CC BY
35
В. В. Басов, А. А. Федотов
ОБОБЩЕННАЯ НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА
ДВУМЕРНЫХ СИСТЕМ ОДУ С ЛИНЕЙНО-КВАДРАТИЧНОЙ НЕВОЗМУЩЕННОЙ ЧАСТЬЮ*
Введение
Одним из основных методов локальной качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений является метод нормальных форм, в рамках которого формальные или аналитические автономные системы в окрестности особой точки приводятся формальными, а если удается, то и аналитическими обратимыми заменами, к различным более простым системам, называемым нормальными формами (НФ).
В зависимости от наличия или отсутствия ненулевых собственных чисел у матрицы линейной части нормальные формы разделяются на резонансные или обобщенные.
Теория резонансных нормальных форм (РНФ) или нормальных форм Пуакаре, включая промежуточные и вторичные НФ, окончательно сформировалась к семидесятым годам прошлого века. Помимо сравнительно простой, благодаря жесткой структуре НФ, формальной теории, она включает в себя аналитическую теорию, посвященную вопросам сходимости и расходимости нормализующих преобразований.
Теория обобщенных нормальных форм (ОНФ), но только формальная, поскольку в ней нельзя рассчитывать на сходимость нормализующих замен, продолжает активно развиваться и в настоящее время.
Существует много различных определений ОНФ, зависящих как от выбора в исходной системе членов младших порядков, используемых для ее нормализации, так и от требуемой степени упрощения системы. Далеко не все определения являются конструктивными и требуются серьезные усилия с привлечением элементов функционального анализа, алгебр и групп Ли для доказательства их корректности, установления числа членов каждого порядка, сохраняющихся после нормализации, а также самого вида ОНФ, особенно, если она задает максимальное упрощение системы. Например (см. [1]), ренормальная форма Гаэты определена некорректно, т. е. не каждая система может быть к ней сведена, а нетривиальный пример полной нормальной формы Белицкого появился через двадцать лет после определения этой НФ.
Дополнительные практические трудности связаны с отсутствием у ОНФ жесткой структуры, поскольку порядки не поддающихся аннулированию членов в ней не фиксированы, как у РНФ, а могут выбираться из довольно обширных множеств.
Имеющаяся теоретическая база не позволяет указать все ОНФ для различных классов систем. Поэтому остается невыясненным практический вопрос о возможности аннулировать те или иные члены исходной системы.
В первой части предлагаемой работы после обзора и обсуждение различных НФ (§ 1) описывается разработанный ранее первым из авторов конструктивный метод, основанный на построении в явном виде резонансных уравнений, позволяющих указывать структуры систем, формально эквивалентных исходным, и все ОНФ, к которым исходную систему можно свести (§2).
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №05-01-01060).
© В. В. Басов, А. А. Федотов, 2007
Во второй части работы метод резонансных уравнений применяется к системе
Х = Д(жьж2)+ Х*(Ж1,Ж2) (г = 1,2), (1)
где нулевое приближение (Р1, Р2) имеет линейно-квадратичный вид, а возмущение (XI, Х2) образуют формальные ряды, начинающиеся с более высокого порядка, т. е.
Р1 = Я1Ж1 + С1Х2 ф 0, Р2 = 02x1 + 262Ж1Ж2 + С2х2 ф 0, Xi = ^Г+Р2=т х(р1’р2)хр1 хр2.
В § 3 множество полиномов Pi разбивается на три семейства. Полиномы из первых двух семейств линейными неособыми заменами сводятся к своим каноническим формам — линейно-квадратичным невыродженным квазиоднородным многочленам с определенными весами, нормированными коэффициентами и нулевыми характеристическими числами. Третье семейсво составляют полиномы, недопускающие подобного сведения. В §4 для системы (1) с первой из выделенных канонических форм в нулевом приближении в явном виде выписываются резонансные уравнения и приводятся все ОНФ, к которым исходная система может быть сведена обратимой формальной заменой переменных. В §§ 5, 6 те же проблемы решаются для системы (1) сначала со второй канонической формой, а затем с нулевым приближением из третьего семейства — ква-зиоднородным многочленом, не имеющим линейно-квадратичной структуры.
§ 1. Нормальные формы систем
Пусть формальная или аналитическая в нуле система
± = УX(к)(х) (т е N X(т)(ж) ф 0), (2)
*—^к=т
где Ж = (Ж1,...,х„), X(к) = (х(fc),...,хnfc)), х(fc) = £р: 1р1=к X(p)жp (г = 1,...п), р =
(р1,... р„), Pi е Z+, |р| = р1 + ... + р„, хр = Ж?1 .. .хПп, заменой
Ж = 5у + ЕГ2 ^(к)(у) (det 5 = 0), (3)
' * к=2
где векторные полиномы Л.(к) аналогичны X(к), сводится к системе
у = ЕГ у(к)(у). (4)
*—^к=т
Говорят, что системы (2) и (4) формально эквивалентны. Они будут аналитически эквивалентны, если система (2) и замена (3) — аналитические. Аналитическая теория нормальных форм в рамках этой статьи обсуждаться не будет.
Метод нормальных форм заключается в получении из системы (2) при помощи различных замен (3) более простых систем (4), которые и будут называться нормальными формами исходной системы (2).
Существует много определений нормальной формы. Они зависят от вида векторного однородного полинома X(т)(х) системы (2), который будем называть нулевым приближением, а также от степени упрощения ее возмущения — ряда Г=т+1 X(к)(х).
Процесс нормализации системы (2) начинается с обязательного упрощения ее нулевого приближения при помощи линейной неособой замены ж = 5у и получения канонической формы нулевого приближения. После этого упрощение всех порядков возмущения, основанное на использовании выделенной канонической формы, осуществляется почти тождественной формальной заменой вида (3) х = у + 5^Г=2 ^(к)(у). В результате получается одна из разновидностей нормальной формы.
Как правило, бывает возможна дополнительная нормализация системы, основанная на использовании все более высоких и уже нормализованных порядков возмущения в качестве новых нулевых приближений. Эта возможность связана с тем, что нормальная форма, построенная по исходному нулевому приближению, редко бывает единственной, так как часть коэффициентов замены (3) остается свободной. Именно эти коэффициенты используются в ходе последующих нормализаций для обращения в нуль дополнительных членов возмущения во все более высоких порядках.
Перейдем к рассмотрению различных типов нормальных форм, в зависимости от вида нулевого приближения системы (2) делящихся на резонансные и обобщенные.
Теория резонансных нормальных форм применяется к системам, у которых т = 1, т. е. X(1) = Ах, и Ь = diag {А1,...,Ап} = 0, где А1,..., Ап — собственные числа А.
Хорошо известно, что при т =1 нормализация линейной части системы (2) заключается в приведение матрицы А линейной неособой заменой к жордановой форме J = Ь+^, где Z — это матрица, у которой могут быть отличны от нуля только элементы первой поддиагонали. После такого приведения каноническим нулевым приближением следует считать вектор Ьх, а слагаемое Zж следует отнести к возмущению.
Систему (4) вида
у = Ьу +^у + У (у)) (Ь = 0, У = ]Т Г=2 У (к)(у)) (5)
назовем нормальной формой или резонансной нормальной формой, если V* = 1, п, Ук~^ 2, Ур : |р| = к, £;,р = (р, А) — Аi = 0 ^ У;(р) = 0. Все объекты с идексами г,р, для которых £;,р = 0, назовем резонансными, а остальные — нерезонансными.
Уравнения ^1рЛ.(р) + У;(р) = У;(р) связывают коэффициенты систем (2), (5) и замены (3), причем справа в них стоят уже известные величины. Поэтому нерезонансные коэф-( р)
фициенты У/ произвольны и могут, в частности, выбираться нулевыми, а резонансные
коэффициенты фиксированы: у/р) = У/р), А. М. Ляпунов называл их вековыми члена-
(р)
ми. При этом резонансные коэффициенты не имеют ограничений.
Таким образом, резонансная НФ имеет жесткую структуру, т. е. для каждого однородного полинома Xi(k)(ж) однозначно определены степени слагаемых, которые не могут быть с гарантией обращены в нуль в процессе нормализации.
Резонансные НФ встречались уже в работах А. Пуанкаре и А. М. Ляпунова, но законченная теория РНФ, включающая все вопросы, связанные со сходимостью или расходимостью нормализующих преобразований, была представлена А. Д. Брюно [2].
Следует отметить, что сходимость нормализующей замены к линейной НФ при наличии малых знаменателей была доказана В. А. Плиссом [3]. Примененный в ней метод ускоренной сходимости Ньютона, значительно более тонкий, чем метод мажорант, дал новый импульс для развитии аналитической теории нормальных форм.
С дальнейшим упрощением НФ, использующим оставшиеся свободными резонансные коэффициенты замены и первые ненулевые нормализованные члены возмущения, которое А. Д. Брюно назвал вторичной нормализацией, можно ознакомиться в [4].
Особенно наглядно достоинства вторичной нормализации можно продемостриро-вать в алгебраическом случае вещественного негрубого фокуса, когда НФ у1 = у1(гв + £“Р0 Ъеу(г+1’г\У1У2у + Ег°1до 1т У1(г+1'г)(утГ) С 11еУСР0+1,Р0) =а^0и(у2 = у1)
сводится к НФ ^1 = £1 (гв + а(^1г2)р° + а(г1г2)2р° + Х^= д°1тУ1(г+1,г)(г1г2)г), задающей все формальные инварианты исходной системы.
Определение нормальной формы можно не только усиливать, но и ослаблять. При решении практических задач бывает достаточно только частично упростить исходную систему, сведя ее к какой либо промежуточной НФ. В разное время в работах различных авторов появились нормальная форма на инвариантной поверхности, пожалуй, наиболее востребованная, полунормальная форма, псевдонормальная форма, квази-нормальная форма. Их определения и библиографию можно найти в [2, 5].
Возвращаясь к резонансным НФ, следует иметь в виду, что чем больше нулевых собственных чисел имеет матрица L, тем меньше имеется нерезонансных слагаемых, которые можно аннулировать в ходе нормализации. Поэтому любая система (5) с L = 0 по определению является РНФ и для ее упрощения надо развивать и использовать новую теорию — теорию обобщенных нормальных форм.
В дальнейшем будем предполагать, что все собственные числа матрицы линейной части системы (2) равны нулю, а значит, при т =1 полином X(1) = Zx. Любые нормальные формы в этом случае будем называть обобщенными нормальными формами. Некоторые из ОНФ имеют свои названия.
Систему (5), в которой L = 0, Z = 0, назовем ОНФ Белицкого (см. [6,1]), если (dY(y)/dy)Zy = ZY(y). Система yi = y2 + У1 Е£= afcyf, У2 = Efc=1(bfcУ1 + afcy2)yk является двумерной ОНФ Белицкого.
Отметим, что ОНФ Белицкого, как и ряд других ОНФ, можно определять и для систем с L = 0. Тем самым нормализация исходной системы означает сведение ее к РНФ с одновременным проведением некой частичной вторичной нормализации. Так система (5) является НФ Белицкого, если (dY(y)/dy) JTy = JTY(y) (J = L + Z).
НФ Белицкого имеет ряд очевидных недостатков: предложенное определение НФ не до конца использует возможности нулевого приближения Zx, т. е. с помощью Z можно аннулировать еще многие члены возмущения; многочлен Zx имеет нулевые компоненты, что мешает более полной нормализации; полученную НФ Белицкого можно дополнительно упрощать и возможно многократно, каждый раз используя уже нормализованные члены возмущения все более высокого порядка.
Последующие определения ОНФ в той или иной степени избавлены от перечисленных недостатков. С. Ушики [7] разработал метод ранжирующих функций (grading functions), в частности, позволяющий включать в нулевое приближение члены различных порядков. Появились специальная НФ Байдера ([8]), последовательно определяемые ОНФ любого натурального порядка Байдера и Сандерса ([9,10]), включая НФ бесконечного порядка, которая уже не может быть упрощена. Прямое определение неупро-щаемой НФ дал Г. Р. Белицкий в [11] и неудачно это сделал Г. Гаета в [12].
Для определения полной НФ Белицкого в системе (4) введем Y(k) = ^Y(j) (y), образуем оператор Y(k)(H) = (dV(k)/dy)H - (dH/dy)V(k) и сопряженный оператор Ad,Y^k\H) = {Yh=i ViYik\d / dy)Hi}™=l - (dY (fc) (д j ду) j ду)т H (H — многочлен).
Система (4) —полная НФ Белицкого, если AdY(k-1)(Y(k)) = AdY(k-1)(V(k-1)), где k = т + 1, т + 2,..., а V(k-1) (y) — некие векторные неоднородные многочлены.
Поскольку осуществление любой вторичной и в том числе полной нормализации сопряжено с большими техническими трудностями, а дает, вообще говоря, незначительный эффект по сравнению с первичной нормализацией системы, при решении практических вопросов использование ОНФ первого порядка представляется оптимальным.
Пусть правая часть системы (4) при помощи подходящей линейной ранжирующей функции J, определяемой равенством £(т*уг) = Jj=1 aj j — aj (aj G N, j G Z+), пе-реразложена в сумму форм YG H&, где H —линейное пространство мономов из
£-і(к) (к ^ к ^ 1). Для всякого к Є N определим линейный оператор Ь : Н ^ Н^+к следующим образом: Ьк(Р) = [Р, X[к]], где Р(у) Є Нк, [., . ] — скобка Ли.
Система (4) — ОНФ первого порядка, если Ук ^ к +1 У[к] Є Нк/Іт Ьк-к. Подробнее о РНФ, нормальных формах Белицкого и Гаеты можно прочитать в [1], а теория ОНФ порядка к (к =1, 2,..., то) удачно изложена в [10]. В [10] приведен также пример ОНФ первого порядка для систем с нулевым приближением вида (19) (см. §3) и доказано, что полученная НФ не допускает дальнейших упрощений.
В [13] предложен метод резонансных уравнений, использование которого позволяет, во-первых, указать структуры всех систем, формально эквивалентных исходной, во-вторых, привести все ОНФ, отвечающие выбранному нулевому приближению — квази-однородному многочлену с определенными степенью и весом и ненулевыми компонентами. Фактически, конструктивно получаемые ОНФ являются ОНФ первого порядка, но определяются они не операторно, а через матричные представления, и использование вычисленных в явном виде резонансных уравнений для каждого обобщенного порядка возмущения позволяет не фиксировать базис в пространстве Н/ Іт Ь^-к, тем самым, находя не одну, а все возможные ОНФ.
§ 2. Метод резонансных уравнений
Опишем введенный в [13, ч. 1] метод резонансных уравнений для двумерного случая. Многочлен Q = (ді(жі, хі), ^2(хі, Ж2)) назовем квазиоднородным многочленом или формой степени к с весом 7 = (71, 72) и обозначим Q^)к], где к, 71, 72 —взаимно простые натуральные числа, если Q невырожден, т. е. Qi(жl,жl) ф 0, и обобщенный порядок 9і7і + 9272 каждого слагаемого ж|2 из Qi равен к + 7*.
После выбора к, 7 любой степенной ряд ^(г) = Е^1+Р2=і ^(р1,р2)гр1 г^2, в котором ^(р1>р2) = о при (р, 7) < к + 7*, можно переразложить по обобщенным порядкам: ^ =
Е^к ^(^ гдЄ ^ = Е(9,т) = й+7. ^171’9272]гГ 42 — форма степени к с весом 7. В
частности, однородный полином порядка к +1 — это форма степени к с весом (1,1). Исходную двумерную систему
ж = Р.Ц(ж)+ Хі(х) (і = 1,2), (6)
где Хі = Е&=к+і Х^к|(х), произвольной обратимой формальной заменой
Ж = Уі + ^(у), (7)
где ^ = Е ^=і ^^г]і(у), преобразуем систему того же вида
Уі = Р-ІКІ(у) + Уі(у) (і = 1,2). (8)
Дифференцируя замену (7) в силу систем (6), (8) и выделяя в і-м уравнении члены
обобщенного порядка к + 7^ в которых опущен индекс 7, получаем систему
((^Г-к]/ду)р[к](у) - (дР]к](у)/ду)^-к]) = У^ ](у) (к > к + 1), (9)
где У^к] = У^к](у) — Уі[к](у), а форма У^к] уже известна, так как содержит только формы УМ, ЛІя-к] и XМ с к +1 ^ в ^ к — 1.
Пусть к^ — число различных решений Ц уравнения (ц, 7) = к + 7^
Расположив векторы ql в лексикографическом порядке, поставим форме Z[к] во взаимно однозначное соответствие вектор ее коэффициентов ZІfc} = ^{к}^2^) размерности |к71 = к^ + к^ и запишем линейную систему (9) в матричном виде
Ак(РМ)^-К} = У*{к} - У*{к} (к > к + 1), (10)
где Ак = Ак (Р-|к]) — постоянная |к71 х |(к — к)71 матрица.
Пусть пй = |к71 — гй, где гй = |(к — к)71 — к0 —ранг Ак (к0 > 0).
Очевидно, что для всякого к > к после фиксации к0 свободных коэффициентов
формы ^[к-к] условия совместности системы (10) можно записать в виде линейно
[к]
независимых линейных уравнений, связывающих коэффициенты форм Уу :
(с4?, У*к^) = с (м = 1, гг*, к^к+1), (11)
в которых а^} —постоянные векторы размерности |к71, определяемые формой Р7к], а с = (а^? ,У*{к}) —известные константы. Уравнения (11) назовем резонансными.
Коэффициенты У*^ (1 ^ ^ |к71) системы (8), входящие хотя бы в одно из уравне-
ний (11) с ненулевым множителем, назовем резонансными, остальные — нерезонансными. Набор из пк коэффициентов У*{к} —резонансный, если ёе^а^- }^кт=1) = 0. Не
имеющие ограничений к0 коэффициентов Л.{к к} замены (7) —резонансные.
В результате для того, чтобы система (8) была формально эквивалентна исходной системе (6), достаточно в каждой форме У[к] системы (8) должным образом зафиксировать пк коэффициентов из любого резонансного набора, а остальные коэффициенты можно выбирать произвольным образом.
Систему (8) будем называть обобщенной нормальной формой или НФ первого порядка, если при любом к > к все коэффициенты формы У[к] равны нулю, за исключением коэффициентов из какого-либо резонансного набора, которые произвольны.
Система (8) является ОНФ системы (6), если все ее нерезонансные коэффициенты равны нулю, а среди резонансных отлично от нуля не более чем п^ коэффициентов любого резонансного набора, однозначно определяемых из резонансных уравнений (11).
Таким образом, знание резонансных уравнеий снимает все вопросы о структуре ОНФ и существовании нормализующей замены, стоящие весьма актуально при операторных определениях ОНФ. Конечно, нахождение в явном виде резонансных уравнений (11) или хотя бы оценка получаемых по рекуррентным формулам компонент всех векторов а^} встречает большие технические трудности, резко возрастающие по мере увеличения размерности системы, числа слагаемых в форме, а также к и 7.
Предложенным методом уже исследованы двумерные системы, имеющие в нулевых приближених следующие формы: линейно-кубическую каноническую форму (—Ж2,ж1) в [13, ч. 2], кубическую каноническую форму (—ж2,ж!) в [14], десять из семнадцати каноноческих квадратичных форм в [15-17].
В настоящей работе исследуются системы с обеими линейно-квадратичными каноническими формами (х2, Ж1Ж2), (ж2,ж2) и с квадратично-кубической формой (—ж2,ж2).
В заключение заметим, что если в системе (6) взять вырожденное нулевое приближение Р(1]1) = (х2, 0), то легко построить резонансные уравнения, которым должны удовлетворять коэффициенты однородных полиномов (к ^ 2) системы (8):
ку(к>°) + у2(к 1>1) = с, у2(к>0) = с, причем в замене (7) коэффициенты Л.(0,2) не имеют ограничений. Поэтому все ОНФ имеют вид
к % ^ГС к
, , у/2 = > (6ку 1 + (1 — ай)ейу2)у 1 (^к € {0, 1}),
к= 1 -^к= 1
значительно более простой, чем у нормальной формы Белицкого, приведенной в §2.
§ 3. Выделение квазиоднородного многочлена
Прежде чем приступить к поиску резонансных уравнений и обобщенных нормальных форм для системы (1) необходимо, во-первых, установить все виды форм, имеющих линейно-квадратичную структуру, и условия, при которых линейно-квадратичное нулевое приближение системы может быть преобразовано в линейно-квадратичную форму, во-вторых, установить, когда исходная система (1) может быть сведена линейной обратимой заменой к какой-либо системе с линейно-квадратичной формой в нулевом приближении, и, в-третьих, следует обсудить системы, получаемые из системы (1), у которых в нулевом приближении формы теряют линейно-квадратичный вид.
10. Рассмотрим систему
у» = Д(у)+ У*(у) (Р Ф 0, г = 1,2), (12)
где Р1(у) = С1 у 1 + С1 У2, ^2 (у) = «2У 2 + 2р2у 1 У2 + С2У2, У* (у) = Е^+Р2=*+ 1 У*(р1,р2)ур1 ур2.
По определению векторный полином Р(у) будет являться формой степени к с весом 7 = (71, 72), если для каждого слагаемого ту®1 у|2, входящего в Р*,
к + 7* = ql7l + q272 (ql + q2 = г). (13)
Поэтому Р1 и /'2 должны иметь по одному члену, иначе ^1 — q1 )71 = ^2 — q2)72 и ql — q1 = q2 — q2 =0, а значит, 71 = 72. Тогда в (13) к = 0 и 72 =0, что невозможно.
Пусть сначала Р1 = ?1у2 (?1 = 0). Тогда в (13) при г =1 к = 72 — 71 и при г = 2 ql7l + q272 = 272 — 71. Поскольку 71 = 0, q2 = 2, и возможны два случая:
1) ql = 1, q2 = 1, т.е. Р2 = 2&2у1у2 (62 = 0);
2) ql = 2, q2 = 0, т. е. Р2 = р2у2 (/2 =0).
Рассмотрим случай 1. При г = 2 в (13) 71 = 1, 72 = 2, к = 1. Поэтому из Р выделяется форма Р(1]2) = (С1у2, 2&2у1у2), где С162 = 0. При этом член р2у2 из Р2 с порядком ниже к + 72 должен отсутствовать, т. е. Р2 = 0, а член С2у2 с порядом выше к + 72 должен быть отнесен к возмущению. С другой стороны, входящие в возмущение слагаемые 1/1(2’0)у2 и Р2(3 0)у3 имеют порядок к + 7* и, будучи включенными в форму, нарушили бы ее линейно-квадратичную структуру. Поэтому в рамках поставленной задачи необходимо потребовать, чтобы в системе (12)
р(2’0) =0, р2(3’0) =0. (14)
Переразлагая теперь правую часть системы (12) по обобщенным степеням с учетом (14) и обозначений для системы (6) и осуществляя нормировку, при которой после замены у1 на 2&2у1 и у2 на 2б2?1у2 будут Р1 = 1 и 262 = 1, получаем систему
у* = РЙ2),г(у) + ЕГ=2 У[1](у) (г = 1, 2), (151)
19
где Р[1] у Р[1] у у У[к] V' У[91>292]у91 02 У[?1,2?2] р(ч!,®) при
где Р( 1,2), 1 у2, Р( 1,2),2 у1у2, У д1+2д2=к+* У у1 у2 , У У при
^ • , 1 \а[0,4] ~
ql + q2 > г +1, а У2 — /2.
Рассмотрим случай 2. При г = 2 в (13) 272 — 71 = 271, т. е. 71 = 2, 72 = 3, к = 1. Тогда Р(2]з) = (Р1у2, С2у2), где С1Р2 =0, а остальные члены Р2 идут в возмущение.
Разлагая возмущение системы (12) по обобщенным степеням и считая /1,/2 = 1, что достигается заменой у1 на ?1а2у1 и у2 на р2р2у2, получаем систему
у* = Р(21!з),*(у) + ЕГ=2 У*^ (у) (г = 1, 2), (152)
где Р([2]з),1 = у2, Р(2]з),2 = у2, У*[1] = Е2,1+з,2=1+*+1 У*[291’392]у?1 у?, У*[291’392] = р(91’92)
при ql + q2 > г +1, а У2[2,3] = 262, У2[0,6] = '2.
Пусть теперь Р1 = р1у1 (Р1 = 0). Тогда при г = 1 в (13) ql = 1, ^2 = 0, откуда к = 0,
что противоречит предположению о положительности степени формы.
Замечание 1. В случае, когда Р1 = Р1у1, в системе (12) можно выделить форму нулевой степени Р([0]2) = (р1у1,Р2у2), где Р1Р2 = 0, но в этом нет необходимости, так как линейная часть системы (12) в этом случае имеет собственные числа (Р1,0), и к ней применима резонансная теория НФ, согласно которой (12) формально эквивалентна
НФ у1 = а1у1 + у22’2г]у1у2, у/2 = Е“2 У2[0,2г]уГ, являющейся также ОНФ для
системы (12), если в правую часть второго уравнеия добавить слагаемое у2.
20. Пусть невырожденная линейная замена
Х1 = ру1 + qy2, Х2 = гу1 + ву2 (рв — qr = 0), (16)
преобразует систему (1) Х* = Р*(х) + Х*(х) в систему (12).
Чтобы установить, какие условия надо наложить на систему (1), чтобы система (12) имела вид (151) или (152), продифференцируем замену (16) в силу (1) и (12), тогда
а1(ру1 + qy2) + С1(гу1 + ву2) + Х1(ру1 + qy2,гyl + qy2) =
р(р1у1 + Р1у2 + р1(у)) + q(р2У2 + 2/)2у1у2 + Р2у| + р2(у)), (171)
а2(ру1 + qy2)2 + 2б2(ру1 + qy2)(ryl + ву2) + С2(гу1 + ву2)2 + Х2(Х1, Х2) =
г(р1у1 + Р1у2 + р1(у)) + в(р2у2 + 2^2у1у2 + р2у2 + ^г(у)). (172)
Во втором уравнении системы (12) нет линейных членов, поэтому в (172) множитель г = 0, а значит ре = ре — qr = 0.
Приравнивая коэффициенты при линейных членах в (171) и квадратичных в (172), получаем равенства
р р1 = аь р1 = (а^ + С1в)/р, (18)
р2 = а2р2/в, 62 = (а^ + б2Р«)/«, р2 = (а^2 + 262qs + С2в2)/в.
Предположим сначала, что система (12) имеет вид (151). Тогда р1,р2 =0 ив (18) а1 = р1 = 0, а2 = вр-2р2 = 0, при этом С1 = ре-1 = 0, 62 = (1/2)р-1 =0 и могут быть произвольными за счет выбора р, в. Приравнивая коэффициенты при у2 в (171)
и при у3 в (172), имеем: у22’0] = рХ(2,0), У2[3,0] = р3х23,0)/в. Поэтому силу условия (14) Х{2’0) = 0, Х2(3’0) = 0.
Пусть теперь система (12) имеет вид (152). Тогда в (18) а1 = р1 = 0; С1 = рв-1 = 0, а2 = вр-2 =0 и остаются произвольными.
В результате доказаны следующие утверждения.
Лемма 1: Система (1) заменой (16) приводима к системе (12), допускающей
выделение линейно-квадратичной формы в качестве нулевого приближения, в случаях:
а) а1,а2 = 0, С1 = 0, 62 = 0, Х(2,0), х23,0) = 0, тогда (1) приводима к системе (151),
б) а1 = 0, а2 = 0, С1 = 0, тогда (1) приводима к системе (152).
Следствие 1. Система (1) не допускает выделения линейно квадратичной формы в трех оставшихся случаях: в) а1 =0; г) а1 =0, а2 = 0, С1 =0, но 62 = 0, т. е.
Р1 = С1Ж2, Р2 = С2х2; д) а1 =0, а2 = 0, С1 =0, 62 = 0, но (Х(2,0))2 + (х23,0))2 > 0.
Замечание 2. В случае г Р2 надо отнести в возмущению, оставляя в нулевом приближении вырожденную форму, и приводить (1) к нормальной форме Белицкого. 30. В случае д можно выделить форму, но не линейно-квадратичную:
Р(2]2)д = С1Х2 + ^х^ Р(1]2),2 = 262Ж1Ж2 — ^2Х3 (^2 + ^2 > 0), (19)
т.е. в системе (1) а1 =0, а2 = 0, С2х2 из Р2 попадает в возмущение, ^1 = Х(2,0), ^2 = —х23,0) и ограничие С162 =0 не требуется.
Исследованы четыре случая, когда система имеет нулевое приближение вида (19). Случай с консервативным нулевым приближением, когда ^1, 62 = 0, с^2 < 0, разобран в [13, ч. 2]. Случай с канонической формой квадратичного нулевого приближения, когда С1,^2 = 0, с^162 = 0 при условии С2 = 0, разобран в [15, п. 5]. Пример ОНФ в более общем случае С1 = 1, ^1 =0, но при условии, что ^2/62 не является алгебраическим числом, построен в [10, п. 6]. Наконец, случай, когда Р(1]2) 1 = ах2, Р(1]2) 2 = вх3 и после нормировки а, в = 1, разобран в § 6 этой работы.
Легко проверить следующее утверждение.
Лемма 2: Система Х1 = С1Х2 + ^х2, Х2 = 262Х1Х2 — ^2Х3 обратимой заменой
Х1 = у1, Х2 = у2 — 7у2 (20)
сводится к системе с той же структурой у1 = С1у2 + ср1у2, у2 = 262у1у2 — «^у3, в которой (р1 = ^1 — С17, 62 = 62 + С17, (р2 = 2С172 — 2(^1 — 62)7 + ^2.
В идейном плане результат леммы очевиден, поскольку правая часть замены (20) является формой нулевой степени с весом (1,2).
Замена (20) и последующая нормировка позволяют упрощать форму (19). Например, при С1 =0 можно обнулить ^1, или 62, или ^2 при (^1 — 62)2 — 2с1^2 ^ 0.
Кроме того, лемма 2 позволяет дополнить лемму 1, если предположить, что в (19) С1^2 + 262^1 = 0. Тогда, положив в замене (20) 7 = ^1/с1, получаем, что ср1, ср2 = 0 и нулевое приближение (19) после замены (20) с последующей нормировкой принимает тот же вид, что и в системе (151).
Лемма 3: Система (1) заменой (20) и нормировкой приводима к системе (151) в случае д* а1, а2 = 0, С162 = 0 , 262Х(2,0) — С1Х23,0) = 0.
В заключение отметим, что леммы 1 и 3 позволяют без ограничения общности пред-пологать, что в системе (1) нулевое приближение имеет такой же вид, как и в системе
(151) в случаях а и д или (152) в случае б, что дает возможность сразу исследовать ее при помощи замены (7), сохраняющей уже выделенную линейно-квадратичную форму нулевого приближения. Этому посвящены следующие два параграфа.
§4. Случай нулевого приближения (х2, Х1Х2)
Пусть система (1) относится к случаю а леммы 1 или случаю д леммы 3 и сразу имеет вид
оо оо
Х1 = Х2 +^2 х11](х), Х2 = Х1Х2 + ^2 х21](х), (21)
1=2 1=2
где нулевое приближение Р = (х2, Х1Х2) является формой степени к = 1 с весом 7 =
(1,2) а возмущения формы х!1] = Ед1+2д2=1+* х]91’292]х21 х22 .
Пусть замена (7) х* = у* + Ео=2 ^*1 1] (у) (г = 1, 2), в которой форма Л.*1 1] =
Е(7,!)=1+*-1 ^*!1,2!2]у!1 у!2, переводит систему (21) в систему (151).
Тождества (9) для систем (21) и (151) принимают вид
(д4к-11/ду1)у2 + (д^-Ч/^уш — ^2к-1] = у!'11,
(д^2к-1]/5у1)у2 + (д^21-1]/ду2)у1у2 — у1^21-1] — у2^11-1] = у2[1].
Приравнивая коэффициенты при у®1 у|2, где ql + 2q2 = к + г, qг ^ 0, а г —номер тождества, получаем линейную систему
+ 1)^1!1 + 1’2(!2-1)] + q2h1^гl-1’2q2] — 491’2®] = У1[«1'2®],
(ql + 1)4!1 + 1’2(!2-1)] + (щ — 1)4?1-1'2?2] — ^1!1’2(92-1)] = 1>[!1’2!2]
Если в у.[!1’2®] выбрать q2 в качестве независимой переменной, то ql = к + г — 2q2. Поскольку к ^ 2, а ql,q2 —целые, удобно ввести разложения
к = 2г + V (г ^ 1, V = 0, 1), q2 = г — т (т ^ г).
Тогда в у*[91’2®] индекс ql = 2т + V + г и система (22) принимает вид
[2т+^,2(г-т)] г1 —
1[2т+^+1,2(г-т)] __ у[2т+^+2,2(г-т)]
[2т+^+1,2(г-т)]
2
— = ;у[2т+^+2>2(2-т)] ( —1 ^ т ^ г) (23)
Выделим из (23) оба уравнения с т = г:
(2т + V + 2)42т+^+2’2(г-т-1)] + (г — т)4;
7 |2т+^+1,2(г-т)| -г/^|2т+^+1,2(г-т)| / ^ ^ \
— Л-2 = (—V ^ т ^ г)
(2т + V + 3)42т+"+3,2(г-т-1)] + (г — т — 1)й|
^[2г+^+1,0] __ -у'[2г+^+1!0] ^[2г+^+1,0] ___ у-[2г+^+2,0]
Они фиксируют коэффициент 42г+"+1,0] и дают первую резонансную связь на коэффициенты форм У*[1] системы (15ч):
у-[2г+^+1,0] — У>[2г+^+2,0] = 0 (24)
Коэффициент 42г+"+1’01 встречается еще только один раз в последнем из оставших-
/оо \ /о і і 1 \ г,[2г+^+1,0] 7 [2г+^,0)1 ->[2г+V,2] -р-г
ся уравнении системы (23): (2г + V + 1)ь2 — Ь\ — У2 . Перенося его
вправо, запишем эти уравнения в матричноИ форме:
А ^ ^ = *7, BV ^ ^ = УТ, (25)
где — (^ — /Л2т+^2(г—т)] • — (^ ) Ьи —
где Ь1 — (Ь1,0 , ••• , Ь1,г), Ь1,т — Ь1 ; Ь2 — (Ь2,1 —V , ••• , Ь2,г), Ь2,т —
L[2m+V— 1,2(г—тт+1)]. V ________ /yv \^г’^ _ V[2m+V—1,2(г—т+1)]. _ /yv
Ь2 ; *1 — (У1,1 — V, • • • , У1,г ), У1,т — *1 ; *2 — (*2,0, • • • ,
), У2% — У>[2т+^2(г—т+1)] (о ^ то ^ г — 1), у£г — }>[2г+^2] + (2г + V + 1)}>[2г+^1,0]; А, В — двухдиагональные (г + V) х (г + 1)- и (г +1) х (г + v)-матрицы с элементами
<г,т — 2т + V Ьт,т — г — т (1 — V < т < г) <г+1,т — г — т Ьт,т+1 — 2т + V + 1 (0 ^ т ^ г — 1).
Исключая из системы (25) вектор Ь2, получаем систему
СV — Ус,1", (26)
в котороИ ^ — BVА — Е — трехдиагональная (г +1) х (г + 1)-матрица с элементами
ст,т Ьт,тат,т + Ьт,т+1ат+1,т 1 (г т) (4т + 2v +1) 1 (0 ^ т ^ г), ст,т+1
Ьт,т+1ат+1,т+1 — (2m+V +1)(2т + V +2), С+1,т — Ьт+1,т+1ат+1,т — (г —'т — 1)(г — т)
(0 ^ т ^ г — 1), а 10 — У2 + В 1/У11/ — это вектор с компонентами У01/т — У^т + (2т +
V + 1)У1,т+1 + (г — т)У£т (0 < т < г), причем У1,0 — 0, У^+1 — 0.
Методом Гаусса система (26) может быть преобразована в систему
С" НЧ = У о, (26)
с двухдиагональной матрицей Си по рекуррентным формулам с^г = с^г = —1, Удг = У1' •г1' = г1' И1' = г1' /г1" г1' = г1' — ^ г1'
0,г > т,т—1 т,т—1? т—1 т— 1,т/ т,т? °т—1,т—1 т—1,т т— 1 т,т— 1?
Уо,т-1 = *о%-1 - (т = 1), если при ЭТОМ с£г, . . . , С^д ^ 0.
Согласно (26) = 2(2г + г/ — 2), с^_1г = (2г + и — 1)(2г + г/), с^г_1 = 0. Поэтому
в (26) (Щ._1 = с"_1г/СгТ = ~(2г + іу)(2г + V - 1), с"_1т_1 = с"_1т_1 - =
'г —1 г — 1,г / г,г V"' 1 V 1 -*-/5 г —
2(2г + у_2)і^ 0,г-1 = Уо^г-1 — ^г-{¥ оіГ-
Докажем индукциеИ, что для т — г — 2,..., 0
^ = {2т + г/ + 1)/(г - т), т = (г - т + 1)(2т + и). (27)
База индукции есть, так как в формулах (20) и (27) элемент с^_1 Г_1 = 4г — 4 + 2г/.
При 1 < т < г - 1 = С_1т/с^ т = (2т + г/ - 1)/(г - т + 1), =
Ст-1,т-1 — ^тст,т-1 = (4т + 2v — 3)(г — т +1) — 1 — ((2т + V — 1)/(г — т +1))(г — т)(г — т + 1) = (4т + 2v — 4)(г — т +1)+ г — т — (2т + V — 1)(г — т) = (2т + V — 2)(г — т + 2).
Таким образом, система (26) может быть получена из (26), поскольку согласно (27) диагональные элементы с^г,..., ф 0.
Пусть V = 0. Тогда в (27) элемент ёд 0 = 0 и первое уравнение системы (20) имеет
ВИД 0 • 1г°10 = У оо, где У^ = Е1=о (-!)”%% ГСГс)1 ^ и ^1,0 остается свободной.
В соответствии с (27) ^0 = (2в + 1)/(г — в) (0 ^ т ^ г — 2), й0-2 = —2г(2г — 1).
Введем множители
вт = (—1)т пт=02(2в + 1)/(г — в) (0 < т < г — 1)0 в0 ^ 2г(2г — 1)в0-1; (28)
«т — —вт+1 (0 < т < г — 2), а0—1 — (2г — 1)в°— 1, а° — (2г + 1)в°.
Тогда уравнение Уд 0 = 0 для системы (26) принимает вид Е^=о РпХот = 0, а для
системы (25)—Е т=0 ^ (У2<,т + (2т +1)У1<,т+1 + (г — т)У°т) — 0 и У10г+1,У1°0 — 0. Но (г — т)вт + (2т — 1)вт — 1 — —вт (1 ^ т ^ г — 1), поэтому разрешимость уравнения
- ЕтЛ Рт¥1,т + (2г “ 1)/?°-1У°г + Е^=0 /?тУ2°т = 0 и фиксация КОМПОНвНТЫ 0 необходима и достаточна для однозначной разрешимости систем (25), (26) и (26).
При V = 1 в (27) Сд 0 = г + 1 ф 0, а значит, система (26) однозначно разрешима. Возвращаясь к системе (23), в правую часть котороИ входят коэффициенты формы У[1] (к — 2г + V, г ^ 1, V — 0,1), отмечаем, что для ее разрешимости с учетом равенств (24) должны выполняться резонансные уравнения
У1[2г+1’0] — У2[2г+2’0] — г, уг («тУ1[2т+1’2(г—т)] + вт У2[2т’2(г—т+1)]) — с; (290)
-^^т=0
У1[2г+2,0] — У2[2г+з,0] — с, (291)
в которых множители «т, вт определены в (28).
В результате доказаны следующие утверждения.
Теорема 1. Пусть система (151) получена из произвольной системы (21) при помощи формальной обратимой замены (7) с произвольно выбранными коэффициентами Ь10,2г]. Тогда для всякого г ^ 1 коэффициенты формы У[1] системы (151) при к — 2г удовлетворяют двум уравнениям (290), а при к — 2г +1 — уравнению (291).
Следствие 2. При к — 2г все введенные в (28) множители отличны от нуля, потому все коэффициенты формы У[2г] системы (151) резонансные, так как реально входят в одно из уравнений (290). При к — 2г +1 коэффициенты У1[2г+2,0], і[2г+3>0] — резонансные, а все остальные коэффициенты формы У [2г+1] — нерезонансные.
Следствие 3. При к — 2г в первое уравнение (290) входят все коэффициенты формы У[1] за исключением коэффициента У2[2г+2,0]. Поэтому резонансный набор состоит из У1[2г+1,0] или у|2г+2,0] и любого другого коэффициента формы У[1], а при к — 2г +1 резонансный набор состоит из коэффициента У1[2г+2,0] или У22г+3’0].
Теорема 2. Произвольная система (21) заменой (7) может быть преобразована в ОНФ (151), в которой для всякого к ^ 2 все коэффициенты формы У[1] равны нулю, кроме двух коэффициентов из любого резонансного набора, указанного в следствии
2 для к — 2г, удовлетворяющих уравнениям (290), и одного из двух коэффициентов У1[2г+2,0], у|2г+3,0] при к — 2г +1, удовлетворяющего уравнению (291).
Пример 1. В (291) набор У1[2г+1,0], у2[2г+2,0] резонансный при к — 2г, У1[2г+2,0] входит в (292), поэтому система (21) формально эквивалентна ОНФ, не содержащей у2 в возмущении:
I \ЛМ] 1 , р[2г+2,0] 2г+2
У1 — У2 + > „ У1 Уъ У2 — У1У2 + > У2 Уі + .
-^1=3 -^г = 1
Пример 2. В (291) набор У2[2г+2’0], у[2г’2] резонансный при к — 2г, У2[2г+3,0] входит в (292), поэтому система (21) формально эквивалентна ОНФ, не имеющей возмущения в первом уравнении:
і \л[1,0] 1 і \л[2г,2] 2г
У1 — У2, У2 — У1У2 + V, У2 Уі + ^ У2 Уі У2.
•^—^1=4 -^г=1
§5. Случай нулевого приближения (х2, х2)
Пусть система (1) относится к случаю б леммы 1 и сразу имеет вид
Х1 = Х2 + У й=2 Х11] (x), Х2 = х2 + У й=2 Х21] (x), (30)
где нулевое приближение Р = (х2, х2) — это форма степени к =1 с весом 7 = (2, 3), в
возмущении форма х*[1] = Е2д1+3д2 = 1+7,Х:|291’392]х11 Х22 .
Пусть замена (7) х* = у* + ^ 1=2 Л*1 1] (у) (г = 1, 2), в которой форма Л.*1 1] =
Е(7,д)=1+* Л*2!1,3!2]у21 у|2, переводит систему (30) в систему (152).
Тождества (9) для систем (30) и (152) принимают вид
а/,1,*-1' ал1‘-ч.2 ->и а/,?-11 а/,?-1' 2 ,и
~ЪГК + ^Г"1 “ 2 1 ’ ~д^Гк + ~д^Гу'-2,,н'
Приравнивая коэффициенты при у!1 у|2, где 2ql + 3q2 = к +1 + г, qг ^ 0, а г = 1, 2 — это номер тождества, получаем линейную систему
^1 + 1)л12(!1 + 1),3(!2-1)] + (^ + 1)Л 12(!1-2),3(!2+1)] — Л 22!1,3!2] = у1[2«1'3®],
(q1 + 1)л22(!1 + 1),3(!2-1)] + (q2 + 1)л22(!1-2),3(!2+1)] — 2Л12(!1-1),3!2] = у2[2!1,3®]. ( )
Выбирая ql в У/,[2!1’3!2] независимой переменной, имеем q2 = (к + 1 + г — 2ql)/3. Поскольку к ^ 2, а ql, q2 —целые, удобно ввести разложения
к = 6г + 2м + V — 4 (г ^ 1; м = 0, 1; V = 0,1, 2), q1 = 3т + ] (т ^ 0; ] = 0,1, 2).
Тогда в У*[291’3®] из (31) индекс q2 = 2(г — т)+ м — 1 + (v + г — 2^’)/3 и будет целым неотрицательным числом в следующих случаях: 0) V = 0, тогда ] = 2 и т ^ г — 1 при г = 1 или = 1 и т ^ г — 1 + м при г = 2; 1) V =1, тогда = 1 и т ^ г — 1+ м при г = 1 или ] =0 и т ^ г при г = 2; 2) V = 2, тогда ] =0 и т ^ г при г = 1 или ] = 2 и т ^ г — 1 + м при г = 2.
00. Пусть V = 0. Для коэффициентов форм у[1], Л*1 1] положим
У0 _ у[2(3т+2),3(2(г-т)+^-2)] _____ -у[2д1,3д2] у0 _ (у0 У0 );
У 1,т = У1 = У1 , У1 = (У 1,0, . . . , У1,г-1);
\л0 _ У[2(3т+1),3(2(г-т)+^-1)] _____ у[2д1,3д2] \л0 _ /\^0 \^0 V
У2,т = У2 = У2 , У2 = (У2,0, . . . , 12,г-1+^);
Л0 _ 7 [2(3т + 0),3(2(Г-т) + ^-1)] _ Л [2(ч1 -2),3(!2 + 1)] 7 0 _ ( 7 0 7 0 );
71,т = 71 = 71 , 71 = (71,0, . . . , 71,г-1+м);
^0 = л22(зт+1),з(2(г-т)+м-2)] = л22ч1 ,з®2] ^0 = (л2 0 72 1)
Перепишем систему (31): (3т + 3)7° т+1 + (2(г — т) + м — 1)70т — Л0! т = У® (3т + 2)70,т + (2(г — т) + М)70,т-1 — 271,т = У20т или в матричной записи
0,
т,
А070 — 70 = У20, В072 — 27° = У20, (310)
где А0, В0 —двухдиагональные г х (г + м)- и (г + м) х г-матрицы с элементами ат т =
2(г — т)+ М—1 6т,т = 3т + 2 (0 < т < г —1); ат,т+1 = 3т+3, 6т+1,т = 2(г — т—1)+ М (0 ^ т ^ г + м — 2).
Исключая из системы (310) вектор Ь2, приходим к линейной системе
С 0Ь1 — У00, (320)
в которой С0 — В0А0 — 2Е — трехдиагональная матрица размерности (г + м) х (г + м) с
элементами ст,т Ьт,тат,т + Ьт,т — 1ат — 1,т 2 (3т + 2)(2(г т) + М 1) + 3т(2(г
т)+М)—2 (0 < т < г + М — ^ Ст,т+1 — Ьт,тат,т+1 — (3т + 2)(3т + 3) (0 < т < г + М —2) ст+1,т — Ьт+1,т«т,т — (2(г — т) + М — 2)(2(г — т) + М — 1) (0 < т < г + М — 2); У00 — У20 + В 0У10 — вектор с компонентами У00т — У20т + (3т + 2)У1()т + (2(г — т) + м)У10т—1 (0 ^ т ^ г + м — 1), причем У10—1 — 0, У10г — 0.
Методом Гаусса система (320) может быть преобразована в систему
С°Н°1 = Уд, (32°)
с двухдиагональной матрицей С по рекуррентным формулам Сд0 = Сд0 = 2(2г-\-/л — 2),
У° = У0 = V0 4- 9У° ■ г° = г° П° = г° /г° г° =
У 0,0 У0,0 У2,0 + 2У1,0; Ст- 1,т Ст-1,т, ат-1 Ст,т-1/Ст-1,т-1, Ст,т
Ст,т - С1-1,т<С-1. У0,т = “ Йт-1У0,т-1 (т = 1,Г + /Х- 1), 6СЛИ ПРИ ЭТОМ
г° г° О
С0,0, . . . , Сг+^-2,г+^-2 = °.
Докажем индукцией, что при т = 1,..., г + м — 1 <Рт-1 = (2(г - т) +М+ 1)/(Зт - 1), с^ т = (Зт +2)(2(г - т - 1)+/х). (33°)
База индукции есть, так как формулы (32°), (33°) для ёд 0 совпадают.
Предположим, что при 1 ^т^г + уи, — 2 равенства (33°) верны, тогда в (32°)
^т ст+1,т/ст,т (2(Т ^0 М 1)/(Зш-|- 2), ст+1,т+1 ст,т+ 1^'т
(3т + 5)(2(г — т) + м — 4).
Таким образом, система (32°) может быть получена из (32°), поскольку согласно (33°) диагональные элементы ёд 0,..., с°+м_2,г+^-2 Ф 0-
Пусть /л = 0. Тогда в (ЗЗд) элемент с°_1 Г_1 = 0, и последнее уравнение системы
(32°) имеет вид 0 • ЬР1г_1 = Удг_1. Следовательно, компонента ЬР1г_1 свободна и со-
гласно рекуррентным формулам (32°) для разрешимости системы (32°) ее правая часть должна удовлетворять уравнению ^т-=20( — 1)г-т-1У00т ПГ-т ^ + У^-ч = 0. Поскольку й00 = (2(г — в) — 1)/(3в + 2), удобно ввести множители
вт = ( — 1)г-т-1 ПГ-т(2(г — в) — 1)/(3в + 2) (0 < т < г — 1),
ат =—вт+1 (0 <т <г—2), а0-1 =3г—1. 0
Тогда последнее уравнение принимает вид ^т=°0 втУ00т = 0, где согласно (320) У00т = У20т + (3т + 2)У^т + 2(г — т)У10т-1. Но в (3400) вт = —^твт+1, откуда (3т + 2)вт + 2(г — т — 1)вт+1 = —вт+1. Поэтому получаем уравнение ^^=0 втУ20т — Ет=2о вт+1У10т + (3г — 1)У10г-1 = 0, гарантирующее разрешимость системы (310).
Возвращаясь, наконец, к системе (31), отмечаем, что она разрешима при к = 6г — 4 (г ^ 1, М = 0, V = 0), если коэффициенты формы У[1], входящие в правую часть (31), удовлетворяют резонансному уравнению
о у^[2(3т+2),3(2(г—т)—2)] + в0 у.[2(3т+1),3(2(г—т)—1)п _ с (350)
т=0 т 1 т 2 0
где множители «т, вт определены в (340).
Пусть /л = 1. В (33°) последний диагональный элемент с°г ф О, поэтому система
(32°) и с ней вместе системы (32°), (31°) однозначно разрешимы. Следовательно, при к — 6г — 1 (м — 1, V — 0, г ^ 1) система (31) однозначно разрешима и все коэффициенты формы У[1] не имеют ограничений, т. е. нерезонансными являются коэффициенты
у-р(3т+2),3(2(г-т)-1)] (то=0^—^(М^г-т))] (т = ^
10. Пусть V — 1. Для коэффициентов форм 1>;[1], 7І1 1] положим
У1 У [2(3т+1),3(2(г —т)+м—1)] У [2?1,3?2] У1 (У 1 У1 );
11,т — У1 — У1 , У1 — (У 1,0, ..., У1,г+м—1);
У1 У [6(т+1),3(2(г— т— 1)+М)] У [2(?1+3),3(?2—2)] У1 (У 1 У1 );
У2,т _ У2 _ У2 , У2 _ (12,0, ..., У2,г —1);
Ь1 _ 7 [2(3т+2),3(2(г—т) + М —2)] _ Ь[2(?1 + 1),3(?2 —1)] 7 1 _ (1 1 Ї 1 );
71,т _ 71 _ 71 , 71 _ (71,0, ..., 71,г —1);
^2,0, ..., 72,г+м—1^
■ 1 У [0,3(2г+м)
2,0 — У2
Перепишем остальные уравнения (31) в новых обозначениях, заменяя во второй подсистеме индекс т на т +1 : (3т + 2)71 т + (2(г — т) + м)71 т—1 — Ь1 т _ У^т
(0 < т < г + М— 1), (3т + 4)72,т+1 +(2(г — т)+ М — 1)72,т — 271,т _ У21т ( —1 < т < г — 1)1
или, учитывая, что ;у[0’3(2г+м)] не входит в У21, в более удобной матричной записи
71 _ 7 [2(3т+1),3(2(г—т) + М—1)] ____ 71[2(91 + 1),3(92 — 1)] 1 1 _ (7 1 7 1 )
72,т _ 72 _ 72 , 72 _ (72,0, ..., 72,г+м—1).
Выделим во второй подсистеме (31) первое уравнение: 72 0 _ у2[0,3(2г+м)].
А171 — 72 _ У11, В172 — 271 _ У1, (311)
где А1, В1 —двухдиагональные (г + м) х г- и г х (г + м)-матрицы с элементами оО т —
3т + 2, Ь0о,т _ 2(г — т)+ М — 1 (0 < т < г — 1); от+1,т _ 2(г — т — 1)+ М, Ь0о,т+1 _ 3т + 4 (0 ^ т ^ г + м — 2).
Исключая из системы (311) вектор 71, приходим к линейной системе
С172 — І01, (321)
в которой С1 — А1В1 — 2Е — трехдиагональная матрица размерности (г + м) х (г + м) с элементами сОо,т _ от,тЬт,т + О0о,т—1Ь0о—1,т — 2 _ (3т + 2)(2(г — т) + М—1) + (2(г — т) + М)(3т +1) — 2 (0 < т < г + М — ^ ст,т+1 _ от,тЬт,т+1 _ (3т +2)(3т + 4), ст+1,т _ о0о+1,тЬт,т _ (2(г — т — 1) + м)(2(г — т) + М — 1) (0 < т < г + м — 2); У01 — 2У11 + А1*1 — это вектор с компонентами У0:1т — 2У11т + (3т + 2)У2:1т + (2(г — т) + м)У21т—1 (0 ^ т ^ г + м — 1), причем У21 —1 — 0, У21г — 0.
Методом Гаусса система (321) может быть преобразована в систему
С1 И1, = ТІ (32і)
с двухдиагональной матрицей С1, где с1г+^_1г+^_1 = с^+м_1г+м_1, уо,г+м_і = Vі • г1 = г1 г!1 = г1 /г1 г1 = г1 — г,Iі г1
0,г+^—15 т+1,т т+1,т7 ^т т,т+1/ т+1,т+Ъ т,т т,т ^т+1,т’
У0,т = - 4гУ0,т+1 (т = Г +/X - 2, 0), ЄСЛИ ПРИ ЭТОМ ^ 0.
Пусть м _ 0. Докажем индукцией по т, что при т — г — 2, ..., 0
4п > °, 4г,т > Зт(2(г - то) + 1) > 0. (33£)
При то = г — 1 в (321) с1_1г_1 = с1_1г_1 = 9г — 7 > 9г — 9 из (ЗЗд).
При О ^ т ^ г 2 Ст,т+1 ат,т6т,т+1 (3т + 2)(3т + 4) > 0, Ст+1,т
ат+1 т6т т = 2(г — т — 1)(2(г — т) — 1) > 0, по индукционному предположению
4+1,т+1 > 3(т + !)(2(г - т) - 1) > 0, а значит, в (321) ^ = с^ т+1/с^+1т+1 > 0 и
ст,т ст,т ^тст+1,т ст,т ^т^+Х^т+^т/^т+Х^т+Х ^ (3^ 2)(2(г ш) 1)
2(г — т)(3т + 1) — 2 — (3т + 2)(3т + 4)2(г — т — 1)(2(г — т) — 1)/(3(т + 1)(2(г — т) — 1) = 3т(4(г — т) — 1) + 6(г — т) — 4 — 2(г — т — 1)(3т + 3) + 2(г — т — 1)/(3т + 3) > 3т(4(г—т) —1)+6(г—т)—4—2(г—т —1)(3т+3) = 3т(2(г—т) + 1)+2 > 3т(2(г—т) + 1). Пусть теперь м =1. Докажем индукцией, что при т = г — 1,..., 0
= (Зт + 4)/(2(г - то) - 1), с^ т = (Зт - 1)(2(г - т) + 1). (33})
При т = г в (321) и (33}) с], г = Зг — 1, что дает базу. Предположим, что при г — 1 ^ то ^ 1 равенства (33}) верны, тогда в системе (321) (1}п_ 1 = с}п_1 т/с1п т = (Зто + 1)/(2(г - то) + 1), с^-х,т-х = С^п_1т_1 - 4г-х4г,т-х = (Зто - 4)(2(г - то) + 3). Согласно (ЗЗ1) диагональные элементы с1+ ^ г+ ...,Су 0 ^ 0, поэтому система
(321) однозначно разрешима и равносильна системам (З21), (311).
Для однозначной разрешимости системы (31) требуется выполнение выделенного
; 1 у [0,3(2Г + 1)1 ; 1
уравнения 7° 0 = У , в котором 7° 0 надо взять из первого уравнения систе-
мы (321) с^0/1^0 = Уо,о> гДе уо,о = Е^Г1(-1)туо^П™~о14- Поэтому выделенное уравнение принимает вид ПГГо1 4 “ 0У2[0,3(2г+м)] = 0.
Перепишем это уравнение, используя разложение для У)т из (321) и учитывая, что
2, — 1 - и и -Ч,г - и • ^т=0 V--1-Л21!1^ П0=01 ^ + Е0=0.
У0,-1 = 0 и УО, = 0 : Ет+=М0-1( —1)т2У1^Пт=02 й2 + Ет=10( —1)т(3т + 2 — йт(2(г — т — 1) + И))У1т ПТ=0 4 ~ С^ОУ^2^ = О-
Для М =0, 1 введем множители
«тм = (-1)тПГГ01^1 Ф 0 (0 < то < Г + /Х-1), /301,м = -Со,о/2 7^ 0, 4
вт+1 = (3т + 2 — йт(2(г — т — 1) + м))атм/2 (0 < т < г — 1), 1
тогда при м =1 в силу прямых формул (33°) они принимают вид
ат1 = (—1)т пт=01(3в + 4)/(2г — 2в — 1) = 0 (0 < т < г),
(341 )
во1,1 = —1/(4г + 2), вт+1 = — ат1 = 0 (0 < т < г — 1).
Возвращаясь теперь к системе (31), для коэффициентов формы У[1], у которых к = 6г + 3м — 3 (г ^ 1, м = 0,1, V = 1), получаем резонансное уравнение
у^г+м 1 а1,МУ [2(3т+1),3(2(г-т)+м-1)] + г «1,МУ [6т,3(2(г-т)+1)] = с (351)
^-^т=0 т 1 ^т=0 вт 2 , ( М)
где множители а01, вт1 определены в (341).
Замечание 3. Пусть м = 0. Тогда в,1,0 = (3г — 1)а0-1/2 = 0, а при 2г — 1 > т > (2г - 5)/5 в силу оценки (33£) имеем Лхт = с1т т+1/с1т+1т+1 < (Зто + 2)(Зто + 4)/(3(то + 1)(2(г — т) — 1)) = (3т + 2)(1/(2(г — т — 1)) — 1/((2(г — т) — 1)(2(г — т — 1))) + 1/(3(т + 1)(2(г — т) — 1))) < (3т + 2)/(2(г — т — 1)), откуда (3т + 2 — (2(г — т — 1)) > 0 и
вт+1 _(3т+2—^т(2(г — т — 1))«т0/2 — 0. Поэтому при 2г/5 < т ^ г коэффициенты
т/[6т,6(г—т)] /ог1\
—2 , входящие в (350), являются резонансными.
20. Пусть V — 2. Для коэффициентов форм УІ[1], 7І1 1] положим
у2 _ -у[6т,3(2(г—т)+м)] _ "У[2?1,3?2] у2 _ (У2 у2 );
11,т _ У1 _ У1 , У1 _ (У 1,0, ..., У1,г);
\т2 У[2(3т+2),3(2(г—т)+^—1)] у[2д1,3д2] \г1 /\^2 \^2 V
12,т _ 12 _ 12 , У2 _ (У2,0, ..., У1,г+^—1);
72 _ 7 [2(3т+1),3(2(г—т)+м—1)] _ 7[2(?1 + 1),3(?2 —1)] 7 2 _ ( 7 2 7 2 );
71,т _ 71 _ 71 , 71 _ (71,0, ..., 71,г+м—1);
72,т — 726т,3(2(г—т)+")] — 722(^1—2)^2+1)], 72 — (72,0, ...,72,г).
Перепишем систему (31): (3т + 1)71,т + (2(г — т) + м + 1)71,т— 1 — 72,т — У2т, (3т + 3)72 т+1 + (2(г — т) + м)72 т — 271 т — -22т или в матричной записи
А2 72 — 72 — У12, В272 — 271 — У2\ (312)
где А2, В2 —двухдиагональные (г +1) х (г + м)- и (г + м) х (г +1)-матрицы с элементами
ат,т = 3т + 1 6т,т = 2(г — т)+ М (0 < т < г + М — 1), 6т,т+1 = 3(т + 1), ат+1,т =
2(г — т) + м — 1 (0 ^ т ^ г — 1).
Исключая из системы (312) вектор 72, приходим к линейной системе
С2 7° = У02, (322)
в которой С2 = В2 А2 — 2Е — трехдиагональная матрица размерности (г + м) х (г + м)
с элементами ст,т = 6т,тат,т + 6т,т+1ат+1,т — 2 = (3т + 1)(2(г — т) + М) + (3т +
3)(2(г — т)+ М — 1) (0 < т < г + М — 1), ст+1,т = 6т+1,т+1ат+1,т = (2(г — т — 1)+ М — 1)(2(г — т — 1)+ М^ ст,т+1 = 6т,т+1ат+1,т+1 = 3(т +1)(3т + 4) (0 < т < г + М — 2). Методом Гаусса система (322) может быть преобразована в систему
С27!=Уо, (352)
_2
с двухдиагональной матрицей С по рекуррентным формулам с2 0 = с2 0 = 8г + Ац — 5;
Ст— 1,т Ст—1,т: ^т,т ^т,ш ^т- 1,т»Ст,т— 1 /^т— 1,т — 1 1,?"~Ь/Х 1), если
Со,01 • • • 1 сг+ц-2,г+ц-2 7^ 0-
Докажем методом математической индукции, что
ст т > (Зт + 4)(2(г - то) + /х - 2) (т = 0, г +/х — 1). (зз2)
При т = 0 в (З22) с2 о = 8г+4уи,—5 > 4(2г+уи,—2), что дает (ЗЗ2) и базу индукции. При 1 < т < г + м — 1 ст,т-1 = (2(г — т) + м)(2(г — т)+ м +1) > 0, ст-0,т = 3т(3т +1) > 0, с^п_1т-1 > (Зт+ 1)(2(г — то) +/х) >0, поэтому с^т > (Зто + 2)(4г — 4т + 2р — 1) — 3 — (2(г — т) + м)(2(г — т) + м + 1)3т(3т + 1)/((3т + 1)(2(г — т) + м)) = 3т(2г — 2т + м — 2) + (8г — 8т + 4м — 5) > (3т + 4)(2г — 2т + м — 2).
__2
Для /х = 0 из (З22) следует, что положительны все диагональные элементы С , т. е.
системы (З2 ), (З22), (312) и (31) однозначно разрешимы.
-2
Для ц = 1 доказано, что с^пгп> 0 при то = 0, г — 1.
^2 ’ г,г
Покажем теперь, что сг г <0, для чего докажем по индукции, что
Ст т < (Зт + 4)(2Г — 2ТО-) (ТО = 0, Г, /Х= 1). (342)
29
При то = 0 в (322) со,о = 8г — 1 <8г, что дает (342) и базу индукции. При 1 ^ то ^ г
ст т-Ъ ст-1 т > п0 ИНДуКЦИОННОМу ПрЄДПОЛОЖЄНИЮ И согласно (ЗЗ2) 0 < С^п_1 т_1 ^
(Зто + 1)(2г — 2то + 2), поэтому т < (Зто + 2)(4г — 4то + 1) — 3 — 3то(3то + 1)(2(г —
т) + 1)(2(г — т) + 2)/((3т + 1)(2г — 2т + 2)) < (3т + 4)(2г — 2т).
__2
Итак, при м — 1 все диагональные элементы матрицы С тоже отличны от нуля, и все системы, включая систему (31), однозначно разрешимы.
В результате для всякого к — 6г + 3м — 2 (м — 0,1; V — 2; г ^ 1) форма У[1] произвольна, т. е. нерезонансными являются коэффициенты
у[6т,3(2(г-т)+м)] (то = ^(Зт-І^О-т^+І)] (т= 1)Г + М). (352)
Теорема 3. Пусть система (152) получена из произвольной системы (30) при помощи замены (7) с произвольно выбранными коэффициентами 7^2(3г 3),3]. Тогда для всякого г ^ 1 коэффициенты формы У[6г—4] системы (152) удовлетворяют уравнению (35«), а коэффициенты форм У[6г+3м—3] (м — 0, 1) — уравнениям (35^).
Следствие 4. При к — 6г — 4 (м — 0, V — 0) в (340) «ОшвО, — 0, поэтому все коэффициенты формы У[6г—4] реально входят в (350) и являются резонансными. При к — 6г (м — 1, V — 1) в (341) «т^вт1 — 0, поэтому все коэффициенты формы У[6г] реально входят в (351) и являются резонансными. При к — 6г — 3 (м — 0, V — 1) в (341) «т.0 — 0, поэтому все коэффициенты формы у6 3] реально входят в (351) и являются резонансными, а коэффициенты формы -2[6г 3] из (351) имеют множители вт0, содержащие рекуррентно определенные в (32 ) величины с^. Согласно замечанию 3 вт0 — 0 при 2г/5 < т ^ г, и коэффициенты -2[6т,6(г т)] при таких т — резонансные. Все коэффициенты форм У[6г— 1] из (350), У[6г—2] из (352), У[6г+1] из (351) — нерезонансные.
Теорема 4. Произвольная система (30) формальной заменой (7) может быть преобразована в ОНФ (152), в которой для любого г ^ 1 все коэффициенты форм у[6г—2], у[6г—1], у [6г+1] равны нулю, а среди коэффициентов форм У[6г—4], У[6г—3], у[6г] равны нулю все, кроме одного коэффициента в каждой из форм, удовлетворяющего соответственно резонансному уравнению (35«), (350) и (351).
Пример 3. Система (30) формально эквивалентна ОНФ, у которой отсутствует возмущение во втором уравнении:
I /V[6,-2,0] 3,-1 , тЯ6г+2,0] 3г + 1 , тЯ6г-4,3] 3,-2 ч • 2
у/1 = у2 +> (У/ Ч + Уо У1 + + Уо У1 у2), у/2 = у1.
< ^,= 1
Пример 4. Система (30) в силу замечания 3 формально эквивалентна ОНФ, возмущение которой не зависит от второй переменной:
I /V[6,-2,0] 3,-1 , р[6г+2,0] 3г + ь • 2 , р[6г,0] з,
у/ 1 = у2 +У. ДУ1 у 1 + У1 у 1 + Л у/2 = у 1 +У. у2 у 1 .
=1 =1
§ 6. Случай нулевого приближения (х2,х3)
В заключение рассмотрим систему
Х1 =х2 + Х^=2 х11] (х) х 2 = х3 + Х^=2 х21] (x), (36)
где нулевое приближение Р([°]2) = (х2, х3) взято из формулы (19) при С/, 62 = 0 и а, в нормированы к единицам, в возмущении форма Х*[1] = Ед1+2д2 = 1+*
Х*[91,292]х01 Х«2.
Пусть замена (7) ж — у + Ек=2 ^ 1](у) (* _ 1,2), в которой форма 7Ік 1] —
Е(7 , д)=й+і—1 7!91 ’292]Уі1 у!2 переводит систему (36) в систему
у1 — у2+ЕГ=2 У1[к](у), у2 — у3 + ЕГ=2 -2[к](у). (37)
Тождества (9) для систем (36) и (37) принимают вид
д7[к—1] , д7[к—1] ч „ ,[к—1] д7[к—1] , д7[к—1]
1_____„2 , ап1 „.з _ о Л[й-І] _ уМ ОП2 2 , а/7-2 3 _ Ч7/2Л[*-1] _ уМ
аУ1 2/1 + аУ2 2/1 2уі/І1 ’ дУ1 Уі+ дУ2 Уі 'іу^1 '
Приравнивая коэффициенты при у^1 у|2, где до + 2д2 = к + г, д. ^ 0, а г = 1, 2
номер тождества, получаем линейную систему
(91 — 3)7[11 —1 ’ 2і2] + (92 + 1)7[!1—3 ’ 2(і2+1)] — У>1[і1 ’2і2],
(?1 — 1)4і1 —1 ’ 2і2] + (9! + 1)4і1—3 ’ 2(і2+1)] — 371і1—2 ’ 2і2] — У2[і1 ’2Ч
(38)
Поскольку в У’'91, 292 ] индекс до = к + г — 2д2 и к ^ 2, положим
к = 2г + V (г ^ 1, V = 0,1), д2 = г — т (т ^ г).
Тогда в у.[91,2®] индекс до = 2т + V + г и система (38) принимает вид
/о I о\т)] / < u[2m+v-2,2(r-m+0)]
(2т + V — 2)7-1 + (г — т + 1)7-1
= У>1[2т+.+ 1,2(г-т)] (—V ^ т < г),
(2т + V + l)h12m+v+1,2(r-m)] + (г — т + l)h22m+v-1,2(r-m+1)]—
— зh12m+v,2(r-m)] = >2[2т+^+2,2(г-т)] ( — 1 ^ т < г). (39)
Выделяя первое уравнение из первой подсистемы (39) при V =1 и из второй при
V = 0 (оба раза т = —1), получаем
0 = у20>+2] (V =1), 0 = У>[0>+2] (V = 0). (40)
Оставшиеся уравнения системы (39) запишем в матричном виде
А 7^ = У/', В" 72 — 37^ = У2, (41)
где 70 = (70,0,..., 7^,,), 72 = (72-,...,72,,), 7^ = 7[2m+v+i-1,2(r-m)] (г = 1,2);
Уо" = (У1^0,...,У1^Г), У2^ = (У?-,...,У2^,), УГт = У.'2^^-^; А, В-двухдиа-
гональные (г + 1) х (г + 1)-, (г + V + 1) х (г + 1)-матрицы с элементами ат т = 2т + V — 2 (0 ^ т ^ г), ат т-о = г — т +1 (1 ^ т ^ г), 6т т = 2т + V +1 (—V ^ т ^ г), 6т,т-1 = г — т +1 (—V +1 < т < г).
При V = 0 уравнения с т = 0,1 первой подсистемы (41) имеют вид —270 0 = Уо00 и г7°,0 + 0 • 70,1 = Уо01, а значит, имеется связь
гу11>] + 2у1[3,2»--2] = 0, (420)
и компонента 70 ° произвольна. После этого система (41) однозначно разрешима, так
как а.
0
— 2т — 2 — 0 при т ^ 2 и ЬОО т _ 2т +1 — 0.
При v =1 первая подсистема (41) однозначно разрешима, в ней а^ m = 2m — 1 = 0. Первое уравнение второй подсистемы (41) имеет вид
0 • h2 ,- = У*(421)
причем h1 _i не имеет ограничений. После этого вторая подсистема становится однозначно разрешимой, так как m = 2m + 2 = 0 при m ^ 0.
Возвращаясь к системе (37), в которую входят коэффициенты формы Y[k] при k = 2r + v, r ^ 1, v = 0,1, отмечаем, что для ее разрешимости согласно (40), (42) должны выполняться следующие резонансные уравнения
2Y13 ’ 2r_2] + rY1[1 ’ 2r] = ?, Y2[0 ’ 2r+2] = г (k = 2r); (430)
y10 ’2r+2] = г, y2[1 ’2r+2] = г (k = 2r +1). (431)
Теорема 5. Пусть система (37) получена из произвольной системы (36) при
помощи формальной замены (7) с произвольно выбранными коэффициентами ’ 2r 2].
Тогда для любых r ^ 1, v = 0, 1 коэффициенты формы Y[2r+v] удовлетворяют двум резонансным уравнениям (43v).
Следствие 5. При k = 2r резонансный набор состоит из Y13 ’ 2r 2] или Y11 ’ 2r] и Y2[0 ,2r+2]. При к = 2r +1 он единственный —это y10 ’ 2r+2] и Y2[1 ’ 2r+2].
Следствие 6. При к = 2r коэффициенты Y11 ’ 2r], Y13 ’ 2r 2], Y20 ’ 2r+2] резонансные, все остальные — нерезонансные. При к = 2r +1 резонансными коэффициентами явля-
т/"[0 , 2r+2] л/'[1, 2r+2]
ются только Y1 и Y2 .
Теорема 6. Все ОНФ системы (36) имеют вид
У1 = « + Е°°, Y[1+2‘"2<'_‘')]s1+2t'»Гк' + £°° 2 у10'2']у5,
^_^г = 1 ^_^Г=2
У2 = уЗ + £°° 2 Yj°'2r]s; + 2 if ’2г]У1У: (k = 0,1).
-^r=2 -^r=2
Примечание. Вычисления в §§4-6, связанные с нахождением в явном виде резонансных уравнений, выполнены вторым автором.
Summary
V. V. Basov, A. A. Fedotov. Generalized normal forms for two-dimensional systems of ordinary differential equations with linear and quadratic unperturbed parts.
Various definitions of normal forms for systems of ordinary differential equations are discussed. We treat the notion of a generalized normal form and the problem of the formal equivalency of systems of differential equations in terms of resonant equations. The method of resonant equations is applied for two-dimensional systems whose unperturbed parts a linear in the first equation and quadratic in the another one.
Литература
1. Брюно А. Д., Петрович В. Ю. Нормальные формы системы ОДУ. Препринт ИПМ РАН, 2000. №18.
2. Брюно А. Д. Аналитическая форма дифференциальных уравнений // Тр. Моск. Мат. о-ва, 1971. Т. 25. С. 119-262; 1972. Т. 26. С. 7-264.
3. Плисс В. А. О приведении аналитической системы дифференциальных уравнений к линейной форме // Дифференц. уравнения, 1965. Т. 1, №2. С. 153-161.
4. Брюно А. Д. О локальных инвариантах дифференциальных уравнений // Мат. заметки, 1973. Т. 14, №4. С. 499-507.
5. Басов В. В. Метод нормальных форм в локальной качественной теории дифференциальных уравнений: формальная теория. СПб., 2001.
6. Белицкий Г. Р. Нормальные формы формальных рядов и ростков ^^-отображений относительно действия группы // Изв. АН СССР, сер. матем., 1976. Т. 40, №4. С. 855-868.
7. Ushiki S. Normal forms for singularities of vector fields // Japan J. Appl. Math., 1984. Vol. 1. P. 1-37.
8. Baider A. Unique normal forms for vector fields and Hamiltonians // J. Diff. Eq., 1989. Vol. 78. P. 33-52.
9. Baider A., Sanders J. Further reduction of the Takens—Bogdanov normal form // J. Diff. Eq., 1992. Vol. 99. P. 205-244.
10. Kokubu H., Oka H., Wang D. Linear grading function and further redaction of normal forms // J. Diff. Eq., 1996. Vol. 132. P. 293-318.
11. Белицкий Г. Р. Нормальные формы относительно фильтрующегося действия группы // Тр. Моск. Мат. о-ва, 1981. Т. 40. С. 3-46.
12. Gaeta G. Poincare renormalized forms // Ann. Inst. Henri Poincare, 1999. Vol. 70, N6. P. 461-514.
13. Басов В. В. Обобщенная нормальная форма и формальная эквивалентность систем дифференциальных уравнений с нулевыми характеристическими числами // Дифференц.
уравнения, 2003. Т. 39, №2. С. 154-170.
14. Басов В. В. Обобщенная нормальная форма и формальная эквивалентность систем дифференциальных уравнений с нулевым приближением (xf, —xf) // Дифференц. уравнения, 2004. Т. 40, №8. С. 1011-1022.
15. Басов В. В., Скитович А. В. Обобщенная нормальная форма и формальная эквивалентность двумерных систем с нулевыми квадратичным приближением, I // Дифференц. уравнения, 2003. Т. 39, №8. С. 1016-1029.
16. Басов В. В., Скитович А. В. Обобщенная нормальная форма и формальная эквивалентность двумерных систем с нулевыми квадратичным приближением, II // Дифференц. уравнения, 2005. Т. 41, №8. С. 1011-1022.
17. Басов В. В. Обобщенная нормальная форма и формальная эквивалентность двумерных систем с нулевыми квадратичным приближением, III // Дифференц. уравнения, 2006. Т. 42, №3. С. 308-319.
Статья поступила в редакцию 12 октября 2006 г.
