Нелинейная модель процесса циклического обслуживания и выходные потоки Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

Прикладные задачи

^^^^^^^^^^»нелинейной теории колебаний и вслн

Изв. вузов «ПНД», т. 13, № 3, 2005 УДК 519.21

НЕЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА ЦИКЛИЧЕСКОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ И ВЫХОДНЫЕ ПОТОКИ

М.А. Федоткин, Е.В. Пройдакова

Статья посвящена нетрадиционному подходу к описанию и изучению свойств выходных потоков, возникающих в циклических системах массового обслуживания. Этот подход с использованием метода имитационного моделирования позволяет решить проблему Вебстера - Алсопа о задержках в циклических системах массового обслуживания.

Посвящается 85-летию Ю.И. Неймарка - наставника и учителя

1. Описание работы системы управления потоками на содержательном уровне

В данной работе рассматривается система массового обслуживания, которая является математической моделью управления т конфликтными транспортными потоками на пересечении магистралей в классе циклических алгоритмов.

Элементами описания таких систем [1] являются входные потоки (П\, П2, ..., Пт), потоки насыщения (П15 П2, ..., Пт), дисциплины очередей (Оь 02, ..., От) и стратегии механизма обслуживания (81, 82, ..., 8т), структура обслуживающего устройства Б(Г) и алгоритм смены состояний (Г(1), Г(2), ..., Г(2т)). На рис. 1 представлена схема такой системы массового обслуживания.

Циклический алгоритм работы обслуживающего устройства (автомата-светофора) используется потому, что он прост в реализации и к тому же, как правило, является оптимальным при сильной загрузке системы. Конфликтность потоков означает, что их нельзя суммировать. Это не позволяет свести задачу к более простому случаю с одним потоком. Более того, обслуживание машин (требований) из конфликтных потоков должно происходить в непересекающиеся промежутки времени.

П„

считаем независимыми пуассонов-

Хт, соответственно. Заметим, что для

Рис. 1.

Также допускаются промежутки переналадок, разрешающие проблему конфликтности потоков. Входные потоки П, П2, .... скими процессами с параметрами Х\, Х2, .. каждого з = 1, т интенсивность Х^ определяет число требований, поступивших к стоп-линии перекрестка за единицу времени. Каждый такой поток или случайный процесс с непрерывным временем обозначим через П) = (Ь); Ь > 0}, где п (Ь) при каждом з = 1, т определяет число заявок, поступивших за промежуток времени [0, Ь) по потоку П с интенсивностью Х]. Заявки, пришедшие в систему, могут или сразу поступать на обслуживание или образовывать очереди 01, 02, ..., От. В качестве стратегий 81, 82, ..., 8т механизма обслуживания выбраны экстремальные [1], которые хорошо согласуются с реальными процессами на перекрестке.

По каждому потоку разрешена очередь неограниченного объема. Так как у каждого из т потоков есть основной этап

обслуживания и этап переналадки, то обслуживающее устройство должно иметь 2т состояний Г(1), Г-2), ..., Г2т). Смена состояний осуществляется по жесткому циклическому алгоритму: Г1 ^ Г-2) ^ ^ ■■■ ^ Г2т-1) ^ Г(2т) ^ Г(1) ^ ■ ■ ■. В состоянии 3 = 1,т, разрешается групповое обслуживание требований

только из з-го потока с интенсивностью ^. В состоянии 3 = 1,т, пропускается группа заявок только из 3-го потока с интенсивностью ^ > ^. Длительности состояний Г(1), Г(2), ..., Г(2т) равны соответственно 7\, Т2, ..., Т2т единиц времени. Потоки насыщения определяют выходные потоки системы при ее максимальной загрузке. Обозначим их через Пь П^, ..., Пт и будем считать независимыми.

В данном случае, когда дополнительно не определяются времена обслуживания отдельных заявок, функционирование системы в непрерывном времени является сложным процессом, и в общем случае не является марковским процессом. Поэтому изучать характеристики такой системы будем в дискретные моменты времени г = 0,1,... переключений состояний обслуживающего устройства или на каждом из промежутков [т; Тг+1). Положим, что то - момент начала функционирования системы. Пусть он совпадает с некоторым моментом переключения фазы светофора. Для реальных задач обслуживания требований и управления потоками адекватной математической моделью являются системы с переменной структурой [1, 2].

Пусть (□, Р, Р( )) является вероятностной моделью процесса группового обслуживания требований и управления конфликтными потоками в классе циклических алгоритмов. Здесь □ - множество описаний элементарных исходов системы, ^ - множество всех наблюдаемых исходов и Р(А) - вероятность исхода А £ ^. Для описания элементов системы на Р()) при 3 = 1,т и г = 0,1,... зададим

следующие случайные величины и элементы:

а) Пз^ - число заявок потока П, пришедших за время [тг; тг+1), каждая дискретная случайная величина П3,г принимает свои значения из множества Х={0, 1, ...};

б) - максимально возможное число заявок, которое может быть обслужено за время [тг; тг+1) из очереди потока П; любая дискретная случайная величина 3 принимает значения из множества {0,3} С Х, где 3 - максимально возможное число заявок потока Пз, которое может проехать за время Т23_1 работы сигнала

и 3 = [И3^23-1], а 3 - это максимально возможное число требований потока П, которое может проехать за время Т3 работы сигнала Г-23 и ¡3 = [^Т^]; причем ¡3 > ¡3, так как Т23-1 » Т23;

в) Гг - состояние светофора на промежутке [х^; тг+1), каждый из случайных элементов Гг принимает значения из набора Г = {-Г-1), Г(2),..., Г-2т)} возможных состояний обслуживающего устройства;

г) г - длина очереди по потоку П3 в момент времени тг, любая из величин является дискретной случайной величиной со значениями из Х;

д) 3 г - число реально обслуженных заявок потока П3 за промежуток времени [Тг; Тг+1), случайная величина Ь , г принимает значения из множества У,- = {0,}С Х;

е) 3-1 - число реально обслуженных заявок потока П за [0; То), причем

Ь -1 € У.

Семейства {,г: 3 = 1, т, г = 0,1,...} и {Ь,г: 3 = 1, т, г = 0,1,...} определяют нелокальное описание потоков насыщения и выходных потоков соответственно. Заявки из очереди 3 -го потока отбираются согласно экстремальной стратегии механизма обслуживания. Для этой стратегии выполняются равенства 3 г = шт^^ г + п ,г;

Д 3 = 1,т, г = 0,1,....

Пусть и (Г(г)): Г ^ Г принимает значение Г(1) при г = 2т и принимает значение Г(г+1') в остальных случаях, то есть при г € {1, 2 ..., 2т — 1}. Тогда при г = 0,1,... можно написать соотношение Гг+1 = и(Гг). Так как входные потоки являются пуассоновскими, то условная вероятность Р(цц = и | Гг = Г(г)) запишется следующим образом:

(А 3Т )и

Р(П3, г = и I Гг = Гг)) = е-А тД 3 , = ф^ (и, Тг), где г = 1,..., 2т, 3 = 1~т.

и!

Для ,г при каждом 3 = 1, т можно записать общее вырожденное условное распределение вида Р^,г = V | Гг = Г-^) = (у, Г(г)), где

Ь (V, г«) =

1 при V = ¡3 ,г = 23 — 1;

1 при V = ¡3,г = 23;

1 при V = 0, г € {1, 2,... 2т}\{2з — 1, 23 };

0 в остальных случаях.

Основными искомыми характеристиками изучаемой системы являются состояние обслуживающего устройства, величины очередей по потокам и выходные потоки. Состояние всей системы по потоку П на промежутке [тг; тг+1) будем характеризовать случайным вектором (Гг;®^;'£,j,г-l). Поведение системы по потоку П3

описывается векторной последовательностью {(А; Жj,i;|j,i—1): г > 0}. Более того, эта последовательность задает нелокальное описание выходного потока по 3-му направлению. Причем за выходной поток отвечает ^,—1, а компоненты Гг и играют роль меток. Чаще всего выходной поток пытаются описывать аналогично входному, но при таком подходе в общем случае не удается найти конечномерные распределения выходного процесса. Почти очевидно, что выходной поток существенно зависит от системы массового обслуживания, в которой он формируется. Следовательно, в описание выходного потока необходимо включать некоторые элементы самой системы массового обслуживания. Впервые такой подход был предложен в работах [1, 2] и назван нелокальным описанием потоков требований. В силу независимости входных потоков, потоков насыщения и циклического переключения состояний обслуживающего устройства можно рассматривать процесс обслуживания требований по каждому потоку отдельно. Это обстоятельство позволило свести задачу анализа выходных потоков размерности системы (2т + 1) к задаче анализа размерности системы трем. Здесь и далее все рассуждения и проводятся для 3-го потока. Аналогичные рассуждения можно провести и для более сложной последовательности {(Гг';Ж1, г';Ж2, г'; ■■■ Жт ; §1 , — 1; §2 , — 1; ■■■ '; |т, — 1) : г > 0}. В начальный момент т0 задано распределение векторов (Г0;ж1,0; § —1), 3 = 1,т, то есть фактически известны вероятности Р(Г0 = Г-3"1; щу0 = х; 1]у-1 = у), где Г-3" £ Г, х £ Х, у £ Yj,] = 1,т.

2. Свойства случайной векторной последовательности {(Гг; ж,г; , г—1): г > 0}

Распределение каждой из случайных величин п, г, |1,—1 существенно зависит от выбора вектора Ь = (Т1, Т2,..., Т2т). Назовем этот вектор управлением Ь потоками в циклической системе обслуживания, где Ь принимает значения из следующего множества В = {(Т1; Т2,..., Т2т): Т1 > 0, Т2 > 0,..., Т2т > 0}. Для управляемой случайной векторной последовательности {(Гг; ж^; г > 0}, включающей в

себя описание состояния обслуживающего устройства, величины очереди по потоку П и выходного потока по 3-му направлению, при г = 0,1,... имеют место следующие рекуррентные соотношения (Гг+1; Ж1 >г) = (и(Гг); тах{0; Жj,i+1 — 1^};

тт^-,г + п,г; г}).

Пусть по определению справедливы равенства Т0 = Т2т, Т2т+1 = Т1, Т2т+2 = Т2, Г0) = Г2т), Г2т+1) = Г-1", Г2т+2) = Г2). Введем следующие обозначения:

Г(3) = Г\{Г^, }; Г'(3)= Г\{Г^,

Е(Г(3)) = {(Г(з); х; 0): х £ Х}, Г3 £ Г'(3);

Е (Г(2)) = {(Г2^; х; ^): х £ Х} Ш^; 0; у): у = М"—Г}; Е1 (Г^+1)) = {(Г2^; х; ): х £ Х} ШГ2^; 0; у): у = Щ—Л};

жг = (ж1,i, ж2,i, . . . жт,г); Цл—1 = (|1 ,i—1, §2 ,i—1, . . . , §т,г—1).

Был проведен анализ поведения системы при фиксированном Ь £ В и для

каждого из потоков П3 были доказаны утверждения, приведенные ниже. Полное доказательство этих утверждений представлено в работах [3 - 5].

Лемма 1. При заданном распределении начального вектора (Г0;ж,, 0; —-1) управляемая случайная векторная последовательность {(Гг; ж,, г; ,г-1); г > 0} является марковской.

Теорема 1. Для одномерных распределений случайной векторной последовательности {(Гг; ж,, г; | - г-1); г > 0} при 3 = 1, т, х € Х,у € У, имеют место следующие рекуррентные по г (времени) соотношения:

Ц_ 1 с Ц

1 (Г(2,); х; у) = £ £ £ Qj,о(Г(2j_1); щ д)ф,(с — ш,Т2,_1)Р(х = 0; у = с)+

с=0 ад=0 д=0 те с

+ £ £ £ Qj)о(Г(2j-1);ш;д)ф3(с — ш,Ту_1)Р(х = с — ¡3;у = ¡3);

с=Ц w=0 д=0

Ц -1 с Ц

Qj•l(Г(2j+1); х; у) = £ £ £ Qj)о(Г(2j); ш; д)ф,-(с — ш,Т2,-)Р(х = 0; у = с) +

с=0 ад=0 д=0 те с Ц

+ £ £ £ Qj,о(Г-ш;д)ф3(с — ш,Т2,-_1)Р(х = с — ¡3;у = ¡3);

с=[Г w=0 д=0

Qj, 1(Г(5);х;у)= £ £ Qj,о(Г(s_1);щ;д)ф,-(х — ш,Т,_1)Р(х > 0;у = 0),

ад=0 д=0

где Г(з) € Г'3),х € Х,у € У,,3 = 1, т; Qj,г+1(Г-23); х; у) = £ Qj,г(Г-23_1); ш;0)ф,-(у — ш,Т2,-_1)Р(х = 0; у< ¡3) +

w=0

+ £ Qj,г(Г-23_1);щ;0)ф,-(х + ¡3 — щ,Т2_1)Р(у = ¡3),г > 1;

w=0

Ц _1

Qj,г+l(-Г-2j+1); х; у) = £ Qj,г(Г(23); 0; д)ф,-(у,Т-)Р(х = 0; у < ¡3) + д=о

+ £ Qj>г(Г-23); ш; ¡3)ф,(у — ш, Т2,)Р(х = 0; у< ¡3) +

w=0

Ц _1

+ £ Qj,г(Г(23); 0; д)ф,-(х + ¡3,Ту)Р(у = ¡3)+

д=0

+ £ Qj>г(Г-23);ш;¡3)ф,(х + ¡3 — ш,Тз,-)Р(у = ¡3),г > 1;

w=0

Ц _1

Qj•г+l(Г(2j+2); х; 0) = £ Qj)г(Г(2j+1); 0;д)ф,-(х,Т2,-+1)+

£ д=0

+ £ Qj,г(Г(2,+1); ш; ¡,)ф,-(х — ш,Т2,+1),г > 1;

w=0

Qjíг+1(Г<з); х; 0) = £ Qj¡г(Г<3_1); ш;0)ф,-(х — ш,Тв_1),г > 1, Г(з) € Г(3).

w=0

Лемма 2. Для одномерного распределения г(Г(5);х;у): Г(в) € Г, х € Х, у € У,} случайной векторной последовательности {(Гг;ж- г; Ь ,г_1); г > 0} при лю-

2т те Ц

бом г = 0,1,... выполняется условие нормировки: £ £ £ Qj,г+1(Г(5); х; у) =1.

3=1 £=0 у=0

Лемма 3. Следующие состояния управляемой случайной векторной марковской последовательности {(Г^ж-,г; 1ч,г—1); г > 0} являются несущественными:

(Гз); х; у), где Г(з) £ Г'(3), х £ Х, у = 1^; (Г21); х; у), где х £ Х\{0}, у = 0, — 1; (Г<21+1); х; у), где х £ Х, у = ¡1 + 1, Ч; (Г-21+1); х; у), где х £ Х\{0}, у =Щ—1.

Лемма 4. Пространство состояний управляемой векторной марковской последовательности {(Гг;жч л;^,г—1); г > 0} разбивается на незамкнутое подмножество

{(1<з)_;х;у)^ Гз) £ Г' (3),х £ Х,у = 1,Л} Ш^; х; у): х £ Х\{0}, у = 0,Ц — ЦтГ2^; х; у): х £ Х,у = ¡1 + 1,-} []{(Г<21+1) ; х; у): х £ Х\{0},

__2т

у = 0, ¡1 — 1} несущественных состояний и на замкнутое подмножество У Е- (Г(г))

j Г=1

существенных периодических состояний с периодом 2т.

Далее введем обозначения для производящих функций

оо

Ф-л (Г<з); у; г) = £ Я-А^; х; у)гх,3 = 1,т,г = 0,1,..., Г(з) £ Г,у £ У- , И < 1.

х=0

Теорема 2. Для производящих функций Ф-,г+1 (Г21"1; I-; г), Ф-,г+1(Г(21+1); ¡1; г), Ф-, г+1(Г21+2);0; г), Ф-, г+1(Гз);0; г) при 3 = 'тт, Г(з) £ Г(3), \г\ < 1, выполняются следующие рекуррентные по г (времени) соотношения:

Ф-, г+1(Г21); I-; г) = г—1* еХ* Ъ-^^Ф- , Г1—1);0; г) —

I *—1 I *—т—1

—г-1* £ Я1,г(Г21—1); ы;0)гш £ (к,Тч—1)гк;

1

w=0 к=0

1з — 1

Ф^+1(Г<21+1); ¡1; г) = г-1* еХ* тъ (*—1)Фц(Г21); I-; г) + г-1* £ Яц(Г<21);0; д)х

9=0

( , 1*-1 1*—w—1

х£ Фч (к,Т21 )гк — г—1*Т. Я-ЛГ1; ы; I- ^ £ (к^ )гк;

к=1'. w=0 к=0

Ф-, г+1(Г21+2) ;0; Зг) = еХ1т21+1(—)Ф1 г(Г(21+1); 11; г) +

1г1

- ■ 1. 9=0

+еХ*т2*+1 Я, г(Г21+1);;0; д)г'ш;

Ф, ш(Г<з);;0;; г) = еХ*т°-1(г—1) Ф-, г(Г(з—1) ;0; г). Определим следующие производящие функции:

Ф,2тг(Г(21); ¡1; г) = £ Я-,2тг(Г21); х; ¡1 )гх;

х=0

Ф-,2тг(Г(21+1); ¡1; г) = £ Яч,2тг(Г<21+1); х; ¡1 )гх;

1,2тг\± ) Ч)

х=0 (

х

1, г ..............

х=0

(

); 0; г) = V Я,о.„„ ,(Т<з); х;0)гх

Ф,2тг(Г(21+2);0; г) = £ Я-,2тг(Г21+2); х; 0)г

Ф,2тг(Г(з);0; г) = £ Я,2тг(Г<з); х; 0)гх,

х=0

где 3 = 1,т, г = 0,1,..., Г(з) £ Г(3), \г\ < 1.

Теорема 3. Для производящих функций Ф,,2т(г+1)(Г(2,); ¡,; г),

т,

Ф,,2т(г+1)(Г(2,+1); ¡3; г), Ф-,2т(г+1) (Г(2,+2); 0; г), Ф-,2т(г+1)(Г(з); 0; г) при 3 = 1,

Г(з) € Г(3), 1г1 < 1 выполняются следующие рекуррентные по г (времени) соотношения:

Ф3,2т(,+ 1) (Г3 ¡3; г) = г-* г-1'*еА*(*-1)ТФ^(Г3 ¡3; г)+

Ь — 1 оо

+г-1* г-* П (*-1№ £ д^т—'Ь 0; д) £ Фз )гк — ке{1,2,...,2т}/{23} 3=0

I*-1 I*-ш-1 —г-1! г-1* П еА!2тг(Г23); ш; ¡3£ Фз(Л, Т23)гк +

ке{1,2,...,2т}/{23} ^ = 0 к=0

I* -1

+г-1* п (-1)Т* £ ^з,2тг+1 (Г-23+1); 0; д) —

^{1,2,..., 2 т}/ {23} 3=0

Iз -1 I*^-1

—г-1* £ дз,2т(4+1)-1(Г(23-1); ш;0)г- £ ф,(к,Т23-1)гк;

w = 0 к=0

Фз,2т(г+1)(Г(2з+1); ¡3; г) = г-1'— е*(—)ТФ3,2тг(Г(2з+1); ¡3; г)+

I*-1

+г—^г^ еА*(-1)Т £ (Г(23+1);0; д) —

3=0

I* -1 I* —w — 1

—г-*г-1*еА(z-1)T2з £ дз,2т(4+1)-2(Г(23-1);ш;0)г^ £ ф,(к,Т2-1)гк +

w=0 к=0

—1 о

+г-l^ дз,2т(4+1)-1(Г(23); 0; д) £ Ф3(к,Тц)гк —

3=0 к=г*

I*-1 I*-w-l

—г-* £ дз,2т(4+1)-1(Г(23); ш; ¡3^ £ ф,(к^ )гк;

w=0 к=0

Ф3,2т(г+1)(Г(23+2);0; г) = г-1* г-* еА(—)ТФ,2т,(Г(23+2); 0; г) —

I* -1 I* —w — 1

—г-*г-*ек*^Н^^) £ д3,2т(г+1)-з(Г(23-1); ш;0)г^ £ Ф3(к,Т23-1)гк +

w=0 к=0

Ь —1 о

+г-ljеА*(*-1)Т2*+1 £ д3,2т(,+1)-2(Г(23);0; д) £ Ф3(к, Т23)гк —

3=0 к=К

I*-1 I*-w-1

—г-1*еА(*-1)Т2*+1 £ д3,2т(,+1)-2(Г(23); ш; ¡3^ £ Ф3(к^)гк —

w=0 к=0

I* -1

—еА3(.-1)Т2з+1 £ д3,2т(г+1)-1(Г(23+1);0;д);

3=0

Ф3,2т(т)(Г8); 0; г) = г-* г^еА(—)ТФз^г(^; 0; г) —

—г-*г-*еА(z-1)(T=-l+T=-2+...+T2з+1+T2з) £ Язт+1)-г-з(Г(23-1); х

I* - w — 1

к

I* -1

£ <

w=0

х £ ф3 (к,Т2з-1)гк +

к=0

^ — 1 о

+г-|'еА3(.-1)(Т- +Та-2+...+Т2з+1^ д3,2т(г+1)-г-2(Г(23);0; д) £ Ф3(к^)гк —

3=0 к^*

I*-1 I*-w-1

—г^;-еА3(*-1)(Т-1 +Та-2+...+Т23+1^ д312т(г+1)-г-2(Г(23); ш; ¡3^ £ Ф3(к^)гк+

w=0 к=0

I* -1

+еА3(.-1)(Та-1+Та-2+...+Т23+1^ д^т)-— (Г^1^;д),

3=0

где Г(я) € Г(3), г = в — 23 — 2 при в > 23 + 2 и г = в + 2т — 23 — 2 при в < 23 + 2.

Теорема 4. Для существования стационарного распределения последовательности {(Г; ,i; ,i-1); i > 0} необходимо и достаточно выполнение неравенства

ljT - lj - lj < 0.

Теорема 5. Для существования стационарного распределения последовательности {(ri; £,— 1); i > 0} необходимо и достаточно выполнение неравенств

ljT - lj - lj < 0, j = 1m.

3. Статистический анализ системы путем имитационного моделирования

Основным критерием качества управления потоками является среднее время ожидания начала обслуживания произвольной заявки в стационарном режиме работы системы. Такую характеристику называют средней задержкой требования. Для вычисления средней задержки используют приближенную формулу Вебстера - Ал-сопа [6-7], которая была найдена эмпирическим путем с применением результатов имитационного моделирования в 1958 году. В 1966 году Федоткин получил аналитическую формулу для определения средней задержки в случае постоянной длительности обслуживания требований. При больших значениях интенсивностей входных потоков средние задержки, полученные по приближенной формуле Вебстера - Алсо-па, хорошо соответствуют аналитическим вычислениям. В то же время при больших значениях интенсивностей входных потоков значения средних задержек, которые даются формулой Вебстера - Алсопа, существенно больше средних наблюдаемых задержек в реальных системах. Более того, это отличие нельзя обосновать точностью вычислений, которые получены разными методами [1]. Далее, попытаемся выяснить, чем объясняется указанное выше отличие среднего времени ожидания начала обслуживания произвольной заявки (средних задержек).

Для изучаемой системы не удается аналитически получить законы распределения длин очередей, времени ожидания обслуживания заявки по потокам, выходных потоков. Чтобы получить численные оценки этих характеристик была написана программа, являющаяся имитационной моделью процесса движения двух потоков машин на крестообразном перекрестке. Это означает, что на перекрестке выбирается два наиболее интенсивных и конфликтных потока. Программа была написана с помощью средства разработки Borland Delphi 7.0. При моделировании было учтено предположение о групповом обслуживании заявок. Пользователем задаются с клавиатуры следующие параметры:

а) интенсивности li и I2 поступления машин на перекресток по потокам в маш/с;

б) интенсивности Ц1, и обслуживания машин в зеленую и желтую фазу светофора по потокам, соответственно, в маш/с;

в) длительности T1, T2, T3, T4 фаз светофора в секундах;

г) длины очередей Q01, Q02 по потокам, соответственно, в начальный момент времени в машинах.

Пусть сумма T = T1 + T2 + T3 + T4 является периодом работы светофора. В имитационной модели учитывались следующие два условия: liT - li - li < 0,

— ¡2 — ¡2 < 0 существования стационарного движения на перекрестке. По окончании работы программа выдает следующие результаты:

а) значения оценок yi и 72 среднего времени ожидания начала обслуживания заявки по первому и второму потокам;

б) значение оценки у* среднего времени ожидания начала обслуживания заявки произвольного потока (произвольной заявки), где у* = (у! • Х1 + у2 • А2)/(Х1 + А2);

в) значения оценок Q1 и Q2 средней очереди перед зеленым светом по первому и второму направлению, соответственно.

Данные численные оценки были получены с точностью e = 0.01 и надежностью ß = 0.99. Наряду с представленными выше оценками характеристик функционирования системы, для выходных потоков были найдены статистические законы распределения и статистические числовые характеристики. В частности, для случайной величины ^j,i = 6j, которая определяет число обслуженных заявок за время, пока обслуживающее устройство находится в состоянии r(2j-1), вычисляются статистический ряд распределения, выборочное математическое ожидание M*(6j) и выборочная дисперсия D* (6 j).

При получении значений численных оценок из физических соображений были зафиксированы следующие входные параметры: T2 = T4 = 4, M1 = м2 = 1, m1 = M2 = 1.2 и методом покоординатного спуска решалась задача оптимизации по критерию у* ^ min. При этом рассматривалось несколько вариантов длин периодов работы светофора. Необходимо отметить, что из физических соображений величину T периода работы светофора нельзя уменьшать ниже определенного предела. В данном случае этот предел составляет 60 с. Интенсивности А1 и А2 поступления машин на перекресток также варьировались. Полученные результаты для разных значений длин периодов T параметров А1 = 0.4 и А 2 = 0.1 приведены в табл. 1. Квазиоптимальное значение оценки у* для каждого из рассматриваемых значений T и обеспечивающие ее параметры выделены в таблице жирным шрифтом.

Из таблицы находим, что для А1 = 0.4 и А 2 = 0.1 минимальное значение оценки у* равно 9.6412 и оно достигается на периоде T = 60 при Т1 =40 и Т3 = 12. При этих параметрах статистические числовые характеристики для выходного потока по первому направлению принимают следующие значения: M*(01) = 18.92 и D*(91) = 2.8736, а для выходного потока по второму направлению - M*(02) = 3.96 и D* (62) = 1.1984. На рис. 2 представлен полигон частот, построенный по статистическому ряду распределения числа заявок, обслуженных по первому потоку за время, пока обслуживающее устройство находилось в состоянии Г-1). На рис. 3 изображен полигон частот, соответствующий статистическому ряду распределения количества требований, обслуженных по второму направлению за время, пока обслуживающее устройство находилось в состоянии Г-3). На данных рисунках по оси ординат откладывается относительная частота, а по оси абсцисс - число обслуженных машин.

В разделах 1 и 2 данной статьи рассматривалась система массового обслуживания, в которой значение интенсивности потоков насыщения предполагалось равным постоянной величине в течение периода времени, когда обслуживающее устройство находится в состоянии r(2j-1) и разрешается обслуживание только заявок потока П. Пусть теперь обслуживающее устройство в состоянии r(2j-1) на промежутке времени [ti; Ti+1) изменяет числовое значение интенсивности потоков насыщения и это изменение имеет кусочно-постоянный вид. В простейшем случае интенсивность Mj

последовательно принимает значения , 1 и ^,2. Это обстоятельство позволяет представить состояние Г(2'-1 в виде объединения двух виртуальных состояний Г^' ^

и Г

(2'-1) 2

следовательно, состояние

Г^-1) = {Г

(2'-1) А2'-1)

1

Г ^ фактически будет

являться укрупненным состоянием [8]. В состоянии Г^' ^ разрешается групповое обслуживание требований ] -го потока с интенсивностью ^ , 1. В состоянии 12''' ^ также пропускается группа заявок только из ]-го потока, но уже с другой интенсивностью , 2. Алгоритм обслуживания заявок по-прежнему остается циклическим. В силу этого, для новой модели можно применять те же методы исследования, что и в предыдущем случае, только с учетом увеличения числа состояний обслуживающего устройства.

Х1 = 0.4, 12 = 0.1

Таблица 1

т Т1 Тз 71 72 7* С71 07 2

120 100 12 1.2545 96.1422 20.2321 3.9565 9.0435

90 22 4.3527 77.5088 18.9839 7.6667 7.8333

80 32 9.4349 63.578 20.2635 11.4167 6.875

70 42 15.6653 49.6712 22.4665 15.5217 6.3913

60 52 24.3614 35.451 26.5794 19.5652 4.913

100 86 6 0.5803 91.125 18.6893 2.4483 7.1724

80 12 1.626 76.8 16.6608 4.2143 6.8571

70 22 5.5395 57.6667 15.965 7.9643 6.4074

60 32 11.7175 43.4605 18.0661 11.8276 5.2143

50 42 19.2973 30.2297 21.4838 15.2069 4.0345

80 68 4 0.3494 73.1692 14.9134 1.5278 5.4167

60 12 2.3228 55.2727 12.9128 4.3947 5.1504

50 22 6.6781 39.1121 13.1649 7.5405 4.3056

40 32 14.2016 24.5143 16.2641 11.0103 3.1622

30 42 24.5471 14.4293 22.5235 15.2005 2.4167

60 48 4 0.5442 52 10.8353 1.76 3.4

40 12 2.996 36.2222 9.6412 4.3 3.26

36 16 5.793 30.7692 10.7882 6.1731 2.6923

30 22 9.4498 20.8857 11.737 7.5962 2.5294

20 32 20.4471 8.9032 18.1383 11.82 1.4082

¡5 0.3

о н о

(II

^ 0.2

0.1

0.0

0,2 П10 0. 24

0.1 /

0..0 0.08 \0....0

0....14 16 18 20 22...40 Число машин

о

X I-

о

0.4 0.3 0.2 0.1 0.0

0.4

о.з/

0.2/1

/1 ! о ой / ! !

0.04_7 ! |

1 :

10 12

Рис. 2.

Iисло машин

Рис. 3.

Далее, при численном моделировании рассмотрим случай двух потоков (т = 2), когда интенсивность обслуживания первого потока в состоянии Г(1) на

промежутке времени Т1 имеет кусочно-постоянный вид. Тогда число состояний обслуживающего устройства становится равным 5. Длина Т1 зеленого света для первого потока разбивается на два участка длиной 7\ 1 и 7\ , 2 единиц времени таким образом, что Т1 = Т1 д + Т1 , 2. В состоянии г11) разрешается групповое обслуживание требований первого потока с интенсивностью И1 ,1. В состоянии Г^1) также пропускается группа заявок только из первого потока, но уже с другой интенсивностью И1 , 2. Граф смены состояний обслуживающего устройства имеет вид, представленный на рис. 4.

Рис. 4.

А1 = 0.4, А2 = 0.1

Таблица 2

Т Т1,1 Т1,2 Тз И1,1 И1,2 71 72 7* с71 Я2

120 10 70 32 3.8 0.6 9.2146 54.3019 18.232 11.6522 6.6522

20 60 32 1.9 0.7 9.008 48.2667 16.8598 11.125 6.9565

30 50 32 1.4 0.76 9.913 47.0046 17.3314 12.125 6.6667

40 40 32 0.8 1.2 9.9173 47.7078 17.4754 12.0417 6.75

50 30 32 0.7 1.5 10.2114 49.8807 17.7453 11.9583 6.7083

60 20 32 0.5 2.5 10.7241 52.4757 18.4745 11.5417 6.4167

70 10 32 0.2 6.6 9.7431 57.5261 19.2997 12.2609 6.8261

100 10 60 22 4.0 0.5 5.6303 49.8846 14.4812 7.7667 5.3

20 50 22 2.0 0.6 5.5252 47.2906 13.8782 7.8966 5.5172

30 40 22 1.3 0.775 5.3266 43.0777 12.8768 7.6207 5.3793

40 30 22 0.7 1.4 5.4374 47.4865 13.8472 7.5 6.3103

50 20 22 0.4 2.5 5.6147 50.1748 14.5267 8.0345 5.6552

60 10 22 0.2 5.8 5.6908 55.0297 15.5586 8.2759 5.6552

80 5 55 12 5.4 0.6 2.2645 50.8404 11.9797 4.3243 4.3784

10 50 12 2.5 0.7 2.2096 46.673 11.1022 4.2973 4.7838

20 40 12 1.25 0.875 2.0221 42.6806 10.1538 3.973 4.4054

30 30 12 0.7 1.3 2.3928 43.5243 10.6191 4.5789 4.8378

40 20 12 0.4 2.7 2.329 46.4977 11.1627 4.4474 4.8947

50 10 12 0.2 5.0 2.1942 51.2207 12.0005 4.1579 5.0

60 5 35 12 6.6 0.2 16.0881 29.8492 18.8403 5.6981 2.5849

10 30 12 3.1 0.3 7.3059 29.5408 11.7529 4.25 3.1373

15 25 12 1.4 0.76 3.0711 26.1333 7.6835 4.283 2.4151

20 20 12 0.75 1.25 3.0572 29.2386 8.2935 4.1887 3.1132

25 15 12 0.4 2.0 3.3059 28.439 8.3325 4.5385 2.5192

Интенсивности обслуживания И1 д, И1 , 2 и длины интервалов Т1 д и Т1,2 будем варьировать так, чтобы при этом средняя интенсивность обслуживания требований на интервале Т оставалась постоянной и равной единице. При этом, как и в предыдущем случае, фиксируем следующие параметры Т2 = Т4 = 4, и2 = 1, И1 = И2 = 1.2- Изучим влияние вновь введенной нелинейности на величину квазиоптимальных значений оценки у*, представленных в табл. 1. Полученные численные результаты сведены в табл. 2. Жирным шрифтом в данной таблице выделены новые квазиоптимальные значения оценки у*, полученной в результате введения нелинейности интенсивности обслуживания требований от времени, и параметры, соответствующие каждой оценке.

Из табл. 2 очевидно, что введение нелинейности интенсивности обслуживания требований от времени даже по одному потоку приводит к заметному уменьшению величины оценки у* среднего времени ожидания начала обслуживания произвольной машины. Например, при А.1 = 0.4 и Х2 = 0.1 и значении периода Т =60 на квазиоптимальных значениях параметров, представленных в табл. 1, возможно уменьшение оценки у* со значения 9.6412 до значения 7.6835. При этом отрезок времени Т1 = 40 разбивается на участки Т1 д = 15 и Т1,2 = 25, а интенсивности обслуживания заявок выбираются следующим образом: И1 ,1 = 1.4 и И1 , 2 = 0.76. Аналогично, для различных значений А4, Х2 и Т, меняя длины интервалов Т1 д, Т1,2 и интенсивности обслуживания заявок И1,1, И1,2, можно добиться уменьшения величины оценки у* для квазиоптимальных параметров.

Таким образом, по результатам применения численных методов для изучения свойств вероятностных и числовых характеристик выходных потоков системы можно сделать вывод о том, что отличие средних задержек может быть вызвано эффектом нелинейных зависимостей интенсивностей обслуживания требований от времени.

Работа выполнена в рамках госбюджетной НИР Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского, проводимой по заданию Федерального агентства по образованию, по теме «Анализ дискретных управляющих систем обслуживания и систем вычисления булевых функций».

Библиографический список

1. Федоткин М.А. Процессы обслуживания и управляющие системы // Математические вопросы кибернетики. 1996. Вып. 6. С. 51.

2. Федоткин М.А. Нелокальный способ задания управляемых случайных процессов // Математические вопросы кибернетики. 1998. Вып. 7. С. 332.

3. Федоткин М.А., Пройдакова Е.В. Изучение выходного процесса при нелинейном обслуживании автомобилей на перекрестке с помощью имитационной модели // Материалы международной конференции «Прикладная статистика в социально-экономических проблемах», 14-15 февраля 2003. Н.Новгород: Издательство Нижегородского госуниверситета, 2003. Том 1. С. 97.

4. Федоткин М.А., Пройдакова Е.В. Нелокальное описание выходных потоков в системе с циклическим обслуживанием и переналадками. ННГУ, Нижний

Новгород, 2004 - 27с. / Деп. в ВИНИТИ, № 1856 - В2004.

5. Федоткин М.А., Пройдакова Е.В. Анализ свойств выходных потоков в системе с циклическим обслуживанием и переналадками. ННГУ, Нижний Новгород, 2005 - 32 с. / Деп. в ВИНИТИ, №442 - В2005.

6. WebsterF.V. Traffic signal settings // Road Research Technical Paper. London, 1958. 39, pp. 1 - 43.

7. Allsop Richard E. Delay-minimizing settings for fixed-time traffic signals at a single road junction // J.Inst. Maths / Applice, 1971, vol. 8, № 2, pp. 164 - 185.

8. Кемени Джон Дж., СнеллДж. Лори. Конечные цепи Маркова. М.: Наука, 1970.

Нижегородскиий государственный Поступила в редакцию 3.07.2005

университет им.Н.И.Лобачевского

NONLINEAR MODEL OF CYCLIC SERVICE PROCESS AND OUTPUT FLOWS

M.A. Fedotkin, E.V. Projdakova

Article is devoted to the nonconventional approach to the description and properties studying of the output flows arising in cyclic systems of mass service. This approach with use of imitation method allows to solve Webster - Allsop problem about delays in cyclic systems of mass service.

Федоткин Михаил Андреевич - родился в д. Киселевка, Воскресенского района, Липецкой области (1941), окончил механико-математический факультет ГГУ (1963). Защитил диссертацию на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук (1969, ГГУ) под руководством профессора Ю.И. Неймарка в области теории управления стохастическими динамическими системами и докторскую диссертацию по специальности «Теория вероятностей и математическая статистика» (1984, МГУ). Организатор и заведующий кафедрой прикладной теории вероятностей ННГУ (с 1986). Профессор ГГУ (1988), выборщик и учредитель РАЕН по секции «Математика, информатика, кибернетика» (1991), Соросовский профессор по математике (2000, 2001). Проблематика научных исследований и подготовки кадров: стохастические динамические системы, управляемые случайные процессы, нелокальное описание маркированных точечных процессов, алгоритмическое и адаптивное управление конфликтными потоками требований в системах обслуживания с переменной структурой, кибернетический подход к построению, анализу и оптимизации вероятностных моделей эволюционных экспериментов с управлением. Член редакционных коллегий журналов «Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. Серия Математика» и «Математика в высшем образовании». Автор более 220 научных работ.

Пройдакова Екатерина Вадимовна - родилась в 1980 году в Горьком. В 2002 году окончила факультет вычислительной математики и кибернетики ННГУ. В 2003 году поступила в заочную аспирантуру ННГУ. Проблематика научных исследований: управляемые случайные процессы, нелокальное описание маркированных точечных процессов, алгоритмическое и адаптивное управление конфликтными потоками требований в системах обслуживания с переменной структурой. Основные результаты были представлены на научных конференциях и в двух статьях, депонированных в ВИНИТИ.