Научная статья на тему 'Граница устойчивости в одном простом классе монодромных ростков'

Граница устойчивости в одном простом классе монодромных ростков Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
62
36
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
МОНОДРОМНАЯ ОСОБАЯ ТОЧКА / ФОКУС / ЦЕНТР / ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МОНОДРОМИИ / ДИАГРАММА НЬЮТОНА / ГРАНИЦА УСТОЙЧИВОСТИ / АНАЛИТИЧЕСКАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ / MONODROMIC SINGULAR POINT / FOCUS / CENTER / MONODROMY TRANSFORMATION / NEWTON DIAGRAM / STABILITY BOUNDARY / ANALYTIC SOLVABILITY

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Медведева Наталия Борисовна, Викторова Валерия Андреевна

Построено двухпараметрическое семейство векторных полей с монодромной особой точкой и с диаграммой Ньютона, состоящей из одного ребра. Для данного семейства выполняются условия "невырожденности", позволяющие отнести его к классу с простой монодромной особой точкой. Построена асимптотика границы устойчивости в данном семействе, которая содержит члены с логарифмом, откуда следует аналитическая неразрешимость проблемы устойчивости в замыкании данного класса векторных полей с простой монодромной особой точкой.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

The boundary of stabilityin a simple class of monodromic germs

A two-parameter family of vector fields is constructed with a monodromic singular point and with a Newton diagram consisting of one edge. For this family, the conditions of "nondegeneracy" are satisfied, allowing it to be assigned to a class with a simple monodromic singular point. The asymptotics of the stability boundary in this family is constructed, which contains terms with a logarithm, which implies the analytical unsolvability of the stability problem in the closure of this class of vector fields with a simple monodromic singular point.

Текст научной работы на тему «Граница устойчивости в одном простом классе монодромных ростков»

Челябинский физико-математический журнал. 2019. Т. 4, вып. 3. С. 276-284.

УДК 517.9 БОТ: 10.24411/2500-0101-2019-14303

ГРАНИЦА УСТОЙЧИВОСТИ В ОДНОМ ПРОСТОМ КЛАССЕ МОНОДРОМНЫХ РОСТКОВ

Н. Б. Медведева", В. А. Викторова6

Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия "[email protected], [email protected]

Построено двухпараметрическое семейство векторных полей с монодромной особой точкой и с диаграммой Ньютона, состоящей из одного ребра. Для данного семейства выполняются условия «невырожденности», позволяющие отнести его к классу с простой монодромной особой точкой. Построена асимптотика границы устойчивости в данном семействе, которая содержит члены с логарифмом, откуда следует аналитическая неразрешимость проблемы устойчивости в замыкании данного класса векторных полей с простой монодромной особой точкой.

Ключевые слова: монодромная особая точка, фокус, центр, преобразование монодромии, диаграмма Ньютона, граница устойчивости, аналитическая разрешимость.

Введение

1. Монодромные особые точки. Известно [1], что вещественно-изолированная особая точка аналитического векторного поля на плоскости либо имеет характеристическую траекторию (входящую в особую точку с определённой касательной), либо монодромна, т. е. каждая траектория в окрестности этой особой точки топологически является либо спиралью, либо окружностью. Для монодромной особой точки определено преобразование монодромии, переводящее некоторую гладкую кривую с началом в особой точке (полутрансверсаль) в себя вдоль траекторий векторного поля. Образ и прообраз при этом отображении лежат на одном отрезке траектории, делающем один оборот вокруг особой точки. Строгое определение монодромной особой точки и преобразования монодромии дано в [1].

Из теоремы о конечности числа предельных циклов [2] следует, что монодромная особая точка аналитического векторного поля на плоскости является либо центром, либо фокусом.

Будем различать «простые» монодромные особые точки и «сложные». Упрощённо говоря, простые монодромные особые точки имеют диаграмму Ньютона, состоящую из одного ребра, а сложные — из многих рёбер.

2. Диаграмма Ньютона. Рассмотрим аналитическое векторное поле V в окрестности изолированной особой точки ноль на вещественной плоскости. Оно определяет динамическую систему

х = X (x,y), у = у (x,y), (1)

где X(0, 0) = 0, У (0, 0) = 0.

Работа выполнена при частичной поддержке РФФИ (грант № 17-01-00739а).

Рассмотрим разложения Тейлора

yX{x,y)= aijxlV3,

i>0,j>l i+j> 2

xY(x,y)= bijxiy

i>l,j>0 i+j> 2

Определения. 1. Векторным коэффициентом точки (г,]) называется вектор (а^, Ъ^). Носителем системы (1), а также векторного поля V называется множество таких пар (г,]), что (а^,Ъ^) = (0,0).

Ку)

2. Рассмотрим множество U(i,j){(i,j) + R+}, где R+ - положительный квадрант, объединение берётся по всем точкам (i,j), принадлежащим носителю. Граница выпуклой оболочки этого множества состоит из двух открытых лучей и ломаной, которая может состоять и из одной точки. Эта ломаная называется диаграммой Ньютона векторного поля V (рисунок). Звенья ломаной называются рёбрами диаграммы Ньютона, а их концы — её вершинами.

3. Показателем ребра диаграммы Ньютона называется положительное

рациональное число, равное тангенсу угла между ребром и осью ординат.

4. Рассмотрим ребро t диаграммы Ньютона системы (1) с показателем а где m/n — несократимая дробь. Члены разложения (2) сгруппируем таким образом,

m/n,

что

где

ух(x,y) = ^2 Xk(x,y), xY(x,y) = Yk(x,y^

k=0

k=0

Xk (x,y)

a ij x i yj ,

Yk (x,y)

^ bi3xiyj

ni+mj=k+ko

Е

т+т]=к+к о

есть квазиоднородные полиномы степени к + к0 с весами п и т переменных х и у соответственно, к0 > 0. Обозначим Ек(х,у) = пУк(х,у) — тХк(х,у), к > 0.

5. Для любого ненулевого квазиоднородного полинома К(х, у) с весами п и т переменных х и у справедливо разложение

К(х, у) = Ах51 у32 П(уга — Ъгхт)к,

где Ъг — различные ненулевые комплексные числа, кг > 0, ^ > 0,^1 > 0 — целые числа, А = 0. Многочлен вида уп — Ъгхт (при кг > 0) будем называть щостым делителем многочлена К(х,у), кг — его кратностью. Простой делитель называется вещественным, если Ъг Е К.

Ребро I диаграммы Ньютона называется невырожденным, если многочлен ^о(х,у) = пУ0(х,у) — тХ0(х,у) не имеет вещественных простых делителей.

3. Алгебраическая и аналитическая разрешимость локальных задач. Определение. Ростком векторного поля в особой точке называется класс эквивалентности векторных полей, совпадающих в некоторой окрестности особой точки.

Понятие алгебраически разрешимой локальной задачи введено В. И. Арнольдом в [3]. Согласно В.И.Арнольду под задачей понимается разбиение пространства

ростков W0 на непересекающиеся подмножества W0 = (J Si, где i G I, I — некоторое

i

множество индексов. Если, например, рассматривается задача об устойчивости по Ляпунову, то таких подмножеств всего два: Si, состоящее из устойчивых ростков (т.е. ростков, имеющих устойчивую особую точку), и S2, состоящее из неустойчивых ростков.

Алгебраическая разрешимость задачи означает, что ответ в задаче (принадлежность к одному из классов Si) может быть получен с помощью конечного числа арифметических операций над тейлоровскими коэффициентами ростка и решений алгебраических уравнений за исключением ростков из некоторого исключительного множества коразмерности бесконечность.

В случае когда задача не является алгебраически разрешимой, было предложено ввести понятие аналитической разрешимости (В. И. Арнольд, Ю. С. Ильяшенко [1; 4]). Аналитическая разрешимость задачи означает, что ответ в задаче может быть получен с помощью вычисления конечного числа значений аналитических функций от тейлоровских коэффициентов ростка за исключением ростков из некоторого множества бесконечной коразмерности. Отсутствие аналитической разрешимости может привести, например, к таким патологиям, как накопление бесконечного числа связных компонент различных множеств Si в окрестности одной точки пространства ростков.

4. Проблема различения центра и фокуса и проблема устойчивости на плоскости. Как было доказано в [5], множество всех монодромных ростков (ростков с монодромной особой точкой) представляет собой счётное объединение «простейших монодромных классов», каждый из которых является полуалгебраическим множеством, то есть задаётся конечным числом полиномиальных уравнений и неравенств относительно тейлоровских коэффициентов ростка.

Проблему устойчивости в любом классе монодромных ростков будем, отдавая дань традиции, называть проблемой различения центра и фокуса, хотя в контексте алгебраической и аналитической разрешимости реально имеет место различение между устойчивым и неустойчивым фокусом.

Как было доказано Ю. С. Ильяшенко [6], проблема различения центра и фокуса, а следовательно, и проблема устойчивости не является алгебраически разрешимой.

Теорема 1. [5; 7]. Проблема различения центра и фокуса аналитически разрешима в любом простейшем монодромном классе.

Утверждение этой теоремы означает, что множество ростков, имеющих в нуле особую точку типа центр, имеет коразмерность ж, а наличие фокуса (устойчивого или неустойчивого) может быть установлено путём вычисления конечного числа аналитических функций от тейлоровских коэффициентов ростка.

Теорема 2. [8]. Проблема устойчивости особой точки аналитического векторного поля на плоскости аналитически неразрешима.

Пример семейства, приведённый в статье [8], в котором была обнаружена потеря аналитичности границы устойчивости, относится к классу сложных монодромных особых точек, причём при наличии резонанса в седловой особой точке, полученной в результате раздутия по диаграмме Ньютона. Интересен ответ на вопрос: встречаются ли подобные патологии в классах простых монодромных особых точек? В данной работе даётся положительный ответ на этот вопрос. Более точно: по-

строено двухпараметрическое семейство векторных полей с монодромной особой точкой и с диаграммой Ньютона, состоящей из одного ребра. Для данного семейства выполняется условие невырожденности, позволяющее отнести его к классу с простой монодромной особой точкой. Граница устойчивости задаётся графиком функции а = ^(е) (а и е — параметры семейства) и при е ^ 0 выходит на границу монодромного класса. Построенная асимптотика функции ^(е) при е ^ 0, как и в примере [8], содержит члены с логарифмом, откуда следует аналитическая неразрешимость проблемы устойчивости в замыкании данного простейшего монодромного класса с простой монодромной особой точкой.

1. Асимптотика границы устойчивости

Простейшие монодромные классы, описанные в [8], характеризуются определённым ходом процесса раздутия особенностей, связанного с диаграммами Ньютона.

Рассмотрим простейший монодромный класс М1, состоящий из ростков векторных полей, имеющих в особой точке (0, 0) диаграмму Ньютона, состоящую из одного невырожденного ребра с концами (0, 4) и (8,0) (рисунок). Условие невырожденности ребра гарантирует, что в результате раздутия особой точки по диаграмме Ньютона на вклеенной кривой не образуются новые особые точки.

Рассмотрим семейство векторных полей из класса М1

1 3 7 3 2

ж = - 2у - аж + х у , (3)

у = е2ж7 + е2ж3у2 - 2ауж6 + ж3у2 + 2ж2у3,

где е > 0, а € К. В данном семействе многочлен *0(ж,у) = (у2 + ж4)(у2 + е2ж4) не имеет вещественных простых делителей. Предельный переход при е ^ 0 означает выход на границу класса М1, так как при е = 0 диаграмма Ньютона меняется.

Согласно [9; 10] граница устойчивости в семействе (3) задаётся уравнением

те Ш

J Ф1(^)ех^У Ф0(£)^м = 0, (4)

-те о

где

б3 ™2 — а

фо(£) = -^т^, *1М =

2*0(1,6)' 14 ' ¿0(1,™)-Вычисляя первообразную под знаком экспоненты и подставляя в (4), получим уравнение

+те

(™2 — а)^™ с

= 0, 7 = ТТ^—г, с = е2. (5

J (1+ ™2)4 +7(™2 + с)1^ ' 4(1 - с)

0

Уравнение (5) запишем в виде а = ^(е), где ^(е) = К^),

+те

Кга(е) = -5-, п = 0, 2.

У (1 + ™2)4 (™2 + с)1-^ 0

Построим асимптотическое разложение функции ^(е) = при е ^ 0. Сначала рассмотрим интеграл К0(е). Представим К0(е) = 11 + 12, где

1 +те

г [

1 = -Г"-, 12

(1+ ™2) 4 (™2 + с)1-^ У (1+ ™2) 4 +7 (™2 + с)1-7

После замены и = 1 /ш получаем

1 5 1

/и 2 ¿и

-5-= С + с ко (и, с) ¿и,

(1 + и2)5 (1 + си2)1-^ У 1 ' ; '

о о

где 0 < с < с, к0(и, с) — ограниченная функция при и Е [0,1], с ^ 0,

С = / . (6)

У (1 + и2)4 { J

0

Таким образом,

12 = С + 0(е2). (7)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Рассмотрим теперь интеграл /1. Пользуясь разложением

^ = 1 -( ^+^^ >•

получим

11 = 3) — ( 4+ + (8)

где

1 1 1

Г ¿ш Г и}2в>'ш Г ш4д1(ш

3 = У (ш2 + с)1^, 31 = У (ш2 + с)1-^, 3 = У (ш2 + с)1-^ , (9) ооо

д1(ш,7) — ограниченная функция при ш Е [0,1], 7 ^ 0.

Разложим подынтегральную функцию в 32 по теореме Лагранжа: 32 = С0 + К1с,

где

1 1 /1 5 \ 1

С0 = ш2д1(ш, 0)dw = ш-2 -5 — 1 + -ш2 I ¿ш, Я1 = к(ш, с)¿ш, (10)

У У 1(1 + ш2)5 4 / ' У 1 ' ; ' v 7

0 0 0

ш2к1 (ш,с) ш4к2(ш, с) 1п(ш2 + с) ш4к3(ш,с) к(ш,с) = (ш2 + с )1-^ + (ш2 + с )1-^ + (ш2 + с)2-^,

0 < с < с, 0 <7<7, кг(ш, с), г = 1, 2, 3, ограничены при ш Е [0,1], с ^ 0. Отсюда следует ограниченность Я1 при с ^ 0 и, следовательно,

32 = С0 + 0(£2). (11)

Исследуем интеграл 30 из (9). После замены ш = еу получаем 30 = е-1+27300,

где

1

£

т С ¿у 300 =

0

(1 + у2)1-^'

Раскладывая подынтегральную функцию в 300 по 7, получаем

1 1

£ £

I ¿у /'1п(1+у2)^ п 2ч

300 Чт+у? + Ч (1 + у2).-- =2 — е + 0(е '■

00

Отсюда

(1+ ™2) 4+7(™2 + с)1-^ У (1+ ™2) 4 +7(™2 + с)1-7

Аналогично (7) получаем

где

1 1

Из разложения

2) 4 +7

12)

^о = е-1 (е27/оо) = е-1 (П - е + Пе21п(е) + 0(е2)) . Согласно [8]

П

= 1 - пе + 0(е2). (13)

Из формул (7), (8), (11)-(13) получаем

Ко(е) = 11 + 12 = е-1 (2 + + С - 0 е + Пе21п(е) + 0(е2)^ . (14) Исследуем теперь интеграл К2(е) = Н1 + Н2, где

1 +те

[ [

Н1 = ' -в , „ , „-П-, н2 = —-—5

+те 1

Н2 = [-^-= С2 + 0(е2), (15)

У (1+ и2) 4 (1 + см2)1-^ ' " ' '

62 = / . (16) У (1 + и2)4 ' ;

1 1+ ™2 д2(™,с)

(1 + ™2) 4 получаем, что Н1 = + Н11, где

1

н = [ ™4^2(™,7

11 У (™2 + с)1-^ . 0

Аналогично получаем Н11 = С3 + 0(е2), где

С3 = / ™2д2(™, 0)^ = /( --Ц-в - 1 ) (17)

7 7 \ (1 + ™2) 2

00

С учётом (13), (15)

П

К2(е) = 1 + С2 + С3 - ^е + 0(е2). (18)

Разделив (18) на (14), получаем асимптотику а = ^(е) :

а = Ае + Ве2 + С 1п(е)е3 + 0(е3),

где А = П(1 + С2 + С3), В = -1 - 4(1 + С2 + С3) (С0 + С - 9), С = -1 (1 + С2 + С3). Вычисляя приближённо интегралы (6), (10), (16), (17), получим приближённые значения коэффициентов: А ^ 0.7627, В ^ -0.1273, С ^ -0.3814. Таким образом, доказано следующее утверждение.

Теорема 3. Граница устойчивости а = в классе Ы\ имеет асимптотическое разложение вида а = Ае + Be2 + Cln(e)e3 + O(e3), где C = 0.

Следствие 1. Проблема устойчивости в замыкании класса Ы\ аналитически неразрешима.

Следствие 2. Проблема устойчивости особой точки аналитического векторного поля на плоскости аналитически неразрешима.

Список литературы

1. Арнольд, В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения — 1 / В. И. Арнольд, Ю. С. Ильяшенко // Итоги науки и техники. Соврем. проблемы математики. Фундамент. направления. — 1985. — Т. 1. — C. 7-149.

2. Il'yashenko, Yu. S. Finiteness Theorems for Limit Cycles / Yu. S. Il'yashenko. — Providence, Rhode Island, American Mathematical Society, 1991. — 289 p.

3. Арнольд, В. И. О локальных задачах анализа / В. И. Арнольд // Вестн. Моск. унта. Сер. 1. Математика. Механика. — 1970. — № 2. — C. 52-56.

4. Ильяшенко, Ю. С. Алгебраически и аналитически разрешимые локальные задачи теории обыкновенных дифференциальных уравнений / Ю. С. Ильяшенко // Тр. семинара им. И.П.Петровского. — 1987. — № 12. — C. 118-136.

5. Медведева, Н. Б. Об аналитической разрешимости проблемы различения центра и фокуса / Н.Б.Медведева // Тр. Ин-та математики им. В. А. Стеклова. — 2006. — № 254. — C. 11-100.

6. Ильяшенко, Ю. С. Алгебраическая неразрешимость и почти алгебраическая разрешимость проблемы центр — фокус / Ю. С. Ильяшенко // Функц. анализ и его приложения. — 1972. — T. 6, № 3. — С. 30-37.

7. Медведева, Н. Б. Об аналитической разрешимости проблемы различения центра и фокуса / Н.Б.Медведева // Докл. Академии наук. — 2004. — T. 394, № 6. — C. 735-738.

8. Медведева, Н. Б. Об аналитической неразрешимости проблемы устойчивости на плоскости / Н.Б.Медведева // Успехи мат. наук. — 2013. — T. 68, № 5. — C. 147176.

9. Воронин, А. С. Асимптотика преобразования монодромии в некоторых классах монодромных ростков / А.С.Воронин, Н.Б.Медведева // Изв. РАН. Сер. мат. — 2013. — T. 77, № 2. — C. 35-52.

10. Медведева, Н. Б. Асимптотическое разложение преобразования монодромии / Н. Б. Медведева // Челяб. физ.-мат. журн. — 2016. — Т. 1, вып. 1. — С. 59-72.

Поступила в 'редакцию 23.07.2019 После переработки 09.09.2019

Сведения об авторах

Медведева Наталия Борисовна, доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры вычислительной математики, Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия; e-mail: [email protected].

Викторова Валерия Андреевна, студентка математического факультета, Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия; e-mail: [email protected].

Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal. 2019. Vol. 4, iss. 3. P. 276-284.

DOI: 10.24411/2500-0101-2019-14303

THE BOUNDARY OF STABILITY

IN A SIMPLE CLASS OF MONODROMIC GERMS

N.B. Medvedeva", V.A. Viktorovab

Chelyabinsk State University, Chelyabinsk, Russia "[email protected], [email protected]

A two-parameter family of vector fields is constructed with a monodromic singular point and with a Newton diagram consisting of one edge. For this family, the conditions of "nondegeneracy" are satisfied, allowing it to be assigned to a class with a simple monodromic singular point. The asymptotics of the stability boundary in this family is constructed, which contains terms with a logarithm, which implies the analytical unsolvability of the stability problem in the closure of this class of vector fields with a simple monodromic singular point.

Keywords: monodromic singular point, focus, center, monodromy transformation, Newton diagram, stability boundary, analytic solvability.

References

1. Arnol'dV.I. Obyknovennye differentsial'nye uravneniya — 1 [Ordinary differential equations — 1]. Itogi nauki i tekhniki. Sovremennye problemy matematiki. Fundamen-tal'nye napravleniya [Results of science and technology. Contemporary problems of mathematics. Fundamental directions], 1985, vol. 1, pp. 7-149. (In Russ.).

2. Il'yashenko Yu.S. Finiteness Theorems for Limit Cycles. Providence, Rhode Island, American Mathematical Society, 1991. 289 p.

3. Arnold V.I. O lokal'nykh zadachakh analiza [On local problems of analysis]. Vestnik Moskovskogo Universiteta. Seriya 1. Matematika. Mekhanika [Bulletin of Moscow University. Series 1. Mathematics. Mechanics], 1970, vol. 2, pp. 52-56. (In Russ.).

4. Il'yashenko Yu.S. Algebraicheski i analiticheski razreshimye lokal'nye zadachi teorii obyknovennykh differentsial'nykh uravneniy [Algebraically and analytically solvable local problems of the theory of ordinary differential equations]. Trudy seminara imeni I.G. Petrovskogo [Proceedings of I.G. Petrovskiy workshop], 1987, no. 12, pp. 118-136. (In Russ.).

5. Medvedeva N.B. On the analytic solvability of the problem of distinguishing between center and focus. Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2006, vol. 254, pp. 7-93.

6. Il'yashenko Yu.S. Algebraic nonsolvability and almost algebraic solvability of the center — focus problem. Functional Analysis and Its Applications, 1972, vol. 6, no. 3, pp. 197-202.

7. MedvedevaN.B. On an analytic solvability of the center — focus problem. Doklady Mathematics, 2004, vol. 69, no. 1, pp. 120-122.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

8. Medvedeva N.B. On analytic insolubility of the stability problem on the plane. Russian Mathematical Surveys, 2013, vol. 68, no. 5, pp. 923-950.

9. VoroninA.S., MedvedevaN.B. Asymptotics of the monodromy transformation in certain classes of monodromy germs. Izvestiya: Mathematics, 2013, vol. 77, no. 2, pp. 253270.

The work is partially supported by the RFBR (grant 17-01-00739_a).

284

H. B. MegBegeBa, B. A. BuKTopoBa

10. Medvedeva N.B. Asimptoticheskoye razlozheniye preobrazovaniya monodromii [Asymptotic expansion of a monodromy map]. Chelyabinskiy fiziko-matematicheskiy zhurnal [Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal], 2016, vol. 1, iss. 1, pp. 59-72. (In Russ.).

Accepted article received 23.07.2019 Corrections received 09.09.2019

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.