Аналитическая разрешимость проблем! устойчивости в некоторых классах монодромных ростков Текст научной статьи по специальности «Математика»

АНАЛИТИЧЕСКАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ ПРОБЛЕМ! УСТОЙЧИВОСТИ В НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ МОНОДРОМНЫХ РОСТКОВ

Н.П.Крушина , Н.Б.Медведева*

Челябинский государственный университет

Доказана аналитическая разрешимость проблемы различения центра и фок са и проблемы устойчивости по Ляпунову в классе монодромных ростков, диаграм Ньютона которых состоит из одного отрезка.

Ключевые слова: устойчивость по Ляпунову, аналитическая разрешимоат монодромная особая точка.

Введение

Рассматриваются ростки в точке (0,0) € R2 вещественно-аналита ческих векторных полей с изолированной особой точкой (0,0). У такого ростка либо существует фазовая кривая, входящая в особую точку с определенной касательной (характеристическая траектория), либо не существует ни одной такой фазовой кривой. Во втором случае особая точка согласно ([1, с.90]) является монодромной, то есть для нее определено преобразование монодромии, переводящее некоторую гладкую дугу с началом в особое точке в себя вдоль траекторий векторного поля. Строгое определение монодромной особой точки и преобразования монодромии можно найти в [1, с. 89]. Из теоремы конечности числа предельных циклов [2] следует, что монодромная особая точка аналитического векторного поля на плоскости является либо центром, либо фокусом.

Пусть И-о ~ пространство всех росгков аналитических векторных полей с особой точкой (0,0) t R2; JqN - пространство iV-струй векторных полей с особой точкой (0,0j, Если W - подмножество Wo, го через W(N) будем обозначать множество Л'-струй ростков из W.

Определения. 1. Подмножество W С JoN называется алгебраическим многообразием, если оно задается конечным числом алгебраических уравнений на координаты N-струи.

2. Подмножество W С Wq называется полуалгебраическим множеством в VFo, если оно является объединением конечного числа подмножеств, задаваемых конечным числом алгебраических уравнений и строгих алгебраических неравенств на координаты N-струи (при некотором N, зависящем от W).

3. Подмножество W С JqN называется аналитическим множеством, * Частично поддержано по грантам № 1723 CRDF, d98-1294 ISSEP и 9801-00821 РФФИ

если его пересечение с некоторой окрестностью каждой своей точки в пространстве ^ задается конечным числом аналитических уравнений на координаты К-струи.

Определение []; 3].Задача о ростках векторных полей в особой точке (0,0) 6 И.2 алгебраически разрешима до коразмерности к включительно, если для некоторого N (зависящего от к) существует последовательность вложенных алгебраических многообразий

У0 Э V! Э ... 3 Ук э Ук+1, У0 = 1Д со<НтУ3=Ъ (1)

обладающая следующим свойством. Каждая из разностей Уг\У?+1 распадается на конечное число связных компонент (стратов); для любых двух росгков, -струи которых принадлежат одному страту, локальная задача имеет один и тот же ответ.

Например, если речь идет о различении устойчивых и неустойчивых ростков, то все ростки, /V-с тру и которых принадлежат одному страту, одновременно либо устойчивы, либо неустойчивы. Если речь идет о проблеме различения центра и фокуса, то все ростки, Ж-струи которых принадлежат одному страту, имеют в особой точке одновременно либо устойчивый, либо неустойчивый фокус.

Задача, алгебраически разрешимая до любой конечной коразмерности, называется просто алгебраически разрешимой.

Аналогично определяются аналитически разрешимые локальные задачи; множества У3 в этом случае должны быть аналитическими множествами, и вместо слов "конечное число связных компонент" следует сказать "локально конечное число связных компонент".

Можно говорить об алгебраической или аналитической разрешимости локальной задачи не в пространстве всех ростков \¥о, а ограничиваясь некоторым его полуалгебраическим подмножеством И '. Тогда в определении следует взять Уо = Ж(А^), 1де N таково, что У\1 определяется условиями на N - струю. Коразмерности множеств У3 определяются также относительно ИфУ).

Ростки из ]¥о, имеющие в нуле монодромную особую точку, будем называть монодромными. Все остальные - немонодромными. Множество монодромных ростков обозначим буквой М.

Из результатов Ф.Дюмортье [4] следует, что проблема различения монодромных и немонодромных ростков алгебраически разрешима. Более юго, множество М представляет собой счетное объединение

М = и аМа

полуалгебраических подмножеств различных коразмерностей, состоящих из монодромных ростков. Аналогичную структуру имеет множество \Vq\M немонодромных ростков.

Из результатов Ф.Дюмортье [4] следует, что проблема устойчивое по Ляпунову на любой полуалгебраической компоненте последнего мной тва алгебраически разрешима.

Как было обнаружено Ю С. Ильяшенко [5], существую! множес; Ма, на которых проблема различения центра и фокуса, а следовательно проблема устойчивости не является алгебраически разрешимой.

Перечислим классы монодромных ростков, проблема устойчивое в которых исследована с точки зрения алгебраической и аналитически разрешимости до любой конечной коразмерности. Сводка результатов этой проблеме имеется в [3] и [1].

М° (невещественные собственные значения матрицы линейной част сосЬт М° = 0);

М"1 (линейная часть нильпотентная жорданова клетка; являет счетным объединением полуалгебраических множеств различных кора мерностей);

М® (нет направлений входа; является счетным объединением полуа гебраических множеств различных коразмерностей).

В классах М° и М3 проблема устойчивости алгебраически разреш ма, а в классе М® - аналитически разрешима [1; 3].

Пусть V - росток векторного поля в особой точке (х,у) = (0,0) Тогд он задает систему уравнений

х-Х{х,у), у-У(х,у).

Умножим первую компоненту системы (2) на у, а вторую на г и разложи правую часть в ряд Тейлора:

оо оо

ух - Е Хл(х,у), ху = £ ¥л(х,у).

й-О <1=0

Пусть т,п - взаимно простые натуральные числа. При любых таких го, и некотором ¿о С N можно сгруппировать слагаемые в правой части (3 гаким образом, что

Х<1{х,у)= X] ¥с[{х,у)= Ьг}хгу3

- квазиоднородные полиномы степени ¿ + ¿0 с весами пит переменных и у соответственно.

Напомним (см , например, [6]), что для любого квазиоднородного щ линома й(х,у) с весами пит переменных х и у справедливо разложение

11{х,у) = х»у» П(уп-ьгхт),

где Ь, - комплексные числа. Множители вида х, у , yn—blxm будем называть простыми множителями многочлена R(x,y).

Определение. Скажем, что росток V принадлежит классу W%0m, если многочлен

F0{x,y) = УЬ(ж, у) - —.Х0(х, у)

не имеет вещественных простых множителей.

Из определения класса следует, что do должно делиться на п

и т, иначе многочлен Fo будет иметь простые множители х или у. Пусть ¿о = птК. Если хотя бы одно из чисел пК и тК нечетно, то многочлен будет иметь по крайней мере один вещественный простой множитель.

Множество можно следующим образом описать в терминах диаграммы Ньютона (определение см. в [1; 6]).Ростки из имеют диаграмму Ньютона, состоящую из одного отрезка, лежащего на прямой ni -f mj = do, концы которого лежат на координатных осях.

Согласно [6, п. 2.4], если do = птК при некотором К £ N и пК, тпК -четные числа, то множество является непустым полуалгебраическим

множеством, состоящим из монодромных ростков. Если Nq - порядок струи, условиями на которую определяется Wn°m, то W^m(Nо) является открытым подмножеством некоторого координатного подпространства в .

Ростки всех упомянутых выше классов в некоторой системе коорди-► нат принадлежат одному из классов вида А именно с учетом возмож-

ности замен переменных М° - W?д, М3 = |J W^, = {J Wfi.

п>1 ' п>2

Теорема 1. Проблема различения центра и фокуса в классе аналитически разрешима.

Теорема 2. Проблема устойчивости по Ляпунову в классе W£°m аналитически разрешима.

Замечание. Теорема 2 формально является следствием теоремы 1, поскольку из аналитической разрешимости проблемы различения центра и фокуса следует аналитическая разрешимость проблемы устойчивости по Ляпунову в том же классе ростков. Однако аналитическая разрешимость проблемы устойчивости по Ляпунову в классе монодромных ростков не эквивалентна аналитической разрешимости проблемы центра и фокуса в том же классе, поскольку в первом случае определение допускает существование страхов конечной коразмерности, состоящих из ростков, имеющих особую точку типа центр (устойчивая особая точка). Аналитическая разрешимость проблемы различения центра и фокуса подразумевает, что множество росг-ков, имеющих в нуле особую точку типа центр, имеет коразмерность оо. Тем самым доказательство теоремы 2 является частью доказатеньства теоремы 1.

В следующих пунктах доказывается теорема 1.

Рис. 1

1. Раздутие особенности

В [6] описан метод раздутия особенности векторного поля, связанный с диаграммой Ньютона. В случае диаграммы Ньютона, состоящей из одного ребра, этот метод состоит в следующем.

Окрестность нуля в первом квадранте плоскости переменных [х,у), делится на два сектора:

50 = ^ < у < ¿| , 5а = > у, ж < ¿>| ,

1де е > 0, Ь > 0. В секторс 5о делается замена переменных

х = ипь , у=ит, (1)

в результате которой он превращается в прямоугольник Р0 = {о < и < Аналогично в секторе 5} делается замена

х = , у = гты, (5)

в результате которой он превращается в прямоугольник (рисунок 1)

Р1 = |о < ю < 0 < 2 < 6»

Согласно [6], векторные поля, полученные после замен переменных У) и (5), не имеют в прямоугольниках Ро и Р\ особых точек.

Для того, чтобы исследовать исходное векторное поле в любом другом квадранте, кроме первого, его отражают в первый квадрант.

Пусть V - векторное поле. Обозначим через Vх, V", Уху результаты отражений векторного поля V относительно соответственно осей х, у и Последовательно х, у .

Все обозначения для отраженного векторного поля будут такие же, (сак для векторного поля V, но с соответствующим индексом вверху.

2. Суперпозиция отображений соответствия

Для векторного поля V £ на оси х вблизи начала координат

¡определено преобразование монодромии

Д : х А(х).

1р можно разложить в суперпозицию отображений соответствия

Д ~ Д4 о Д3 о Д2 о Да

Вля четырех квадрантов плоскости (х, у).

Отображения - Д4 можно рассматривать как отображения соответствия для отраженных векторных полей в первом квадранте. Например соответствует векторному полю Уху. Далее, каждое из отображений Дх - Д4 раскладывается в сунерпо Мщию двух отображений: для сектора 5о и для сектора 5г. Отображения Соответствия для сектора мы будем изучать, переходя к координатам в прямоугольнике Р\. Аналогично из сектора 50 перейдем в прямоугольник Р0. Обозначения для отображений соответствия в прямоугольнике Ро и Р\ приведены на рисунке 1. В качестве параметров в образе и прообразе отображений соответствия /1 - /4 в прямоугольнике Р\ возьмем координату г, на трансверсалях в прямоугольнике Ро - координату и.

Границы V = £т и т = 1/е прямоугольников Ро и Р\ соответственно соответствуют общей границе секторов ¿о и 5х. Связь между координатами и и 2 на этих границах такая:

х

¿г = и£т

(6)

3. Отображения соответствия в секторах ,5o и Si

Замена переменных (5) в системе (2) приводит к уравнению

E**xd(i,w)

аz d~0 i

dw nw^zdJ?Áhw) d~0

где Fd(x,y) = Yd(x,y)~ &Xd(x,y)

Раскладывая правую часть (7) по степеням г, получим

1 оо

dw nw , „

а=0

где

ЫХ>У) =

Х0(х,у)

Фо (х,у)= -тгт-г,

F0(x,y)

Xd{x,y)Y0{x,y)- Yd(x,y)X0(x,y)

Ф<й(х,г/) является полиномом от Рг{х, у)/ 1о(х,у), Х,{х,у) при г < (I та есть зависит от коэффициентов аг],Ь13 таких, что т + ту < doё

Заметим, что поскольку все полиномы Х^{х,у), d > 0 делятся на $ то все функции Ф<^(1,го) и Ф<(^(1,ги) делятся на и>

Решение £ = ср(г,т) уравнения (8) с начальным условием = ! при малых г можно представить в виде суммы ряда

оо

= , Со(0) = 1 , С'к(0) = 0 , /г > О (5|

<¿=0

Подставляя (9) в (8) получаем уравнения для коэффициентов Ск С0{т) =-Со{т) , Ск = -С к(ш) + Гк(т) ,

nw nw

(18)

ТкЫ = — (Ф*(1, ш)С"о+1 + С0Т<к) , к > 1,

nw

где Т<1, полином от Ф,(1, т), С,(и?) при г < А делится на ю Последовательно решая уравнения (10), получаем

[ Фо(1,т) Фк(1 ,т) к

Со - ехр / -dт , Ск = Со \ -С0(г)с!т + С<к(ы

] пт IУ гаг 4

(И

где

ш Т

0,к{ш) = [ г (12)

У пт о

зависит только от тех коэффициентов аг], Ьг], для которых пг + гп] < (1() + к

Пусть ЛГ^ таково, что пространство JQk включает все коэффициенты ау,6ц такие, что тгг 4- гп] < ¿о + к. Поскольку для ростков из подынтегральные функции в (И) и (12) не имеют особенностей на вещественной прямой, то и Ск являются аналитическими функциями от этих коэффициентов на при любом ик

Отображение соответствия /1(2) задается формулой

С = /1(2) = Ф, = Я02 + ^(а* + Г<к)гк^ ,

где

ао = Со(-) , ак = / Со(г)с/г, = £?<*;(-).

£ J ПТ £

О

Везде ниже будет обозначать аналитическую функцию на (в каждом случае свою) от а1],Ь1] таких, что пг + гп] < с1о + к

Аналогично, делая замену переменных (4) в системе (2), получаем отображение соответствия £ = для прямоугольника А'о в виде

V /ь=1

где

£ т

Ь0 = ехр / —--¿т , Ьк = ---ехр(/с / --—(¿£)с/г,

] пт ] пт ]

о оо

У0(®,У) ,Т| , , тХ0(х,у)Ук(х,у)-¥0(х,у)Хк{х,у)

Щг,У) = -тг,-7 > =---^27-ч-•

4. Коэффициенты отображений соответствия для отраженных

векторных полей

Коэффициенты отображений соответствия для отраженных векторных полей вычисляются аналогично.

Пусть

/ оо \ / оо \

к\г) = & 1 + ¿2(4 + '<*)** , /з(*) = фг 1 + +

\ ¿=1 / V

Аналогичные обозначения введем для коэффициентов отображений <?2> <?з\ например:

52(«) = ьМ 1 + 5>£ + г<*)

V ¿=1

и*

Коэффициенты и с индексами вверху выражаются по тем же самым формулам, что и сами а к , через функции Ф& и Ф^ с соответствующими индексами вверху, которые определяются аналогично Ф^ , Ф*. для соответствующих отраженных векторных полей. Из [6, с. 170] вытекает, что

Х?{х,у)У?{х,у) = Х1(х,~у)У,{х,-у) , (Р*(х,у))2 = Р2{х,-у).

Поэтому

= Ф ¿(а-,-у).

Аналогично

Ф7(ж.у) = ФД-ж,-^/), у)

5. Коэффициенты преобразования монодромии

Легко доказываются следующие утверждения. Предложение 5.1. Если

/ ОО \

к \

С = /И = «02 I 1 + ^а/с V /с=1

то

где ¿о = 1/ао . с1к = —а-к/ао + ¿к , (1к - полином от 1 /а0 и аг при {< к .

АНАЛИТИЧЕСКАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ ПРОБЛЕМЫ УСТОЙЧИВОСТИ 111 Предложение 5.2. Если

C = /i(*) = ao*^l + f>***) , /2(C) = СоС + £ '

т0 / ОО \

/20/1(2) = d0z ¡1 + dkzJ >

где do = яо^о, dk = flfc + с/с^о + dk , dk -полином от аг,сг при г < к . Преобразование монодромии Д есть следующая суперпозиция:

А = [/-4 0 (54 о 5з) о /з] о [/2 o(g2ogi)o /2].

Согласно предложениям 5.1 и 5.2,

Ьу ( 00 \

52 о 51(e) = ^ (! + E(fto - Ы + r<k)t*J ■ (13)

образе и прообразе (13) добавим отображение склейки (6) : С = ££"». Получим

Ьу ( 00 \

52051(0 = ¿С + Е((М™ ГЧ^ - Ьк) + г<,)С^ •

Аналогично

кх ( 00 \ 54°5З(С) = ^гС + - **") + г<Жк) ■

Согласно предложению 5.2,

/2 о 52 о 51 0 /1(2) = /ог + + ,

/Ж

I /„ — и.и -t- ^ »» » - 1 1 «/> — ни \ — *

Mo

Аналогично

/4 о 54 о 53 о /з(2) = Ы 1 + ¿(Я + r<k)zk ,

где

ху ix / ху \ к

/о = Л = «Г + e-Z (jjh) (bf - fcf) -

Применяя еще раз предложение 5.2, получаем

/ оо \

к \

к=1

где

¿о = /о/о, ¿fc = 4 + 4 = Л + Л/о = аь + (е-™ - h)+ (14)

txy\ к

(bt-bf)].

Заметим, что коэффициенты ¿¡^ преобразования монодромия не зависят от £, поскольку само преобразование монодромии не зависит от с, которое участвует только в промежуточных построениях.

Предложение 5.3, Величина £_i»ao/5o не зависит от £ и конечна. Аналогичное утверждение верно для всех отраженных векторных полей.

Доказательство. Величина е~™ао/Ьо равна производной в нуле ото бражения соответствия о /15 которое отображает ось х в ось у и не зависит от е.

В [6, с .176] доказано следующее утверждение

Предложение 5.4. /о = /¿.

6. Аналитическая разрешимость

Пусть Пк пространство коэффициентов ач, Ь1} при гаг + т] - 4 I к, к > 0; К<к пространство коэффициентов ач,Ъг] при гаг + mj < (1о + к;

Л<к = Ик + Я<к-

Коэффициенты ёк, к > 0, являются аналитическими функциями на \VpjNk) от переменных из Л<ь

Построим стратификацию (1). Положим Уо = где N как

угодно велико. Если ¿о ф 1 на У0, то положим = Уо П {¿о = 1}- Если раз ность ¿о — 1 знакопостоянна в Уо> то Уо целиком состоит либо из ростков, имеющих в нуле устойчивый фокус, либо из ростков, имеющих неустойчивый фокус. Тогда стратификация (1) состоит из одного Уо- Если разность

АНАЛИТИЧЕСКАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ ПРОБЛЕМЫ УСТОЙЧИВОСТИ 113

¿О - 1 не знакопостоянна в У0, то VI - аналитическое множество коразмерности 1 в Уо, причем У0 \ Ух локально состоит, как всякое аналитическое множество, из конечного числа связных компонент, в каждой из которых либо ¿о < 1) либо ¿о > что соответствует устойчивому или неустойчивому фокусу соответственно.

Если ¿о = 1 на Уо, то рассмотрим такое минимальное > 1, что неравно тождественно нулю в Уо- Такое к1 обязательно существует в силу следующего предложения.

Предложение 6.1. Если 6о = 1, то для любого К > 0, существует к > К такое, что коэффициент не является тождественно нулевой функцией на от переменных из Я^ при любых фиксированных

переменных из Л<к-

Предложение 6.1 будет доказано в следующем разделе.

Положим У\ = Уо П {¿^ = 0}. Если ф 0 в Уо ,то Уг пусто, а У0 полностью состоит либо из ростков, имеющих в нуле устойчивый фокус, либо из ростков, имеющих неустойчивый фокус. Тогда стратификация (1) содержит единственное множество У0. Если ¿^ не знакоопределено в Уо, то как выше является аналитическим множеством коразмерности 1 в Уо-

Далее по индукции. Пусть построены аналитические множества Уг коразмерности г в Уо, г = О,...,.?', причем Уг \ Уг-\ локально состоит из конечного числа связных компонент, каждая из которых содержит ростки либо с устойчивым фокусом, либо с неустойчивым фокусом, причем на множестве У, выполняются условия:

¿0=1, ¿¡С! = о,...,<5^ = 0, к3>], к,+1 > кг.

Пусть к3+1 - такое минимальное число, большее что ¿д. +1 не равно тождественно нулю на Ул (такое к3+\ существует в силу Предложения 6.1). Тогда положим У^+х = У, П = 0}. Если не обращается в ноль

на V] , то У, состоит либо из устойчивых, либо из неустойчивых фокусов и стратификация (1) конечна :

* • УоЭУ1Э...зУг

В противном случае имеет коразмерность 1 в или, что то же самое, коразмерность ^ в Уо.

Таким образом, мы достроили стратификацию (1) до коразмерности ] + По индукции ее можно продолжить до любой конечной коразмерности. Теорема 1 доказана.

Замечание. Если стратификация (1) конечна, то множество ростков из с особой точкой типа центр пусто. Однако это не так. Если йо = та К и тА', пК - четные числа, то росток

принадлежит и имеет особую точку типа центр. Таким образом, множество ростков из имеющих особую точку типа центр, непустой имеет бесконечную коразмерность.

7. Доказательство предложения 6.1

Из условия ¿о = 1 и предложения 5.4 вытекает, что /0 = = 1 Следовательно,

Sk = + + (15)

Величины bvk,bxk, bk, bky являются интегралами от ограниченных функций в пределах от 0 до £т, поэтому стремятся к нулю при £ —> 0. По формулам для ак

ак + 4У ~ 4 - а\ = (16)

£ £ Пусть m четно. Тогда для любого квазиоднородного полинома R(x,y) сге пени d с весами пит переменных х и у справедливо равенство R(~x,y) =

(-1 )dR(x,y). О i сюда Ф0(-1,О = $o(U), Ф*(-1,0 = (-1)*Ф*(1,0- По.

тому при нечетном к правая часть последней формулы равна

с

Коэффициент Ьк является полиномом первой степени от переменных

из Rk при фиксированных переменных из R<k- Поскольку Sk не зависит от

s, то и коэффициенты этого полинома не зависят от £. Покажем, что по

крайней мере один из этих коэффициентов отличен от нуля. Заметим, что

N

У0(1,г) ф 0 для ростков из W¿°m. Пусть Хк(х,у) = хт°уп° £ А,хтгуа^~г),

г=0

по < п, то < т. Toi да коэффициент при Аг в выражении для 6к равен коэффициенту при А, в формуле (15), а также равен пределу самого себя при £ —' 0. Таким образом, согласно (17), он равен

2 v.p.j^ --exp J J dr. (18)

Нетрудно показать, что существует сколь угодно большое нечетное то среди степеней вида г"о+п(Лг-»)-1^ возможных при таком к, встретятся все мономы, из которых составлен многочлен Уо(1,г). Поэтому если предположить, что при умножении на все степени указанного вида получается нулевое главное значение, то составляя линейную комбинацию интегралов со степенями в числителе и с коэффициентами как у многочлена К0 (1, г), получим нулевое главное значение вида (18), где в числителе дроби перед экспонентой стоит У02(1,г), то есть подынтегральная функция неотрицательна. Полученное противоречие доказывает, что найдется нечетное к и номер г такие, что коэффициент при /1г отличен от нуля.

В случае нечетных п и то, из формулы Фк(—х,у) = (-1)кФк(х,-у) при четном к получаем формулу (17), и из нее - тот же результат. Случай четного п рассматривается аналогично.

Таким образом 6к не является тождественно нулевой функцией на Як при любых фиксированных переменных из Н<к на °т(Л,г/;)• Предложение 6.1 доказано.

Список литературы

1. Арнольд В. И., Ильяшенко Ю. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения, 1 // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. T.l. М., 1985. С. 7-149.

2. Il'yashenko Yu.S. Fmtteness Theorems for Limit Cycles // Translations of Mathematical Monographs. Vol 94, AMS.

3. Ильяшенко Ю.С. Алгебраически и аналитически разрешимые локальные задачи теории обыкновенных дифференциальных уравнений // Тр. семинара им И.П Петровского. 1987. Выи. I? С. 118-136.

4. Dumortier F. Singularities of bectorfields on the plane 11 .loui.Diff.Equa. 1977. Vol 23. P. 53-106.

Ь. Ильяшенко Ю.С. Алгебраическая неразрешимость и почти алгебраическая разрешимость проблемы центр-фокус // Функи. анализ и его прил. 1972. Т.6. №3. С.30-37.

5. Березовская Ф. С., Медведева Н. Б. Асимптотика преобразования монодромии особой точки с фиксированной диаграммой Ньютона // Тр. семинара им. И. Г. Петровского. 1991. Вып. 15. С. 156-177.

SUMMARY The analytical solvability of the Lyapunov stability problem and the problem of distinguishing the center from the focus in the some class of monodromic germs is proved. •