Проблема различения центра и фокуса в классе ростков с двумя ребрами диаграммы Ньютона Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПРОБЛЕМА РАЗЛИЧЕНИЯ ЦЕНТРА И ФОКУСА В КЛАССЕ РОСТКОВ С ДВУМЯ РЕБРАМИ ДИАГРАММЫ НЬЮТОНА *

Н.Б. Медведева

Исследуется вопрос об устойчивости особой точки типа центр-фокус вещественно-аналитического векторного поля на плоскости с точки зрения аналитической разрешимости.

Ключевые слова: монодромная особая точка, преобразование моно-дромии, центр, фокус, алгебраическая разрешимость, аналитическая разрешимость.

Понятие алгебраически разрешимой локальной задачи введено В.И.Арнольдом в [1]. Под "задачей" о ростках векторных полей понимается разбиение пространства ростков на некоторое число классов. Если рассматривается задача об устойчивости по Ляпунову, то таких классов всего два: состоящий из устойчивых ростков (то есть ростков, имеющих устойчивую особую точку), и 5^2, состоящий из неустойчивых ростков. Задача называется алгебраически разрешимой, если для любого ростка можно сделать заключение о его принадлежности к тому или иному классу путем арифметических действий над коэффициентами некоторой конечной струи либо если росток принадлежит некоторому исключительному множеству бесконечной коразмерности. Доказано [2], что проблема устойчивости особой точки векторного поля в Ж” при п > 2 не является алгебраически разрешимой. Далее рассматривается только случай п = 2.

Известно, что если особая точка аналитического векторного поля на плоскости изолированная, то либо существует фазовая кривая, входящая в особую точку с определенной касательной (характеристическая траектория), либо особая точка является монодромной [6], то есть для нее определено отображение Пуанкаре, которое мы будем называть преобразованием монодромии. Из теоремы конечности числа предельных циклов [3] следует, что монодромная особая точка аналитического векторного поля на плоскости является либо центром, либо фокусом. Ростки векторных полей, имеющие в нуле монодромную особую точку, будем называть монодромны-ми. Из теорем о раздутии особенностей (см., например, [4]) легко получить,

* Работа финансировалась РФФИ (грант 034)14)0270) и С1ШР (грант 1-2358-М04)2).

что задача различения монодромных ростков и ростков с характеристической траекторией является алгебраически разрешимой, кроме того на множестве ростков с характеристической траекторией проблема устойчивости, а также задача построения фазового портрета с точностью до гомеоморфизма также являются алгебраически разрешимыми.

Через Л4 обозначим множество всех монодромных ростков. Проблему устойчивости на этом множестве будем называть проблемой различения центра, и фокуса. Доказано [5], что проблема различения центра и фокуса не является алгебраически разрешимой на всем множестве Л4.

В случае, когда проблема не является алгебраически разрешимой, Ю.С. Ильяшенко предложил [6; 7] использовать понятие аналитической разрешимости.

Определение 1. Подмножество V области В конечномерного пространства называется полуаналитическим подмножеством области В, если у каждой точки а Є В существует ее окрестность II в области В такая, что пересечение V П II является конечным, объединением, множеств, задаваемых конечным, числом уравнений вида / = 0 и неравенств вида д > 0; где / и д ^ аналитические в II функции.

Полуаналитическое подмножество области может не быть полуаналитическим подмножеством всего пространства.

Пусть — пространство ростков в точке (0,0) Є К2 аналитических векторных полей с особой точкой ноль; «/о^ — пространство /г-струй в точке (0,0) векторных полей с особой точкой нуль, ръ : ^ — естественная

проекция. Если Ш — подмножество Ша, то через будем обозначать

множество /г-струй ростков из РУ. Мы предполагаем, что система координат в окрестности особой точки фиксирована. Тогда /г-струю можно отождествить с (векторным) многочленом Тейлора степени к компонент векторного поля.

Пусть на множестве Ш С Ша рассматривается бинарная локальная задача, то есть задача, в которой возможны только два ответа — "да" или "нет": Ш = Б і ив2. Примеры: 1) задача об устойчивости на всем ]¥ = М^о,

2) проблема различения центра и фокуса на любом подмножестве IV С Л4; в этом случае <?і ="устойчивый фокус", <?2 ="неустойчивый фокус".

Определение 2. Задача, называется аналитически разрешимой в классе Ш С если, для, любого к существует такое разбиение некоторой окрестности Щ множества в пространстве ,1$к на, непере-

секающиеся полуаналитические подмножества этой окрест,пост,и, 11^ = ^,1 и -їй.? и J'k, что 1) Ш Пр^1'1к,г С <%, і = 1.2. 2) Ііт сойіт,І'к = оо.

Множество ,Тк называется множеством нейтральных к-струй.

Заметим, что если в каждом из каких-либо двух классов задача аналитически разрешима, то отсюда вовсе не следует ее аналитическая разрешимость в объединении этих классов.

Доказано [8], что проблема устойчивости особой точки векторного поля в Ж” при п > 2 не является аналитически разрешимой.

Определение 3. Подмножество С называется полуалгебраиче-

ским множеством, если оно является объединением, конечного числа, подмножеств, задаваемых конечным, числом алгебраических уравнений и неравенств на координаты, N-струи при некотором N.

Определение диаграммы Ньютона и связанных с ней понятий дано в [6; 9] Пусть в системе координат (х,у) векторное поле имеет компоненты Х(х,у), У(х,у). Квазиоднородные многочлены Х^(х,у), У^(х,у), соответствующие ребру диаграммы Ньютона £, определим как укорочения тейлоровских разложений функций уХ и хУ соответственно на данное ребро (подробнее см. [9]). Положим ^ = У^ — аХгде а = т/п — показатель ребра £.

Пусть т/п — несократимая дробь. Известно, что для любого квазиод-

нородного полинома К(х, у) с весами пит переменных ж и у справедливо

разложение К(х,у) = Ах81,у8'2 П(у” —гДе - ненулевые комплексные

г

числа, «г > 0. Множитель вида уп — Ъ{Хт, Ъ% ф 0, называется простым, множителем полинома К(х,у) (простой не значит однократный). Если Ь* - вещественно, то простой множитель будем называть вещественным простым множителем.

Пусть а и а — показатели двух соседних ребер £ и £ диаграммы Ньютона, а > а, /3 - показатель их общей вершины с. Занумеруем целочисленные точки на ребре £, присваивая вершине с номер ноль. Через кс обозначим номер ближайшей к вершине с точки носителя, лежащей на ребре £, показатель которой отличен от а, если таковая существует. Если такой точки нет, то положим кс = оо. Аналогично, перенумеровывая целочисленные точки на ребре £ и присваивая вершине с номер ноль, определим величину кс.

Пусть с! = тп — пт. Как будет показано ниже, число (кс + кс)ё+1 равно кратности элементарной особой точки, которая возникает в результате раздутия особенностей, связанного с диаграммой Ньютона, в прямоугольнике, соответствующем вершине с диаграммы Ньютона. Напомним [6], что особая точка векторного поля называется элементарной, если по крайней мере одно собственное значение матрицы линейной части векторного поля в этой точке отлично от нуля.

Определение 4. Пусть Г — диаграмма Ньютона,, состоящая из двух ребер tutu имеющая по одной вершине на каждой координатной оси, с _ ее внутренняя вершина, v > 0 — целое число. Скажем, что росток векторного поля с м,он,одром,пой, особой точкой и диаграммой, Ньютона, Г принадлежит классу (Г), если: 1) многочлены Fи Fне имеют вещественных простых множителей, 2) d(kc + kc) = v.

В случае v > О класс Щ( Г) является объединением двух классов:

V2^(Г), в котором dkc = is, kc = 0, и Т>2^(Т), в котором кс = 0, dkc = is. Оба эти класса являются иолуалгебраическими множествами в Wq. Заметим, что при данной диаграмме Ньютона Г число v не может быть произвольным. Если is + 1 больше числа целочисленных точек, лежащих на ребре і (і

соответственно), то Т>2^(Т) = 0 (Х>2^(Г) = 0 соответственно). К тому же V должно делиться на d.

В настоящей статье доказана следующая

Теорема 1. Пусть v > 0. Проблема различения центра и фокуса, аналитически разрешима в классах V2^(Г) и V2^(Г).

Случай v = 0 требует другой техники и рассматривается в отдельной статье. В [И] рассмотрен случай, когда v = 0 и диаграмма Ньютона состоит из двух ребер с показателями 1 и 2. Ниже теорема 1 доказывается для класса Т>2^(Г). Случай класса Т>2^(Г) рассматривается аналогично.

Автор благодарит Ю.С.Ильяшенко за постановку задачи и внимание к работе, а также Ю.С.Ильяшенко, С.М.Воронина, А.А.Соловьева,

В.Н.Ушакова за полезные обсуждения.

1. Отображение соответствия в окрестности вырожденной особой точки

1.1. Система с усеченным носителем

Рассмотрим на плоскости систему дифференциальных уравнений вида

х = ха(х,у), у = -у(Х + b(x,y)), (1)

где а(0,0) = 6(0,0) = 0, А ф 0. Предполагается, что функции а(х, у) и Ь(х, у) являются аналитическими функциями от ж и у в окрестности начала координат, а система (1) имеет в нуле вырожденную элементарную особую точку кратности v + 1, где v > 0.

Из вида системы и условия А ф 0 следует, что носитель системы (1) содержится в квадранте і > l,j > 1 и содержит точку с коодинатами (1,1).

Предположим дополнительно, что носитель системы (1) содержится внутри некоторого угла, направления сторон которого задаются векторами с положительными координатами.

Поскольку кратность особой точки равна V + 1, то тейлоровские коэффициенты разложения а(х, у) при чистых степенях ж, ж2,... , ж1'-1 равны нулю, а коэффициент аро при ж1' отличен от нуля. Предположим, что первый квадрант плоскости (ж, у) вблизи начала координат является гиперболическим сектором для особой точки (0,0) уравнения (1). Это означает, что выполняется условие Хйцо > 0.

Поскольку система координат в окрестности особой точки фиксирована, то пространство струй можно отождествить с вещественным конечномерным пространством. Координатные функции в этом пространстве будем называть коэффициентами струи. Каждый коэффициент струи соответствует моному определенной степени тейлоровского разложения векторного поля. Целочисленной точке на плоскости показателей соответствуют два коэффициента струи.

1) Пусть в — любое конечное множество коэффициентов струи системы (1), соответствующих целочисленным точкам, расположенным внутри угла. Будем говорить, что функция (р(х,0) аналитически зависит от ж и в, если она аналитична по переменным ж и в на множестве {(ж, в) : |ж| < е(0), Хаи® > 0}, где е{0) ■■■■■■■■■■ некоторая непрерывная функция от в. Аналогично определяется функция, аналитически зависящая от ж, у и в.

2) Через С*(ж) (0*(х, у)) будем обозначать любую функцию, в каждом случае свою, которая является ограниченной в точке ж = 0 ((ж,у) = (0,0)) при любых фиксированных значениях параметров, при которых она определена. Параметрами могут являться либо конечное число коэффициентов струи, либо все тейлоровские коэффициенты системы (1), а также иногда е и 6 — малые положительные параметры, возникающие в промежуточных построениях.

3) Через ох( 1) обозначим функцию от ж ё М4, которая стремится к 0 при ж —У 0. Если ох{ 1) зависит еще от каких-либо параметров, то подразумевается, что она является бесконечно малой при любых фиксированных значениях параметров, при которых она определена.

Разложим функции а и Ь в ряды по степеням ж:

ОО ОО

у) = '}2ак(у)хк, Ь(х,у) = ^2Ьк(у)хк.

к=о к=о

Так как носитель уравнения (1) содержится внутри угла, то ап, явля-

ются полиномами, а именно

пп пп

1 к ±к

ак(у) = ^ Ък= 'И Ькзу3- (2)

3=тк j=Tk

1) Через Мк обозначим множество коэффициентов струи системы (1), соответствующих целочисленным точкам, лежащим на прямой * = к + 1 внутри угла, то есть Мк = {akj, bкj '■ 7'/, < 3 < Тк}.

к—1

2) Положим М<к = У М<к = М<к и Мк, М^+и = М*. и ... и

г=О

Мк-\-у

3) Положим А/* = М<г0, где *о — абсцисса точки пересечения нижней границы угла с прямой ] = 1 .

4) Пусть к € Г^Г, г/ > 0. Через /Зк+и(у) будем обозначать любую функцию от у и М<к+^ которая является полиномом первой степени от ,

коэффициенты которого при переменных из являются функциями от

у и Л/*. ограниченными при у = 0 для любых фиксированных Л/*.

Очевидно, что а,к(у) и Ь^(у) имеют вид /3| (у), а также /З^Ду), /3^+1У(у)-Непосредственно доказывается следующее

Предложение 1. 1) Пусть и > 0. Если к достаточно велико, то коэффи-

ОО ОО

циент при хк в произведении рядов а^хк и Ъ^хк является полиномом

к=о к=о

первой степени от ак, • • • , а,к-у, Ьк, ■ ■ • , Ьк-У при фиксированных aj, bj, где

ОО ОО

2 < к — и. То же касается подстановки ряда г = ЬкХк в ряд Е акгк.

к=1 к=о

2) Коэффициент при хк в разложениях степени и логарифма ря-

ОО

да 1 + '<^2/акХк является при больших к полиномом первой степени от к=1

ак, • • • , о,к—и при фиксированных а^, где ] < к — ъ>.

Из предложения 1 непосредственно вытекает

Следствие 1.1. Если начиная с некоторого номера коэффициенты при хк исходных рядов имеют вид /Зк+и(у), то и коэффициенты при хк ряда, полученного в результате их сложения, умножения, возведения в степень, логарифм,ирования и,ли, подстановки, имеют вид /Зк+и(у) начиная с некоторого номера.

1.2. Нормальная форма

Запишем систему (1) в виде

оо оо

х = х^ак{у)хк, у = -у(Х + ^Ък{у)хк), (3)

к=О к=О

где ао(0) = аі(0) = ... = аг,_і(0) = 0, АагДО) = Аа^о > 0, Ьо(0) = 0.

Лемма 1. Для, любого натурального г существует аналитическая в окрестности точки (£, г]) = (0,0) зам,єна переменных вида,

Г

X = £(1 + г]г0(гі) + ^Г]2гк{г])^к +СГ+1С*(С,??)),

кг1 (4)

у = Г](1 +Г]Г0{Г]) + ^2г]гкШк +СГ+1С*(С,??)), к=1

такая, что после этой замены и деления на ненулевую аналитическую функцию уравнение (3) приводится к виду

С = Г+\ "П = -фа + П))-, (5)

где иа, = А/а^О; Ь(£) аналитически зависит, от, £ и Л/*. коэффициенты при

степенях £ в формуле (4) аналитически зависят, от, г/ и конечного числа коэффициентов струи, причем при достаточно больших к гк(г]),гк(г]) имеют вид [Зк+1/{г}).

Доказательство. Сначала покажем, что с помощью замены переменных,

аналитически зависящей от ж, у и М<г,, в уравнении (3) можно избавиться

от членов ао(у),... ,а1/-і{у)х1'^1. Следуя Дюлаку [10], замену переменных

і/-і

будем искать в виде г = ^^^(у)жг+1, где <у?о(0) = 1,^(0) = 0 при 1 < і < (рі удовлет: ао(у)(Ро(у)

г=0

и — 1. Тогда <рі удовлетворяют уравнениям

у(А + Ьо(у)) ’

,, (і + 1)а,а(у)щ(у) Щу)

Уіх + Ш) + уіх+ ШУ

где Щ(у) - многочлен с рациональными коэффициентами от а^, Ъ^ при j < і, а также <р^,у<р^ при j < і, а такой, что Щ(0) = 0. По индукции получаем, что решения (рі этих уравнений аналитически зависят от у и М<з, поэтому

г аналитически зависит от ж, у и M<v. Обратная подстановка имеет вид

оо

ж = (pi(y)zi+l, где фг(у) аналитически зависят от у и M<j при i < v и

г=0

М<г, при % > I/, ^о(О) = 1- Мы можем считать, что фк(у) при достаточно больших к имеют вид (у) и /Зк_и(у), поскольку они вообще не зависят от М*_„. После этой замены с учетом следствия 1 получим уравнение

оо оо

z = z^2Ak(y)zk, у = -у(А + ЕМуН, (6)

fe=i> fc=0

где bfc - не те же самые, что в уравнении (3), но по-прежнему Ък{'у) аналитически зависят от у и М<^ и начиная с некоторого номера bfc(y) = /3|(у),Ьо(0) = 0; Ак{'у) аналитически зависят от у и М<^ и начиная с некоторого номера Ак{у) = /3f_j,(y), причем ДДО) = avо ^ 0. Поделим (6)

оо

на Ak+lJ(y)zk. Заметим, что начиная с некоторого номера Ak+lJ(y) =

к=0

/Зк+и(у). Переобозначим г через х. После этого получим систему

ОО

x = xu+l, у = -у(иа + уВ0(у) + ^2вк(у)хк), (7)

fe=i

где va = \/avo, уВ$ = Ьо(у)/а,цо, Вк аналитически зависит от у и М<^+!У. Пользуясь следствием 1, заключаем, что начиная с некоторого номера

Вк(у) = ^+и(у)-

В уравнении (7) коэффициент у Во (у) может быть уничтожен с помо-у

щью замены г = уехр J Bi(^)d^, где В\ = ^((1 + уВ^/иа)^1 — 1). После

о

этой замены и деления на аналитическую по г и М<^ функцию, равную 1 в нуле, получим уравнение вида (7) с теми же свойствами коэффициентов, в котором отсутствует уВо(у). После переобозначения z = у запишем его в виде

x = xu+l, у =—y(isa + хА(х) + хуФ(х,у)), (8)

ОО

где А(х) аналитически зависит от ж и М*, жуФ(ж,у) = ^ уФ^(у)жй, Ф&(у)

к=1

аналитически зависит от у и М<^+!У и имеет вид /Зк+и(у) начиная с некоторого номера.

Легко показать (см. [10]), что в уравнении (8) можно в слагаемом хА(х) убить все члены до ж1'-1 с помощью полиномиальной по ж замены,

коэффициенты которой аналитически зависят от А/*. и деления на функцию, аналитически зависящую от ж и Л/*. Новая система будет иметь вид

ж = хи+1, у = ^у^а + хиЬ(х) + жуФ(ж, у)), (9)

где Ъ{х) аналитически зависит от ж и Л/*. Ф - такая же, как в уравнении (8).

Пусть г > 2. Покажем, что с помощью аналитической замены переменной в разложении жуФ можно убить все члены до жг-1. Замену переменной будем искать в виде

г

г = ср(ж, у) = ^2 <Рк{у)хк. (10)

к=О

Функцию (р следует подобрать так, чтобы выражение

оо

у(р'у(иа, + хиЬ(х) + ^2уФ}!(у)хк) — х и+1(р'х — (^а + хиЬ(х))1р (11) к=1

не содержало ж в степени, меньшей г. Подставляя (10) в (11) и приравнивая к нулю коэффициенты при степенях до г — 1, получаем уравнения

у(р'0-(р0 = 0, 1Уа(у(р'к-(рк)+у2Я>к = 0, к < г/, иа(у(р'к-(рк)+^1 = 0, к > г/,

где Ук(у) = 1р'0Фк + (р[Фк-1 + ... + ^_1фь

= У2Ък(у) + у(<р[Ьк-и-1 + • • • + <р'к-Л) -

~(рк-и(к -V)- (щЬк-^-! + . . . + Рк-цЬо),

ОО

коэффициенты разложения Ь(ж) = ^ Ъ{Х%. Отсюда

г=О

1 у

<Ро(у) = У> <Рк(у) =------У (при к < и),

1УО J

о

У

Ыу) = -—у

1/а J р

о

(при к > 1у). Из этих формул по индукции получаем, что при к > 1 <Рк(у) делится на у2, аналитически зависит от у и М<^+!У и Л/*. и при больших к

Ыу) = у2А+Чу)-

Замена переменных, приводящая уравнение (3) к виду (5), является суперпозицией четырех замен переменных. Первые три из них зависят лишь от А/*. Их суперпозиция имеет вид

оо сю

X = + иі'фоі'ш) + ^фі{и))С), у = и){1 + ^с1і'шг), (12)

і=1 і=1

где все фі аналитически зависят от ад и М*, сіі аналитически зависят от М*. Четвертая замена, обратная к (10), имеет вид

г

и! = Ф + '^2'пп(ч)£к + Сг+1о*(С,??)), (із)

к=і

где гк (к > 0) аналитически зависит от г] и М<^+!У и Л/* и при больших к гк(і]) = /Зк+1'(і]). Подставляя (13) в (12), получим, что результирующая замена имеет вид (4). □

1.3. Отображение соответствия

Рассмотрим систему (5):

х = хы+1, у =—у{иа + х1'Ь{х) + ухгО*{х,у)). (14)

Здесь С*(х, у) - аналитическая функция от (ж, у) при 0<ж<Єо,0<у<5о,

где Єа,6а,0* зависят от всех коэффициентов Тейлора системы (3).

В первом квадранте плоскости (ж,у) рассмотрим кривые Ь\ = {у =

8, 0 < ж < є}, = {х = є, 0 <у <8} с параметрами ж и у соответственно,

є < £0,8 < 5о- Через у = і,т{ж) обозначим отображение соответствия і,т : Ь\ І.-2 вдоль интегральных кривых уравнения (14).

Определение 5. 1) Пусть в — некоторое множество коэффициентов

струи системы (1). Будем, говорить, чт,о функция А(є,8,в) аналитически зависит, от, в при фиксированных є и, 8, если, для, любого компактного подмножества К множества значений в существуют Єо = £о(К) > 0, 5о = 8о(К) > 0 т,а,ки,е, ч,т,о А{є,8,в) аполитична на, К при любых фиксированных є є (0, єо), 8 є (0, <5о).

2) При X Є (11+,0) положим /о(х) = < 6 ж 7^ 0;

[ шеЬа, ж = 0.

Лемма 2. Отображение соответствия у = іт(ж) имеет вид і,т,{ж) = /о о і(х), где

і(ж) = — | 1 + Рк{I11 ~)хк + хТС*{х) I , (15)

а \ к=у Є )

Pfe(lnf) - полиномы от 1п|; коэффициенты которых аналитически зависят от М.і при фиксированных є и 8, причем при любых фиксированных є и М.і коэффициенты полиномов Рк являются полиномами от In 8.

Доказательство. После замены переменных х ж/є, у ^ у/8 в (14) получим уравнение того же вида, где через va,b{ж) обозначены va/ev, Ь{хє), а G* зависит от є и 8.

В [10] (для случая, когда b — полином; случай, когда b является аналитической функцией, рассматривается аналогично) доказано, что уравнение вида (14) имеет при 0<ж<1,0<у<1и любом г первый интеграл вида Г(ж,у) = у,у(х)(1 + xrG*(x,y)), где 7 — решение уравнения xu+lj' = (1/а + ж1УЬ(ж))7, то есть

X

7(ж) =xboe-^+v(x\ где <р{х) = J Ъ® ~ b°d4, (16)

о

G* | х= 0, Ьо = Ь(0). Возвращаясь в выражении Г(ж, у) к исходным переменным, получим первый интеграл уравнения (14) в виде

F(x, у) = у (§)Ьо е-^«(1 + жгС*(ж, у)),

где G* | _ = 0, а, Ь, Ьо _ из исходного уравнения, ср определяется формулой (16).

Отображение соответствия у = tm(x) находится из уравнения F(e,y) = F(x,8) или ye^e^+v(£) = 8(^)Ьое^^г+(р(хЦі + xrG*(x)). Отсюда получаем утверждение леммы. □

Замечание 1. Несмотря на то, что область определения отображения tm зависит от всех тейлоровских коэффициентов системы (1), лемма 2, в частности, утверждает, что коэффициенты полиномов Pk{In |) имеют более широкую область определения по ж, є, 8, размеры которой зависят лишь от конечного числа коэффициентов струи А/*. функция G* в (15) зависит от є, 8 и всех тейлоровских коэффициентов системы (1).

2. Расширенные отображения соответствия

2.1. Процесс раздутия, связанный с диаграммой Ньютона

В статье [9] описан процесс раздутия особенности, связанный с диаграммой Ньютона. Опишем его здесь для случая двух ребер с небольшими изменениями. Пусть к вершине с диаграммы Ньютона примыкают два ребра £ и £ с показателями а и а, где ос > а, а = т/п, а = т/п несократимые

дроби. В положительном квадранте х>0, у>0 рассмотрим замену переменной

х = гп, у = гт,ш. (17)

Пусть ей 6 — малые положительные числа, <1 = пт — тп > 0, а > 5а, О < т < Образом прямоугольника

Р{ = |(г; ад) : < ад < сг, 0 < г < єі|

при отображении (17) является некоторый криволинейный сектор с вершиной в начале координат, который мы сопоставим ребру £. Аналогично, образом прямоугольника

= {(5, ад) : 0 < ад < 0 < г < <5].|

при замене х = гп, у = гтй, подобной (17), и соответствующем ребру £, является криволинейный сектор который мы сопоставим ребру £. В малой окрестности нуля между этими двумя секторами имеется "зазор"в виде криволинейного сектора <5С, который мы сопоставим вершине с. Замена переменной

ж = у = итуГП (18)

отображает прямоугольник Рс = {0 < и < е”,0 < V < 5”} в сектор <5С. показателем, положим г = 0. Граница сектора содержит отрезок оси х. При любом а > 0 между сектором вц и осью у имеется "зазор"в виде криволинейного сектора 5°, одна из границ которого совпадает с осью у. Замена переменных

х = адг”, у = гт (19)

отображает прямоугольник Р° = |о < ад < ст “1,0 < г < стх | в сектор 5°. Функции перехода, которые связывают системы координат, рассматриваемые во введенных прямоугольниках, таковы:

— — ~ ^ ~ —4- — —- — — /оп\

г = иуп, ад = у п , г = и пу, ад = и «, ад = ад <*, г = гад™ . (21))

Таким образом, окрестность нуля в первом квадранте разбивается на криволинейные секторы, соответствующие ребрам и вершинам диаграммы Ньютона. Каждый сектор с помощью степенной замены переменных превращается в прямоугольник. Границы прямоугольников склеиваются с помощью

функций перехода. Чтобы исследовать векторное поле в другом квадранте, его отображают в первый квадрант и проделывают такую же процедуру. Точнее, в первом квадранте кроме векторного поля V рассматриваются отраженные векторные поля Vх, Vy, Vxy, которые получаются соответственно из векторного поля V с помощью отражений относительно осей х, у и последовательно х, затем у.

2.2. Отображение соответствия в прямоугольнике, соответствующем ребру

v £

Пусть векторное поле V класса Т>2' (Г) задает систему уравнений

х = Х(х,у), y = Y(x,y), (21)

и пусть ребро £ диаграммы Ньютона Г, имеющее показатель а = лежит на прямой ni + mj = ко. Тогда

ОО ОО

уХ(х,у) = ^2хк(х,у), xY(x, у) = ^ УЦж,у),

к=0 fc=0

где Хк и Yk — квазиоднородные полиномы степени ко + к с весами пит переменных х и у соответственно, Хк(х,0) = Yk(0,y) = 0. Положим Fk = Yk — аХк. Замена переменных (17) с последующим делением на некоторую степень г приводит систему (21) к системе

* = ^№>(l,w) + xi(l ,w)z + ... + Хк(1 ,w)zk + ...),

(22)

w = Fq(1, w) + Fi(l, w)z + ... + Fk(l, w)zk + ... .

Особые точки на стороне z = 0 прямоугольника / ’ ищутся из уравне-

v £

ния ^о(1,го) = 0. Из определения класса D2’ (Г) следует, что в прямоугольнике Pi нет особых точек. То же касается и прямоугольников /’. / >0.

Обозначим через пк множество коэффициентов струи функций уХ{' и xYсистемы (21), которые соответствуют точкам (i,j) целочисленной решетки, таким, что ni + mj = ко + к, и лежащим не ниже диаграммы Ньютона (другими словами, ттк — это множество коэффициентов многочленов Xk,Yk). Положим 7те<к = Uj<knp пе<к = пе<к Uirk. обозначать любую функцию от тг^<к в каждом случае свою. Положим п<к = |J iTj, ir<k = ir<k U irk.

j<k

Через r<k будем обозначать любую функцию от ж<к, в каждом случае свою.

2.3. Расширенные отображения соответствия

В прямоугольнике /’ рассмотрим кривую = {ад = а, 0 < г < },

а в прямоугольнике / ’ — кривую Гт = {ад = г, 0 < 5 < £1} . Пусть на отрезках {8г,(т} оси ад и [г, е-г] оси ад нет особых точек векторных полей, определенных в этих прямоугольниках при всех достаточно малых е и 6. Через Р обозначим отображение соответствия Р : Та ^ Тт вдоль интегральных кривых векторных полей, полученных после раздутий и определенных в прямоугольниках /’. Рс, /’. Аналогичные отображения в случае отраженных векторных полей обозначим той же буквой с соответствующим индексом вверху.

V £

Условия принадлежности классу Т>2' (Г) выделяют полуалгебраиче-ское множество в каждом пространстве струй. Под аналитической зависимостью некоторой функции от тех или иных коэффициентов струи будем понимать ее аналитичность на этом множестве.

Лемма 3. Для, любого достаточно большого натурального г отображение .Р(р) для, любого из векторных полей V'. У!1. Vх-'1.1'г имеет вид Р(р) = ф о /о °Нр), где

г] = Цр) = Бор» ^1 + £г>*(1п р)рк + ргО* (р)^ , (23)

Н^1{г1) = О0г)» ^1 + X Ок(Ыг))г)» + фС*(г])^ , (24)

ф(£) = соС(1 + о?(1)). Здесь -Оо,С?о — положительные аналитические функции от конечного числа коэффициентов струи, со > 0 аналитически зависит, от, конечного числа, коэффициентов струи при фиксированном, е, Ок(Ыр), Ок(Ыр) — полиномы от 1пр, степень которых определяется числом к и коэффициенты которых аналитически зависят, от, конечного числа, коэффициентов струи при фиксированном, е, причем при достаточно больших к их свободные члены имеют вид -0^(0) = щ + г<к, 0) = Щ + г<к-, где т)к,т)к — линейные функции от жк при фиксированных ж<к т,а,ки,е, что при Хк = ж^-РЬ, У*; = аХк, где 1,3 - любые нечетные числа, удовлетворяющие условию п% + т,] = к, выполняется неравенство щ < 0 в случае векторных полей V, Уху и неравенство щ < 0 в случае векторных полей УУ,УХ при любых фиксированных ж<к.

Доказательство. Системе (22) соответствует уравнение

(25)

Предложение 2. Для любого 0 < к < и Фк{и)) = и) акфк^), где Фк(и))

0{тек) при го —> 0, е*; > 0 при к < и, > 0.

Доказательство. Везде ниже в доказательстве леммы 3 будем использовать обозначения Хк = Хк(1 ,гш),Рк = Рк(1,гш). Из (22) и (25) следует, что

при I,] < к, в каждом мономе которого Xj содержится ровно один раз, причем только в первой степени, и к тому же выполняется равенство

Степенной замене переменных (17) соответствует матрица показате-

преобразование с матрицей (■[ [12; 13]. При этом ребро £ переходит в вертикальный отрезок, а ребро £ — в отрезок прямой с угловым коэффициентом — д. Заметим, что расстояния между проекциями на ось абсцисс целочисленных точек, лежащих на этом отрезке, равны д. Поскольку векторный коэффициент образа вершины с при отображении ('[ равен

С^1(а, Ь) = (а/п,Ь — аа) и из определения класса V^ следует неравенство Ь ф аа, то кратность нулевого корня многочлена ^о(1,го) равна в точности 5 — ординате образа вершины с, кратность нулевого корня многочлена Хо(1,ги) не меньше з, а кратность нулевого корня многочленов Х>1{1,'ш), при 1 < 'I < V не меньше, чем 5 — 2*.

оо

к

к=О

1

Отсюда Фо = & Фк равно сумме с рациональными коэффициентами

р1. -р. .

произведений вида где Ч > 0,^ > 0, *1 + ... + is + j = к.

К числу таких произведений относятся, например, Хр2к • Приводя

все эти произведения к общему знаменателю Р$+1, получим, что при к > 1

Фк = Фк^к+1^) гДе ^к{Р-, X) — однородный многочлен степени к + 1 от Xj

Г п

О

Фк(Х,Х)=0.

(26)

носитель претерпевает линейное

Положим

Р0 = ад5Р0, хг = гю3-¥хи Рг = гю3-¥рг (27)

при 1 < % < V. Каждая из функций Х{, имеет вид произведения некоторой неотрицательной степени ад на многочлен, Ро — многочлен, -Ро(О) = Ь — ааф 0. Если % не делится на й, то

Щ0) = Хг(Щ = 0- (28)

Пусть теперь 0 < 1, = Л < V = с1кс и (е,/) — векторный коэффициент 1-т целочисленной точки, лежащей на ребре I, считая от вершины с. Тогда векторный коэффициент образа этой точки при отображении ('/ равен

(е/п,/ — ае) = (^Хг(О), ^(0)). Из определения класса Vследует равенство | = а. Отсюда получаем, что (е/п, / — ае) = (|,е(а — а)) = |(1, |), то есть выполняется равенство

Щ 0) = -4^(0). (29)

пп

В силу (28) это равенство выполняется для всех 0 < 'I < V. Из (27) получаем, что = ад-"^#*;, где Отсюда получаем утверждение

предложения 2 в случае к = V. В силу (29), (26) при к < и

Ф>(^г-У(0)Д(0)) .( Л\кФь(Хф),Х(0)) „

^+1(°) \пй) ^+1(°) ’

Отсюда получаем утверждение предложения 2 при к < и. Предложение 2 доказано. □

Продолжим доказательство леммы 3. В результате замены (18) носитель векторного поля получается из носителя векторного поля V с помо-

(ТЬ 7Ъ \

_ I , и потому ограни-m m J

чен сверху прямой с угловым коэффициентом m/m, а снизу — прямой с угловым коэффициентом п/п, то есть расположен внутри угла. При отображении (7* ребро £ переходит в вертикальный отрезок, а ребро i — в горизонтальный. Пусть (е, /) — векторный коэффициент целочисленной ТОЧКИ, лежащей на ребре I. Тогда векторный коэффициент ее образа равен /-,-1 ( е\ 1 ( —n(f — ae) \ „ ,г

С, „ = 3 Л ч • В силу условия акс = v система, получае-

V / / V п(/ - ае) )

мая после замены (18), имеет вид

й = u( — ^(F — аЕ)ии{ 1 + д(и)) + v(...)),

v = w(|(b - аа) + f(u) +v(...)),

где (а, Ь) — векторный коэффициент вершины с, (Е, Р) — векторный коэффициент целочисленной точки с номером кс, лежащей на ребре £, / и д — полиномы, /(0) = <7(0) = 0. Поэтому Р — аЕ ф 0, Ъ — аа ф 0. Отсюда следует, что кратность особой точки (и, у) = (0,0) равна с1кс = г/, а центральное многообразие расположено на оси и. В п. 1.1 было определено множество тейлоровских коэффициентов Мк системы с носителем, расположенным внутри угла. Применим это определение к системе (30). Заметим, что ттк и Мк связаны между собой линейным преобразованием, поэтому любая линейная функция ОТ Мк является линейной функцией ОТ 7Гк. Через 7Г* обозначим 7г<ад, где *о участвует в определении М*. Через Рк+и(у) будем обозначать любую линейную функцию от ттк и ... и тхк+1,, коэффициенты которой при переменных ИЗ 7Г^ и ... и ТГк+р зависят ОТ у И 7Г* и ограничены В точке у = 0 при любом фиксированном 7Г*.

Пусть (и, у) — координаты в прямоугольнике Рс, (£,т]) — нормализующие координаты, определяемые формулой (4). Обозначим через Гх и Г2 образы кривых Ь\ = {г] = 5”}, !.-> = = е”} при нормализующем отоб-

ражении (4). Заметим, что Гх и Г2 зависят от г. Исследуем суперпозицию двух отображений / : Г^ ^ Гх и : Гх —> Г2. Отображение исследовано в п. 1.3.Исследуем отображение /. На Гх рассмотрим параметр Из

леммы 1 следует, что кривая Гх имеет параметрическую запись

и = иЦ) = С(1 + о*(1) + X 82пгк(8)е + Сг+1С*(0),

к=1 (3]^

«= «(о = 5п(1+</(1) + х 8пьтк + сг+1с*(0),

к=1

коэффициенты в которой при степенях £ аналитически зависят от конечного числа коэффициентов струи при фиксированном 6, гк(6),гк(6) имеют вид Рк+и(5) при достаточно больших к. Тогда в координатах (г, ад) в прямоугольнике /’ кривая Гх имеет, согласно (20), следующее параметрическое представление:

* = z(0 = 8Н( 1 + о*(1) + Е 5пгк(5)е + Г+1С*(0),

к=1 (32)

ад = ад(С) = ^(1 + о*( 1) + Е $пЬШк + Г+1С*(0),

к=1

где гк,гк такие же, как в предыдущей формуле.

Координату г на трансверсали Г^ обозначим р. Обозначим через 9?(ад, р) решение уравнения (25), удовлетворяющее начальному условию р) = Р-

Предложение 3. Решение <у?(ад, р) при малых р задается сходящимся рядом

Ч>{™,Р) = р'^2ІСк{пі)рк,і (33)

к=О

где все производные Ск\у}), і > 0, к > 0, аналитически зависят от

ад, сг, 7г<£ при 0 < ад < а, причем если ад(£) задается формулой (32), то

величины 5-”^і£=оСк{'ш{0) ограничены при ё 0 для і > 0,0 < к < и, величина 8^пСц(и)(0)) растет не быстрее 1п<5 при 8 ^ 0.

Доказательство. Через Р{} будем обозначать любой многочлен с рациональными коэффициентами от величин, указанных в фигурных скобках. Решение 9?(ад, р) ищем в виде

ОО ОО

* = <р{и,р) = Р^Съ{и))рк = Со(ад)р(1 + ^Ск{ш)рк), (34)

к=0 к=1

где Со И = 1 ,Ск(а) = о при к > 1,Ск = С0Ск. Подставляя (34) в (25),

получим

оо ^ оо оо

X с'кНРк = — X Ф*АУ(і + X с3{ы){Р)к.

А—* пи) ££—*

к=0 к=0 з=1

Отсюда

и)

С'о(ад) = ехр [ С'к = Ск + ^1ск+1 + С0Я<к('ш),

] щ пад пад

где

Тогда

к—1 -г / \

Д<к(^) = = І < (35)

г=1

4(ад) = I {Щ^Ск + Д<*М)<Ь. (36)

(Т

Исследуем асимптотику Со(ад) при ад 0. Поскольку векторный коэффициент образа вершины с равен (а/п,Ь-аа) = |(1, |), то Ф°^ = ^ + Ф(ад), где Ф(ад) аналитична при ад = 0. Отсюда

Со (ад) = Си)л д(ио), (37)

где д аналитична при w = 0, д(0) > О, С = а л > 0.

Из (37), (35) и предложения 2 следует, что подынтегральная функция В (36) имеет интегрируемую особенность В нуле, следовательно, Ck{w) ограничена в точке w = 0. Отсюда и из (37) следует, что при к < v Ck(w) = 0{wd) при w ^ 0. Исследуем производные Ck(w) при к < V. Поскольку C'Q(w) = 0{wt^1), C'k(w) = + R<k(w) = 0(w€k_1), где

efe > 0, to C'k(w) = 0(wd _1). Аналогично для любого i, учитывая формулы (35), (36), получаем, что

Cf}(w) = О(адН). (38)

Далее 6-hCk(w(0)) = 6-йСк(8г( 1 + os( 1))) = 8-йО(8й) = 0(1) при 5^0. Пусть s > 1. Заметим, что ^\t=oCk(w(£)) = E«iCP(5d(l +

г=1

osm п ад(г)(о); причем в последнем произведении количество сомножи-

1<S

телей равно i, щ— рациональные числа. Из (38 ) получаем, что ^^(^(l +

os(l))) = 0(8n^dt), произведение w^(0) в силу (32) есть 0(8^+п^). От-

l<s

сюда S-A^=0Ck(w(O) = 0(8т).

Пусть к = v = kcd. Из предложения 2 Ф1/(го) = 0(w^fikc). Отсюда и из

Ф Cv 1 ~

(37) v 0 = О(-) при w 0. Отсюда и из (36) следует, что Cv(w) растет не

быстрее In го при w ^ 0. Отсюда 6~nCv{w) = 5_”Co(5d(l + o^(l)))(7iy(5d(l + </(1))) растет не быстрее In<5 при 8 ^ 0. Предложение 3 доказано. □

Предложение 4. Отображение соответствия f(p) имеет разложение вида

f(p) = POP + 'Tj>kpk + /+1G*(p)j , (39)

где рк аналитически зависит от, ж<к+ц U 7Г* при фиксированном, 8, причем начиная с некоторого ном,ера

8d(l+os(l))

pk = {l + os{l)) [ ^^Ck(w)dw + S°*$kk+V(8) + г<ь (40) J nw

где $k > 0 и интеграл имеет конечный предел, при 8 ^ 0.

Доказательство. Отображение соответствия £ = f(p) является решением уравнения <р(у}(£),р) = г(£), где ,г(£) и ад(£) определяются формулами (32). Перепишем это уравнение в виде

к=і ОО

тоЧ^) +^6ПгкШк+с'+1очо) = +е+1°ч(,р)), (41)

к=О

Сі(у}(£))). Обозначим ро = Ро-,Рк =

(42)

д~й йк

Є=о

где Д(р) = ^!ыр\ !кг -

г=О

РоРк^к > 1, и подставим (39) в (41). Получим

р0 = (1 + ог(1))ГйС0(^(1 + ог(1))) а также при 1 < к < V

рк( 1 + о6( 1)) + Т{ро}8пгк(8) + Г{р0,рі}6пгк^і(д) + . +Про,Рі • • • ,Рк-і}бпп(8) = 8~*Ск{8«{1 + о*(1)))+

(43)

+Г{8-ї%

Сі{п]{І)),рі : і < к, 0 < і < к},

Є=о

при к > V

рк(1 + </(1))

Р{ро}8пгк(8) + Р{ро,рі}8пгк^і(8)

+{'Р{Ра}Ри + Г{ро,р1 ■ ■ ■ ,ри-і})8пгк_и(8)

^ - (Р

+ ^Рк-1П8пгъ • • • , 8пг1,8-п—СгШ)

Ш. (1<!

і < »,3 < = 8-йСъ(6с1( 1 + </(!))) +

,Ро,Рі■■■ ,ри-1 :

(44)

Є=о

+Т{8-г31р318--^Сг{и,Ц))

: і < к^ < к — г/,0 < I < к.}.

Є=о

Из формул (42), (37), (43), леммы 1 и предложения 3 по индукции получаем, что ро,рг, ■ ■ ■ ,рц-1 ограничены при 8 ^ 0, арр при 8 0 растет не

быстрее 1п<5. Отсюда при больших к ('Р{ро}рц + 'Р{ро,р1, ■ ■ ■ ,ри-1})8пгк_и = 8®кРк_и{8) для некоторого §к > 0, а следовательно, и все выражение в квадратных скобках в (44) имеет вид 8®к Рк+и(5) • Отсюда, из (44) и (37) получаем, что при достаточно больших к рк зависит от ж^к+1/, а также формулу (40). Ограниченность интеграла при 8 0 для больших к следует из асимп-

тотики С${'ш) = 0(ад^-1) при ад ^ 0. Предложение 4 доказано. □

Продолжим доказательство леммы 3. Исследуем суперпозицию tmof. Подставим (39) в (15). Обозначим

<Г(1+с/(1))

1к(8) = (1 + 0«(1)) [ М^с1Ис1п;.

3 пи)

а

Тогда

Г

X = Яр) = Р0Р(1 + + ^фкк+46) + г<к)рк + рг+1с*(р)),

П = 1

Г

1п ^ = Ыр0 - 1п£ + Ыр + У^(1к(6) + 8‘&к$к+и(8) + Г<к)рк + ргО*{р)),

к=1

X

Рк{ 1п —) = Рк(1пр0 — 1пе + 1п р)+

£

Г

+ Х(Р](1пр0 — 1п£ + \пр)1^(8) + (Г^У^Ыр) + г^(1пр))р> + рТС*(р)),

5=1

где при больших j rj(\np) - многочлен от 1п р, коэффициенты которого имеют вид Р3-+1/(8) при фиксированном е, г^^пр) (здесь и везде ниже) -многочлен от 1п р, коэффициенты которого зависят от 7г<^ , а также £ и 8. Здесь учитывается, что коэффициенты многочленов Рк являются полиномами от 1п<5. Далее

г

Хк = ркрк( 1 + ^{Ыз{8) + <^'г,(1пр) + г<:){Ыр))р> + рт+1С*(р)),

3=1

где rj и г<1?- - такие же, как в предыдущем разложении,

г г

^2Рк(Ы^)хк = ^2(Як(Ыр) + г<к(Ыр))рк + ртО*{р)),

к=и к=и

где при больших к С,}к(1п-р) является полиномом от 1пр, коэффициенты которого имеют вид 8®к/Зк(8) при фиксированном £,§к > 0. Окончательно получаем, что 1т о / = /0 о И, где

Г

Н = г о / = \р-р-{1 + ^>4(5) + дк{Ыр) + г<к(Ыр))рк + рго*(р)), где

к=1

коэффициенты многочлена (^к(1пр) при больших к имеют вид 8^кРк+и(8) при фиксированном е, 19к > 0.

Замечая, что коэффициенты Н не зависят от 6, учитывая, что подин-тегральные выражения в 1к при больших к ограничены в нуле, и переходя к пределу при 6 0 получаем, что Ь{р) задается формулой (23), в которой

о

£>к(0) = V [ ®к^ + г<й,Д0 = £>о(7г») > 0. (45)

У пи)

(Т

Возводя (23) в степень 1 /г/, получим

С = р(1 + Х^РЫЬр) + г<к(Ыр))рк + ргО*(р)), (46)

к=1 У

где С = Обратное к (46) имеет вид

Р = С(1 + Е(^ АДьс) + г<к(ЫрЖк + со*(0)- (47)

к=1

Отсюда получаем, что отображение (£т о /)-1 имеет вид Л-1 о где к^1{г}) задается формулой (24), в которой

(Т

Скф) = дк(к*) [ + г<к,О0 = Со(ть) > 0,дк(п*) > 0- (48)

У пи) о

Наконец, .Р = фо1то$, где ф — отображение соответствия ф : Г2 —> Гт. Оно исследуется аналогично отображению / и имеет разложение вида (39), коэффициенты которого зависят от е. Коэффициент при главном члене этого разложения аналитически зависит от конечного числа коэффициентов струи при фиксированном е.

Если в формуле (45) и в формуле (48), взятой в случае векторного поля Уу, положить Хк = ж*?/-7.?}), = аХк, то получим Ф^ад) = ад-7, #!(■«;) =

(^1)гад-7. При подстановке таких Xк, Ук в -0^(0) и 0к(0) получим отрицательные значения при нечетном %. Аналогично рассматривается случай векторных полей уху,ух. Лемма 3 доказана. □

2.4. Преобразование монодромии

Пусть С - функция от тг<£. Обозначим через дга<1кС вектор из частных производных функции С ПО переменным ИЗ 7Гк.

Лемма 4. При подходящем выборе трансверсали и, возможно, после обра,-

деленное на оси у, имеет,, быть может, после обращения, времени при, любом г > 1 разложение вида,

где Щ = Щ(к*) > 0 аналитически зависит, от, 7г*; -%(1пр) - многочлен от 1п р, коэффициенты которого аналитически зависят, от, конечного числа, коэффициентов струи, причем начиная с некоторого ном,ера, коэффициенты многочлена .%(111р) зависят, от, 7г<£; и л,ибо при всех четных, либо при всех нечетных к выполняется неравенство дга,с],кЯк{0) ф 0.

Доказательство. В определении расширенных отображений соответствия /,7/. //г. /лг// положим г = 0. Тогда преобразование монодромии А разбивается в композицию отображений соответствия следующим образом:

где д, ду, дху, дх — отображения соответствия в прямоугольнике, соответствующем верхней вершине. Образом трансверсали в координатах 2, ад является трансверсаль ад = а^а = а. Отображение соответствия д : {ад = 0} —> {-г!) = гт} имеет разложение вида

В случае отраженных векторных полей получаются аналогичные формулы, только в случае векторных полей Vх, интегралы берутся в противоположном направлении. Все интегралы являются сходящимися, так как У^(г!, 1) делятся на V, а .Ро(0,1) ф 0. Величина дк является линейной функцией от коэффициентов и при подстановке Хк = жУ-Ро, У*; = сеХ^,

где i и j — нечетные числа, имеет отрицательное значение во всех четырех случаях.

щения времени преобразование монодромии А ростка класса Т>2^(Г), опре-

Г

А (р) = і?0(я-*)р(1 + ^2Щ^р)рк + РтС*{р))

(49)

к=і

А = [дх О {{Рх)-^хУ}одхУ] о [дУ о {(і^)^} од] , (50)

(51)

где

(52)

Согласно лемме 3 (F^)-1 о F = hyl о (f^1 о ф^1 о ф о /0) о h, где фу и hy аналогичны ф и h и определены для векторного поля Vy.

Согласно [14] суперпозиция в круглых скобках имеет степенной асимптотический ряд с тождественным главным членом, коэффициенты которого являются полиномами от логарифма коэффициента при главном члене отображения фу1ф. Отсюда и из формул (23) и (24), взятых для векторного поля Vy, получаем,что (Fy)-1 о F имеет вид (23), где v = 1, a Dk{0) является суммой Dfe(O) из формулы (23) и Gfc(0) из формулы (24) (в случае Vv),

ВЗЯТЫХ С ПОЛОЖИТеЛЬНЫМИ Коэффициентами, ЗаВИСЯЩИМИ ОТ 7Г*.

При добавлении к суперпозициям в фигурных скобках в (50) справа и слева отображений типа д вид разложений и свойства их коэффициентов сохраняются. Очевидно, что при взятии суперпозиции двух отображений, стоящих в квадратных скобках в (50), получается разложение того же вида с теми же свойствами коэффициентов. Поскольку нечетные i и j такие, что ni + mj = к существуют только при четных к, если оба тип нечетны, и при нечетных к, если одно из т и п четно, то получаем, что при таких к градиент к-го коэффициента по переменным тг^ отличен от нуля.

Заметим, что коэффициенты суперпозиции отображений вида (23), (24), содержащих полиномы от логарифмов, являются полиномами от коэффициентов исходных отображений, логарифма старшего коэффициента первого отображения в суперпозиции и его положительных степеней.

Отсюда, учитывая, что коэффициенты асимптотического разложения А не зависят от е и S, получаем их аналитическую зависимость от коэффициентов струи. Лемма 4 доказана. □

Завершим доказательство теоремы 1.

Доказательство. Расположим слагаемые в разложении А(р) — р в асимптотическом порядке, то есть степени логарифма при одной и той же степени р расположим в порядке убывания. Множество нейтральных iV-струй задается системой уравнений, которая получается последовательным приравниванием первых к коэффициентов этого разложения к нулю, где к зависит от N и стремится к бесконечности при iV —> оо. В силу леммы 4 ранг матрицы Якоби этой системы, а значит, и коразмерность множества нейтральных струй оценивается снизу величиной, приблизительно равной к/2. Аналитическая разрешимость в классе Т>2^(Г) доказана. □

Список литературы

1. Арнольд В.И. О локальных задачах анализа // Вестн. Моск. ун-та. Сер. математика, механика. 1970. № 2. С. 52-56.

2. Арнольд В.И. Алгебраическая неразрешимость проблемы устойчивости по Ляпунову и проблемы топологической классификации особых точек аналитической системы дифференциальных уравнений // Функц. анализ и его приложения. 1970. Т. 4, вып. 3. С. 1-9.

3. Il'yashenko Yu.S. Finiteness Theorems for Limit Cycles. Translations of Mathematical Monographs. AMS. 1991. V. 94.

4. Dumortier F. Singularities of vectorfields on the plane // Journ. Diff. Equa. 1977. Vol. 23. P. 53-106.

5. Ильяшенко Ю.С. Алгебраическая неразрешимость и почти алгебраическая

разрешимость проблемы центр-фокус // Функц. анализ и его приложения. 1972. Т. 6, 3. С. 30-37.

6. Арнольд В. И., Ильяшенко Ю. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения, I// Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Итоги науки и техники. М., 1985. Т. 1. С. 7-149.

7. Ильяшенко Ю.С. Алгебраически и аналитически разрешимые локальные задачи теории обыкновенных дифференциальных уравнений // Тр. семинара, им. И.П. Петровского. 1987. Вып. 12. С. 118-136.

8. Ильяшенко Ю.С. Аналитическая неразрешимость проблемы устойчивости и проблемы топологической классификации особых точек аналитических систем дифференциальных уравнений // Мат. сб. 1976. Т. 99, вып. 2. С. 162-175.

9. Медведева Н.Б. Критерий монодромности особой точки векторного поля на плоскости II Алгебра и анализ. 2001. Т. 13, №2. С. 130-150.

10. Дюлак А. О предельных циклах. М., 1980.

11. Медведева Н.Б. Аналитическая разрешимость проблемы различения центра и фокуса в некоторых классах векторных полей со сложной монодромной особой точкой // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2002. Т. 8, JY* 2. С. 120-141.

12. Березовская Ф.С., Медведева Н.Б. Асимптотика преобразования монодромии

особой точки с фиксированной диаграммой Ньютона // Тр. семинара им. И.Г. Петровского. 1991. Вып. 15. С. 156-177.

13. Брюно А. Д. Степенная геометрия в алгебраических и дифференциальных уравнениях. М., 1998.

14. Ильяшенко Ю.С. МемуарДюлака "О предельных циклах” и смежные вопросы локальной теории дифференциальных уравнений // Успехи мат. наук. 1985. Т. 40, вып. 6(246). С. 41-78.

Челябинский государственный университет [email protected]