следует, что

jt^- Kn(di,d2, ds, ds,..., ds) > 1 . .

dbdX-юо dM™'2 " 11 2ra_2' 1 )

Очевидно, что для любого j € {1,... ,п} имеет место неравенство

— l, dj, dj-\-1,..., dn ) ^ Kn(d\,..., dj-1, dj + 1, dj+1,..., dn), откуда с учетом (13) получим

Kn(d1,d2,d3,d3,...,d3) 7 1 lim -- ^

(¿1,^2,^3^-00 (¿1(^2(^3 2 11 2га 2

Утверждения теоремы вытекают из последнего неравенства при п = 2 и п = 3 соответственно. Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 13-014)0755.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Greuel G.-M., Lessen С., Shustin Е. Plane curves of minimal degree with prescribed singularities // Invent. Math. 1998. 133, N 3. 539-580.

2. Гусейн-Заде C.M., Нехорошее H.H. Об особенностях типа Лк на плоских кривых фиксированной степени // Функц. анализ и его прил. 2000. 34, вып. 3. 69-70.

3. Kollar J. An effective Lojasiewicz inequality for real polynomials // Periodica math. hung. 1999. 38, N 3. 213-221.

4. Astashov E. On algebraic hypersurfaces of fixed degree in C™ with prescribed singularities / Proc. Int. miniconf. "Qualitative theory of differential equations and applications" (16 June 2012). M.: MESI, 2013. 5-19.

5. Арнольд В.И., Варченко А.Н., Гусейн-Заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений. М.: МНИМО. 2009.

6. Steenbrink J. Intersection form for quasi-homogeneous singularities // Compos. Math. 1977. 34, N 2. 211-223.

Поступила в редакцию 11.04.2014

УДК 512.628.2

ОБОБЩЕННЫЕ СЕПАРАНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ

М. А. Лимонов1

Пусть / (Е К {у} — элемент кольца дифференциальных многочленов от одной дифференциальной переменной у с одним дифференцированием S. Для любой переменной ук многочлен g = 5n(f) можно представить в виде g = АкУк + до-, где до не зависит от ук-

1 Лимонов Максим Амирьянович — асп. каф. высшей алгебры мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: matemaksQya.ru. 5 ВМУ, математика, механика, №6