Научная статья на тему 'Асимптотика преобразования монодромии в случае двух четных ребер диаграммы Ньютона'

Асимптотика преобразования монодромии в случае двух четных ребер диаграммы Ньютона Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
126
50
Читать
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
МОНОДРОМНАЯ ОСОБАЯ ТОЧКА / ФОКУС / ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МОНОДРОМИИ / РАЗДУТИЕ ОСОБЕННОСТИ / ДИАГРАММА НЬЮТОНА / ГРАНИЦА УСТОЙЧИВОСТИ / MONODROMIC SINGULAR POINT / MONODROMY MAP / FOCUS / NEWTON DIAGRAMM

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Воронин Алексей Сергеевич, Медведева Наталия Борисовна

Вычисляется второй член асимптотики преобразования монодромии монодромной особой точки для некоторого класса векторных полей, диаграмма Ньютона которых состоит из двух четных ребер. В рассматриваемом случае главный член преобразования монодромии тождественен. Полученный результат дает достаточное условие фокуса для особой точки векторного поля из рассматриваемого класса.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
Предварительный просмотр
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

The second term of the asymptotics of the monodromy map of the monodromic singular point of the vector field with the Newton diagramm consisting of two even edges is calculated. The sufficient condition for monodromic singular point to be a focus is obtained.

Текст научной работы на тему «Асимптотика преобразования монодромии в случае двух четных ребер диаграммы Ньютона»

АСИМПТОТИКА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МОНОДРОМИИ В СЛУЧАЕ ДВУХ ЧЕТНЫХ РЕБЕР ДИАГРАММЫ НЬЮТОНА*

Вычисляется второй член асимптотики преобразования монодромии монодром-ной особой точки для некоторого класса векторных полей, диаграмма Ньютона которых состоит из двух четных ребер. В рассматриваемом случае главный член преобразования монодромии тождественен. Полученный результат дает достаточное условие фокуса для особой точки векторного поля из рассматриваемого класса.

Ключевые слова: монодромная особая точка, фокус, преобразование монодромии, раздутие особенности, диаграмма Ньютона, граница устойчивости.

Введение

Особая точка аналитического векторного поля на плоскости называется мо-нодромной [1], если для нее определено преобразование монодромии Д0(р), переводящее некоторую кривую (полутрансверсаль) с вершиной в особой точке в себя вдоль траекторий векторного поля.

Если Д0(р) = р, то особая точка — центр. Доказано (см. [1-2]), что при подходящем выборе полутрансверсали Д0(р) = С\р + о(р) при р ^ 0. Неравенство 1п Сі = 0 является достаточным условием того, чтобы особая точка была фокусом.

В работе [3] вычислена величина 1п С1 для Г-невырожденных векторных полей, где Г — диаграмма Ньютона. Однако оказалось, что если все ребра диаграммы Ньютона Г четные, то 1п С1 = 0 на всем пространстве ростков с диаграммой Ньютона Г, то есть преобразование монодромии в этом случае имеет асимптотику До(р) = р + о(р). Таким образом, в данном случае невозможно получить достаточное условие фокуса с помощью главного члена асимптотики.

В настоящей работе рассматриваются Г-невырожденные векторные поля с монодромной особой точкой, имеющей диаграмму Ньютона, состоящую из двух четных ребер. Вычислен второй член асимптотики преобразования монодромии при условии А =1, где А выражается через векторный коэффициент вершины, соединяющей два ребра диаграммы Ньютона и равно минус отношению собственных значений седловой особой точки, получающейся в результате раздутия особенности, связанного с диаграммой Ньютона. Случай А =1 рассмотрен в [4]. Дадим некоторые определения, связанные с диаграммой Ньютона. Рассмотрим аналитическое векторное поле (росток векторного поля) в окрестности точки ноль на плоскости, которое определяет динамическую систему

х = х(x,y), у = у(х,у)• (1)

*Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ (проект 10-01-00587_а), а также ФЦП 02.740.110612.

Рассмотрим тейлоровские разложения

уХ(х,у)=^ аИХУ , х¥(х,у)=^2 ЬчХУ • (2)

i+j = 1 1+3 = 1

Носителем системы (1), а также соответствующего ей векторного поля называется множество таких пар (і, і), что (аі3- ,6І3-) = (0, 0). Вектор (аі3-, 6І3-) называется векторным коэффициентом точки носителя (і, і). Показателем точки носителя (і, і) называется величина

&І3/aij, если aij = 0, ж, если aij = 0.

Рассмотрим множества У {(і,і) + ^+1, где К+ — положительный квадрант,

(і>3')

объединение берется по всем точкам (і,і), принадлежащим носителю. Граница выпуклой оболочки этого множества состоит из двух открытых лучей и ломаной, которая может состоять и из одной точки. Эта ломаная называется диаграммой Ньютона системы (1), а также соответствующего ей векторного поля. Звенья ломаной называются ребрами диаграммы Ньютона, а их концы — ее вершинами.

Показателем ребра диаграммы Ньютона называется положительное рациональное число а, равное тангенсу угла между ребром и осью ординат.

Пусть а = — — несократимая дробь. Ребро диаграммы Ньютона с показателем а назовем четным, если одно из чисел т и п четно, и нечетным в противном случае.

Рассмотрим ребро I диаграммы Ньютона системы (1) с показателем а = —, где — — несократимая дробь. Члены разложения (2) сгруппируем таким образом,

П

что

уХ (ж,у)=Е Хк (x,y), ху (ж,у)=Е Ук (x,y), (3)

к=0 к=0

где

Хк (х,у)= X! азх1у, Ук (х,у)= £ Ызху3 — (4)

т+т;=к+ко т+тз=к+ко

квазиоднородные полиномы степени к + к0 с весами п и т переменных х и у соответственно, к0 > 0. Обозначим Гк(х,у) = пУк(х,у) — тХк(х,у). Положим

ж Х^ У Л —А - —1Х0 ш —1У0 - -ЬУ Л (5)

ф0 = —; Ф0 = - —; ф1 = -----------------^2--------, Ф1 = -------^2----- = -аф1. (5)

Го -0 -0 -0

Определение Г-невырожденного векторного поля дано в [3]. Множество Г-невырожденных векторных полей с монодромной особой точкой ноль обозначим Мг.

Пусть диаграмма Ньютона векторного поля V состоит из двух ребер I и I с показателями а = —, а = — соответственно, где а > а. Для каждого из ребер можем рассмотреть разложения вида (3)-(4). Функции, аналогичные Хк, Ук, —к, Ф0, Ф1, Ф0, Ф1 и соответствующие ребру I, обозначим Хк, Ук, —к, ф0, Ф1, Ф0, Ф1.

Через

//(£)1£ обозначается интеграл Адамара [5] от функции /(х) (конечная

часть несобственного интеграла), —то < а < Ь < +то.

В настоящей работе доказана следующая теорема.

Теорема. Пусть диаграмма Ньютона Г векторного поля V состоит из двух четных ребер I и I с показателями а = т и а = т (а > а), где т и т — несо-

ГГ п П ^ '7 п п

кратимые дроби; V — Г-невырожденное векторное поле с монодромной особой точкой (0, 0); (а,Ь) — векторный коэффициент вершины диаграммы Ньютона, соединяющей ребра I и I, причем

пЬ — та

Л = ^-----~ 1

пЬ — та

Тогда преобразование монодромии особой точки (0,0) векторного поля V при подходящем выборе трансверсали имеет асимптотику вида

Д(р) = Р(1 + С2РХ + o(РX)), Р ^ 0, при этом в случае четного т уравнение С2 = 0 эквивалентно уравнению

--те „ 5 „

[ фl(1,w)ex^ фо(1,С)dCdw

w

o

С

О.

(б)

В случае нечетного т и четного т уравнение С2 = 0 эквивалентно уравнению

С

т

(7)

В случае нечетных m и m уравнение С2 = О эквивалентно уравнению exp Л

+те

-

ї o(w,1)

dw

+

--те

і

o

/ Ф 1W,1) exp f Фo(55,1) dCdw +

-o -w

J exp dCdw = О.

(8)

Дополнительно, если 1 = тп — тП > 1, то большие интегралы сходящиеся.

Случай Л > 1 сводится к случаю Л < 1 заменой переменных х ^ у.

Легко доказывается предложение.

Предложение 1. Левые части уравнений из формулировки теоремы не являются тождественно нулевыми функциями на множестве Мг.

Если С2 = 0, то особая точка — фокус. Поэтому граница устойчивости в классе Мг задается уравнением С2 = 0.

Далее доказывается теорема.

— ОО

— ОО

1. Раздутие особенности

В положительном квадранте х > 0, у > 0 рассмотрим замену переменной

х = шг”, у = гт. (9)

Пусть £! — малые положительные числа, й = тп — тп. Образом прямоугольника Р^ = {(г,ш) : 0 < ш < £-й/а, 0 < г < е^ при отображении (9) является

некоторый криволинейный сектор с вершиной в начале координат.

В положительном квадранте х > 0, у > 0 рассмотрим замену переменной

х = г”, у = гтш. (10)

Образом прямоугольника Р| = {(г,Ш) : 0 < го < е-й, 0 < т < е2, е2 > 0} при отображении (10) является некоторый криволинейный сектор с вершиной в начале координат.

Пусть I и I — два ребра диаграммы Г с общей вершиной с. В малой окрестности нуля между секторами Р^ и Р^ имеется «зазор» в виде криволинейного сектора £с. Замена переменной

х = Л”, у = (11)

отображает прямоугольник Рс ={0 < и < е”, 0 < V < £”} в сектор $с. Подробнее метод раздутия особенностей, связанный с диаграммой Ньютона, описан в [6].

2. Отображение соответствия в окрестности седла

Согласно [3] следующие условия являются необходимыми и достаточными условиями принадлежности векторного поля V множеству Мг:

1) многочлены Р(±1, ±ш) и Р(±1, ±ш) не имеют вещественных корней;

2) Р(0,1) = 0, Р(1, 0) = 0, 3) Л > 0.

В прямоугольнике Рс обозначим через Р1 сторону V = £”, а через Р2 — сторону и = е”. При малых е и $ определено отображение соответствия ф : Р1 ^ Р2 вдоль траекторий векторного поля У, полученного после замены (11) с последующим делением на некоторые степени и и V и определенного в прямоугольнике Рс. Далее предполагаем, что Л < 1.

Везде ниже через ох (1) обозначается бесконечно малая от х при х ^ 0.

Лемма 1. Отображение ф имеет асимптотическое разложение вида

V = ф(и) = Соил(1 + с1ил + о(ил)), (12)

где с0 = (1 + 0(е”))(1 + ой(1))£”е-л”, с1 = (1 + ой(1))£”е-л”(в0 + 0(е”)), причем в0 = 0, если й > 1.

Доказательство. Напомним, что в секторе £с производится степенная замена (11) с матрицей показателей Сс = ^ П 5 ^ . Набор собственных значений матрицы линейной части векторного поля V в особой точке (и, V) = (0, 0) получается

из векторного коэффициента вершины с с помощью преобразования Сс 1 [3]. Векторное поле V задает систему

u = u^ + a1(u, v)), V = —і(Л2 + a2(u, v)),

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(1З)

где Л1 = ПЬ — та, Л2 = пЬ — та, (а,Ь) — векторный коэффициент вершины с. Поскольку исходная особая точка является монодромной, то особая точка (0,0) системы (13) является невырожденным седлом (Л = Л2/Л1 > 0). Расстояния между точками носителя системы (13), расположенными на прямых г =1 и ] = 1, равны й = тп — Пт. Преобразования носителей при степенных преобразованиях описаны в [3].

Рассмотрим разложения а^и^) = а0(и) + а^и^ + О^2), а2(и^) = а2(и) + а^и^ + О^2). Повторяя доказательство леммы 3.3 из [6] для случая г =1, 5 = 2 и леммы 3.5 для случая р =1, д = 2, получаем следующую лемму.

Лемма 2. Пусть Л < 1. Отображение соответствия для системы (13), переводящее луч V = 5 в луч и = е, имеет разложение вида

где ei(s) является аналитической функцией от £ при £ = 0, причем в^) = O(e), если свободные члены а^£) и а1(£) равны 0.

Если d > 1, то свободные члены а1(£) и а^(£) равны 0 (это следует из того, что расстояния между точками носителя, расположенными на прямых i = 1 и j = 1, равны d = mn — Пт). Подставляя £n вместо £, ёп вместо ё, получим формулу (12). □

Обозначим через Г1 (Г2 соответственно) стороны прямоугольников Pi (р? соответственно), задаваемые уравнениями w = ё-a (W = £-d соответственно). При малых £ и ё, £1, £2 определено отображение соответствия ^ : Г1 ^ Г2.

Предложение 2. Отображение <р имеет асимптотическое разложение вида

в = Ь/а — показатель вершины с, причем в0 = 0, если й > 1.

Доказательство. Из формул (9)-(11) следует, что координаты на Р1 и Г1 связаны соотношением г = и5а, а на Р2 и Г2 — соотношением V = е-”г. Подставляя эти соотношения в (12), получим (14), где

V = (1 + 0(є))(1 + o6(1))5 0Л (1 + 5(1 + o6(1)K^y + o(uЛ)),

Ф = p(z) = p0z Л(1 + plzл + o(z^),

(14)

где

~ х —de —d

p0 = (1 + 0(є”))(1 + o6(1))5an(e—а)єп(в—а),

(15)

(16)

с —dfi ~ \ ~

Рі = (1 + o6 (1))5 є-тіЛ(в0 + 0(є” )),

Учитывая, что

тЛ —йв —й

П-----= “^ =л , П — Лп=^ =л , (17)

а ап(в — а) п(в — а)

получаем (15)—(16). □

3. Отображение соответствия в прямоугольниках, соответствующих ребрам

Обозначим через д(г) отображение соответствия в прямоугольнике Р^, переводящее сторону ш = 0 в сторону Г1, а через f (ф) — отображение соответствия в прямоугольнике Р?, переводящее сторону Г2 в сторону ш = 0.

Лемма 3. Имеют место разложения

д(г) = &0^(1 + &1г + о(г)), (18)

где

Ь0 = ехр / йш, Ь1 = / ехр/^%1-Л£Лш, (19)

3 ш ] ш ] С

0 0 0

f (Ф) = а0т(1 + а^ + о(ф)), (20)

где

0 _ 0 _ ш _

[ Ф0(1,ш) Л /ф 1(1,ш) />Ф0(1,С) ЛСЛ (21)

а0 = ехр ------------аш, а1 = а0 ------------------------------------ехр - -а£аш. (21)

3 ш ] ш ] С

^ А ^ А 0

Доказательство. Сделаем в системе (1) замену переменных (9), получим

Лф г

— = - (Ф0(ш, 1) + гФ1(ш, 1) + о(г)). (22)

аш ш

Аналогично после замены (10) получаем

^ = 4(Ф 0(1, гт) + ФФ 1(1,гу) + о(ф)), (23)

аш ш

где Ф0, Ф1, Ф0 и Ф1 определены формулами (5). Решая уравнения в вариациях

вдоль решения г = 0 уравнения (22) и вдоль решения ф = 0 уравнения (23),

получаем формулы (18)—(21). □

4. Отображение соответствия в первом квадранте

Рассмотрим в окрестности начала координат в первом квадранте плоскости (х, у) отображение соответствия для исходной монодромной особой точки, переводящее ось у в ось х. Этому отображению после применения процесса раздутия особенностей соответствует отображение соответствия А, переводящее сторону ш = 0 прямоугольника Р? в сторону ш = 0 прямоугольника Р? вдоль траекторий

векторных полей, полученных после раздутия. В качестве параметра на стороне т = 0 возьмем координату г, а на стороне т = 0 — координату 5. Из (14), (18)-(21) получаем разложения

) = Д(5 ) = £о5Л (1 + £і5Л + о(5Л)), (24)

_1 1 1

5 = Д-1(г) = Е0 л5л(1 - -Е0"1Еі5 + о(5)), (25)

Л

где

Ео = йоРо^, Е = (рі + аіРо)&Л, (26)

а0, Ь0, Ь1 определены формулами (19), (21), р0, р1 определены формулами (15), (16).

Лемма 4. Ео = А0В0, Е1 = А0В01, г^е

0 = А0В0, Е1 = А0В0І

<і ~ dв

є - а) ао = ао + 0(єп), В0 = Ііт 6 аП(в -6^ 0 < А0, В0 < то

3 ——0

I

причем если Л > 1, то интеграл сходящийся.

Доказательство. Исследуем асимптотику ф0(1,ш) при ш ^ то. Из определения ф0(1,ш) получаем, что

ф Х0(1,ш) ашгаМ +... 1 -.-/ч /ч

ф 0(1,ш) = —------- = --------;—т ------- = -ТТГ?, ГГ + ф(ш), (28)

Р0 (1,ш) (пЬ — т а)ш”№ + ... п(в — а)

где ф(ш) = О(ШП ) при ш ^ +то, пЖ равно проекции ребра 1? на ось ординат, а многоточие означает степени, меньшие пN и кратные п. Отсюда

0 „ 1

____А ____А Г ф0(1,шК [ ( 1 ф(ш)\

е - а) а0 = е - а) ехр -----------аш ехр ——---- ---1---------аш =

J ш ,/ \п(в — а)ш ш /

1 £ — А 0 „ 1 = ехр /* ф0(1,ш) Лшехр / Лш = А + О(егй). шш

1 £ — А

Аналогично исследуем асимптотику Ф0(ш, 1) при ш ^ то :

т / У(ш, 1) в т / \

Ф0(^ 1) = ——гг =----------ТЪ-V + Ф(ш)

г0(ш, 1) п(в — а)

где Ф(ш) = О(1/шт) при ш ^ то. Отсюда

г - А/а

Ь^ = ехр Л [ Лш

1 &-л/°

ехр Л / 1) Лш ■ ехр Л [

ш

1

в

+ О^“Г+Т)) Лш.

п(в — а)ш шп+1

Из определения Л получаем, что — „(в°а) = — п(вва) = а(п — —). Отсюда

5а (п а ^Ьд = ехр Л

Ф0(ш, 1)

п(в—а) п(р-а) 1

ё-л/а

ш

Лш ■ ехр I О( т+1 )Лш ^ В0 < то

ш

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

при 5 ^ 0. Заметим, что А(г) не зависит от е и 5, следовательно, коэффициенты его асимптотического разложения не зависят от е и 5 и равны пределу самих себя при е, 5 ^ 0. Отсюда, переходя в Е0 из (26) к пределу при е, 5 ^ 0, получаем, что Е0 = А0В0. Исследуем далее коэффициент Е1 из (26):

Е1 = (р1 + а1р0)Ьо = В0 1!т [(1 + °°(1))е пЛ(в0 + О(еП)) +

£,0—> 0

+ (1 + О(еп))(1 + о0(1))епв-аа^ / ф 1(1,ш)ехр / ф0(^1,С)асаш

В0 Пт

£0

е-пЛ(в0 + О(еп)) + е а0(1 + О(еп))

С

ф 1(1,ш) /ф0(1,С)

ехр

0

С

асаш

В0А0 Пт

= В0А0

£0

пЛ

0 _ ш _

г ф 1(1,ш)ехЛф0(1,с) асаш + (в0 + о(ега))

/ ш ] С А

-А 0

< то. (29)

Поскольку предел выражения в квадратных скобках конечен, по > поЛ, то второе слагаемое в квадратных скобках не содержит нулевой степени е, и значит, предел выражения в квадратных скобках равен интегралу Адамара

1

— а

£

0

— а

£

ф 1(1, ш)

и>

ехр

ф 0(1, с) с

асаш.

Если а > 1, то во = 0, таким образом, второе слагаемое в (29) стремится к нулю,

и потому получаем, что предел интеграла конечен.

0

ш

5. Асимптотика преобразования монодромии

Пусть Бх, Бу — отражения плоскости (х,у) относительно осей х и у соответственно, Бху = Бх о Бу. Образы векторного поля V при отражениях Бх, Бу, Бху обозначим Vх, Vу, Vху соответственно. Рассмотрим в первом квадранте эти четыре векторных поля и применим к ним описанный выше процесс раздутия особенности.

Отображение А для случая отраженных векторных полей будем обозначать Ах, Ау, Аху соответственно. Величины I, а0, Ь0, А0, В0 для отраженных векторных полей обозначим той же буквой, но с соответствующим индексом вверху.

Из [3] следует, что если т четно, то

у ху

а0 = а0, а0

(30)

если то нечетно, то

если т четно, то

если т нечетно, то

х ху у

а0 = а0, а0 = а0,

ьу = Ь0, ЬХ = ЬХу,

Ь0 = ЬХ, ЬХу = Ьу.

(31)

(32)

(33)

Преобразование монодромии А0 исходной монодромной особой точки раскладывается в суперпозицию А0 = А-1 о Аху о А-1 о А. Непосредственно подстановкой (24) в (25) для случая Vх, а также (24) для Vxy в (25) для Vу получаем разложения:

А-1 о А(г)

А°Б0 ^ " г (1 + Л^0^0(1 — Р)гА + о(гА)

Ах вх

А0 в0

/ Аху вху\ л / 1 \

А-1 о Аху (г) = ( ^ 1 + ЛАху вху (Iху — 1у )гЛ + о(гЛ^ .

(34)

(35)

I — I _ 1х

ф 1(1,ш)ехр / ММ! асаш

ш

с

Подставляя (34) в (35), получаем асимптотику преобразования монодромии

А0(г) = г(1 + С2 гЛ + о( гЛ)),

где

С2 = 1АД,/ + 1 В0у Ау /у, /у = Ixy — Iy.

ЛЛ

ху ху А0В0А0 В0

При этом мы учли, что —;———, у = 1 согласно (30)—(33). р ^ ’ А^Ауву V 7 V 7

Далее предположим, что т четно. В этом случае !у = —I, Iху = —Iх [3], а значит,

1

Л'

Отсюда, уравнение С2 = 0 эквивалентно уравнению Iх — I = 0 или, что то же самое, уравнению (6).

С2 = Т(АД) + В0у Ау XI — Iх).

х

а

о

6. Случай нечетного т

В этом случае произведем раздутие в секторе Б? несколько иначе. Разобьем его на два сектора Бо и Б0 так, что Бо является образом прямоугольника Р? = {(г, ш) : еа < ш < е-п, 0 < Ф < е2} при замене переменной х = ШФп, у = Фт, а Б0 является образом прямоугольника Ро = {(ф,ш) : 0 < ш < е^™, 0 < ) < е3} при замене переменной х = Фп, у = Фтш, е* > 0, г =1, 2, 3.

Через / обозначим отображение соответствия в прямоугольнике Р?, через /0 — отображение соответствия в прямоугольнике Р0. Аналогично предыдущему пункту вычисляются асимптотики отображений соответствия:

/ (5) = аоФ(1 + а^ + о(Ф)),

(36)

где

[ Фо(г 1) Л

а0 = ехр ---------------аш, а1

ш

Ф 1(г 1) ехр / асаш, (37)

ш

А

£ а

А

£ а

А

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

£ а

с

/о(ф) = ао)(1 + а1) + о(ф)),

где

0 ~ 0 ~ ~

- /фо(1,шЬ - - /ф 1(1,ш) />фо(1,с)^л

а0 = ехр / --------аш, а1 = а0 / ----------ехр / --------асаш.

шш

,_?т -т

£1 £1

Отсюда для / = /о о / получаем асимптотику

с

/(ф) = йог (1 + Й1Ф + ...),

(38)

где й0 = аоа ое-1, й1 = а1 + а1е-1а 0. Из леммы 1, учитывая отображение склейки на сторонах прямоугольников для отображения ^ :Г1 ^ Г2 (Г1 и Г2 — стороны прямоугольников Р^ и Р?, соответствующие трансверсалям Р1 и Р2), получаем

2: = <^(ф) = еа 5 с0фл(1 + с15 афл + о(гЛ)),

(39)

где с0 и с1 определены в формулировке леммы 1.

Обозначим Ао = Пт аое-1еа-Лп, Во = Пт 5п- Ьд.

£,£1 ——0

00

Лемма 5. Ао = ехр

/ Лш, Во = ехр Л

/

Фр(ш,1)

аш

Доказательство. Как показано в пункте 4, Ф0(ш, 1) = — п(в-а) + Ф(ш), где Ф(ш) = 0(щт) при ш ^ то. Отсюда и из (19) 5п-^Ь;

\

ехр

( 1

Л / л, + Л

_ А (5 а

Ф(ш)

аш

ш

ш

Во = ехр Л

Фо(ш, 1)

аш .

ш

1

ш

—>

Аналогично

^+^ір , где фі(£ )=°(у) пРи с

Фо(С,1)

в

+

*2(0

С П(в - а)С С

Отсюда и из (37)

Л-й

где *2(С) = 0(Ст) при С ^ 0.

\

(40)

(41)

Фо(т, 1) , , ,т . ,

---------Ат — 1п є1 + (-----Лп) 1п є

т а

/

ехр

/1 £Г \

Ф2(Ш) Ат + [ ф1<ю>А»] ^ Ао = ехр

/

і т ] т

V а V а 1

15 о(т, 1)

Ат

т

(42) □

Отображение соответствия А(ф) для первого квадранта есть суперпозиция

Д(ф) = / о ^ О £(ф).

Лемма 6.

Д(ф) — ЕоФ Л(1 + Еі фЛ + о(фЛ)),

где

Ео = Аово, Еі = во

151(т, 1)

ехр

Ф о(С, 1)

С

АС Ат

(43)

(44)

причем если А > 1, то интеграл сходящийся.

Доказательство. Из (36), (38), (39) получаем (43), где

Ео = аоє т соё—^ ЬЛ = ао«оє—1є т—Лпёп— ^ 6*(1 + о£’й (1)),

Е = с^-^ЬЛ + Й1е а со5-"аЬЛ = (1 + ой(1))5п-^ЬЛе-Лп(во + 0(еп))

+ (а 1 + а1е-1ао)е т-Лп 5п- ^ ЬЛ(1 + ой (1))(1 + 0(еп)).

Учитывая, что Ео не зависит от е,5, е1, а также, что )0 ^ 1 при е1 ^ 0, и лемму 5, получаем, что Ео = А0В0. Е1 также не зависит от е,5, е1. Учитывая, что е-Лп0(еп) ^ 0 при е ^ 0, а1 ^ 0 при е1 ^ 0, получаем, что

Еі = 1іт Во(воє—Лп + аієа—Лп(1 + 0(єп))).

в,вх^о

ҐШ

Исследуем второе слагаемое в скобках:

1

-1

а_дп а_дп I Фо(С, !) ^ ф1(w, !) [ фо(С, 1)

а1е “ = а0е “ exp - -df -exp - -dfdw

J f J w J f

-n d 1

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

£1 £ а

w

1 £1 ~ W _

a °£m _ЛП exp / df / Ф 1(w’ ^ exj^l dfdw.

w

d £ а

1

Из (42) следует, что a0em Лпe_1 = A°(1 + o£(1))(1 + o£1 (1)), где

1 + o£(1) = exp

Ф 2 (w)

dw.

w

d £ а

(45)

Отсюда

1 £ n

(1 / ~ \ £1 ~ w „

exp ^ °(f1) + -^df j ex^-^°^^dfdw+

£-n ' ' £ d 1

в°е_пл(1 + O(en))

(46)

A°(1 + o£(1))(1 + o£1 (1)) y

Исследуем поведение подынтегральной функции в большом интеграле (46)

W ~

в точках w = +то и w = 0. Согласно (40) exp / Ф°(^’1)df = |w|_nG1(w), где G1(w) ограничена при w ^ то, согласно (41)

/*Ф°(£, 1) в

exp J ------f-----df = |w| й(в-а) G2(w),

(47)

где С2(») ограничена при . = 0.

Заметим, что степени /^(эд, 1) и !о(», 1) совпадают. Пусть они равны N, deg(X0(w, 1)) < N — ш < N. Оценим степени 1) и УЦ», 1).

Пусть уравнение прямой, на которой лежит ребро I, имеет вид ш + rhj = d0. Так как точка (^ 0) лежит на этой прямой, d0 = /N. Носители многочленов Х/1(х,у) и 1/1(ж,у) лежат на прямой ш + = flN + 1, поэтому степени много-

членов Х/1(^, 1) и УЦ», 1) не превосходят N + 4. Так как при нечетном т число / четно, эти степени не превосходят N. Отсюда

/ и», 1) = —ш*1(го, ^^Д-.у- д) = о(»7).

1

о

где 7 <0. Следовательно, подынтегральная функция в большом интеграле (46)

есть О (-------г ) при — ^ то, где п — 7 > 0, а значит, интеграл сходится в бес-

V—1-7+ я/ п

конечности.

Переходя в (46) к пределу при е 1 ^ 0, получаем

и

Е1 = Ао Во Пт ехр £——0 1

1 ~ +<^ ~ „

[ Фо(С,1)d^ £1(—1) ехр/^Мd£d—+ (48)

С 7 — 7 е

во е-пЛ(1 + О(еп))

А.

£ а

Ао (1 + о£(1))

Исследуем поведение подынтегральной функции в большом интеграле (48) в точке — = 0.

1) d > 1. В этом случае в0 = 0. Пусть вершина с диаграммы Ньютона имеет координаты (г,^). Тогда /'10(—, 1) делится в точности на —г, Хо(—, 1) и Уо(—, 1) делятся на —\ Отображению раздутия (11) отвечает линейное преобразование

плоскости показателей с матрицей СС = ( П Ш |. Оно отображает ребро I

С \и т ]

в вертикальный отрезок, а ребро I — в горизонтальный отрезок, причем расстояние между точками носителя на вертикальном и горизонтальном отрезках равно d = ти — ти. Поэтому, если d > 1, то образы носителей многочленов Х1(х,у) и 1/1(ж,у) не содержат точки на вертикальном отрезке и абсцисса самой левой точки образов этих носителей строго больше 1.

Прообраз вектора (1,1) при отображении СС имеет координаты (г,/), где г = т-т. Поэтому многочлены Х1(», 1), УЦ—, 1) делятся на х1, где I > г + т-т.

Отсюда ———,—) = О Г—-1+ ^ ^ , а в силу (47) подынтегральная функция в (48) — V /

1+ т —т__в \ / 1т/1\ч\

— ^ й(в—= О (— +а(1-Л) 1, и потому интеграл сходится. Таким

образом, при d > 1 существует предел большого интеграла в (48) при е ^ 0. Следовательно,

Е = АоВо ехр

0 1

[ Ф1(—,1)

Во --------------ехр

0

£о(^’1) d£d— .

2) d = 1. В данном случае многочлены Х1(—, 1) и У1(— 1) делятся на —1 т,

—1(—, 1) м 1 А

поэтому -------- = О —------ при — ^ 0, а поскольку при d =1 справедливо

— у—1+ту

равенство — п(в-а) = т — тЛ, то подынтегральная функция в большом интеграле (46) есть О (—1+то ) при — ^ 0, то есть большой интеграл расходится.

Исследуем подынтегральную функцию в (45):

^(С) Фо(С, 1) , в Й(С. 1) , в

+ _ , ~ гтт —-------—:----:—г

С С П(в — а)С С—о(С, 1) П(в — а)С>

где Т?Ъ(|71) — /(С) — рациональная функция от Ст такая, что / (0) — п(в-_а),

—(0,1) — 0. Поэтому / (С) — / (0) + ^2 /С"1^ в окрестности С — 0. Отсюда

Й=1

0

ехр / Ф2^^С — 1 + 0(ега). Поэтому последнее слагаемое в (48) не содержит нуле-

1 ^ в а

вой степени е, а значит, предел выражения в круглых скобках (48) есть интеграл Адамара. Отсюда с учетом формулы для Ао получаем (44). □

Обозначим через I внешний интеграл Адамара в (44). Тогда

Д(ф) — ЕоФЛ (1 + Е^ + 0(фл)), Д-1(ф) — Е-1 ф1 (1 - 1 Е-1^ + О(ф)),

Л

где Ео — АоВо, Е — Во1. ^

Отсюда (ДХ)-1 о Д(ф) — Го^(1 + Г1ФЛ + 0(фл)), где Го — ^ЕХ^ — ^

1 Е 1

Г1 — -т(Е1 — — ЕХ) — —Во(1 — IХ), причем мы учли, что Ао — АХ (в силу

Л ЕХ Л

/ Аху вХу\ 1

О.,, Т(» фЛ + 0(фЛ)), где Гоо — (^ :

нечетности т).

Аналогично (ДУ)-1 о ДХУ(ф) — ^ф(1 + г1 фл + 0(фЛ)), где г(

\ Ао во

гу — Л ВТ (IХУ — IУ).

Отсюда До(ф) — (ДУ)-1 о ДХУо (ДХ)-1 о Д(ф) — гУгоф(1 + (г1 + г^У)фЛ + 0(фЛ)),

У ^ АХУ ВоХУ АоВо ^ 1 1 ^ , Л У 1ъ,т т^, 1ЪХУ,ТХУ ™ АоВо

где ГоГо — (^ АоВУАХВХ ) — 1, С — г1 + гЛг? — ЛВо(I— ЛV^ — ^) АВХ•

Уравнение С2 — 0 эквивалентно уравнению

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

££(! — Iх), ВТ(^ — ^) —0. (49)

Так как т нечетно, выполняются равенства Iх — — I, Iху — — IУ. Следовательно, (49) эквивалентно уравнению

££! — ВХУ Р — 0. (50)

В случае, когда т четно, — ВХ, следовательно, (50) эквивалентно уравнению

I — !У — 0. (51)

Делая замены переменных С ^ — С, м ^ — ад, получаем, что

Ш „ о „

Iy — р х е 1) 3 ^1— у Ф°(—С1)йсйм — р х е 1)

3 м

о о

Ш

поэтому (51) эквивалентно уравнению

+го ~ V _

а х е 1) у Фо(^1)

3 w

— го 0

Поделим это уравнение на ехр / ф, получим утверждение теоремы в слу-

0

чае нечетного т и четного т.

В случае, когда т нечетно, ВХ = В0, ВХУ = ВУ, поэтому (50) эквивалентно

-§?71 = IУ. Поскольку Вуу = ехр ( А

+ ГО

ехр

і +го \

А 3 43 1 (0

/ w

1 — го у

+ ГО ~ V „

[ 1) ех/ Ф°(^ 1) +

w

£

+

^і(^ 1) ехр / = 0.

w

Теорема полностью доказана.

— ОО

0

Список литературы

1. Арнольд, В. И. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления / В. И. Арнольд, Ю. С. Ильяшенко // Итоги науки и техники. — 1985. — Т. 1. — С. 7-149.

2. Медведева, Н. Б. Главный член преобразования монодромии монодромной особой точки линеен / Н. Б. Медведева // Сиб. мат. журн. — 1992. — Т. 33, № 2. — С. 116-124.

3. Березовская, Ф. С. Асимптотика преобразования монодромии особой точки с фиксированной диаграммой Ньютона / Ф. С. Березовская, Н. Б. Медведева // Тр. сем. им. И. Г. Петровского. — 1991. — Вып. 15. — С. 156-177.

4. Воронин А. С. Устойчивость монодромных особых точек с фиксированной диаграммой Ньютона / А. С. Воронин, Н. Б. Медведева // Вестн. Удмурт. ун-та. Сер. Математика. — 2009. — Вып. 3 — С. 34-49.

5. Адамар, Ж!. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа / Ж. Адамар. — М. : Наука, 1978.

6. Медведева, Н. Б. Об аналитической разрешимости проблемы различения центра и фокуса / Н. Б. Медведева // Тр. МИРАН им. В. А. Стеклова. — 2006. — Т. 254. — С. 11-100.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.