Обобщенные нормальные формы систем ОДУ с невозмущенной частью (x2,±x12n-1) Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.925

Вестник СПбГУ. Сер. 1. Т. 2(60). 2015. Вып. 1

ОБОБЩЕННЫЕ НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ СИСТЕМ ОДУ

С НЕВОЗМУЩЕННОЙ ЧАСТЬЮ (x2, ± x12n-1)

В. В. Басов, Л. С. Михлин

Санкт-Петербургский государственный университет,

Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7-9

Конструктивным методом получены все структуры обобщенных нормальных форм, к которым почти тождественной заменой может быть сведена двумерная автономная система ОДУ с невозмущенной частью (Х2, ±x^n—х) для Vn > 2. Библиогр. 3 назв.

Ключевые слова: обобщенная нормальная форма, квазиоднородные многочлены, резонансные уравнения.

1. Введение. В работе рассматривается вещественная двумерная аналитическая в нуле система

то то

x 1 = Х2 + 53 x|fc](xi,X2), x2 = x|fc](xi,X2) (a = ±1, n > 2), (1)

k=n k="

невозмущенная часть которой (x2, ax2" 1) является квазиоднородным многочленом обобщенной степени n — 1 с весом y = (1,n), а возмущения Xj(xi,x2) разложены в суммы квазиоднородных многочленов X]k](xi,x2) обобщенной степени k (k > п)

с тем же весом, т.е. x!k] = Egi +nq2=k+7i Xiqi’nq2]xi1 x22 (i = 1 2)-

Вопросы, связанные с нормализацией системы (1) в частном случае, когда п = 2, были исследованы в работах [1, 2]. Определения веса, обобщенной степени и квазиоднородного многочлена (КОМ) можно найти, например, в [2, разд. 2].

Пусть формальная почти тождественная замена

xi = yi + 53 hf "+i] (yi,y2) (i = 1, 2), (2)

k=n

в которой h,

[k-n+i]

E

qi+nq2 =k-n+i+Yi i

hiqi,nq2yf2, преобразует (1) в систему

yi = У2 + Yi(yi,y2), y2 = ffyi i + Y2(yi,y2) (ff = ±1, n > 2),

(3)

где возмущения Yi =YTO=n E[k] (yi, y2), а КОМ Yi

[k]

E

Y

qi+nq2=k+Yi i

[qi >n®] yqi 02 yi y2

Задача заключается в том, чтобы методом резонансных уравнений, подробно описанном, например, в [2, разд. 4], в явном виде указать все структуры обобщенных нормальных форм (3), к которым можно привести систему (1) почти тождественными заменами (2). При этом с определениями резонансных уравнений, резонансных наборов и обобщенной нормальной формы (ОНФ) можно ознакомиться также в [2, разд. 4].

Таким образом, предлагаемая работа является обобщением работ [1, 2] на случай произвольного n. Кроме того, она непосредственно усиливает полученные в [1, 2] результаты, так как более чем в два раза уменьшает число не установленных точно резонансных коэффициентов системы.

14

2. Получение связующей системы. Дифференцируя замену (2) в силу систем (1), (3) и выделяя члены обобщенной степени k > n, получаем тождества

dh

[k-n+1] 1

-У 2 +

dh

[k-n+1] 1

dyi

^,[k-n+1] C)7[k-n+1]

dh2 . dh2 2n-1

-?/2 Н----Б------°4/i

-ау^1 - 4fc-n+1] + +[fc]

: '

[k]

1

ду 1

ду2

ду2

- (2n - 1)ay2n-2h1k-n+1] + Y2[k] = Y2[k],

(4)

причем величины Y'1[k] и Y2[k] при последовательных относительно к вычислениях коэффициентов уже известны, так как содержат только предшествующие КОМ.

Приравнивая коэффициенты при yf1 у|2, получаем линейную связующую систему

+ + 1)h[f1 + 1’n(q2-1)] + a(q2 + 1)h[qi-(2n-1),n(q2 + 1)]- h2f1’nf2] = >[qi’nq2] (q1 + nq2 = к + Y1),

(q1 + 1)h2f1 + 1’n(f2-1)] + a(q2 + 1)h[2qi-(2n-1)’ n(q2 + 1)]- (2n - 1)ah1q1 -(2n-2)’nq2] = Y>2[qi’nq2] (q1 + nq2 = к + 72), (5)

в которой >[qi’nq2] = '[qi’nq2] - Y[qi’nq2] (i = 1, 2), Y1 = 1, Y2 = n.

Поскольку k > n, а q1 G Z+, для k и q1 удобно ввести следующее разложение:

k = 2nr + v - n (r G N, v = 0,1,..., 2n - 1), q1 = 2ns + l (s G Z+, l = 0, 1,. .. 2n - 1).

Тогда q2 = 2r - 2s - 1 + (7* + v - l)/n.

Таким образом, для V k > n > 2 индекс q2 G Z+ в следующих двух случаях:

a) / = (г> + 1 mod 2п), <71 = 2ns + г> + 1, (/2 = 2r — 2s — 1 (s = т2а,r — 1 ) при г = 1

и I = v, q\ = 2ns + -у, </2 = 2r — 2s (s = 0, г) при г = 2;

b) l = (v+n+1 mod 2n), q1 = 2ns+v+n+1, q2 = 2r-2s-2 (s = т-^6, r - 1) при i = 1 и l = (v + n mod 2n), q1 = 2ns + v + n, q2 = 2r - 2s - 1 (s = T+ r - 1) при i = 2.

Здесь т+ = {0 при v = 0, 2n — 2; —1 при v = 2n — 1}, 1+ = {0 при v = 0, n — 2;

— 1 при v = n — 1, 2n — 1}, r2b = {0 при г> = 0, n — 1; —1 при г> = n, 2n — 1}.

3. Структура связующей системы в случае а. Введем новые обозначения: +“ = /l]2"('S 1)+’u+2>2n(r S)1 ("s = тг>а;Г^ Где _ j ^ при ^ _ Q, 2п — 3; 0 при V =

2n - 2, 2n - 1}; hvas = h2

[2ns+v+1, 2n(r —s — 1)+n]

[2ns+v+1, 2n(r —s—1)+n] \rva >[2ns+v, 2n(r —s)]

h , Y2,s = Y2 (s

(s = т[а,г — 1 ). Тогда система (5) примет вид

v

va

(s = 0, г), У+ =

сг(2г - 2s)+“ + (2ns + v + 2)+“+1 - +“ = Y+ (s = т\а, г - 1),

s = т1 , r

___ (6)

— (2п- 1)сг+“ +сг(2г -2s + 1)++! + (2ns + г + 1)+“ = У2™ (« = 0,г).

2r

2n

Подставляя h2“_ 1 и hVas из (61) в (62), получаем трехдиагональную систему

°VsahZ-1 + b

va va va h1,s + cs h1,s + 1 = Y0

va

s

(s = 0,r ),

(7)

в которой

CJva _ ("2r _ 2s + l)(2r — 2s + 2) (s = Tva + 1, r ),

ЬГ = a((2r — 2s)(4ns — 2n + 2v + 3) + 2ns — 4n + v + 3) (s = rva, r ), Cg“ = (2ns + v + l)(2ns + v + 2) (s = rva — 1,r — 1 );

15

Y0yas = a(2r-2s+l)Ylas_1 + (2ns + v+l)Y^as+Ylas (s = 0, r ), причем Y?a_uY^ = 0

для всех v, кроме Y-fn1

Запишем (7) в матричном виде, выделяя при v = 0, 2п — 3 первое уравнение:

va va 0 h1,1 = Y0,0 (v = 0, 2n — 3), Ava h1a va = Y0 (v = 0, 2n — 1), (8)

bvaaa ' >-/т aa 0 0 ^

ava W't aa _|_ 1 bva bT a a+1 cva CT a a + 1 0 va va h1 — (h1 тa a , • • hva ) • , h1,r),

0 ava ar -1 bva 1 cva cr -1 , va va Y 0 = (Y 0,T aa , • • va • , Y0,r )^

0 0 <a bva у (r - -T a a + 1)

где Ava =

Методом Гаусса аннулируем в Ava элементы aV?a+1, aV?a+2, • • •, получая dVa вместо Ъуа и Y^s вместо ДД, пока dya^l Д 0 (s > туа), по рекуррентным формулам

dva = bv

U/Tva — о'-т-

dvsa = bvsa —

Y,

0 ,т aa cva cv- 1

ds1

va

— Y 0,тaa ;

уzva = , Y =

va

Y0,v —

Y,

0,s 1

ds1

(s

+ 1, Tva +2, •••)•

(9)

Лемма 1. В формуле (9) элементы adv

i2n—3 a n 1

кроме di =0 при r = 1

Доказательство. Из (7) и (9) получаем dz1 r > 1

• • • ,adv a 1 > 0, a элемент adva < 0, 0 при r = 1 Пусть теперь

2n—3 a

Для оценки снизу элементов advsa при s = туа, г — 1 введем положительные функции <Д“ = (2r — 2s — l)(2ns + v + 1).

Покажем методом математической индукции, что adya > <Д“ при s = туа,г — 1.

В (9) ad1a = Anr + Avr + 6г — 6п — 3-с — 3 > 4пг + 2vr + 2г — 6п — 3-с — 3 = <Д“ (v = 0, 2п — 3), <тйда = Arv + 6r — 4rn — Ап + v + 3 > 2vr + 2r — v — 1 = Qa (v = 2n — 2, 2n — 1).

Пусть для некоторого s — 1 = туа,г — 2 верно неравенство стс^Д > CJ“i- Тогда согласно (9) имеем adva = abva — avacv a -|_(adva 1)-1 > (2r — 2s)(4ns — 2n + 2v + 3) + 2ns — 4n + v + 3 — (2 r — 2s + 2) (2ns — 2n + г + 2) = <Д“.

Для оценки сверху элементов <тф(а при s = туа,г введем функции rfsa = {(2г — 2s)(2ns + 2v + 3) при v = 0, 2п — 3; (2г — 2s)(2ns + г + 4) при v = 2п — 2/2п — 1}.

Покажем методом математической индукции, что <тф(а < г]уа при s = т1"1 + 1, г. В (9) adva = 4nr + 4vr + 6r — 6n — 3v — 3 < 4nr + 4vr + 6r — 4n — 4v — 6 = Д0, (v = 0, 2n — 3), <тйда = Arv + 6r — Arn — An + v + 3 < 2vr + 8r = ryg (v = 2n — 2, 2n — 1). Пусть для некоторого s — 1 = туа,г — 1 верно неравенство спДД < гДД. Тогда

va Д-;

согласно (9) имеем ad^ = abva — аДеД ^ad^ 1)-1 < abva — аДеДДцД 1) как цД 1 > 0, достаточно доказать, что аДеД 1 > цД 1(abva — цД), что равносильно верным неравенствам (2r — 2s + 1)(v2 + 3v + 2) + (2n — v — 3)(2ns — 2n + 2v + 3) > 0 (г = 0, 2n — 3) и 6(2r — 2s + 1) + (2n — 4)(2ns — 2n + v + A) > 0 (v = 2n — 2, 2n — 1). □ Теперь согласно формулам (9) имеем

1

а так

Y,

0,

Enva yva n v ,m Y0,m,

nva n v ,m

(—1)

П Ka/dr 1) (s > 1)

m=1 j=m+1

В результате система (8) равносильна системе сГ^д=^од (г = 0, 2п — 3), ""

A h\a =Yо [v = 0, 2n — 1),

(10)

(11)

a

va

S

s

a

16

в которой А — квадратная двухдиагональная матрица с элементами dvsa и cvsa на

-TT-Vci fTyva \/~vсь \ . ч

диагоналях, Y 0 = (Y 0,rva, Y о?тva+1, ■ ■ ■, Y 0,r), компоненты Y 0?s определены в (10).

4. Совместность связующей системы в случае а. При v = 2n — 2, 2n — 1

(11) совместна, так как уравнение (lli) отсутствует, а detM у7 0 по лемме 1.

Пусть теперь v = 0, 2п — 3. Введем Avs\—алгебраическое дополнение матрицы ~Аиа и Ava — ее определитель. Имеем

S — 1

Ava

As,1

( — 1)s+in А П j, A'

j=1 j=s+1

Тогда по формуле Крамера в (112) AvahVa1

Ш

j= 1

= 0 при r > 1.

1Y 0,s •

Подставляя h\y в (lli), в силу (10) имеем 0 = ^s,°i^o,s — (AvVco°)^o =

Er Ava ( V^s z)va yva A / д va / ~va\yva

s=1 As,1\L^m=1 Us,m10,m) — (A /c0 )Y0,0

E

YvaYva = 0 Ym Y 0,m 0

Y0va

= —Ava/c

Y va = m

Ел va (\va As,1^s,m

(m=l,r). (12)

Лемма 2. Множители yma из (12) представимы в виде

С = (m = 1, г),

где ф.

va

m

( —!)т+1 ПГ=1 СГ ^ 0 (т = в С; VC = С АЛ

bva

r

Vva Vm-1

(13)

vma —

bvaj.va

mm

C+iCC+i (m = r-1,2).

Доказательство. Покажем, что для констант Vm справедлива прямая форму-

ла

s1

«Г-ЕП4* П <‘Т П (»г/у“,) (»-r,i).

(14)

s=m j=m

j = s

1

j=m+1

в (14) vva = e s=r 1 = 1, vv—1 = £ s=r-1 nE-1 cv^ir=s+1 a ns=r (a/a—1) =

va va va va va

r + u<r 1/ Uy_ 1 — br

lj=r —1 j Hj = s+1 j Hj=r _

dva + avacvv—1/dv—1 = bva согласно (9), что совпадает с (13) и дает базу индукции. Пусть для всех s = то,г верно равенство (14). Тогда согласно (13) и (9) имеем

Ts—1 .va FTr dva rrs

lj=s + 1 dj llj=m jva ^ f^va

Ts S

va va va va

vm— 1 = bm vm am+1

av°

x£ хП

va va va

c^ V^ + 1 b>

rs

ns—m Cj

va va r s—1 va r va s va va va va va va

'm+1cm Z-/s=m+1 1 lj=m+1 cj Hj=s + 1 dj Hj=m+2(aj / dj—1) (dm + am c

va

,m+1'-m Y'm+1 '-'m A^s=m 1 lj=m '"j

s—1 cva FT dva ns (ava

j=m+1 cj llj=s + 1 dj llj=m+2(aj

r ns— 1 cv^Tr dva rrs (ava / dva )_ dva y^r TTs —1 c'

s=mllj=m cj llj=s + 1 llj=m+1(aj /dj—1) dm E-,'s=m+1 1 1^=^ •

j=m+1 Ka/dv — 1) = Er=m— 1 ns—m —1 cvmr=s+1 А П

Теперь с учетом равенств (12) и (10) получаем

+ 1 dvan;=m+1K7dv— 1) —

'mcm— 1/dm—1) Х

va

m+1 j=m cj

(»v“/dW— 1 )■

Ц.,+1 dvax

Ym“ = Е

s=m

r s—1 r s

АдСА ^(—1)s+ni cv^I dva(—1)s—1- n (ava/dv—1) = фmavma■

j=1

j=m+1

□

va

или

va

0

0

s=m

1

s=m

j=s

va va

L 1,m и Y2,m-

Перейдем от коэффициентов Y0vm к коэффициентам Y1,

В равенстве (12) согласно формулам (7)C0m=11 Ym(a(2r — 2m + 1)Y1vm—1 + (2nm + V + 1)Y1vm + Am) + Yva((v + 1)Aa + Yvo) + Yva(^Y1va—1 + A?) = 0. Отсюда получаем гарантирующую совместность системы (11) резонансную связь

v = 0, 2п — 3

r1

m=0

Cvayva + evaYva \ Vam Y 1,m + em Y 2,m/

+eva y2v? = 0,

(15)

17

где а™ = (2nm + w + l)7™ + cr(2r-2m-l)7™+i (то = 0, г - 1),/ЗД = 7Д (m = 0,r),

а из (13)-

5. Структура связующей системы в случае b. Положим для краткости

h\bs = hlMs-i)+v+n+Wr-s-i)+n] (s = т^г_1); где Tvb = {1 при v = 0^3;

0 при V = П — 2,2п — 1}; hfs = hVns+v+n+l, 2n(r-s-l))]^ у„ь = £K2nS+«+n+l,2n(r-S-l)]

(s = т1ь,r — 1); УД = У2

>[2ns+v+n,2n(r — s — 1)+n] [ 2

(s = T2b,r — 1). Тогда (5) примет вид

<т(2г - 2s - 1)/фь8 + (2ns + v + n + 2)hfs+l - hfs = УД6 (s = rf, r - 1), cr(2r - 2s)hlbs_x + (2ns + v + n + 1 )hv2bs - (2n - l)cr/ifbs = У2^ (s = rf ,r - 1).

Подставляя hVbs—1 и hVbs из (16i) в (I62), получаем трехдиагональную систему

(16)

vbi vb 1 ivbivb 1 vbi vb _______ T/'vb

as h1 ,s —1 + bs h1, s + cs h1, s+1 = Y0 ,s

(s = T2vb ,r — 1 ),

(17)

в которой

vb s

as” = (2r — 2s)(2r — 2s + 1) (s = Tvb + 1, r ), bv

s

cvb s

bf = <t((2r — 2s — l)(4ns + 2v + 3) + 2ns + г — 3n + 3) (s = rvb,r — 1)

c;“ = (2ns + v + n + 1)(2ns + v + n + 2) (s = Tvb — 1, r — 1);

vb

Y0vb = <j(2r - 2s)y^_1 + (2ns + г + n + 1)У$ + Y2vb (s = rf, r - 1).

Введем Y0n— x , Y0n— x = 0, тогда (17) можно рассмотреть для s = тvb — 1,r — 1

при всех v = 0, 2п — 1, так как сД26, сД10 = 0, и записать ее в матричном виде

1b

Avbh1b

vb

Y0 ,

(18)

где матрица Avb =

/ cvb

f vb — 1

bvb

bT vb

avb

u't vb + 1

vb

CT vb

bvb

b vb

0

0

vb

+ 1 CTvb+1

0 0

vb vb

..., h1,r-1), Y0

vb

ar —2

vb

h1 (h1,Tvb? • • • ? I(,1,r — 1h 1 0 ^j‘0,tvb — 1 ? * * * 1 ±0,r — 1

(Y

0 0 0

bvb cvb

br —2 Cr — 2

bvb 1/

...,Y

ar — 1 vb

).

(r —T vb+1) x (r —T vb)

Методом Гаусса в Avb аннулируем элементы 2, 3,..., получая dvb вместо

bvb и Уд^ вместо Y$b, пока ДД ^ 0 (s > туЬ + 1), используя рекуррентные формулы

vb

“vb

“r-1

bvb

br 1,

Y

0,r — 1

vb

Y0,r— 1;

avb cvb

Jvb Lvb S+1 s

as ~ Us jvb ’

“s+1

Y 0

vb

Y0,s —

Yvb c

Y0,s+1 c

“vb

“s+1

(s = r — 2, r — 3, ...).

(19)

Лемма 3. Для элементов dvb из (19) верна следующая прямая формула:

dvb = а(2г — 2s + l)(2ns + v — п + 2) (s = г — 1, Tvb).

(20)

0

b

s

Доказательство. В (20) Д—1 = 3a(2nr+v — 3n+2), что совпадает с Д—1 из (19) и дает базу индукции. Пусть для некоторого s + 1 = r, Tvb + 1 верна формула (20).

18

Тогда согласно (19) dvb = bvb — аЦ1 cvsb(d?sb+1 )-1 = a((2r — 2s — 1)(4ns + 2v + 3) + 2ns + v — 3n + 3 — (2r — 2s — 2)(2ns + v + n +1)) = a(2r — 2s + 1)(2ns + v — n + 2). □ Следствие 1. В формуле (20) все элементы dvb = 0, кроме d((_2 b = 0.

В результате система (18) равносильна системе

Aubhv1b

У

)b 0 ,

(21)

в которой Аии —двухдиагональная (г — rvb + 1) х (г — rvb)-матрица с элементами dvb

У 0 r_1 )

на диагоналях и нулевой первой строкой, а У о = (У о,т*ь_1, У о,

A'V ^хл-кли. -*-*-*~^ 0 iouvn a, -»• 0 (У 0 Тvb— 1? У 0 Тvb , . . . , у 0 ,Г_1

■^yvb /1П\ Л/~^Ь ^ ^ т/'^' 1 ^

и У 0,v определены в (19), кроме У 0,_1 , У 0,_1 , которые введем равными нулю.

6. Совместность связующей системы в случае b. Согласно следствию 1 из формул (19) с использованием (17), (20) и (7) получаем:

—vb У 0,0

EQvby vb

Qm y 0,m,

m=0

С = (—1)mn (cv_ 1 /dvb ) = 0.

(22)

vb

Выразим коэффициент У0,о через коэффициенты и У^т из системы (17):

—vb r_1 Qvb yvb

y 0,0 2.^m=0 Qm y0,m 2-/

emb(a(2r — 2m))Y1vbm_1 + (2nm + v + n + 1)УД + —2^) = -a Emio(4r - 4m - З^ДУ-Д + СДУ^ + EEo При ЭТОМ имеем 2a(r -

т + 1)Сь+1 + (2пт + г + п + l)6^b = -сг(4г - 4т - 3)0^ь+1 (т = 0, г - 2).

m=0 m

vb

Пусть v = 0,п — 2. Тогда в системе (21) при s = 0 получаем уравнение 0

-2 b

= г,

2b

0,0

У0 д, причем, если v = п — 2, то это уравнение имеет вид 0 • /г"

(21) возникает еще тривиальное уравнение при s = —1 вида 0 = 0. Возвращаясь от системы (21) к (16) и используя (22), выпишем обеспечивающую совместность системы (16) резонансную связь:

Г — 1

v = 0,n-2: ]Г (о4ьУД + /СЬУ2Д) = 0,

(23)

m=0

= — <т(4г — 4т — 3)0^+1 (ш = 0, г — 2),

г n — 2 b

V-1

где am

Q^m = 0 из (22), причем коэффициент h’!'0““ не имеет ограничений.

= СД, ^ = С (т = 0, г — 1);

При v Пусть теперь v

vb

n — 1 система (21) однозначно разрешима, так как dfi 1 b = 0.

n, 2п — 1. Тогда первое уравнение системы (21) (s = —1) имеет вид 0 = УдД. Согласно (19) = У0Дi -У^сЗД6)-1 = О -п+ 1)У^ + ^ -

a(v — n + 1)(2r + 1Ц1 ( — а ЕЗ^ — 4m — З^ДУД + Qr_1—^Г_1 + EmT Q^—2^), что позволяет, возвращаясь к системе (16), выписать для нее резонансную связь

п, 2п — 1 :

Г — 1

Е

m= 1

(avbyvb + evb yvb 1 = 0

Vam y 1,m + Pm y 2,m) 0

(24)

J

v

в которой avb1 = v — n + 1, «m = = —a(v — n + l)(2r + 1) (TO = 0^—T); СЬ3 0из (22).

(v — n +1)(2r +1) 1(4r —

1 vb vb vb

Qr_1; P_1 1, Pm

4m-3)C+i (m = 0, r — 2),

—a(v — n + 1)(2r + 1)_1Qmb

7. Резонансные уравнения и резонансные наборы. Запишем найденные

резонансные связи через коэффициенты системы (3), используя обозначения, введенные для системы (5) и полученных из нее систем (6) и (16).

19

Для V к = 2nr + v — п (г > 1, v = 0, 2п — 1, п > 2) в случае а из (15) получаем резонансное уравнение, связывающее следующие коэффициенты КОМ Y[k] :

r — 1

£<

m=0

Y

m1

[2nm+v + 1, 2n(r-

-1) + n]

+ д

m Y2

r[2nm+v,2n(r—m)] \

+ в

;^[2nr+v,0]

2

(25)

m

va

= c

r

для значений v (E {0,2n — 3}, где множители аД и /ЗД определены в (15), число

~va V^r— 1 (_,va V[2nm+v+1, 2n(r—m— 1)+n] , ovaV[2nm+v,2n(r — m)] A , ovaV[2nr+v,0] уже

cr = Zom=0 \am Y1 + Pm Y2 J + Pr Y2 уже

известно, что пояснялось в (4).

В случае b, объединяя связи (23) и (24), существующие при различных значениях v, получаем резонансное уравнение с другими коэффициентами КОМ Y[k] :

r- 1

Е

( vb\r[2nm+v+n+1, 2n(r—m—1)] \ат Y1

т=т

2 b

ovb\r[2nm+v+n, 2n(r—m—1)+n)]

+ Pm Y2

b

v

c

r

(26)

для г (E {0,n —2; n, 2n — 1}, где множители оД и /3^ определены в (23) и в (24), т|ь = {0 при v = 0, п — 1; —1 при г = п, 2п — 1}, Дь аналогично 5Д; при этом при v = n — 2 коэффициенты h1°’2nr n] КОМ Д2пг n 1] в замене (2) произвольны.

В частности, при r =1 резонансные уравнения после упрощения принимают вид

(2n

1)Y1[v+1,n] + (2n — v — 3)(v + 1) —1Y2[v’2n] + a(v + 2)Y2l

[2n+v, 0] ~va

= c1

(v = 0, 2n — 3);

(v + n + i)Y1[v+n+1,0]

+ Y2[v+n’n]

cf (v = 0, n — 2),

3^Y[v— n+1, 2n]

(v + n + 1)Y1

[v+n+1, 0]

+ 3a(v — n +1) —1Y2[v—n’3n]

V[v+n, n] Y2

cvb

c1

(v = n, 2n — 1). (27)

Для Vk > n наборы коэффициентов КОМ Y[k], входящие в уравнения (25) и (26), не пересекаются. Кроме того, коэффициент является резонансным, если реально входит в одно из уравнений, т. е. множители а или в при нем отличны от нуля.

При r = 1, очевидно, все коэффициенты в резонансных уравнениях (27) резонансные, кроме коэффициента Y^’2n] с v = 2n — 3, имеющего в (271) нулевой множитель. Лемма 4. При r > 2 в резонансном уравнении (25) заведомо не равны нулю мно-

(т = 0Д^2), /ЗД

жители аД 1, воА вД 1, в

ova. Or ;

(то = 1, г — 2) при четных г;

вД2 п'ри n, кратных 3. В уравнении (26) все аД и втЬ отличны от нуля.

Доказательство. Очевидно, что отличны от нуля аД 1 = а( —1)r(—2n +

r

1)(2nr — 2n + v + 1) П

r2

=1 cj

в

va

0

—Ava/cva, в;

va

r—1

(—1)r—Ад nr

va va j=1 cj , Дг

(—1)гПГ—1 cva.

Согласно (7) все аД четны, а все 6Д нечетны при четных v. В этом случае в (13) все АД нечетны и, тем самым, отличны от нуля. А значит, ema = y) = Фт Am = 0.

Теперь с учетом (12) в (15) при m = 0: a°a = ( —(v +1)Ava + сДст(2г — 1)7Д)/cva. Поскольку в (7) все аД и еД — четные, а 6Д — нечетные при четных v, Ava из (8) имеет нечетный определитель, совпадающий с определителем Ava матрицы А из (11). В результате произведение (v+1)Ava нечетно, сД — четно и 7Д — целое, откуда аД = 0.

20

При то = 1, г — 2 в (15) аД = (2пт + v + 1)цД + <т(2г — 2то — l)7^+i = (2пто+ v + 1)C“VC +a(2r-2m- l)4>vm+irm+i = ФГ((2nm+v + 1)VC -a(2r-2m-1)cm“^m+i)-

Поскольку С четно, второй множитель нечетен и, тем самым, отличен от нуля, как и первый множитель. Следовательно aД = 0.

Из (13), (15) в)-2 = Ф)-20)-2, причем ф)-2 = 0. Учитывая (14), вычислим 0)-2 = r(12n2r + 12nv + 36n — 60n2) + v(—30n + 3v + 18) — 78n + 64n2 + 23. Очевидно, что если n кратно трем, то кратны трем все слагаемые, кроме последнего, а значит, 2 не делится на три и не обращается в нуль, поэтому и 2 = 0.

Утверждение относительно множителей в уравнении (26) очевидно. □

Для V k = 2nr + v — n введем в рассмотрение число пд = {1 при k = 2nr — 1, 2nr + n — 2, 2nr + n — 1; 2 при к G Krn}, где Krn Следствие 2. В системе (3) ^ля V k

{2nr — n, 2nr — 2, 2nr, 2nr + n — 3}. 2nr + v — n (r > 1, v

0, 2n — 1) пд

резонансных коэффициентов КОМ Y^ образуют резонансный k-набор Уk, если один коэффициент входит в (25) или (26), а второй при nk =2 — в другое уравнение.

Следствие 3. В любых идущих подряд 2n резонансных k-наборах Уk, где k = 2nr — n, 2nr + n — 1 (r > 1), содержатся ровно 4n — 3 резонансных коэффициента.

Замечание 1. В резонансном уравнении (25) не удалось доказать отличие от нуля множителей а^~1а, (д^Д1а (то = 1,г — 2) и а2г~1а с I = 1,п — 1, однако при необходимости любой такой множитель можно вычислить по указанным выше формулам. В частности, вычисленные при помощи программы Maple множители Рт 7^ 0 для всех п = 2,10, г = 2, 20, v = 1, 3,... 17, то = 1, г — 2.

8. Полученные результаты. В итоге оказались доказаны две теоремы.

Теорема 1. Для того чтобы система (3) была формально эквивалентна исходной системе (1), необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты ее КОМ Y[к] при k = 2nr — 1 (v = n — 1) удовлетворяли уравнению (25), при k = 2nr + n — 2, 2nr + n — 1 (v = 2n — 2, 2n — 1) — уравнению (26), а при k G КTn [v = 0, n — 2; n, 2n — 3) — обоим резонансным уравнениям.

Очевидно, что для всякого k > n уравнения (25) и (26) можно однозначно разрешить относительно пд коэффициентов из любого резонансного k-набора Ук.

Теперь, если в системе (3) положить равными нулю все коэффициенты, кроме коэффициентов, входящих в выбранный резонансный набор У = |J°=n Уk, то по определению система (3) будет ОНФ с заданной структурой У.

Теорема 2. Зафиксируем произвольный резонансный набор У, образованный резонансными k-наборами, из следствия 2. Тогда существует и единственна почти тождественная замена (2) с заранее выбранными коэффициентами hf’2nr n], преобразующая систему (1) в ОНФ (3), структура которой порождена У.

В частности, из системы (1) всегда могут быть получены ОНФ (3), имеющие следующие структуры:

y 1 = У2, У2 = ^п 1

СО то

+У2 53 Y2(k' V +53 Yp’ 0)yk (Vl G N, V j = 1,2), (28)

k = 2nl - 1

k = 2n k = 2nl - j

где первая компонента возмущения — нулевая, а вторая — линейна по У2;

У 1 = У2 +53 Yi(k’ 0)yk, y2 = ay2n-i ^53 Y2(k’ 0)уД (Vl G N, V j = 1, 2), (29)

k = n +1 k = 2 nl

k = 2n k = 2nl - j

а здесь возмущение не зависит от переменной y2.

21

Интересно сравнить полученные ОНФ с нормальной формой Белицкого [3], также выписанной для системы (1):

У i = У2 + yigi(yi), У 2 = У2У2 (yi) + h(yi),

(30)

Е^О

k=n gi yuyi=y2,'b — Z^k=2n-i

Сводя (30) к ОНФ (28) можно добиться, чтобы gi = 0 ив рядах g2,h была аннулирована известная часть слагаемых. А при сведении НФ Белицкого (30) к ОНФ (29) удается аннулировать ряд g2 и часть слагаемых в gi, h.

Указанные упрощения достигаются за счет того, что слагаемое axin-i , отнесенное при приведении системы (1) к НФ Белицкого к возмущению, вводится в невозмущенную часть при получении ОНФ.

{k)yhk, gi = g2, h = У™=2n-1 h(k)yk, h(2n i) = a.

Литература

1. Басов В. В. Обобщенная нормальная форма и формальная эквивалентность систем дифференциальных уравнений с нулевыми характеристическими числами // Дифференциальные уравнения. 2003. Т. 39, №2. С. 154-170.

2. Басов В. ВМихлин Л. С. Обобщенные нормальные формы систем ОДУ с линейнокубической невозмущенной частью // Дифференциальные уравнения и процессы управления. 2012. Т. 2. С. 129-153.

3. Белицкий Г. Р. Нормальные формы формальных рядов и ростков C^-отображений относительно действия группы // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1976. Т.40, №4. С.858.

Статья поступила в редакцию 23 октября 2014 г.

С в е д е н и я о б а в т о р а х

Басов Владимир Владимирович — кандидат физико-математических наук, доцент; [email protected]

Михлин Леонид Станиславович — аспирант; [email protected]

GENERALIZED NORMAL FORMS OF ODE SYSTEMS WITH UNPERTURBED PART

(x2,±x\n 1)

Vladimir V. Basov, Leonid S. Mikhlin

St.Petersburg State University, Universitetskaya nab., 7-9, St.Petersburg, 199034,

Russian Federation; [email protected], [email protected]

Two-dimensional autonomous ODE systems with (x2, ±x^n—x) (n > 2) as the unperturbed part are reduced by formal invertible transformation to generalized normal forms with all possible structures.

Refs 3.

Keywords: generalized normal form, quasihomogeneous polynomials, resonance equations.

References

1. Basov V. V., “Generalized normal forms and formal equivalence of systems of differential equations with zero eigenvalues”, Differential Equations 39(2), 165—181 (2003).

2. Basov V.V., Mikhlin L.S., “Generalized normal forms of systems of ODE with linear-cubic unperturbed part”, Differential equations and control processes 2, 129-153 (2012) [in Russian]. (Electronic J., http://www.math.spbu.ru/diffjournal)

3. Belickii G.R., “Normal forms for formal series and germs of C^-mappings with respect to the action of a group”, Mathematics of the USSR-Izvestiya 10(4), 855-868 (1976).

22