Асимптотика преобразования монодромии в случае двух четных ребер диаграммы Ньютона Текст научной статьи по специальности «Математика»

АСИМПТОТИКА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МОНОДРОМИИ В СЛУЧАЕ ДВУХ ЧЕТНЫХ РЕБЕР ДИАГРАММЫ НЬЮТОНА*

Вычисляется второй член асимптотики преобразования монодромии монодром-ной особой точки для некоторого класса векторных полей, диаграмма Ньютона которых состоит из двух четных ребер. В рассматриваемом случае главный член преобразования монодромии тождественен. Полученный результат дает достаточное условие фокуса для особой точки векторного поля из рассматриваемого класса.

Ключевые слова: монодромная особая точка, фокус, преобразование монодромии, раздутие особенности, диаграмма Ньютона, граница устойчивости.

Введение

Особая точка аналитического векторного поля на плоскости называется мо-нодромной [1], если для нее определено преобразование монодромии Д0(р), переводящее некоторую кривую (полутрансверсаль) с вершиной в особой точке в себя вдоль траекторий векторного поля.

Если Д0(р) = р, то особая точка — центр. Доказано (см. [1-2]), что при подходящем выборе полутрансверсали Д0(р) = С\р + о(р) при р ^ 0. Неравенство 1п Сі = 0 является достаточным условием того, чтобы особая точка была фокусом.

В работе [3] вычислена величина 1п С1 для Г-невырожденных векторных полей, где Г — диаграмма Ньютона. Однако оказалось, что если все ребра диаграммы Ньютона Г четные, то 1п С1 = 0 на всем пространстве ростков с диаграммой Ньютона Г, то есть преобразование монодромии в этом случае имеет асимптотику До(р) = р + о(р). Таким образом, в данном случае невозможно получить достаточное условие фокуса с помощью главного члена асимптотики.

В настоящей работе рассматриваются Г-невырожденные векторные поля с монодромной особой точкой, имеющей диаграмму Ньютона, состоящую из двух четных ребер. Вычислен второй член асимптотики преобразования монодромии при условии А =1, где А выражается через векторный коэффициент вершины, соединяющей два ребра диаграммы Ньютона и равно минус отношению собственных значений седловой особой точки, получающейся в результате раздутия особенности, связанного с диаграммой Ньютона. Случай А =1 рассмотрен в [4]. Дадим некоторые определения, связанные с диаграммой Ньютона. Рассмотрим аналитическое векторное поле (росток векторного поля) в окрестности точки ноль на плоскости, которое определяет динамическую систему

х = х(x,y), у = у(х,у)• (1)

*Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ (проект 10-01-00587_а), а также ФЦП 02.740.110612.

Рассмотрим тейлоровские разложения

уХ(х,у)=^ аИХУ , х¥(х,у)=^2 ЬчХУ • (2)

i+j = 1 1+3 = 1

Носителем системы (1), а также соответствующего ей векторного поля называется множество таких пар (і, і), что (аі3- ,6І3-) = (0, 0). Вектор (аі3-, 6І3-) называется векторным коэффициентом точки носителя (і, і). Показателем точки носителя (і, і) называется величина

&І3/aij, если aij = 0, ж, если aij = 0.

Рассмотрим множества У {(і,і) + ^+1, где К+ — положительный квадрант,

(і>3')

объединение берется по всем точкам (і,і), принадлежащим носителю. Граница выпуклой оболочки этого множества состоит из двух открытых лучей и ломаной, которая может состоять и из одной точки. Эта ломаная называется диаграммой Ньютона системы (1), а также соответствующего ей векторного поля. Звенья ломаной называются ребрами диаграммы Ньютона, а их концы — ее вершинами.

Показателем ребра диаграммы Ньютона называется положительное рациональное число а, равное тангенсу угла между ребром и осью ординат.

Пусть а = — — несократимая дробь. Ребро диаграммы Ньютона с показателем а назовем четным, если одно из чисел т и п четно, и нечетным в противном случае.

Рассмотрим ребро I диаграммы Ньютона системы (1) с показателем а = —, где — — несократимая дробь. Члены разложения (2) сгруппируем таким образом,

П

что

уХ (ж,у)=Е Хк (x,y), ху (ж,у)=Е Ук (x,y), (3)

к=0 к=0

где

Хк (х,у)= X! азх1у, Ук (х,у)= £ Ызху3 — (4)

т+т;=к+ко т+тз=к+ко

квазиоднородные полиномы степени к + к0 с весами п и т переменных х и у соответственно, к0 > 0. Обозначим Гк(х,у) = пУк(х,у) — тХк(х,у). Положим

ж Х^ У Л —А - —1Х0 ш —1У0 - -ЬУ Л (5)

ф0 = —; Ф0 = - —; ф1 = -----------------^2--------, Ф1 = -------^2----- = -аф1. (5)

Го -0 -0 -0

Определение Г-невырожденного векторного поля дано в [3]. Множество Г-невырожденных векторных полей с монодромной особой точкой ноль обозначим Мг.

Пусть диаграмма Ньютона векторного поля V состоит из двух ребер I и I с показателями а = —, а = — соответственно, где а > а. Для каждого из ребер можем рассмотреть разложения вида (3)-(4). Функции, аналогичные Хк, Ук, —к, Ф0, Ф1, Ф0, Ф1 и соответствующие ребру I, обозначим Хк, Ук, —к, ф0, Ф1, Ф0, Ф1.

Через

//(£)1£ обозначается интеграл Адамара [5] от функции /(х) (конечная

часть несобственного интеграла), —то < а < Ь < +то.

В настоящей работе доказана следующая теорема.

Теорема. Пусть диаграмма Ньютона Г векторного поля V состоит из двух четных ребер I и I с показателями а = т и а = т (а > а), где т и т — несо-

ГГ п П ^ '7 п п

кратимые дроби; V — Г-невырожденное векторное поле с монодромной особой точкой (0, 0); (а,Ь) — векторный коэффициент вершины диаграммы Ньютона, соединяющей ребра I и I, причем

пЬ — та

Л = ^-----~ 1

пЬ — та

Тогда преобразование монодромии особой точки (0,0) векторного поля V при подходящем выборе трансверсали имеет асимптотику вида

Д(р) = Р(1 + С2РХ + o(РX)), Р ^ 0, при этом в случае четного т уравнение С2 = 0 эквивалентно уравнению

--те „ 5 „

[ фl(1,w)ex^ фо(1,С)dCdw

w

o

С

О.

(б)

В случае нечетного т и четного т уравнение С2 = 0 эквивалентно уравнению

С

т

(7)

В случае нечетных m и m уравнение С2 = О эквивалентно уравнению exp Л

+те

-

ї o(w,1)

dw

+

--те

і

o

/ Ф 1W,1) exp f Фo(55,1) dCdw +

-o -w

J exp dCdw = О.

(8)

Дополнительно, если 1 = тп — тП > 1, то большие интегралы сходящиеся.

Случай Л > 1 сводится к случаю Л < 1 заменой переменных х ^ у.

Легко доказывается предложение.

Предложение 1. Левые части уравнений из формулировки теоремы не являются тождественно нулевыми функциями на множестве Мг.

Если С2 = 0, то особая точка — фокус. Поэтому граница устойчивости в классе Мг задается уравнением С2 = 0.

Далее доказывается теорема.

— ОО

— ОО

1. Раздутие особенности

В положительном квадранте х > 0, у > 0 рассмотрим замену переменной

х = шг”, у = гт. (9)

Пусть £! — малые положительные числа, й = тп — тп. Образом прямоугольника Р^ = {(г,ш) : 0 < ш < £-й/а, 0 < г < е^ при отображении (9) является

некоторый криволинейный сектор с вершиной в начале координат.

В положительном квадранте х > 0, у > 0 рассмотрим замену переменной

х = г”, у = гтш. (10)

Образом прямоугольника Р| = {(г,Ш) : 0 < го < е-й, 0 < т < е2, е2 > 0} при отображении (10) является некоторый криволинейный сектор с вершиной в начале координат.

Пусть I и I — два ребра диаграммы Г с общей вершиной с. В малой окрестности нуля между секторами Р^ и Р^ имеется «зазор» в виде криволинейного сектора £с. Замена переменной

х = Л”, у = (11)

отображает прямоугольник Рс ={0 < и < е”, 0 < V < £”} в сектор $с. Подробнее метод раздутия особенностей, связанный с диаграммой Ньютона, описан в [6].

2. Отображение соответствия в окрестности седла

Согласно [3] следующие условия являются необходимыми и достаточными условиями принадлежности векторного поля V множеству Мг:

1) многочлены Р(±1, ±ш) и Р(±1, ±ш) не имеют вещественных корней;

2) Р(0,1) = 0, Р(1, 0) = 0, 3) Л > 0.

В прямоугольнике Рс обозначим через Р1 сторону V = £”, а через Р2 — сторону и = е”. При малых е и $ определено отображение соответствия ф : Р1 ^ Р2 вдоль траекторий векторного поля У, полученного после замены (11) с последующим делением на некоторые степени и и V и определенного в прямоугольнике Рс. Далее предполагаем, что Л < 1.

Везде ниже через ох (1) обозначается бесконечно малая от х при х ^ 0.

Лемма 1. Отображение ф имеет асимптотическое разложение вида

V = ф(и) = Соил(1 + с1ил + о(ил)), (12)

где с0 = (1 + 0(е”))(1 + ой(1))£”е-л”, с1 = (1 + ой(1))£”е-л”(в0 + 0(е”)), причем в0 = 0, если й > 1.

Доказательство. Напомним, что в секторе £с производится степенная замена (11) с матрицей показателей Сс = ^ П 5 ^ . Набор собственных значений матрицы линейной части векторного поля V в особой точке (и, V) = (0, 0) получается

из векторного коэффициента вершины с с помощью преобразования Сс 1 [3]. Векторное поле V задает систему

u = u^ + a1(u, v)), V = —і(Л2 + a2(u, v)),

(1З)

где Л1 = ПЬ — та, Л2 = пЬ — та, (а,Ь) — векторный коэффициент вершины с. Поскольку исходная особая точка является монодромной, то особая точка (0,0) системы (13) является невырожденным седлом (Л = Л2/Л1 > 0). Расстояния между точками носителя системы (13), расположенными на прямых г =1 и ] = 1, равны й = тп — Пт. Преобразования носителей при степенных преобразованиях описаны в [3].

Рассмотрим разложения а^и^) = а0(и) + а^и^ + О^2), а2(и^) = а2(и) + а^и^ + О^2). Повторяя доказательство леммы 3.3 из [6] для случая г =1, 5 = 2 и леммы 3.5 для случая р =1, д = 2, получаем следующую лемму.

Лемма 2. Пусть Л < 1. Отображение соответствия для системы (13), переводящее луч V = 5 в луч и = е, имеет разложение вида

где ei(s) является аналитической функцией от £ при £ = 0, причем в^) = O(e), если свободные члены а^£) и а1(£) равны 0.

Если d > 1, то свободные члены а1(£) и а^(£) равны 0 (это следует из того, что расстояния между точками носителя, расположенными на прямых i = 1 и j = 1, равны d = mn — Пт). Подставляя £n вместо £, ёп вместо ё, получим формулу (12). □

Обозначим через Г1 (Г2 соответственно) стороны прямоугольников Pi (р? соответственно), задаваемые уравнениями w = ё-a (W = £-d соответственно). При малых £ и ё, £1, £2 определено отображение соответствия ^ : Г1 ^ Г2.

Предложение 2. Отображение <р имеет асимптотическое разложение вида

в = Ь/а — показатель вершины с, причем в0 = 0, если й > 1.

Доказательство. Из формул (9)-(11) следует, что координаты на Р1 и Г1 связаны соотношением г = и5а, а на Р2 и Г2 — соотношением V = е-”г. Подставляя эти соотношения в (12), получим (14), где

V = (1 + 0(є))(1 + o6(1))5 0Л (1 + 5(1 + o6(1)K^y + o(uЛ)),

Ф = p(z) = p0z Л(1 + plzл + o(z^),

(14)

где

~ х —de —d

p0 = (1 + 0(є”))(1 + o6(1))5an(e—а)єп(в—а),

(15)

(16)

с —dfi ~ \ ~

Рі = (1 + o6 (1))5 є-тіЛ(в0 + 0(є” )),

Учитывая, что

тЛ —йв —й

П-----= “^ =л , П — Лп=^ =л , (17)

а ап(в — а) п(в — а)

получаем (15)—(16). □

3. Отображение соответствия в прямоугольниках, соответствующих ребрам

Обозначим через д(г) отображение соответствия в прямоугольнике Р^, переводящее сторону ш = 0 в сторону Г1, а через f (ф) — отображение соответствия в прямоугольнике Р?, переводящее сторону Г2 в сторону ш = 0.

Лемма 3. Имеют место разложения

д(г) = &0^(1 + &1г + о(г)), (18)

где

Ь0 = ехр / йш, Ь1 = / ехр/^%1-Л£Лш, (19)

3 ш ] ш ] С

0 0 0

f (Ф) = а0т(1 + а^ + о(ф)), (20)

где

0 _ 0 _ ш _

[ Ф0(1,ш) Л /ф 1(1,ш) />Ф0(1,С) ЛСЛ (21)

а0 = ехр ------------аш, а1 = а0 ------------------------------------ехр - -а£аш. (21)

3 ш ] ш ] С

^ А ^ А 0

Доказательство. Сделаем в системе (1) замену переменных (9), получим

Лф г

— = - (Ф0(ш, 1) + гФ1(ш, 1) + о(г)). (22)

аш ш

Аналогично после замены (10) получаем

^ = 4(Ф 0(1, гт) + ФФ 1(1,гу) + о(ф)), (23)

аш ш

где Ф0, Ф1, Ф0 и Ф1 определены формулами (5). Решая уравнения в вариациях

вдоль решения г = 0 уравнения (22) и вдоль решения ф = 0 уравнения (23),

получаем формулы (18)—(21). □

4. Отображение соответствия в первом квадранте

Рассмотрим в окрестности начала координат в первом квадранте плоскости (х, у) отображение соответствия для исходной монодромной особой точки, переводящее ось у в ось х. Этому отображению после применения процесса раздутия особенностей соответствует отображение соответствия А, переводящее сторону ш = 0 прямоугольника Р? в сторону ш = 0 прямоугольника Р? вдоль траекторий

векторных полей, полученных после раздутия. В качестве параметра на стороне т = 0 возьмем координату г, а на стороне т = 0 — координату 5. Из (14), (18)-(21) получаем разложения

) = Д(5 ) = £о5Л (1 + £і5Л + о(5Л)), (24)

_1 1 1

5 = Д-1(г) = Е0 л5л(1 - -Е0"1Еі5 + о(5)), (25)

Л

где

Ео = йоРо^, Е = (рі + аіРо)&Л, (26)

а0, Ь0, Ь1 определены формулами (19), (21), р0, р1 определены формулами (15), (16).

Лемма 4. Ео = А0В0, Е1 = А0В01, г^е

0 = А0В0, Е1 = А0В0І

<і ~ dв

є - а) ао = ао + 0(єп), В0 = Ііт 6 аП(в -6^ 0 < А0, В0 < то

3 ——0

I

причем если Л > 1, то интеграл сходящийся.

Доказательство. Исследуем асимптотику ф0(1,ш) при ш ^ то. Из определения ф0(1,ш) получаем, что

ф Х0(1,ш) ашгаМ +... 1 -.-/ч /ч

ф 0(1,ш) = —------- = --------;—т ------- = -ТТГ?, ГГ + ф(ш), (28)

Р0 (1,ш) (пЬ — т а)ш”№ + ... п(в — а)

где ф(ш) = О(ШП ) при ш ^ +то, пЖ равно проекции ребра 1? на ось ординат, а многоточие означает степени, меньшие пN и кратные п. Отсюда

0 „ 1

____А ____А Г ф0(1,шК [ ( 1 ф(ш)\

е - а) а0 = е - а) ехр -----------аш ехр ——---- ---1---------аш =

J ш ,/ \п(в — а)ш ш /

1 £ — А 0 „ 1 = ехр /* ф0(1,ш) Лшехр / Лш = А + О(егй). шш

1 £ — А

Аналогично исследуем асимптотику Ф0(ш, 1) при ш ^ то :

т / У(ш, 1) в т / \

Ф0(^ 1) = ——гг =----------ТЪ-V + Ф(ш)

г0(ш, 1) п(в — а)

где Ф(ш) = О(1/шт) при ш ^ то. Отсюда

г - А/а

Ь^ = ехр Л [ Лш

1 &-л/°

ехр Л / 1) Лш ■ ехр Л [

ш

1

в

+ О^“Г+Т)) Лш.

п(в — а)ш шп+1

Из определения Л получаем, что — „(в°а) = — п(вва) = а(п — —). Отсюда

5а (п а ^Ьд = ехр Л

Ф0(ш, 1)

п(в—а) п(р-а) 1

ё-л/а

ш

Лш ■ ехр I О( т+1 )Лш ^ В0 < то

ш

при 5 ^ 0. Заметим, что А(г) не зависит от е и 5, следовательно, коэффициенты его асимптотического разложения не зависят от е и 5 и равны пределу самих себя при е, 5 ^ 0. Отсюда, переходя в Е0 из (26) к пределу при е, 5 ^ 0, получаем, что Е0 = А0В0. Исследуем далее коэффициент Е1 из (26):

Е1 = (р1 + а1р0)Ьо = В0 1!т [(1 + °°(1))е пЛ(в0 + О(еП)) +

£,0—> 0

+ (1 + О(еп))(1 + о0(1))епв-аа^ / ф 1(1,ш)ехр / ф0(^1,С)асаш

В0 Пт

£0

е-пЛ(в0 + О(еп)) + е а0(1 + О(еп))

С

ф 1(1,ш) /ф0(1,С)

ехр

0

С

асаш

В0А0 Пт

= В0А0

£0

пЛ

0 _ ш _

г ф 1(1,ш)ехЛф0(1,с) асаш + (в0 + о(ега))

/ ш ] С А

-А 0

< то. (29)

Поскольку предел выражения в квадратных скобках конечен, по > поЛ, то второе слагаемое в квадратных скобках не содержит нулевой степени е, и значит, предел выражения в квадратных скобках равен интегралу Адамара

1

— а

£

0

— а

£

ф 1(1, ш)

и>

ехр

ф 0(1, с) с

асаш.

Если а > 1, то во = 0, таким образом, второе слагаемое в (29) стремится к нулю,

и потому получаем, что предел интеграла конечен.

□

0

ш

5. Асимптотика преобразования монодромии

Пусть Бх, Бу — отражения плоскости (х,у) относительно осей х и у соответственно, Бху = Бх о Бу. Образы векторного поля V при отражениях Бх, Бу, Бху обозначим Vх, Vу, Vху соответственно. Рассмотрим в первом квадранте эти четыре векторных поля и применим к ним описанный выше процесс раздутия особенности.

Отображение А для случая отраженных векторных полей будем обозначать Ах, Ау, Аху соответственно. Величины I, а0, Ь0, А0, В0 для отраженных векторных полей обозначим той же буквой, но с соответствующим индексом вверху.

Из [3] следует, что если т четно, то

у ху

а0 = а0, а0

(30)

если то нечетно, то

если т четно, то

если т нечетно, то

х ху у

а0 = а0, а0 = а0,

ьу = Ь0, ЬХ = ЬХу,

Ь0 = ЬХ, ЬХу = Ьу.

(31)

(32)

(33)

Преобразование монодромии А0 исходной монодромной особой точки раскладывается в суперпозицию А0 = А-1 о Аху о А-1 о А. Непосредственно подстановкой (24) в (25) для случая Vх, а также (24) для Vxy в (25) для Vу получаем разложения:

А-1 о А(г)

А°Б0 ^ " г (1 + Л^0^0(1 — Р)гА + о(гА)

Ах вх

А0 в0

/ Аху вху\ л / 1 \

А-1 о Аху (г) = ( ^ 1 + ЛАху вху (Iху — 1у )гЛ + о(гЛ^ .

(34)

(35)

I — I _ 1х

ф 1(1,ш)ехр / ММ! асаш

ш

с

Подставляя (34) в (35), получаем асимптотику преобразования монодромии

А0(г) = г(1 + С2 гЛ + о( гЛ)),

где

С2 = 1АД,/ + 1 В0у Ау /у, /у = Ixy — Iy.

ЛЛ

ху ху А0В0А0 В0

При этом мы учли, что —;———, у = 1 согласно (30)—(33). р ^ ’ А^Ауву V 7 V 7

Далее предположим, что т четно. В этом случае !у = —I, Iху = —Iх [3], а значит,

1

Л'

Отсюда, уравнение С2 = 0 эквивалентно уравнению Iх — I = 0 или, что то же самое, уравнению (6).

С2 = Т(АД) + В0у Ау XI — Iх).

х

а

о

6. Случай нечетного т

В этом случае произведем раздутие в секторе Б? несколько иначе. Разобьем его на два сектора Бо и Б0 так, что Бо является образом прямоугольника Р? = {(г, ш) : еа < ш < е-п, 0 < Ф < е2} при замене переменной х = ШФп, у = Фт, а Б0 является образом прямоугольника Ро = {(ф,ш) : 0 < ш < е^™, 0 < ) < е3} при замене переменной х = Фп, у = Фтш, е* > 0, г =1, 2, 3.

Через / обозначим отображение соответствия в прямоугольнике Р?, через /0 — отображение соответствия в прямоугольнике Р0. Аналогично предыдущему пункту вычисляются асимптотики отображений соответствия:

/ (5) = аоФ(1 + а^ + о(Ф)),

(36)

где

[ Фо(г 1) Л

а0 = ехр ---------------аш, а1

ш

Ф 1(г 1) ехр / асаш, (37)

ш

А

£ а

А

£ а

А

£ а

с

/о(ф) = ао)(1 + а1) + о(ф)),

где

0 ~ 0 ~ ~

- /фо(1,шЬ - - /ф 1(1,ш) />фо(1,с)^л

а0 = ехр / --------аш, а1 = а0 / ----------ехр / --------асаш.

шш

,_?т -т

£1 £1

Отсюда для / = /о о / получаем асимптотику

с

/(ф) = йог (1 + Й1Ф + ...),

(38)

где й0 = аоа ое-1, й1 = а1 + а1е-1а 0. Из леммы 1, учитывая отображение склейки на сторонах прямоугольников для отображения ^ :Г1 ^ Г2 (Г1 и Г2 — стороны прямоугольников Р^ и Р?, соответствующие трансверсалям Р1 и Р2), получаем

2: = <^(ф) = еа 5 с0фл(1 + с15 афл + о(гЛ)),

(39)

где с0 и с1 определены в формулировке леммы 1.

Обозначим Ао = Пт аое-1еа-Лп, Во = Пт 5п- Ьд.

£,£1 ——0

00

Лемма 5. Ао = ехр

/ Лш, Во = ехр Л

/

Фр(ш,1)

аш

Доказательство. Как показано в пункте 4, Ф0(ш, 1) = — п(в-а) + Ф(ш), где Ф(ш) = 0(щт) при ш ^ то. Отсюда и из (19) 5п-^Ь;

\

ехр

( 1

Л / л, + Л

_ А (5 а

Ф(ш)

аш

ш

ш

Во = ехр Л

Фо(ш, 1)

аш .

ш

1

ш

—>

Аналогично

^+^ір , где фі(£ )=°(у) пРи с

Фо(С,1)

в

+

*2(0

С П(в - а)С С

Отсюда и из (37)

Л-й

где *2(С) = 0(Ст) при С ^ 0.

\

(40)

(41)

\и

Фо(т, 1) , , ,т . ,

---------Ат — 1п є1 + (-----Лп) 1п є

т а

/

ехр

/1 £Г \

Ф2(Ш) Ат + [ ф1<ю>А»] ^ Ао = ехр

/

і т ] т

V а V а 1

15 о(т, 1)

Ат

т

(42) □

Отображение соответствия А(ф) для первого квадранта есть суперпозиция

Д(ф) = / о ^ О £(ф).

Лемма 6.

Д(ф) — ЕоФ Л(1 + Еі фЛ + о(фЛ)),

где

Ео = Аово, Еі = во

151(т, 1)

ехр

Ф о(С, 1)

С

АС Ат

(43)

(44)

причем если А > 1, то интеграл сходящийся.

Доказательство. Из (36), (38), (39) получаем (43), где

Ео = аоє т соё—^ ЬЛ = ао«оє—1є т—Лпёп— ^ 6*(1 + о£’й (1)),

Е = с^-^ЬЛ + Й1е а со5-"аЬЛ = (1 + ой(1))5п-^ЬЛе-Лп(во + 0(еп))

+ (а 1 + а1е-1ао)е т-Лп 5п- ^ ЬЛ(1 + ой (1))(1 + 0(еп)).

Учитывая, что Ео не зависит от е,5, е1, а также, что )0 ^ 1 при е1 ^ 0, и лемму 5, получаем, что Ео = А0В0. Е1 также не зависит от е,5, е1. Учитывая, что е-Лп0(еп) ^ 0 при е ^ 0, а1 ^ 0 при е1 ^ 0, получаем, что

Еі = 1іт Во(воє—Лп + аієа—Лп(1 + 0(єп))).

в,вх^о

ҐШ

Исследуем второе слагаемое в скобках:

1

-1

а_дп а_дп I Фо(С, !) ^ ф1(w, !) [ фо(С, 1)

а1е “ = а0е “ exp - -df -exp - -dfdw

J f J w J f

-n d 1

£1 £ а

w

1 £1 ~ W _

a °£m _ЛП exp / df / Ф 1(w’ ^ exj^l dfdw.

w

d £ а

1

Из (42) следует, что a0em Лпe_1 = A°(1 + o£(1))(1 + o£1 (1)), где

1 + o£(1) = exp

Ф 2 (w)

dw.

w

d £ а

(45)

Отсюда

1 £ n

(1 / ~ \ £1 ~ w „

exp ^ °(f1) + -^df j ex^-^°^^dfdw+

£-n ' ' £ d 1

в°е_пл(1 + O(en))

(46)

A°(1 + o£(1))(1 + o£1 (1)) y

Исследуем поведение подынтегральной функции в большом интеграле (46)

W ~

в точках w = +то и w = 0. Согласно (40) exp / Ф°(^’1)df = |w|_nG1(w), где G1(w) ограничена при w ^ то, согласно (41)

/*Ф°(£, 1) в

exp J ------f-----df = |w| й(в-а) G2(w),

(47)

где С2(») ограничена при . = 0.

Заметим, что степени /^(эд, 1) и !о(», 1) совпадают. Пусть они равны N, deg(X0(w, 1)) < N — ш < N. Оценим степени 1) и УЦ», 1).

Пусть уравнение прямой, на которой лежит ребро I, имеет вид ш + rhj = d0. Так как точка (^ 0) лежит на этой прямой, d0 = /N. Носители многочленов Х/1(х,у) и 1/1(ж,у) лежат на прямой ш + = flN + 1, поэтому степени много-

членов Х/1(^, 1) и УЦ», 1) не превосходят N + 4. Так как при нечетном т число / четно, эти степени не превосходят N. Отсюда

/ и», 1) = —ш*1(го, ^^Д-.у- д) = о(»7).

1

о

где 7 <0. Следовательно, подынтегральная функция в большом интеграле (46)

есть О (-------г ) при — ^ то, где п — 7 > 0, а значит, интеграл сходится в бес-

V—1-7+ я/ п

конечности.

Переходя в (46) к пределу при е 1 ^ 0, получаем

и

Е1 = Ао Во Пт ехр £——0 1

1 ~ +<^ ~ „

[ Фо(С,1)d^ £1(—1) ехр/^Мd£d—+ (48)

С 7 — 7 е

во е-пЛ(1 + О(еп))

А.

£ а

Ао (1 + о£(1))

Исследуем поведение подынтегральной функции в большом интеграле (48) в точке — = 0.

1) d > 1. В этом случае в0 = 0. Пусть вершина с диаграммы Ньютона имеет координаты (г,^). Тогда /'10(—, 1) делится в точности на —г, Хо(—, 1) и Уо(—, 1) делятся на —\ Отображению раздутия (11) отвечает линейное преобразование

плоскости показателей с матрицей СС = ( П Ш |. Оно отображает ребро I

С \и т ]

в вертикальный отрезок, а ребро I — в горизонтальный отрезок, причем расстояние между точками носителя на вертикальном и горизонтальном отрезках равно d = ти — ти. Поэтому, если d > 1, то образы носителей многочленов Х1(х,у) и 1/1(ж,у) не содержат точки на вертикальном отрезке и абсцисса самой левой точки образов этих носителей строго больше 1.

Прообраз вектора (1,1) при отображении СС имеет координаты (г,/), где г = т-т. Поэтому многочлены Х1(», 1), УЦ—, 1) делятся на х1, где I > г + т-т.

Отсюда ———,—) = О Г—-1+ ^ ^ , а в силу (47) подынтегральная функция в (48) — V /

1+ т —т__в \ / 1т/1\ч\

— ^ й(в—= О (— +а(1-Л) 1, и потому интеграл сходится. Таким

образом, при d > 1 существует предел большого интеграла в (48) при е ^ 0. Следовательно,

Е = АоВо ехр

0 1

[ Ф1(—,1)

Во --------------ехр

—

0

£о(^’1) d£d— .

2) d = 1. В данном случае многочлены Х1(—, 1) и У1(— 1) делятся на —1 т,

—1(—, 1) м 1 А

поэтому -------- = О —------ при — ^ 0, а поскольку при d =1 справедливо

— у—1+ту

равенство — п(в-а) = т — тЛ, то подынтегральная функция в большом интеграле (46) есть О (—1+то ) при — ^ 0, то есть большой интеграл расходится.

Исследуем подынтегральную функцию в (45):

^(С) Фо(С, 1) , в Й(С. 1) , в

+ _ , ~ гтт —-------—:----:—г

С С П(в — а)С С—о(С, 1) П(в — а)С>

где Т?Ъ(|71) — /(С) — рациональная функция от Ст такая, что / (0) — п(в-_а),

—(0,1) — 0. Поэтому / (С) — / (0) + ^2 /С"1^ в окрестности С — 0. Отсюда

Й=1

0

ехр / Ф2^^С — 1 + 0(ега). Поэтому последнее слагаемое в (48) не содержит нуле-

1 ^ в а

вой степени е, а значит, предел выражения в круглых скобках (48) есть интеграл Адамара. Отсюда с учетом формулы для Ао получаем (44). □

Обозначим через I внешний интеграл Адамара в (44). Тогда

Д(ф) — ЕоФЛ (1 + Е^ + 0(фл)), Д-1(ф) — Е-1 ф1 (1 - 1 Е-1^ + О(ф)),

Л

где Ео — АоВо, Е — Во1. ^

Отсюда (ДХ)-1 о Д(ф) — Го^(1 + Г1ФЛ + 0(фл)), где Го — ^ЕХ^ — ^

1 Е 1

Г1 — -т(Е1 — — ЕХ) — —Во(1 — IХ), причем мы учли, что Ао — АХ (в силу

Л ЕХ Л

/ Аху вХу\ 1

О.,, Т(» фЛ + 0(фЛ)), где Гоо — (^ :

нечетности т).

Аналогично (ДУ)-1 о ДХУ(ф) — ^ф(1 + г1 фл + 0(фЛ)), где г(

\ Ао во

гу — Л ВТ (IХУ — IУ).

Отсюда До(ф) — (ДУ)-1 о ДХУо (ДХ)-1 о Д(ф) — гУгоф(1 + (г1 + г^У)фЛ + 0(фЛ)),

У ^ АХУ ВоХУ АоВо ^ 1 1 ^ , Л У 1ъ,т т^, 1ЪХУ,ТХУ ™ АоВо

где ГоГо — (^ АоВУАХВХ ) — 1, С — г1 + гЛг? — ЛВо(I— ЛV^ — ^) АВХ•

Уравнение С2 — 0 эквивалентно уравнению

££(! — Iх), ВТ(^ — ^) —0. (49)

Так как т нечетно, выполняются равенства Iх — — I, Iху — — IУ. Следовательно, (49) эквивалентно уравнению

££! — ВХУ Р — 0. (50)

В случае, когда т четно, — ВХ, следовательно, (50) эквивалентно уравнению

I — !У — 0. (51)

Делая замены переменных С ^ — С, м ^ — ад, получаем, что

Ш „ о „

Iy — р х е 1) 3 ^1— у Ф°(—С1)йсйм — р х е 1)

3 м

о о

Ш

поэтому (51) эквивалентно уравнению

+го ~ V _

а х е 1) у Фо(^1)

3 w

— го 0

Поделим это уравнение на ехр / ф, получим утверждение теоремы в слу-

0

чае нечетного т и четного т.

В случае, когда т нечетно, ВХ = В0, ВХУ = ВУ, поэтому (50) эквивалентно

-§?71 = IУ. Поскольку Вуу = ехр ( А

+ ГО

ехр

і +го \

А 3 43 1 (0

/ w

1 — го у

+ ГО ~ V „

[ 1) ех/ Ф°(^ 1) +

w

£

+

^і(^ 1) ехр / = 0.

w

Теорема полностью доказана.

— ОО

0

Список литературы

1. Арнольд, В. И. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления / В. И. Арнольд, Ю. С. Ильяшенко // Итоги науки и техники. — 1985. — Т. 1. — С. 7-149.

2. Медведева, Н. Б. Главный член преобразования монодромии монодромной особой точки линеен / Н. Б. Медведева // Сиб. мат. журн. — 1992. — Т. 33, № 2. — С. 116-124.

3. Березовская, Ф. С. Асимптотика преобразования монодромии особой точки с фиксированной диаграммой Ньютона / Ф. С. Березовская, Н. Б. Медведева // Тр. сем. им. И. Г. Петровского. — 1991. — Вып. 15. — С. 156-177.

4. Воронин А. С. Устойчивость монодромных особых точек с фиксированной диаграммой Ньютона / А. С. Воронин, Н. Б. Медведева // Вестн. Удмурт. ун-та. Сер. Математика. — 2009. — Вып. 3 — С. 34-49.

5. Адамар, Ж!. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа / Ж. Адамар. — М. : Наука, 1978.

6. Медведева, Н. Б. Об аналитической разрешимости проблемы различения центра и фокуса / Н. Б. Медведева // Тр. МИРАН им. В. А. Стеклова. — 2006. — Т. 254. — С. 11-100.