Оптимальное управление процессом нагрева пивного сусла Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЛИТЕРАТУРА

1. Кунце В. Технология солода и пива. - СПб.: Профессия, 2003. - 912 с.

2. Куцакова В.Е., Богатырев А.Н. Интенсификация тепло- и массообмена при сушке пищевых продуктов. - М.: Агропром-издат, 1987. - С. 236.

Поступила 28.02.12 г.

KINETIC REGULARITIES OF BREWER' ’S YEAST DRYING

V.E. KUTSAKOVA, S.V. FROLOV, T.V. SHKOTOVA, T.V. CHICHINA

Saint-Petersburg State University of Low-Temperature and Food Technologies,

9, Lomonosova st., Saint-Petersburg, 191002; e-mail: [email protected]

Process of brewer’s yeast drying with use of drying installation with the opposition inter-twisted streams of inert object is considered. Mass exchange and heat exchange processes between a dried-up product and the drying agent are analysed. The physical and mathematical model of the process, allowing to calculate product temperature on an exit from the drying unit, duration of drying of a film of a product and process time is presented.

Key words: brewer’s yeast, product drying, heat and mass transfer, duration of drying.

663.44:681.5

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПРОЦЕССОМ НАГРЕВА ПИВНОГО СУСЛА

Н.Н. ЛЕВИНА

Московский государственный университет пищевых производств,

125080, г. Москва, Волоколамское шоссе, 11; электронная почта: [email protected]

Рассмотрена постановка и решение задачи оптимального управления температурой при нагреве пивного сусла в варочном аппарате. Постановка задачи основана на методах термодинамики при конечном времени. В ходе решения получена оптимальная программа управления температурой сусла, обеспечивающая минимум диссипативных потерь. Ключевые слова: оптимальное управление, принцип максимума, теплообмен, термодинамика при конечном времени, технология пива.

Варка сусла - один из важнейших этапов приготовления пива, определяющий качество и себестоимость конечного продукта. Этот процесс осуществляется в специальных выпарных аппаратах - сусловарочных котлах. Наиболее распространены котлы с паровой нагревательной рубашкой. В ходе варки пивное сусло постоянно перемешивается с помощью механической мешалки. Процесс варки сусла можно разбить на 2 этапа: нагрев и кипячение. Варка сусла энергозатратный процесс [1]. При варке на получение 1 м3 готового сусла тратится в среднем около 3700 кВт • ч энергии. При нагреве 1 м3 сусла затрачивается в среднем около 800 кВт • ч энергии, что представляет более 20% от суммарного количества энергии, затрачиваемого на варку сусла.

Цель настоящего исследования - оптимизация управления процессом нагрева пивного сусла.

Рассмотрим задачу управления нагревом сусла как критериальную задачу. В качестве подлежащего минимизации критерия оптимальности будем использовать функционал, представляющий собой усредненное производство энтропии за заданное время нагрева T. Такой подход основан на фундаментальных принципах термодинамики при конечном времени [2, 3] и позволяет получить необходимые условия оптимальности, соответствующие минимальной усредненной диссипа-

ции энергии. Действительно, в соответствии с законом Гюи-Стодолы [4] потери полезной работы, обусловленной необратимыми процессами, прямо пропорциональны приращению энтропии всех участвующих в процессах сред. Поэтому максимальный термодинамический коэффициент полезного действия соответствует минимальному производству энтропии.

Выражение для производства энтропии в рассматриваемом объекте может быть определено из двух балансовых соотношений. Энергетический баланс в статике для рассматриваемого случая примет вид

J1 J 2

O,

(1)

где 3\ - тепловой поток, от теплоносителя к технологической среде (суслу); ^2 - условный тепловой поток в обратном направлении.

Очевидно, что по абсолютной величине 3\ = 32 = 3. В рассматриваемом случае процесса нагрева ньютоновский тепловой поток определится условиями теплоотдачи от греющей стенки к суслу, т. е.

J = a(0 г — 0),

(2)

где а - интегральный коэффициент теплоотдачи, учитывающий теплоотдачу по всей поверхности нагрева; ©г = ©г(0 - температура поверхности, непосредственно соприкасающейся с технологической средой (температура внутренней стенки паровой рубашки), будем считать эту поверхность источником бесконечной тепловой емкости; © = ©(?) - температура технологической среды.

Отметим, что по условию постановки задачи 0 ( > ©V£ € [0; Т]. Энтропийный баланс в соответствии с приведенными выше принципами термодинамики при конечном времени представим выражением

-3- - ^ = 0,

00

или, для нашего случая

3 3 У

-------У а =

0 ( 0

где о - производство энтропии в текущий момент времени.

Из (4) следует

(3)

(4)

3

1_____1

0 0,

(5)

Таким образом, в рассматриваемом случае производство энтропии определяется произведением теплового потока 3 на параметр

(6)

называемый термодинамической движущей силой.

Проведя операцию усреднения по времени, получим выражение для критерия оптимальности в форме функционала вида

_ 1 а = —

(0,0()3(0,0(?

► Ш1П.

(7)

Постановка (7)-(11) относится к классу задач на принцип максимума. Решением такой задачи будет так называемая оптимальная программа управления, т. е. зависимость управляющего параметра от времени, доставляющая минимум критерию.

Отметим, что для задач управления в режиме реального времени более ценным является решение, связывающее между собой управляемую (фазовую) и управляющую переменные, а не оптимальная программа. С целью получения решения в форме 0* = ф(0)сдела-ем модификацию исходной постановки. Цель модификации - переход к новой независимой переменной ©. Заменим выражение (8) на

& -

d©

(12)

Отметим, что такая замена позволяет избавиться в модифицированной постановке от определяющей связи, что существенно облегчает процедуру аналитического решения.

Критерий оптимальности и интегральная связь в модифицированной постановке примут вид соответственно

_ = _1 Г0(О 3(0,0()Х(0,0()

Т л 0(0)

?0

1 р0« 3(0,0()

Т 1 0(0) /(0, 0()

?0 = 3 0.

(13)

(14)

Добавим в постановку задачи определяющую связь, описывающую процесс динамики теплообмена:

= /(0,0() * 0.

(8)

Правая часть уравнения (8) описывает динамику теплоотдачи от разделительной поверхности к технологической среде. Для рассматриваемых условий теплообмена имеет место

3(0,0,) С :

(9)

где С - интегральная теплоемкость сусла.

В постановку задачи необходимо добавить связь, учитывающую заданную интенсивность теплообмена. Зададим такую связь в форме требования постоянного усредненного теплового потока

(10)

0Ш1П < 0, < 0ШахVI € [0; Т], где ©ш1п и ©шах постоянны и заданы.

Введем в модифицированную постановку задачи необходимую дополнительную связь, исходя из следующих соображений. Очевидное равенство в исход-

ной постановке

I?

приводит в модифицированной постановке к выражению

1 0(Т)

Т1 0(0)

1

Т Л 0(0) /(0,0()

?0 = 1.

(15)

где 30 - заданная и постоянная величина.

Наконец, зададим автономное ограничение на управляющую переменную

Отбросим в модифицированной постановке (13)—(15) автономное ограничение на управляющую переменную (расширим задачу). Сразу отметим, что решение расширенной задачи может оказаться неэквивалентным. В таком случае мы получаем оценку снизу для решения, которая имеет самостоятельное значение, так как показывает степень удаленности нашего процесса организации теплообмена от термодинамически совершенного.

Функция Лагранжа модифицированной расширенной задачи [5] примет вид

К — К 0 + -^1

К

(16)

0

1

где

R о = X0

R- = X.

J(0,0, )X(0,0,), Tf(0,0,) ’

J (0,0, J о

Tf (0,0() 0(T)- 0(0)

1

1

Tf (0,0() 0(T)- 0(0)

(17)

(18) (19)

J '

J2 = X2 —7. 2 X'

(21)

С учетом введенных соотношений (2), (6) получим

—=1- X* 0, ’ '

(22)

Таким образом, на оптимальном решении отношение 0 к 0, должно быть постоянной величиной.

Определим теперь множитель ё2. Для этого используем связи (14) и (15). Из (14) достаточно просто получается связь между начальной и конечной температурами сусла, которая принимает вид

0(T) = С + 0(0),

(23)

где 0(0), ©(Г) — температура сусла в начальный и конечный моменты времени соответственно.

Из условия (15) и соотношений (22) и (23) получим

Х2 = а

A = ln

CA

Скаляры ё0, ё1 и ё2 - неопределенные множители Лагранжа, для невырожденного решения ё0 = 1.

Необходимые условия оптимальности расширенной задачи определим из условия стационарности (16) по 0,. После несложных выкладок получим

(X + ^)( /3' - /' 3)+ /3Х' - ^ / ' = 0. (20)

Символами 3', X' и / 'обозначены частные производные по 0, от соответствующих функций. Для краткости записи аргументы функций опущены.

Учтем, что для рассматриваемого объекта верно соотношение (9), поэтому из (20) получаем

Ta + CA J

JT

0 -+1

(24)

(25)

ВЫВОД

Решена задача оптимального управления процессом нагрева пивного сусла. Полученное решение, в форме оптимальных соотношений (22), (24)-(25), может быть использовано при синтезе системы организационного управления. Такая система должна периодически пересчитывать оптимальное значение температуры теплоносителя, исходя из текущей температуры технологической среды, и использовать расчетные оптимальные значения &t в качестве задающего параметра для регулирующего устройства.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кунце В. Технология солода и пива. - СПб.: Профессия, 2008. - 1200 с.

2. Цирлин А.М. Методы усредненной оптимизации и их приложения. - М.: Наука. Физматлит, 1997. - 304 с.

3. Миронова В.А., Амелькин С.А., Цирлин А.М. Математические методы термодинамики при конечном времени. - М.: Химия, 2000. - 384 с.

4. Техническая термодинамика / Под ред. В.И. Крутова. -М.: Высш. шк., 1981. - 438 с.

5. Цирлин А.М. Оптимальное управление технологическими процессами. - М.: Энергоатомиздат, 1986. - 400 с.

Поступила 14.03.12 г.

OPTIMAL CONTROL OF BEER WORT HEATING PROCESS

2

N.N. LEVINA

Moscow State University of Food Production,

11, Volokolamskoye shosse, Moscow, 125080; e-mail: [email protected]

The statement and solution of optimal temperature control problem in brewing kettle on the stage of wort heating is considered. The statement of problem is based on finite-time thermodynamics methods. The optimal control program that provides minimum of dissipative losses is obtained.

Key words: optimal control, maximum principle, heat exchange, finite-time thermodynamics, technology brewing.