Исследование условий существования стационарного режима в системе конфликтного обслуживания неоднородных требований Текст научной статьи по специальности «Математика»

2018 Математика и механика № 51

УДК 519.2 MSC 90B22, 60G10, 60Л0

DOI 10.17223/19988621/51/4

М.А. Рачинская, М.А. Федоткин

ИССЛЕДОВАНИЕ УСЛОВИЙ СУЩЕСТВОВАНИЯ СТАЦИОНАРНОГО РЕЖИМА В СИСТЕМЕ КОНФЛИКТНОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ НЕОДНОРОДНЫХ ТРЕБОВАНИЙ

Исследуется модель системы, осуществляющей управление случайными конфликтными потоками и обслуживание их требований. Предполагается, что среди потоков выделены приоритетный поток и поток с большой интенсивностью. Определяются легко проверяемые необходимые и достаточные условия существования стационарного режима по отдельным потокам.

Ключевые слова: пороговый приоритет, многомерная управляемая цепь Маркова, стационарное распределение.

Постановка задачи

В настоящее время существует множество работ, изучающих системы массового обслуживания с различными входными потоками [1-3]. Многие подобные исследования имеют высокую прикладную ценность, поскольку связаны с реальными биологическими, социальными, логистическими, инженерными и техническими объектами (например, [4-6]). Конечной целью большинства таких исследований является оптимизация работы системы. В связи с этим изучаются различные характеристики и показатели качества ее функционирования [6]. Кроме того, ряд работ посвящен исследованию асимптотического поведения систем и получению предельных теорем [3-5]. Особенностью системы, исследуемой в данной работе, является специфическая модель входного потока, построенная в [7], и сложный алгоритм с обратной связью для управления потоками. При моделировании и изучении подобных сложных неклассических систем прибегают к кибернетическому подходу для выделения ключевых элементов системы. Имея математическую модель, можно получать необходимые и достаточные условия существования в системе стационарного режима, что позволяет сузить область поиска квазиоптимальных значений управляемых параметров [8]. Основной целью данного исследования является получение таких условий для системы массового обслуживания с разнородными входными потоками и адаптивным управляющим алгоритмом.

В работе [7] проведено исследование системы, на вход которой поступают т > 2 случайных независимых конфликтных потоков заявок (требований). Система при этом выполняет функции управления потоками и обслуживания их требований. При этом предполагалось, что потоки управляются циклическим алгоритмом. Такое управление применяется, как правило, если входные потоки системы можно считать однородными, т. е. предпочтение при обслуживании не должно отдаваться никакому из потоков. В данной работе рассматривается случай неоднородных входных потоков, что необходимо влечет за собой выбор адаптивного алгоритма управления. Неоднородность потоков может проявляться, например, в различной вероятностной структуре потоков, в существенно различной интенсивности заявок при схожей структуре, неодинаковом приоритете потоков и т.д.

В данной работе изучается система управления т > 2 независимыми конфликтными потоками П/, 1 </ < т, и обслуживания их неоднородных заявок. Предполагается, что входные потоки формируются в схожих внешних средах и их можно аппроксимировать неординарными пуассоновскими потоками (НПП). Было показано [7], что НПП является адекватной моделью, например, для транспортного потока пачек на магистрали с затрудненным движением. Так, при плохих погодных и дорожных условиях выделяются быстрые и медленные машины. Неоднородность автомобилей приводит к образованию скоплений - транспортных пачек. Аналогично в рассматриваемой задаче полагается, что каждый поток П/ можно аппроксимировать потоком групп со следующими параметрами: X/ > 0 -интенсивность вызывающих моментов (поступления групп требований), р/, qj и = 1 - р/ - ^ - вероятности поступления группы из одного, двух или трех требований соответственно. В работе [7] найдены выражения для одномерных распределений НПП указанного типа. Вероятность ф/(п, /) того, что за промежуток времени [0, /) по потоку П/ (здесь и далее/ е {1, 2, ..., т}, если не указано иное) поступит ровно п е X = {0, 1, ...} заявок

При схожей структуре потоки различаются интенсивностью поступления заявок и их приоритетом. Выделяются малоинтенсивные потоки Пь П2, ..., Пт-1 и поток Пт с большой интенсивностью. При этом поток П считается приоритетным.

В рассматриваемой системе обслуживание заявок производится без потерь. Поступая в систему и не получая обслуживание в тот же момент, заявки потока П/ становятся в соответствующую очередь ожидания. Устройство, осуществляющее управление потоками и обслуживание требований, может находиться в одном из состояний множества Г = {Г(1), Г(2), ., Г(2т + :)}. В каждом из состояний вида Г(к), к е {1, 2, ..., 2т + 1}, устройство обслуживания находится в течение фиксированного промежутка времени длительностью Тк. При этом состояние вида Г(2/ - :), где/ е {1, 2, ..., т - 1}, выделено для осуществления обслуживания с интенсивностью щ > 0 соответствующего потока П/. Поскольку входные потоки конфликтные, то никакие два потока не могут находиться на обслуживании одновременно, и интервалы обслуживания различных потоков должны быть разнесены во времени некоторым интервалом переналадки обслуживающего устройства (ОУ). В связи с этим, состояния вида Г(2/),/ е {1, 2, ..., т - 1}, выделяются для безопасного дооб-служивания потока П/. Для обслуживания потока Пт выделены состояния Г(2т - и Г(2т). Интенсивность обслуживания в каждом из этих состояниях равна щ„. Предполагается, что Т2т < Т2т _ 1. В состоянии Г(2т + 1 происходит переналадка после завершения обслуживания потока Пт. Заметим, что все величины 1/ = [ц/ Т2/ - 1], / е {1, 2, ..., т}, а также величина 1'т = [цт Т2т] характеризуют пропускную способность ОУ в соответствующем состоянии. В системе реализована экстремальная стратегия обслуживания [8]. Такая стратегия предполагает, что в состоянии обслуживания определенного потока из очереди ожидания выбирается как можно большее число ожидающих заявок, но не превышающее соответствующей пропу-

а производящая функция этого распределения для 2\ < 1 имеет вид

Т / (Г, 2) = Хф / (п,Г V = ехр{Х / (/3 + q]z 2 + р}2 -1)}.

п=0

скной способности. По завершении промежутка пребывания ОУ в некотором состоянии происходит переключение состояния или принимается решение о продлении текущего состояния. Алгоритм смены состояний ОУ будет указан позднее.

Обозначим через т,, , = 0, 1, ..., моменты принятия решения о смене или продлении состояния ОУ. Такие моменты будут случайными, поскольку можно задать начальное распределение состояния ОУ и, кроме того, длительности Т1, Т2, ., Т2т + 1, вообще говоря, различны. Временная ось делится такими моментами на промежутки вида [т,-, тi + 1), , = 0, 1, ... Введем следующие случайные величины и элементы, характеризующие систему на промежутке [т,-, т,+1): Г,- е Г - состояние ОУ; п, , е X - количество требований, поступивших в систему по потоку П,; , -максимальное количество требований потока П,, которое может быть обслужено;

,, , - количество требований потока П,, которое было реально обслужено. Здесь ф, i е {0, I,} и i е У, = {0, 1, ..., I,} для любых, е {1, 2, ..., т - 1} и ¿т, 1 е {0, V т, 1т}, Цт,, е Ут = {0, 1, ..., 1т}. Кроме того, пусть величина к,, е X подсчитывает случайное количество требований потока П,, находящихся в очереди ожидания начала обслуживания в момент т,. Необходимо также ввести для любого потока П, величину _ ! е {0, 1, ...} - количество требований потока П,, которое было реально обслужено в промежутке [0, т0). Теперь представим алгоритм смены состояний ОУ. Решение о последующем состоянии принимается согласно функционально заданному правилу

Г+1 = и(Г i, Ki.i, П1, Д

где управляющая функция и(Г(к), x1, n) для Г(к) е Г, x1 е X, n е Xзадана поточечно:

u(Г(k), x1, n) = Г+1) при Г(k) e {Г(1), Г(2), ..., Г(2m-3), Г(2m-1)},

u(Г(2т+1), x1, n) = Г(1).

Рис. 1. Граф алгоритма переключения состояний устройства обслуживания Fig. 1. Graph of the algorithm of switching the state of the service device

Особенности указанного алгоритма состоят в следующем. Во-первых, данный алгоритм реализует обратную связь по количеству заявок в очереди по приоритетному потоку. Во-вторых, устройство может продлевать обслуживание потока с большой интенсивностью. В-третьих, представленный алгоритм является алгоритмом с упреждением, так как в момент принятия решения о смене или продлении текущего состояния используется информация о будущем поступлении заявок в количестве Пи Заметим также, что конфликт интересов между необходимостью выделять время, с одной стороны, для обслуживания потока с большой интенсивностью, а с другой - для приоритетного потока, устраняется с помощью введения пороговой величины Н1 е {1, 2, ...}. Так, переключение с обслуживания потока Пт на обслуживание приоритетного потока П1 происходит только при достижении количеством заявок в очереди по потоку П заданной величины порога Н1. Указанный алгоритм можно представить в виде графа, изображенного на рис. 1. Величины т/ , и Ц , заданы своими условными распределениями вероятностей вида Р(п , = п | Г, = Г(к)) = ф/(п, Тк) и Р(Ц, , = Ь | Г, = Г(к)) = /Ь, Г(к)), где функция Р/(й, Г(к)) задается поточечно (см. [9]). Более того, указанные величины будут условно независимы.

Модель функционирования системы

В работе [9] было предложено выбрать в качестве состояния системы в момент т,-, г = 0, 1, ., случайный вектор х = (Г,, ки ,-, Кт, ,, Ц'1, ,- 1, Ц'т, ,- 1) е Г хХхХх У х Ут. При таком подходе изучается динамика функционирования системы только по выделенным потокам П1 и Пт. Аналогично можно исследовать работу системы по любому потоку П/,/ е {2, 3, ..., т}, рассматривая в качестве состояния вектор (Г,, К1, ,, К/, ,, Ц'1, , - 1, Ц/,,- 1). Для состояния системы х в [9] обоснованы рекуррентные соотношения

Г,- + 1 = м(Г,, К1,,, П1,,), к1, , + 1 = тах{0, к1, , + щ , - Ц1, ,}, Кт, , + 1 = тах{0, Кт, , + Пт, , - Цт, ,},

Ц'1,, = тт{К1, , + П1, ,, Ц1, ,}, Ц'т,, = тт{Кт, , + Пт, ,, Цт, ,} и установлена следующая теорема:

Теорема 1. Векторная последовательность

{(Г,, К1, ;, Кт, ;, Ц'1, 1, Ц'т, ,- 1); , = 0, 1, ...} (2)

с заданным начальным распределением вектора (Г0, к1, 0, Кт, 0, Ц_1, Ц'т, _1) является многомерной управляемой однородной цепью Маркова.

Отметим здесь следующие результаты:

1. Произведена классификация состояний цепи Маркова (2) (см. [9]):

1) выделено незамкнутое множество Б несущественных и минимальное замкнутое множество Е сообщающихся существенных апериодических состояний;

2) показано, что любое состояние пространства Гх X х X х У1 х Ут принадлежит множеству БиЕ.

2. Получены рекуррентные по ,, , е {0, 1, . }, соотношения для одномерных распределений

6l(г(k), Х1, ^ У1, Ут) = Р(Г1' = г(k), К1, , = ХЬ кт, , = ^ Ц'1, , - 1 = У1Ц'т, , - 1 = Ут)

(здесь и далее Г(к) е Г, х1, хт е X, у1 е У1, ут е Ут, если не указано иное) цепи Маркова (2) (см. [4]).

3. Получены рекуррентные по ,, , е {0, 1, ...}, соотношения для производящих функций одномерных распределений вида

ад ад

ф,(Г(к),71,) = Е I ЕЕ й(Г(к), хм,.ут^

1 У„еУшХ1=0 х„=0

за один шаг. На основании этих соотношений можно получить рекуррентные соотношения за любое количество шагов цепи (2). В частности, учитывая алгоритм (1) смены состояний ОУ, можно вернуться в любое из состояний множества Г \ {г(2т - 1)} минимум за 2т шагов, а в состояние Г(2т - 1) - за 2т + 1 шаг. В связи с этим введем следующие обозначения для длительностей возможных циклов:

Т = Е 2™-\Тк - Тт- и Т* =Е Тк . В силу громоздкости полученные рекуррентные соотношения здесь приводить не будем.

В некоторых случаях при дальнейших исследованиях полезно будет рассматривать динамику функционирования системы, концентрируясь только на информации о приоритетном потоке П1.

Лемма 1. Последовательность

{(Г,, К1, ,, ^'1, , _ 1); , = 0, 1, ...} (3)

трехмерных случайных векторов с заданным начальным распределением вектора (Г0, к1, 0, ^'1 -1) является многомерной управляемой однородной цепью Маркова.

Условия существования стационарного распределения цепи Маркова

Имеют место следующие утверждения.

Лемма 2. При любом начальном распределении цепи (2) либо для каждого (Г(к), х1, хт, у1, ут) е ВиЕ выполняется предельное равенство 11ш,^м2,(Г(к), х1, хт, Уь Ут) = 0 и стационарного распределения не существует, либо существуют пределы Иш,^мб,(Г(к), хь хт, У1, Ут) = 6(Г(к), х1, хт, УЬ Ут) такие, что

Q(Г(k), хь хт, У1, Ут) > 0 для (Г(к), х1, хт, У, Ут) е Е, б(Г(к), х1, хт, У1, Ут) = 0 для (Г(к), х1, хт, У1, Ут) е В,

Е б(Г(к), хт , У!, Ут ) = 1,

(Г(к), х1,х„, У1, Ут )еВи Е

и стационарное распределение существует и единственно.

Доказательство. Согласно рекуррентным соотношениям из теоремы 3 в работе [9] вероятность

Р0 (Г(к), х1, хт, У1, Ут) = Р(Х1 е Е | Х0 = (Г(к), х1, хт, У1, Ут)) того, что цепь Маркова, отправляясь из произвольного несущественного состояния (Г(к), х1, хт, У1, Ут) е В, перейдет за один шаг в какое-либо состояние множества Е, положительна. Более того, для каждого несущественного состояния (Г(к), х1, хт, у1 , Ут) е В можно показать справедливость оценки снизу

Р01(Г(к), хЬ хт, У1, Ут) > ш1п{ф1(Я1, Т1) фт(0, Т1), ф1(Я1, Т2т+1) фт(0, Т2т+1)} > 0. (4) Для любого несущественного состояния (Г(к), х1, хт, У1, Ут) е В обозначим через Р0(Г(к), х1, хт, У1, Ут) вероятность того, что цепь Маркова, отправляясь из него, когда-либо попадет в множество Е:

ад

Р" (Г(к), х1, хи, У1, Ут) = ЕР(Хп е Е,х, е В,, = 0,1,...,п -1| х0 = (Г(к), х1, хт, У1, Ут)).

п=1

Тогда, согласно [10, с. 392, (8.6)], введенные вероятности удовлетворяют системе линейных уравнений

Р (Г*), *1, хт, я, ут) = Р0(Г«, Х1, хт, У1, ут) +

+ X Ро (Г(к,), Х1 ', Хт ', V, Ут ') X (5)

( Г( Х1', Хт', У1', УтОеО

ХР(Х1 = (Г(к,) , Х ', Хт ', У1 ', Ут ) | X0 = (Г(к) , Х1, Хт , Ут )). Отсюда, согласно оценке (4), для любого (Г(к), х1, хт, У1, Ут) е Б получим

X Р(Х1 = (Г(к0 , Х1 ', Хт ', У1 ', Ут ') | X0 = (Г(к) , Х1, Хт , Ут )) =

(Г(к,), Х1', Хт', У1', Ут')еБ

- 1 - Р^(Г(к), Х1, Хт , У1, Ут ) <

< 1 - ш1и{ф1(Я1, 71) Фт^, 71),ф1(Я1, 72т+1) ф т(Н1, ?2т+1)} < 1.

В таком случае система (5) будет являться вполне регулярной по определению и согласно замечанию 1 к теореме 11а [11, с. 39] система будет иметь единственное ограниченное решение. Можно легко проверить, что таким решением является Р0(Г(к), х1, хт, уь Ут) = 1 для любого (Г(к), х1, хт, У1, Ут) е Б. Таким образом, цепь с вероятностью единица покинет множество Б несущественных состояний. Выбирая теперь начальное распределение лишь на замкнутом множестве Е существенных состояний, получим неприводимую непериодическую цепь Маркова. Отсюда, используя эргодическую теорему [10, с. 384], получаем справедливость утверждения леммы.

Можно также показать, что если цепь (2) находилась в начальный момент в одном из состояний множества Б, то самое большее за 3 шага она покинет это множество и больше в него не вернется. Таким образом, далее целесообразно выбирать начальное распределение цепи только на множестве Е.

Теорема 1. Если параметры системы удовлетворяют неравенству Х17(351 + + 2р1 + р1) - 11 > 0, то стационарного распределения цепи (2) не существует.

Доказательство. Рассмотрим в точке 2т = 1 одно из полученных рекуррентных соотношений для производящих функций за цикл длительностью Т из 2т шагов:

Ф2т0+1)(Г(1), 21,1) = 21-/1Т1(Т, ^)ф2т/(Г(Ч 21,1) -

-Т^т^ г/!1 X Ф1(Х1 - У1 Т2т X X ^2m(г+1)-2(Г(2m), П , Ут , 0, ^ ) -

Х1=0 У1-0 Ут-0 -0

Н1-1 Х1 ж ,, ,,

-Т1(72т + Т2т+1, 21) X Xфl(Х1 У1, Т2т-2 )21 1 X 02т(г+1)-3

(Г(2т-2), У1, Ут, 0, 0) +

Х1-° У1-0 Ут"0

Ж Ж /о 1\

+Т1(Т2т + Тгт+1, 21) X Ч^Т^, 21) X б2т(г+1)-3(Г(2т-1), У1, Ут , 0, 0) V1 + (6)

У1-0 Ут-0

+Т1(Т2т + Т2т+1, 21) X Xфl(Хl - Уl, Т2т ) 21Х1 X X е2т0+1)-3(Г(2т), У1, Ут , 0, ^т ) +

Х1-0 У1-0 Ут-0 №т-0

+Т1(Т - Т1, 21) 'X X Ф1(Х1 - У1, Т1) X б2тг(Г(1), У1, Ут , 0, 0)(1 - г^'1).

Х1-0 У1-0 Ут-0

Введем обозначение g 1(г) = г /1Т1 (Т, г) = г /1 ехр{Х1Тг3 + д^2 + р^ -1)} и

перейдем к пределу при / ^ да в соотношении (6), а также в рекуррентном соотношении для вероятности 0,+1(Г(2т - 1), х1, хт, 0, 0) из [9]:

ф (Г(1), 71,1)(1 - g1(г:)) = Т:(Т2т+1, 21)(Т:(Т2т , ц) - 1) X

ХЯ2-1 2 Ф1( Х1 - У1,Т2т ) Х? 2 2 б(Г(2т), У1, Ут , 0, ^ ) +

Х1=0 У1=0 Ут=0 Мт=°

Н1-1 ж (2 п

+^1(Т2т + Т2т+1, ^ 2 (^1СТ2т-1, - 1) 2 0(Г(2т-1) , Х1, Хт , 0, 0)21Х1 + (7)

Х1=0 Хт=0

+^1(Т-Т1,г1)21 2 Ф1(Х1 -У1,Т1) 2 е(г(1), У1, Ут, 0, 0)(1 -21Х1-/1).

Х1=0 У1=0 Ут=0

Здесь также был использован тот факт, что состояния вида (Г(2т - 1), у1, Ут, 0, 0) при у1 е {Нь Н1+1, ...}, ут е X принадлежат множеству Б. Следовательно, соответствующие предельные вероятности Q(г(2m - 1), у1, ут, 0, 0) согласно лемме 2 будут равны нулю.

Рассмотрим сначала случай Х1Т(3^1 + 2д1 + р1) > /1. Заметим, что в точке = 1 верно g1(1) = 1 и g1'(г1)|г1=1 =-/1+ Х1Т(3^1 + 2д1 + р1) >0, т. е. найдется точка

г е (0, 1) такая, что для любых г < |г11 < 1 выполняется неравенство 0 < g1(z1) < 1. Тогда левая часть соотношения (7) положительна в области г < |г11 < 1. В свою очередь, в указанной области для действительных и любых t > 0 будет справедливо = 2Ж=0 Ф^, Х) <2Ж=0 Фl(t, Х) = 1, поэтому ^(Т^ , - 1 < 0 и (Т2т-1, -1 < 0 . Кроме того, в области г < |г11 < 1 для х1 < /1 выполняется неравенство 1 - Х1 1/1 < 0. Таким образом, правая часть соотношения (7) становится отрицательной, в то время как левая его часть положительна. Противоречие разрешается, только если все стационарные вероятности в правой части равенства (7) равны нулю. Тогда, согласно лемме 2 стационарного распределения цепи Маркова при Х1Т(3^1 + 2д1 + р1) > /1 не существует.

Теперь обратимся к случаю Х1Т(3^1 + 2д1 + р1) = /1. Разложим функции g1(z1),

Х1, Х1 ^ и (t, ) при различных значениях t в ряд Тейлора в левой окрестности точки = 1. Результат разложения подставим в соотношение (7), сгруппируем слагаемые и получим

Ф(Г(1),гьВД -Х1Т(3^ + 2д1 + д))^ -1) =

Н1-1 Х1 ж /т (2т)

= Х1Т2т (3^1 +2д1 + р1)(г1 -1) 2 2 Ф1( Х1 -У1, Т2т ) 2= 2б(Г(2т), У1, Ут , 0, У>т) +

Х1=0 У1=0 Ут=0 мт=°

Н1-1 ж ( )

+ 2 \Т2т-1(3*1 + 2д + р,)(21 -1) 2 б(Г(2т-1), Х1, Хт,0,0) +

Х1=0 Хт=0

+ 21 2 Ф1(Х1 -У1,Т1) 2 б(Г(1), У1, Ут, 0, 0)(/1 -Х1)(*1 - 1) + 0(г1 - 1).

Х1=0 У1=0 Ут= 0

Разделив теперь обе части полученного соотношения на (г1 - 1) и перейдя к пределу х1 ^ 1, получим при Х1Т (3^1 + 2д1 + р1) = /1 равенство

0 = (3* +2^1 + А)^1 2 ФгСХ1 "VI,Т2т) X 2 0(Г(2т), ^, 0, +

Х1-0 VI-0 Vm=0 м^т-0

Н 1"1 ш (2 1)

+ 2 ^Т2т-1(3*1 + 2?1 + Р1) 2 6(Г(2т-1), Х1, Хт, 0, 0) +

Х1=0 Хт=0

+ Ч 2 Ф1(Х1 " V1, Т1) 2 б(Г(1), Vl, Vm , 0, 0)(/1 " Х1).

Х1=0 V!-0 Vm=0

Отсюда вновь заключаем, что стационарные вероятности в правой части равны нулю и, согласно лемме 2, стационарного распределения цепи Маркова при Х1Т (3^1 + 2д1 + р1) = /1 не существует. Теорема доказана.

Итак, необходимое условие существования стационарного режима имеет вид Т(3^1 + 2р1 + Р1) - /1 < 0. Теорема 2. Если параметры системы удовлетворяют неравенствам 1т Т2т (Зя» + + 2дт + Рт) - /т > 0 и 1т Т2т - 1 (З^т + 2Цт + Рт) - /т > 0, то стационарного распределения цепи (2) не существует.

Доказательство. Рассмотрим в точке г1 = 1 одно из полученных рекуррентных соотношений для производящих функций за цикл длительностью Т. После перехода к пределу при / ^ да получим соотношение вида

Ф(Г(2), 1, Хт)(1" ЯтЬт)) = Р (2т) + Р (2т) + Р (2т) + Р (2т) + Р (гт), (8)

где Ят(г) = гч'тТт(Т,г) = гч'т ехр{А,тТ(т3 + ^г2 + Ртг " 1)} и введены следующие функции:

1 н 1"1 Х1

р (гт) = -Т т(Т1 + Т2т+1, г т) 2 2 Ф1(Х1 " Vl, Т2т ) Х

Х1=0 Vl=0

Ш V /т (2т)

Х 2= Т т(Т2т , г т) гт*™ т 2 б^, Vl, Vm, 0, ^ ),

Vm—0 »т=°

1 <» Х1 /' т"1 Ут

Р2 (г т) = Т т(Т1 + Т2т+1, ^т) 2 2ф1(Х1 " Vl, Т2т ) 2 2 Фт(Ут " Vm, Т2т) Х

Х1=Н1 Ут-0 Vm=0

Х(1 - 2тУт-/т) 2 б(Г(2т), Vl, \т , 0, ^ ),

»т=°

1 -Г Н1-1 Х1

Р3 (гт) = "2т тТ т(Т1 + Т2т + Т2т+и гт) 2 2Ф1(Х1 " Vl, Т2т-2) Х

Х1=0 Vl=0

Х 2 Т т(Т2т-2, гт^СГ^, Vl, Vm , 0, 0т Ът^,

Vm—0

Р4(гт) = гт 1 тТт(Т1 + Т2т + Т2т+1, гт) Х

<» /т-1 ут (2т 1)

Х 2 2 2 Фт(Ут - ^т, Т2т-1)б(Г(2т-1), Vl, Vm , 0, 0т ) +

V1=0 Ут=0 Vm=0

+гт / тТт(Т1 + Т2т + Т2т+1, гт)гт 1т Х

го ад Хт (2 1)

Х 2 2 2 Фт(Хт - V», Т2т-1)б(Г(2т-1), Vm , 0, 0т )гт^,

V1-0 Хт=/т Vm—0

(гт) = гт / т (Т1 + Т2т + Т2т+1, ¿и) Х Н1-1 Х1 /'т-1 Ут

Х 2 2 Ф1(Х1 - V1, Т2т ) 2 2 Фт(Ут - Vm, Т2т ) Х

Х1=0 У1=0 Ут=0 Ут=0

X 22 б(Г(2т), У1, Ут , 0, ^т ) + гт-' ^т (Т + Т2т + Т2т+1, гт) X

Н1-1 Х1 ж Хт ,,

Х 2 2 Ф1(Х1 - V1, Т2т ) 2 2 Фт(Хт - Ут,Т2т Ьи^ т Х

Х1=0 У1=0 Хт=/' тУт=0

Х 2 б(Г(2т), У1, Ут , 0, М>т).

»т=°

Заметим что gm(l) = 1 и gm (гт )| т =1 >-/' т + ^тТ2т СЧи + ^т + рт ) > 0. Тогда

существует точка гт* е (0, 1), такая, что 0 < gm(zm) < 1 для любых гт е [гт* 1) и левая часть равенства (8) положительна в области [гт , 1). Очевидно также, что в этой области (гт)< 0 и справедлива оценка

гт) < гт4т(Т1 + Т2т + T2m+1, ^т) Х

ж /т1 Ут /о,,,, 1\ и 7

Х 2 2 2 Фт(Ут - Ут, Т2т-1 )е(Г(2т-1) , Ут , 0, 0т Ьт^^ +

У1=0 Ут=0 Ут=0

+гт / тЛ¥ т(Т1 + Т2т + Т2т+1, ¿т) Х Ж Ж Хт /о 1\ 1

Х2 2 2= Фт(Хт - Ут, Т2т-1)е(Г(2т-1), Ут , 0, 0т )гтХт-/т =

У1=0 Хт=/тУт=0

= гт / тТт(Т1 + Т2т + Т2т+1, гт) Х

Н1 -1 ж - У -х2 2= Т т(Т2т-1, гт)б(Г(2т-1), Ут , 0, 0т )гтУт -/т.

У1=0 Ут=0

Здесь последнее равенство возможно в силу несущественности состояний вида (Г(2т - 1), У1, Ут, 0, 0) при любых У1 е {Н1, Н1 + 1, ...} и Ут е X. Теперь вновь применим полученное из [9] предельное соотношение для вероятностей вида

е,+1(Г(2т- 1), Х1, Хт, 0, 0) при Х1 е{0, 1, ..., Н1 - 1} и Хт е X и получим

^ (гт) = - гт 4 ' тТ т(Т + Т2т + Т2т+1, гт) Х Н1-1 ж (2 1)

Х "2 2 б(Г(2т-1), Х1, Хт , 0, 0т )гтХт,

Х1= 0 Хт= 0

следовательно, верно неравенство

гт) + г

т/ ^ ¿т тТт(Т + Т2т + Т2т+1, гт) Х

- Н 1 -1 ж

Х(гт^/тТ т(Т2т-1, гт) - 1) 2 2= б(Г(2т-1), Ут , 0, ^)гтУ

У1=0 Ут=0

Теперь заметим, что в точке гт = 1 имеют место равенство

(гт /тТт(Т2т-1, гт))| гт=1 = 1

и оценка

Уёг (гт^Тт(Т2т-1, гт)) | 2т=1 =-/т + ^тТ2т-1 (3*т + ^т + рт ) > 0

поэтому найдется область [гт , 1) с [гт , 1), такая, что в любой точке г е [гт , 1) выполняется гтЧтТт(Т2т-1, гт) < 1 и, следовательно, ^гт) + ^(гт) < 0. Аналогичным образом в области [гт , 1) получим оценку

1 -г Н1-1 Х1

^5 (гт) < гт тТт (Т1 + Т2т + T2m+1, гт) 2 2 Ф1(Х1 - Vl, Т2т ) Х

Х1=0 У1=0

ж - /т (2т)

Х 2= Тт (Т2т , гт)гтУт-/ т 2= б(Г(2т), Ут , 0, ^).

Ут=0 »т=°

Отсюда следует неравенство

гт) + г т) ^ ¿т тТт(Т + Т2т + Т2т+1, гт) Х

,, Н1-1 Х1

Х(гт тТ т(Т2т, гт ) - 1) 2 2 Ф1(Х1 - Vl, Т2т ) Х

Х1=0 У1=0

ж - /т (2т)

Х 2= Тт (Т2т , гт)гт^ т 2= б(Г(2т), Ут , 0, ^ ),

Ут=0 »т=0

и, подобно сделанным ранее заключениям относительно суммы функций ^з (гт) + ^4 (гт), найдется область [гт***, 1) с [гт", 1), такая, что в любой точке из

этой области выполняется гт- тТт(Т2т,гт) < 1, т. е. гт) + ^51(гт) < 0 . Таким образом, существует область [гт , 1), в которой одновременно левая часть соотношения (8) положительна, а правая - отрицательна. Отсюда заключаем, что при выполнении условий теоремы стационарного распределения цепи Маркова не существует.

Работая с соотношениями для производящих функций за цикл длительностью

*

Т аналогично двум доказанным выше теоремам можно установить справедливость следующего утверждения.

Теорема 3. Если параметры системы удовлетворяют неравенствам

^т (Т - Т2т)(3^т + 2дт + рт) - /т < 0 , ^т Т (3$т + 2дт + рт) /т / т > 0,

то стационарного распределения цепи (2) не существует.

Также установлено достаточное условие существования стационарного режима по потоку П1:

Теорема 4. Для существования стационарного распределения цепи Маркова (3) достаточно выполнения условия Х1Т(351 + 2р1 + р1) - /1 < 0.

Доказательство. Воспользуемся соотношением (6) для получения оценки

|ф2т0+1)(Г(1), г1,1)|<| gl(г1) | Х | ф2т/(Г(1), г1,1) I + ^2(г1) + ^2(г1), (9)

где ^2(г1) = Т1(Т2т+1, г1)^ 2 Ф1(Х1 - у/, Т2т)г1Х1 х

Х1=0 У1=0

ж /т (2т)

X 2 2 е2т(г+1)-2(Г(2т), У1, Ут , 0, ^ ) +

Ут=0 »т=0

+Т1(Т2т + Т2т+1, г/2 ^ 2 Ф/(х1 - Vl, Т2т-2)г1Х X Х1=0 У1=0

Х 2 е2т(г+1)-з(Г(2т-2), Vm , 0, 0) +

Vm=0

+Т1(Т2т + Т2т+1, г1) 2 Т^т-^ г1) Х

Vl=0

Х 2 е2т(г+1)-з(Г(2т-1), Vl, Vm , 0, 0) г^1 +

Vm=0

Н1-1 Х1

+Т1(Т2т + Т2т+1, г1) 2 2 Фь(Х1 - Vl, Т2т )гх* Х

Х1=0 Vl=0

Ш /т (2т)

Х 2= 2= б2т(г+1)-з(Г(2т), Vl, Vm, 0, ^ ),

Vm=0 »т=0 , /1-1 Х1

Р22(г1) = Т1(Т-Т1,г1)2 21 Ф1(Х1 -Т1)Х

Х1=0 Vl=0

Х 2 б2тг (Г(1) , Vm , 0, 0)|1 - г1Х1-/1|.

Vm=0

Заметим, что я1(1) = 1 и при выполнении условий теоремы gl ' (г1) | г =1 = -/1 + V (3*1 + 2ц + р1) < 0 . Следовательно, существует точка г1 > 1, такая, что для любых г1 е (1, г1] выполняется 0 < g1(г1) < 1.

Учитывая возрастание функции г1) при фиксированном / в области

г1 е (1, г1] и несущественность состояний вида (Г(2т - 1), v1, vm, 0, 0) при v1 е {Н1,

Н1+1, ...}, vm е X, получим, что в указанной области справедливы следующие преобразования:

Р12(гь) < г1 Н 1-1Т1(Т2т+1, г1)^ 2 Ф1(Х1 - Vl, Т2т ) Х

Х1=0 vl=0 Ш /т (2т)

Х 2= 2= б2т(г+1)-2 (Г , Vl, Vm , 0, ^ ) +

Vm=0 »т=0

+г1Н 1-1Т1(Т2т + Т2т+1, г1) 2 2 Фь(х1 - Vl, Т2т-2) Х Х1=0 vl=0

Х 2 е2т(г+1)-з(Г(2т-2), Vl, Vm , 0, 0) +

Vm=0

+г1 Н 1-1Т1(Т2т-1 + Т2т + T2m+1, Х Н1-1 ® (2 ь)

Х 2 2= е2т(г+1)-з(Г(2т-1), Vl, Vm , 0, 0) +

V1=0 Vm=0

+% Н 1-1Т1(Т2т + Т2т+1, ^ ^2 1 2 ФЬ(Х1 - Т2т ) Х Х1=0 vl=0

Х 2= 2= е2т(г+1)-з(Г(2т), Vl, Vm , 0, Wm) <

Vm=0 »т=0

и Ь Н1-1 ад /т (2т)

< г1 Н1-1Т1(Т2т+1, 2 2= 2= 02т(г +1)-2 (Г , Vl, Vm , 0, ^ ) +

Vl=0 Vm=0 №т=° Т-Т- 1 Н1-1 « ол

+гх 1-1Т1(Т2т + Т2т+1, 2 2= б2т(г +1)-з(Г(2т-2), Vl, Vm , 0, 0) +

V1= 0 Vm= 0

+г1 Н 1-1Т1(Т2т-1 + Т2т + T2m+1, Х Н1-1 ад (2 ь)

Х 2 2= е2т(г+1)-з(Г(2т-1), Vl, Vm , 0, 0) +

V1=0 Vm=0

и -Ь Н1-1 ад /т (2т)

+г1 Н 1-1Т1(Т2т + Т2т+1, 2 2= 2= б2т(,+1)-3 (Г(2т) , Vm , 0, ) =

Vl=0 Vm=0 №т=0

= г1 Н1 Ть(Т2т+1, г1 )Р(Г2т(г+1)-2 = Г( ), К1,2т(г+1)-2 < Н1, ^1,2т(г+1)-2 = 0) + +% Н1-1Т1(Т2т + Т2т+1, Х хР(Г2т(г+1)-3 =Г , К1,2т(г+1)-3 < Н1, §1,2т(г +1)-3 = 0, §т,2т(г+1)-3 = 0) +

+2Х Н 1-1Т1(Т2т + Т2т+1 + T2m-1, Х хР(Г2т(г +1)-3 = Г( ), К1,2т(г +1)-3 < Н1, Ш,2т(г +1)-3 = 0, §;и,2т(г+1)-3 = 0) + +2Х Н1-1Т1(Т2т + Т2т+1, Х хР(Г2т(г +1)-3 = Г( ), К1,2т(г+1)-3 < Н1, ^1,2т(г +1)-3 = 0) <

< г1 Н 1-1Т1(Т2т+1, Х [1 + Т1(Т2т , г )(2 + Т1(Т2т-1, ^ ))] = С . Кроме того, при г1 е (1, г1 ] справедлива также оценка

Р22(г1) <Т1(Т - Т1, г1) I1 2 ФЬ(Х1 - Vl, Т1) 2 62тг(Г(1), Vm ,0,0) <

Х1=0 Vl=0 Vm=0

<Т1(Т - Т1, г1) /2-1 2 б2т,(Г(1), Vl, Vm, 0, 0) =

V1=0 Vm=0

= Т1(Т - Т1, г1) Х Р(Г2тг=Г(1), К1,2т < 1 Ш,2тг= 0, ^,2т, = 0) < <Т1(Т - Т1, го = с*2 . Таким образом, из неравенства (9) получаем соотношение

|Ф2т(г+1)(Г(1), г 1,1)| < | gl(г 1) | Х | ф2тг(Г(1), гг,1) | + С + С2. Рассмотрим теперь сжимающее отображение вида

| Ф 2т(г+1)(Г(1), г1,1) |=| gl(zl) | Х | ф 2т(Г(1), г1,1) | + С1 + С2 (10)

и положим ф0(г(1), гь,1) = Ф0(Г(1), г1,1) < +ад , при этом оценки ф0(г(1), г1,1) < +ад можно достичь за счет выбора подходящего начального распределения цепи Маркова (2). Тогда итеративная процедура (10) сходится в области г1 е (1, г1], поскольку [?1(г1)| < 1, и, следовательно, функции ф2тг(Г(1), г1,1) ограничены сверху некоторой константой. В свою очередь, функции ф 2тг(Г(1), г1,1) также будут ограничены, поскольку последовательность {ф 2тг(Г(1), г1,1); г = 0, 1, ...} мажориру-

ет последовательность {ф2тг(г(1), гг, 1);' = 0, 1, ...} . Функции ф2тг(г(1), г1,1) являются аналитическими в области г1 е (1, 21 ], значит, имеют ограниченные производные, т. е. —— ф2тг(Г(1), г\,1) < Аналогичными рассуждениями получим

оценку вида ф2тг(Г),г\,1) < Ьк при любых к е {2, 3, ..., 2т+1}. Отсюда сле-

ё 21

дует, что справедлива оценка для среднего количества заявок потока П1, ожидающих начала обслуживания:

2т+1 ё (к)

МК12тг = 2 ф2тг(Г(к), 21,1)

к=1 ах1

2 т+1

< 2 Ьк.

к=1

Предположим теперь, что при выполнении неравенства Х1Т (3^1 + 2р1 + р1) - 11 < 0 стационарного распределения цепи Маркова (3) не существует. В этом случае для цепи Маркова (3) можно установить справедливость утверждения, аналогичного сформулированному в лемме 2. Тогда Итг-^м0г(Г(к), х1, = 0 при любых Г(к) е Г, х1 е X, у1 е У1 и справедливы преобразования

ад 2т+1 ¿1 .. .

МК12 тг = 2 X 2 02 тг(Г(к), X, = Х1=0 к=1 у1 =1

X-1 2т+1 ¿1 ад 2т+1 ¿1

= 2 X 2 2 02 тг (Г ), Х1, У1) + 2. X 2 2 02тг(Г(к), X, У1) >

Х1 =0 к=1 У1 =1 Х1 = X к=1 У1 =1

„ ад 2т+1 ¿1 ,,.

> X 2. 2 2 02тг(Г(к), Х1, У1) =

Х1 =ХТ к=1 У1 =1

X-1 2т+1 ¿1 ...

= X(1 - 2 2 2 02тг(Г(к), Х1, У1)).

Х1 =0 к=1 У1 =1

Поскольку Итг-^м 0г(Г(к), Х1, У1) = 0, то для любого сколь угодно малого е > 0 и любого сколь угодно большого натурального X найдется такой индекс I (е, X), что для любого г > I(е, X) будет выполняться Мк12тг > X (1 -е). Итак, при отсутствии стационарного распределения получаем противоречие: с одной стороны, средняя величина очереди Мк12тг ограничена сверху, а с другой стороны, она

неограничена. Следовательно, предположение об отсутствии стационарного распределения цепи (3) неверно и выполнения условия Х1Т(351 + 2р1 + р1) - 11 < 0 достаточно для существования стационарного режима в системе по потоку П1.

Заключение

Рассмотрена неклассическая система массового обслуживания с разнородными по интенсивности и приоритету конфликтными неординарными входными потоками. Управление потоками происходит адаптивным алгоритмом управления с обратной связью, переналадками, упреждением и возможностью продления обслуживания. Построена математическая модель системы в виде многомерной управляемой цепи Маркова. Получен критерий существования стационарного режима в системе по высокоприоритетному потоку с низкой интенсивностью, а

также необходимые условия существования стационарного режима в системе в целом. Дальнейшие исследования связаны, во-первых, с получением дополнительных условий существования стационарного режима, а во-вторых, с построением и исследованием имитационной модели системы и дальнейшим поиском квазиоптимального управления.

ЛИТЕРАТУРА

1. Lucantoni D. Further transient analysis of the BMAP/G/1 Queue // Communications in Statistics. Stochastic Models. 1998. V. 14. No. 1-2. P. 461-478. DOI: 10.1080/ 15326349808807482.

2. Леонтьев Н.Д., Ушаков В.Г. Анализ систем обслуживания с входящим потоком авторегрессионного типа // Информатика и ее применения. 2014. Т. 8. № 3. С. 39-44. DOI: 10.14357/19922264140305.

3. Ushakov A.V., Ushakov V.G. Limiting expectation time distribution for a critical load in a system with relative priority // Moscow University Computational Mathematics and Cybernetics. 2013. V. 37. No. 1. P. 42-48. DOI: 10.3103/S0278641912040073.

4. Afanasyeva L., Bashtova E., Bulinskaya E. Limit theorems for semi-Markov queues and their applications // Communications in Statistics - Simulation and Computation. 2012. V. 41. No. 6. P. 688-709. DOI: 10.1080/03610918.2012.625255.

5. Afanasyeva L., Bulinskaya E. Asymptotic analysis of traffic lights performance under heavy traffic assumption // Methodology and Computing in Applied Probability. 2013. V. 15. No. 4. P. 935-950. DOI: 10.1007/s11009-012-9291-x.

6. Rykov V., Efrosinin D. On optimal control of systems on their life time // Recent Advances in System Reliability. Springer Series in Reliability Engineering. 2012. V. 51. P. 307-319. DOI: 10.1007/978-1-4471-2207-4_22.

7. Fedotkin M., Rachinskaya M. Parameters Estimator of the Probabilistic Model of Moving Batches Traffic Flow // Distributed Computer and Communication Networks. Ser. Communications in Computer and Information Science. 2014. V. 279. P. 154-168. DOI: 10.1007/9783-319-05209-0.

8. Федоткин М.А., Рачинская М.А. Имитационная модель циклического управления конфликтными неординарными пуассоновскими потоками // Вестник Волжской государственной академии водного транспорта. 2016. № 47. С. 43-51.

9. Федоткин М.А., Рачинская М.А. Модель функционирования системы управления и обслуживания потоков разной интенсивности и приоритетности // Вестник Волжской государственной академии водного транспорта. 2016. № 48. С. 62-69.

10. ФеллерВ. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. I. М.: Мир, 1967.

11. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. Л.: Физматгиз, 1962. 708 с.

Статья поступила 07.02.2017 г.

Rachinskaya M.A., Fedotkin M.A. (2018) INVESTIGATION OF THE STATIONARY MODE EXISTENCE IN A SYSTEM OF CONFLICT SERVICE OF NON-HOMOGENEOUS DEMANDS. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika [Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics]. 51. pp. 33-47

DOI 10.17223/19988621/51/4

This paper studies a nonclassical system which controls several independent conflicting flows and provides service for requests of these flows. It is supposed that there is one high-priority input flow and one high-intensity flow. The input flows can be approximated with a nonordinary Poisson flow. The system includes a service device that provides for each flow a service period and a readjusting period for safe switching between conflicting flows. It is also possible to prolong service for the high-intensity flow until a number of waiting requests in a high-priority flow queue reaches a certain threshold.

The most meaningful characteristics of the system are stated. A mathematical probabilistic model for the system is constructed in the form of a multidimensional homogeneous controllable Markovian chain. The paper determines necessary conditions for the existence of a stationary mode in the system. A sufficient condition for existence of a stationary mode for the high-priority flow is proved as well. All the found conditions can be easily checked in real systems since they deal only with system parameters such as intensities of the input flows, intensities of service, and time periods of the service device states.

Keywords: priority with threshold, multidimensional controllable Markovian chain, stationary distribution.

AMS Mathematical Subject Classification: 90B22, 60G10, 60J10

RACHINSKAYA Maria Anatolyevna (Lobachevsky State University of Nizhni Novgorod, Nizhni Novgorod, Russian Federation) E-mail: [email protected]

FEDOTKIN Michael Andreevich (Doctor of Physics and Mathematics, Lobachevsky State University of Nizhni Novgorod, Nizhni Novgorod, Russian Federation) E-mail: [email protected]

REFERENCES

1. Lucantoni D.(1998) Further transient analysis of the BMAP/G/1 Queue. Communications in Statistics. Stochastic Models. 14(1-2). pp. 461-478. DOI: 10.1080/15326349808807482.

2. Leontyev N.D., Ushakov V.G. (2014) Analiz sistem obsluzhivaniya s vkhodyashchim poto-kom avtoregressionnogo tipa [Analysis of a queueing system with autoregressive arrivals]. Informatics and Applications. 8(3). pp. 39-44. DOI: 10.14357/19922264140305.

3. Ushakov A.V., Ushakov V.G. (2013) Limiting expectation time distribution for a critical load in a system with relative priority. Moscow University Computational Mathematics and Cybernetics. 37(1). pp. 42-48. DOI: 10.3103/S0278641912040073.

4. Afanasyeva L., Bashtova E., Bulinskaya E. (2012) Limit Theorems for Semi-Markov Queues and Their Applications. Communications in Statistics - Simulation and Computation. 41(6). pp. 688-709. DOI: 10.1080/03610918.2012.625255.

5. Afanasyeva L., Bulinskaya E. (2013) Asymptotic Analysis of Traffic Lights Performance Under Heavy Traffic Assumption. Methodology and Computing in Applied Probability. 15(4). pp. 935-950. DOI: 10.1007/s11009-012-9291-x.

6. Rykov V., Efrosinin D. (2012) On Optimal Control of Systems on Their Life Time. Recent Advances in System Reliability. Springer Series in Reliability Engineering. 51. pp. 307-319. DOI: 10.1007/978-1-4471-2207-4_22.

7. Fedotkin M., Rachinskaya M. (2014) Parameters Estimator of the Probabilistic Model of Moving Batches Traffic Flow. Distributed Computer and Communication Networks. Ser. Communications in Computer and Information Science. 279. pp. 154-168. DOI: 10.1007/978-3-319-05209-0.

8. Fedotkin M.A., Rachinskaya M.A. (2016) Imitatsionnaya model' tsiklicheskogo upravleniya konfliktnymi neordinarnymi puassonovskimi potokami [Simulation model of cyclic control for conflicting non-ordinary Poisson flows]. Bulletin of the Volga State Academy of Water Transport. 47. pp. 43-51.

9. Fedotkin M.A., Rachinskaya M.A. Model' funktsionirovaniya sistemy upravleniya i obsluzhi-vaniya potokov raznoy intensivnosti i prioritetnosti [The functioning model of a control and service system for flows with different intensity and priority]. Bulletin of the Volga State Academy of Water Transport. 2016. 48. pp. 62-69.

10. Feller W. (1966) An introduction to probability theory and its applications. V. I. New York: John Wiley & Sons, Inc.

11. Kantorovich L.V., Krylov V.I. (1958) Approximate methods of higher analysis. New York: Interscience.