Оптимальное управление периодическими потоками Пуассона в случае произвольного количества потоков Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.217

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИМИ ПОТОКАМИ ПУАССОНА В СЛУЧАЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО КОЛИЧЕСТВА ПОТОКОВ

© 2011 г. Н.М. Голышева

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского

[email protected]

Поступила в редакцию 19.03.2010

Рассмотрена система массового обслуживания с произвольным количеством входных потоков. Потоки предполагаются независимыми, конфликтными потоками Пуассона с интенсивностями, зависящими от времени периодически. Построена и исследована вероятностная модель циклического управления процессами разгрузки в системе. Поставлена и решена задача нахождения оптимальных параметров, приведены численные результаты ее решения.

Ключевые слова: система массового обслуживания, пуассоновские потоки, циклическое управление, задача оптимизации.

Для довольно широкого класса систем массового обслуживания вероятностные законы, определяющие входные потоки, зависят от времени. Очень часто потоки требований, поступающих в систему, являются пуассоновскими с параметрами, зависящими от времени периодически. Это, например, потоки вызовов на телефонную станцию, потоки прибывающих к перекрестку машин, потоки грузовых судов, потоки покупателей в магазин и некоторые другие. Такая широкая практическая распространенность подобных систем обусловливает важность их изучения и оптимизации.

В данной работе рассмотрим систему, в которую поступают т (т > 2) независимых, конфликтных потоков Пь П 2,..,Пт требований. Положим потоки пуассоновскими с параметрами Я1(?),Я2 (?),.., X т (?) соответственно. Для каждого потока в системе имеется бункер-накопитель бесконечного объема. В силу этого очереди в системе неограничены. Пусть обслуживающее устройство (ОУ) функционирует по циклическому алгоритму. В этом случае оно имеет 2т структурных состояний Г(1),Г(2),..,Г(2т). В каждом таком состоянии Г(г), г = 1,2т, оно находится время уг , г = = 1,2т. При этом в любом состоянии Г^,у = 1, т обслуживаются в порядке поступления с интенсивностью ц ■ заявки у -го потока и никакие другие. В состояниях Г(2у),у = = 1,т, происходит переналадка си-

стемы и требования не обслуживаются. Смена

состояний ОУ осуществляется по заданному циклу:

Г(1) ^Г(2) ^...^Г(г) ^Г(г+1) ^...

.. .^Г(2т) ^Г(1),

не изменяющемуся в процессе функционирования системы.

Представим данную систему в виде СМО с переменной структурой обслуживания. Для этого введем в рассмотрение строго возрастающую последовательность т = {тг; г > 0} точек на оси времени. Положим тг = г для всех г > 0 и зададим таким образом неслучайную шкалу тактов времени функционирования системы, для которой величина единицы времени равна 1. Обозначим через "л; г количество поступающих заявок по потоку П ■ на интервале [тг, тг+1) для

всех у = 1, т и г > 0 . Выполним описание пу-ассоновских входных потоков с помощью многомерной случайной последовательности {(тг,^11 ,..,цт г);г > 0} с выделенной дискретной

компонентой = (г|1г,..,цmi). При этом рассмотрим случай, когда интенсивности Xу (?), у =

= 1, т, входных потоков являются кусочнопостоянными, непрерывными справа и периодическими функциями от ? . Период этих функций возьмем соизмеримым с периодом

2т

V = ^ V обслуживающего устройства и рав-

г=1

ным Т = aV, где а может быть выбрано любым

из множества {1, 2...}. Определим функции Xу (?) для всех у = 1, т следующим образом:

X,

если ІаУ < ґ < (Іа + 1)У, І > 0;

если (Іа +1)V < Ґ < (Іа + 2)V, І > 0;

если (Іа + а -IV < Ґ < (Іа + а^, І > 0.

Здесь Xji для всех у = 1,т и г = 1,а - некоторые заданные положительные константы. В силу сделанных предположений случайные величины ^ц, у = 1, т, г > 0, будут независимы в совокупности и распределены по закону:

%к„. ч-1

при

р(Ъу,і = к) = ехр{-Ху (і)}(Ху (і)) (к!)-всех к = О, і, 2’..

Для описания потоков насыщения введем обозначения: £у і (у = 1, от, і > 0) - максимально

возможное число обслуженных заявок на интервале [хі, ті+1), Г(ґ) - состояние ОУ в момент

Ґ > 0 и Г =Г(тг). Рассмотрим случайную последовательность {(т, Гг-, ^ ,..&ті );і > 0} с выделенной дискретной компонентой Іі =

= (^і,і ,.. Дот,і). Примем для нее ограничения:

, у = 1’ от і = і0, 'і ’ ■ ■’iи І Гк = ск, к > 0) =

)

= ППу,г = 2],г I Гг = г у

при всех возможных , у = 1, т,

0 < ц < гх < ...< гп , п > 0, а, еГ = {Г(1),..,Г(2т)} , к > 0 . Пусть к тому же для всех Г(г) е Г, у = 1, т , г > 0, справедливо вырожденное распределение вида:

= 2|Гі'=Г(г) ) =

Чі

при г = 2у -1, г = ц у; при г ^ 2у -1, г = 0. Выберем теперь моменты наблюдения за состоянием обслуживающего устройства и моменты наблюдения за очередями по потокам. Для этого из последовательности {тг; і > 0} выделим от подпоследовательностей

{0 у і =\ л;і > 0} , у = 1, от, элементы которых

удовлетворяют ограничениям: 01,і < 0у і < 01,і+1,

і > 0 . Положив Г(0) = Г(2), определим номера д у і по правилу:

2у-1 ____

Яц = іа¥ > Яу,і = XУк + іа¥ ’ у = 2ОТ ’ і > 0 •

к =2

Выбранные таким образом моменты являются моментами окончания обслуживания пото-

ков, в которые, как правило, очереди в системе минимальны. Приняв обозначение Г = = Г(01, і) = Г(01, і+1 - 0), нетрудно получить соотношения: Гі+1 = Гі = Г(2); і+1 = і + аУ;

2у-1 ____

д у і = д1 і + X Ук , у = 2, от , і > 0 , которые опи-к=2

сывают алгоритм а управления потоками. В качестве стратегии механизма обслуживания требований будем использовать экстремальную стратегию. Для нее функциональная зависимость между случайной величиной £у і и слу-

^ + Я +

чайными величинами % у і, ^ у і, имеет вид:

£ у, і = тіп{% у, і + П+, І, £+, і}, у =1 от і > 0 . Здесь £у і - число фактически обслуженных заявок,

+ _ _ £ +

- число поступивших заявок, £-г. - максимально возможное число обслуженных заявок по потоку П у на интервале [0 у і , 0 у і+1) и % у ^ -

длина очереди по у -му потоку в момент 0 ■ г • Для такой стратегии закон формирования очереди задается равенством: % у і+1 =

= тах<0 , % у і і + ^ - £+, і} у =1 ш , і > 0.

Изучим поведение описанной системы, исследовав свойства управляемой случайной последовательности {(Ті, Гі, %1, і,.., %ті );і > 0}

с выделенной дискретной компонентой (Гі, %1 і,.. ,%от і). Учитывая независимость очередей вследствие независимости потоков и свойств циклического алгоритма и тот факт, что

Г = г(2) для всех і > 0, перейдем от последовательности {(Ті,Гі,%1і’..’%OT’i■ );і>0} к одномерным последовательностям {% ■ г;і > 0},у = 1,от . Найдем сначала распределение случайных величин "п+г, £+г, у = 1, от , і > 0 :

0 у ,і+1

Р(п^+,і = к) = ехр<! - ІXу (Ґ)йі І

0 у, і+1

| Xу (ґ)Ж

V 0уі

"],і

(к!)-1 =

(к!) 1 =Ф у (к),

а V а Лк

= ехР^-ХХУ’iV \ XхУ’iV

і=1 і V і=1

к = 0,1, 2,..;

Р(£+,і = г) = 1 при 2 = аЦ і^2 /-1 =1 у •

к

X

Покажем теперь, что последовательность жении Р({ю : у0 (ю) = ^ })> 0 для всех ^ є

зададим на траекториях последовательности у функционалы вида:

(Х и; i > 0} для каждого j = 1, m является мар-

ковской. Действительно, для всех x, xk

y є (0,1,..}, i > 0, k = 0,i -1 и j = 1,m, верно: р(Х j,i+1 = y І Х jk = xk, k = 0i -1, Х j,i = x) =

= £ р(П+,і = z1j = z2, Х j,i+1 =

z1,z2^0,1,..} ______4

= y1Х j,k = xk, Х ji = xk = 0,i -1)=

= £ p(n+,i = z11 х jk = xk , х ji = xk = 0,i - 1)x zb z2

x p(j = z2 1 n+,i = zb Х j,k = xk,Х ji = xk = ■i-1):

x p(x j,i+1=уи;+,, = z1, J =

= z2. Х jk = xk , Х ji = xk = 0i -1)=

= £ P(n+,i = z1)P( j = z2) x

z1, z2

^J,

X p(max(0,х ji + n+,i - j} = = y1 П+,і = z1 j = z2. Х ji = x)=

= £ф j (z1)p(max(o, х ji +n+,i -j} =

z‘ 'i

= y\n+ji = z1, j = lj, Х ji = x)= Ф j (lj + у - x), если y Ф 0, x < l j + y;

lJ- x

£ф j (k),

k=0

0,

если

x < lJ;

y = 0,

в остальных случаях.

^ (*>; я, у) =

Проведя аналогичные рассуждения, точно такое же выражение можно получить и для вероятности р(х, у) = р(х^^-,г+1 = УI Xу у = х), что и доказывает марковость последовательности

{Xл;г > 0} при всех у = 1,т .

Учитывая полученный результат и равенство:

р(( xl, ^..^тМу^ У2,..,Ут )) =___^

= р(х у г+1 = у у, у = 1,т 1 х у у = х у, у = 1, т)=

= П р( ху, у у), у

легко получить и элементы р(( х,..,хт),

(у1,..,ут)) матрицы вероятностей перехода за один шаг ш-мерной случайной последовательности у={уг- = (х1,г,..,хтг);г > 0}, имеющей счетное множество состояний 5 = {(х1,..,хт): х^ е{0,1,..}, г = 1,т}. Пусть Н = {5_, 50, 5+ } есть покрытие пространства 5 попарно не пересекающимися его подмножествами 5 (запрещенное), 5 (критическое) и 5 (достижимое). В предполо-

= inf {k: k > 0, у 0 (го) = s0, уk (ю) е S+, уг (го) г S-, г = 1, k} s0 е S0,

определяющие случайное число шагов, необходимых последовательности у для первого ее

перехода из начального состояния s0 е S0 в

множество S+ и не по элементам множества

S_, называемые функционалами Чжуна.

Для всех г = 1, m выберем целые положительные числа n i, П 2 , такие, что nn < пг2 , и положим:

S0 = i>1,--,xm) : Пг,1 ^ Xi ^ Пг,2,г = 1, m},

S+ = '(xl,--,xm ): Хг ^ ni,2, 3x.,- < nj,1, г^ j = 1 m},

S_ = S \(S0 и S+).

В этом случае множество S_ характеризует область больших (недопустим^1х) очередей, множество S0 - область критических (в некоторой степени близких к недопустимым) очередей и множество S - область малых очередей системы.

Тогда функционал J(s0;H,у) можно интерпретировать как время разгрузки системы из начального состояния ^ е S0 с запрещением

попадания в область S недопустимых очередей. При изучении функционалов такого рода важным является нахождение вероятности того, что функционал примет конечное значение. Обозначим эту вероятность

g(s0;H,у)=

х

= £р((го : J(S0; H, у) = с}/(ю : у0 (го) = S)}) с=0

и назовем вероятностью перехода с запрещением или табу-вероятностью. Для вычисления этих вероятностей при всех S0 е S0, а также условных математических ожиданий R(S0; H, у) = M(J(S0; H, у)/J(s0; H, у) <х) от функционалов Чжуна в работе [1] предложен достаточно простой метод, который сводится в конечном итоге к решению двух систем линейных алгебраических уравнений. Положим все параметры системы, за исключением величин v2j-1, j = 1, m, заданными. Очевидно, в этих условиях табу-вероятности q() и условные ма-

тематические ожидания R(-) при всех so е So будут зависеть от v2j_1; j = 1, m . Поставим зада* ----------------------------------

чу выбора величин v2j_х, j = 1, m , для которых

ß(1 _ q(so; vl ,--,v2m_1)) + (1_ß)P(so; V1 ,--,V2m_1) =

= min

{ß(l - q(S0; V1,..,V2m_i)) + + (1-ß)P(so; v1,..,v2m-1)}

V1,.. = V2m-1^K

при всех ^0 е 50 .

Здесь коэффициент Р (0 <Р< 1) определяет «долю» табу-вероятности д(-) и условного математического ожидания Л(-) в целевой функции; К - множество возможных значений параметров У1,..,у2т_1. Обычно К выбирается с учетом условий [2] существования стационарного

а ___

режима в системе: X Xу V — ацуХу_1 < 0, у = 1, т. г=1

Сформулированная таким образом задача оптимизации является многокритериальной (число целевых функций в ней равно числу | 50 | точек в области 50). Практика показывает, что нахожде-

* *

ние необходимых параметров V* ,..гУ2т-\ в таких задачах явление очень редкое, поэтому для получения решения применим метод «свертывания» векторного критерия в обобщенный. Целесообразным здесь является использование либо средних величин:

К^Ъ..^-^ = 7^ XК^ъ;^1,..,^2т-1) ,

<М ,..,^2т-1) = 7^ X Ф0; ^1,..,^2т-1) ,

lSol so eSo

либо «худших» из физических соображений:

R(v1,..,v2m_1) = max R(so;v1,--,v2m_1) >

so eSo

~(v1,--,v2m_1) = min q(so;v1,--,v2m_1) •

so eSo

Тогда в первом случае задача оптимизации сводится к нахождению таких параметров v1,..,v 2m_1, для которых

ß(1 _ q(v1,..,v2m_1)) + (1 _ ß)R(v1,..,v2m_1) =

= min |з(1 _ q(v1,..,v2m_1)) + (1 _ ß)R(v1 ,..,v2m_1 )}•

V1,.., v2m_1eK

Во втором случае задача отыскания параметров ~1,..,~2т_1 формулируется аналогично.

Приведем в заключение пример решения оптимизационной задачи численными методами. Рассмотрим систему, в которую поступают 2 пуассоновских потока требований. Период T функций Х1(/) и X2(t) равен 2V. Интенсивно-

сти Xі,X2,Х21,Х22 равны соответственно 0.3;

0.1; 0.1 и 0.2, а интенсивности ц, ц2 потоков насыщения равны 0.5 и 0.4. В качестве областей 50,5+ выбраны множества вида:

50 = {(Х,х2) : Х1 < 4,Х2 < 5, 4x2 > -5x1 + 20},

5+ = {(х,X): 4х2 < -5х + 20},

несколько отличающиеся от предложенных выше, но также являющиеся целесообразными с физической точки зрения. Параметры х2 , V4 заданої и равны 4. Результаты счета на ЭВМ целевых функций Л(-) и д(-), ¿0 є 50, при различных допустимых значениях хх, V показывают, что квазиоптимальными параметрами, исходя из условия минимума Л(-), то есть при Р = 0, являются наименьшие из возможных: * *

X = 16, у3 = 15 . При увеличении х, х3 происходит монотонное возрастание функции Л(-) в каждом состоянии ¿0 критического множества.

Исследуя поведение табу-вероятностей д^0;v1’х3) , 50 є50, отметим, что они не являются наибольшими для всех 50 є 50 при параметрах х = 16, х3 = 15 , поэтому при Р Ф 0 уже * *

нельзя говорить, что х = 16, X = 15 . Для сравнения приведем значения целевых функций в точке ¿0 = (4,5) при параметрах х = 16, X = 15 и параметрах х = 22, х = 23 : -Я(4,5;16,15) = = 51.18 ; д(4,5;16,15) = 0.122; ^(4,5;22,23) =

= 66.06 ; ц{4,5; 22,23) = 0.396.

Обобщая опыт решения оптимизационной задачи, поставленной в работе, можно сказать, что основные трудности (вычислительного характера) возникают при увеличении количества от входных потоков. Это, во-первых, приводит к увеличению числа точек критической области и тем самым к увеличению размерности систем линейных уравнений. Во-вторых, с ростом от растет число оптимизируемых параметров, и это также усложняет расчеты. К тому же случай от = 2 позволяет наглядно представлять множества 50, 5+ , и область изменения парамет-

ров х, х3. Это очень трудно при от = 3 и тем более при от > 3 .

Список литературы

1. Федоткин М.А. О минимальности решения уравнений для табу-вероятностей // Редколлегия Сиб. мат. ж. ВИНИТИ, 1979. № 363-79 Деп. 23 с.

2. Федоткин М.А. Управление уличным движе- потоке прибывающих машин // Изв. АН СССР. Техн. нием на перекрестке при периодическом случайном кибернет. 1969. № 3. С. 66-75.

OPTIMAL CONTROL OF PERIODIC POISSON FLOWS FOR AN ARBITRARY NUMBER OF FLOWS

N.M. Golysheva

A queuing system with an arbitrary number of input flows is considered. The flows are assumed to be independent conflict Poisson flows with periodically time-dependent intensities. A probabilistic model of cyclic control of system unloading processes is built and studied. The problem of optimal parameter determination has been set and solved, numerical results are presented.

Keywords: queuing system, Poisson flows, cyclic control, optimization problem.