Необходимые условия существования стационарного распределения выходных потоков в системе с приоритетным направлением Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

Математика

Вестник Ниже городского университет а им. Н.И. Лобачевского, 2007, № 1, с. 167-172

УДК 519.21

НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ СТАЦИОНАРНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЫХОДНЫХ ПОТОКОВ В СИСТЕМЕ С ПРИОРИТЕТНЫМ НАПРАВЛЕНИЕМ

© 2007 г. Е.В. Пройдакова

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского реу 1@mail.ru

Поступ72а в редакц7ю 26.12.2006

Проведено исследование выходных потоков, возникающих в системе массового обслуживания с приоритетным направлением. Предложено нелокальное описание и изучены свойства выходных потоков, возникающих в рассматриваемой неклассической системе. Также приведены необходимые условия существования стационарного режима функционирования системы массового обслуживания такого рода.

Введение

Во многих реальных задачах научного, производственного и экономического характера действует система массового обслуживания с преимуществом. В этом случае в систему обслуживания поступает несколько потоков требований, причем каждое требование обладает определенным рангом. Требования с высокими рангами пользуются преимуществом и поступают на обработку впереди всех ранее поступивших требований с более низкими рангами. На практике очень часто необходимо знание распределений выходных потоков, возникающих в неклассической системе массового обслуживания такого рода. Это связано с тем, что обработанные одним устройством заявки могут образовывать входной поток требований для другого обслуживающего устройства. Но на практике задача исследования выходного потока в общем случае является трудноразрешимой. В данной статье в описание выходного потока требований включены такие элементы системы массового обслуживания, как очереди и состояния обслуживающего устройства, что позволило получить новые результаты в области изучения свойств выходных потоков, возникающих в системе массового обслуживания с преимуществом.

Построение математической модели

Все рассматриваемые случайные объекты будем задавать на некотором вероятностном пространстве (0,3, Р()), где О — множество описаний всех элементарных исходов системы,

3 — О -алгебра событий А С^, а Р(А) —

вероятность исхода А е 3 . В работе изучается система массового обслуживания, которая является математической моделью управления с помощью автомата-светофора независимыми и конфликтными транспортными потоками П\, П2,..., Пт на пересечении т магистралей. Конфликтность потоков означает, что их нельзя суммировать, что не позволяет свести задачу к случаю одного потока. Поступающие в систему потоки делятся на три типа: П - маломощный поток, заявки которого пользуются

приоритетом при обслуживании; Пт -интенсивный поток без преимуществ по обслуживанию; П2,..., Пт _ \ - потоки средней интенсивности и без преимуществ по обслуживанию. Приоритет первого потока состоит в том, что если поступила хотя бы одна заявка по этому направлению, то она должна быть обслужена как можно быстрее, но при этом не прерывая обслуживания других требований. Обслуживание требований (машин, заявок) из конфликтных потоков должно происходить в непересекающиеся промежутки времени. Под обслуживанием машин понимается их переезд через перекресток. Кроме того, допускаются промежутки переналадок, за счет которых разрешается проблема конфликтности потоков, например проблема безопасности движения транспорта. У каждого из т потоков есть основной этап обслуживания и этап переналадки, для интенсивного потока Пт дополнительно введен дополнительный промежуток времени, в котором продолжается его обслуживание.

Таким образом, обслуживающее устройство имеет 2т + 1 состояний Г (1), Г (2), ..., Г (2т),

Т-1 (2т +1)

Г , где:

Г2] - :) — состояние обслуживающего устройства, при котором пропускается поток П] с интенсивностью й >0и не пропускаются остальные;

Г2) — состояние обслуживающего

устройства, при котором пропускается поток Ц с интенсивностью т" > М] и не пропускаются остальные;

Г('2т + :) — состояние обслуживающего устройства, при котором пропускается только поток Пт с интенсивностью т"т > Мт- Здесь т (М]) определяет среднее число заявок, обслуживающихся в единицу времени в состоянии Г (2] - !) (Г'2;)) соответственно, а ц"т определяет среднее количество требований, обрабатываемых в единицу времени в

Г, (2т + 1)

состоянии Г .

Длительности состояний Г (1), Г (2), ..., Г (2т),

Г, (2т +1)

Г известны и равны соответственно

Ть Т2, ..., Т2т + 1 единиц времени. Граф смены состояний обслуживающего устройства

представлен на рисунке.

Для реальных задач обслуживания машин и управления потоками адекватной

математической моделью являются системы с переменной структурой [1-2]. Элементами описания таких систем [1] являются входные потоки, потоки насыщения, дисциплины очередей и стратегии механизма обслуживания, структура обслуживающего устройства и

7“» (1) 7“» (2) 7-1

алгоритм смены его состояний Г , Г , ... , Г (2т), г (2т +!). Входные потоки П\, П2,..., Пт считаем пуассоновскими соответственно с параметрами Я\, Я2, ..., Ат. Интенсивность Я,

] = 1, т определяет среднее число машин, поступивших к стоп-линии перекрестка за единицу времени. Для нашей системы << Ят. Заявки, пришедшие в систему, могут или сразу поступать на обслуживание, или образовывать неограниченные очереди. В качестве стратегий механизма обслуживания выбраны

экстремальные [1], поскольку они хорошо согласуются с реальными процессами на перекрестке. Потоки насыщения П\, П'2, П'т определяют выходные потоки системы при ее максимальной загрузке, будем считать их независимыми.

Нелокальное описание выходных потоков

В случае, когда дополнительно не определяются времена обслуживания отдельных заявок, функционирование системы в непрерывном времени является сложным процессом, и в общем случае не является марковским процессом. Условимся, что величины ті, і > 0 являются моментами переключения состояний обслуживающего устройства (автомата-светофора) из одной фазы в другую. Положим, что Т0 — момент начала

функционирования системы. Пусть он совпадает с некоторым моментом переключения фазы светофора. В дальнейшем изучать характеристики системы будем в дискретные моменты времени ті, і = 0, 1, ... переключений фаз обслуживающего устройства или на каждом из промежутков [ті; Ті + 1). Элементы ті случайны, поскольку значения Т1, Т2, ..., Т2т + 1 различны и можно задавать произвольные вероятности для состояний светофора в начальный момент времени т0, а последовательность переключений состояний обслуживающего устройства зависит от случайного поступления заявок по приоритетному потоку П1.

Введем на (0,3, Р()) при у = 1, т и і = 0, 1,. следующие случайные величины и элементы:

a) Цц — число заявок потока Пу, пришедших за [ті; Ті + 1), каждая дискретная случайная величина ^л і принимает значения из X = {0, 1, ...};

b) Хл — максимально возможное число заявок, которое может быть обслужено за время [ті; Ті + і) из очереди потока П; любая дискретная случайная величина Х, є {0, І'у, /у} с

Х при у = 1, т — 1, а дискретная случайная величина Хт,і є {0, ї'т, ї"т, Іт} с Х. Здесь Іу при І = 1, т определяет максимально возможное число требований потока Пу, которое может обслужиться за время работы сигнала Г2] - 1) и Іу = [щТу - 1], іу — это максимально возможное число заявок потока Пу, которое может обслужиться за время работы сигнала Г2]) и І'у = [т'уТ2у], а І"т — это максимально возможное число требований потока Пт, которое может обслужиться за время включения сигнала Г ('2т

+:) и 1"т = [т"тТ2т + 1]; причем I] > 1], так как Ту-1 >> Ту, а 1т > 1"т, поскольку Т2т_1 >> Т2т+1;

c) Г — состояние обслуживающего устройства на промежутке времени [Г1 ,Тг+1), каждый из случайных элементов Гг принимает значения из набора Г = {Г (1), Г (2), ..., Г (2т + :)};

d) ж] — длина очереди по потоку П] в момент времени Тг, величина ж] является

дискретной случайной величиной со значениями из X;

e) ] — число реально обслуженных заявок потока П] за [тг; тг + 1), случайная величина Х ■ ■

принимает значения из У] = {0, 1,., I]} с Х;

£) X ] _! — число реально обслуженных

заявок потока П] за промежуток времени [0; т0), причем X], - 1 е У];

Семейства { ]■; ] = 1 ,т , г = 0, 1,.} и {]■;

] = 1 , т , г = 0, 1,.} определяют нелокальное описание выходных потоков и потоков насыщения соответственно. Заявки из очереди ]-го потока отбираются согласно экстремальной стратегии механизма обслуживания, при которой Х],г = т1п{ж;;г- + % ; Х],г }, ■ = 0, 1,., ] = 1, т . Входные потоки системы являются пуассоновскими, поэтому Р(% = Щ | Гг = Г (г)) = (Я1Тг)и (щ)_' ехР{_Я;ТТ} = 9 (uJ,Tr), где

м е X, ] = 1, т , г = 12т +1. Введём

функции/] : Г ® {0, I], I'], 1"т}, ] = 1, т , где

Г I] при г = 2] - 1, ] = 1, т ;

I'] при г = 2] ] = 1, да ;

1"т при г = 2т + 1, ] = да ;

Л (Г(г)) V 0 при г е {1, 2,., 2т + 1}!

{2] - 1, 2]}, ] = 1, т _ 1;

0 при г е {1, 2,.,

2т + 1}!{2т - 1, 2т, 2т + 1},

V] = т.

В этом случае ] будут определяться как ] = Л(Гг), где г = 0, 1,., ] = 1,т.

Обслуживающее устройство имеет циклический алгоритм работы, но при этом его следующее состояние Гг + 1 зависит от предыдущего состояния Гг и числа заявок, поступивших в очередь приоритетного потока П1. Введем в рассмотрение функцию и(Г(г), w1, щ):

Г Г(1) при г = 2т;

Г (г + :) при г = 1,2т _ 2;

Г(2т) при г е {2т - 1, и(Г(г), Wl, щ) = 2т + 1}, Wl = 0, щ > 0;

Г (2т) при г е {2т - 1,

2т + 1}, w1 > 0;

Г(2т + 1) при г е {2т - 1,

2т + 1}, w1 = м1 = 0.

В силу независимости входных потоков и потоков насыщения в дальнейшем изучим свойства только пятимерной векторной последовательности {(Г,, жи, шМ||, - 1, Хт,г -

1); г > 0}. Данная последовательность

определяет поведение системы как по приоритетному потоку П1, так и по наиболее интенсивному потоку Пт. Аналогичным способом могут быть получены результаты для последовательностей {{(Гг, ш1>г, ж]-, - 1, Х]г -

1); г > 0}, ] = 2,т _ 1, {(Г,, жм, жи, ■■■, жтА,

- 1, Х2,г_- Ь--- , Хт.г - 1); г > 0} и (Гг;

ж1>г; £1>г - 1); г > 0}. Считаем, что в момент т0 задано распределение для векторов (Г0, ж10, жт,0, Хи-Ь Хт>-1), то есть известны следующие

вероятности: Р(Г = Г (ж); = Х1; Жт,0 = хт, £1,-1

= ^ Хт,-1 = ^т), Г(Х) е Г, Х1е Х, Хт е Х, ^1 е

У1, »Ут е Ут.

Аналитические результаты

Распределения случайных величин ц1г, Ят,г и Хм £*,г, г = 0, 1,. существенно зависят от выбора вектора Ь = (Т1, Т2, ..., Т2т + 1). Назовем этот вектор управлением Ь потоками, здесь Ь принимает значения из следующего множества: В = {(Т1, Т2, ., Т2т + 1): Т1 > 0,

Т2 > 0,...,Т2т+1 > 0 }. Был проведен анализ поведения изучаемой системы при фиксированном Ь е В и доказан^1

утверждения, приведенн^1е ниже.

Лемма 1. Для управляемой случайной векторной последовательности {(Гг, ш1>г, Жт,г, Хи - 1, Хт,г - 1); г > 0} справедливо следующее рекуррентное соотношение :

(Гг + Ь ж1,г + 1, жт,г + 1, X1,г, Хт,г) (U(Гi, ж1,г, h1,г),

тах{0; Ш1>г- + Цц - %и}, тах{0; жи>! + ^т,г - Хт,г},

тт{жм + ; Х1,г }, тт{жт,г + Цт,г ; Хт,г}).

Лемма 2. При заданном вероятностном распределении начального вектора (Г0, ж1>0, жт,0, Х1, - 1, Хт, - 1) управляемая векторная последовательность {(Гг, ж1>г, жт,г, Х1г - 1, Хт,г -

1);

г > 0} является марковской.

Введем обозначения:

бг + 1(Г ^ Х1, Хт, У1, Ут) =

= Р({Г, + 1^ Г^ + 1 = Х1, Жт,г + 1 = Хт,

Х1,г = уЬ Хт,1 = ут});

Г' = г \ {Г (1) Г(2) Г|'3'1 Г(2т) Г(2т + 1)}'

Г = г \ {г (1) Г(2) Г|'3'1 Г|'4) Г(2т) Г(2т + 1)}

Теорема 1. Для одномерного вероятностного распределения векторной последовательности {(Г, ж1>г-, шт>г-, Х'ч - 1, Хт, -1); г > 1} имеют место следующие

рекуррентные соотношения:

°1+1( Г (1); Х1; Хт ;0; ут) =

Х1 1т

= £ £ О (Г(2 т); Wl; 0; 0; М(Х _ Т2И) х

Щ1 =1 8т =0

хФ (у , Т2 )Р(х > 0; х = 0; у < /') +

Тт^т> 2 т' ' 1 ’ т т'

Х1 Ут

+££ 2, (Г(2т); ^; Щ т ;0; 1т Ж( Х1 _ W1, Т2т ) Х

Щ1 = 1 Щт =

хф (у _щ ,Т2 )Р(х1 > 0;х = 0;0 < у < /') +

т т ^ т т~ 2т ■' V 1 ’ т * *^т т '

Х1 ут

+££ 2, (Г(2т); ^; щ т ;0; /т фД Х _ Щ1, Т2т) х

Щ1= Щт =

хф (у _щ ,Т2 )Р(х1 > 0;х = 0;0 < у < /') +

т т ^ т т 5 2т ' V 1 ’ т * *^т т '

Х1 1т

+£ £ О,(Г(2т);Щ1;0;0;£„М(Х _^,Т2т)х

Щ1=1 =0

ХФ (х + /', Т2 )Р(х1 > 0; у = /') +

т т ^ т т~ 2т ■' V 1 * ✓ т т '

Х1 хт +1т

+£ £ О(Г(2т>;^;Щи;0;/тфх _Т2И)х

Щ1 =1 Щт =1

хф (х _ щ + /', Т2 )Р(х1 > 0; у = /') +

тт^ т т т’ 2 т' V 1 т’

Х1 хт +1т

+£ £ О,(Г(2т^^;Щи;0;Гтфх _Т2И)х

Щ1 =1 Щт =1

хф (х _ щ + /', Т2 )Р(х1 > 0; у = /');

т тV т т т’ 2т' V 1 ’-^т т-7’

б, + 1( Г (3); Х1; Хт; у1;0) =

Хт 11

= £ £ о, (г(2) ;0; щ; &;0Ш у^ т 2) х

Щт=0 81 =1

Фт (Хт _ Щт, Т2)Р(Х1 = 0; у1 < /1) +

У1 Хт

+£ £ <2,(Г(2);Щ1;Щт;_Щ1,Т2)х

Щ1 =1 Щт =0

хФт (Хт _ Щт, Т2)Р(Х1 = 0;0 < ^ < О +

Хт 11

+ ££ 2, (Г (2);0; щи ; 81;0)ф1( Х1 + /', Т 2) х

Щт =0 81 =1

хФт (Хт _ , Т2)Р(у1 = /') +

Х1 + /1 хт

+ £ £ (Г(2); Щ1; Щи; /1; 0) х

Щ1=1 Щт =0

хФ1( Х1 _ Щ1 + К* Т 2)Ф т ( Хт _ Щт, Т 2)Р(У1 = 0';

2, + 1( Г<4); Х1; х, ;0;0) =

хт /1

= £ £ й( г я ;0; Щ-; 81; 0)Ф1(^ Тз) х

Щт =0 81 = 0

хФт (Хт _ Щт > Т3) +

-Х1 хт

+£ £ 2,(Г(3);щЩт;щТз)х

Щ =1 Щт =0

ф— (х— - щ—, Тз)р(х1 > 0);

2, + 1( Г'2”); Х1; х, у,) =

Х1 ут

= ££ О, ( Г'1’’ ч); Щ1; щ— ;0;0) х

4=° Щт =0

ф (Х1 _ Щ1, Т2 т_1 )Фт (Ут _ Щт > Т2 т_1 ) х

хР(Х1 > 0; Хт = 0; у, < ^ ) +

Х1 хт +/т

+ £ £ О,(Г(2—^щ,;°;°)х

Щ =0 Щт =0

ф (Х1 _ Щ1 > Т2т_1 )Фт (Хт _ Щт + 1т , Т2т_1 ) х

хР(Х1 > 0; у, = ^ ) +

—

+ £ О,(Г'“);0;0,0,8—фх„Тгм)х

8— =0

хФт (ут , Т2т +1 ЖХ1 > 0 Хт = 0 у, < /” ) +

Ут

+ £ О, ( Г '2 -+l)'0' Щ, ;0; ^ ) х

Щт =1

хФ1( Х1 ’ Т2 т+1 )фт (у т Щт , Т2 т+1) х

хр(х1 > 0; Хт = 0;0 < ут < С) +

Ут

+ £ О,(Г<!""АЩ,;0;/,ф*,Т,,+1)х

Щт =1

хФт (Ут _ Щт > Т2 т+1) х

хр(х1 > 0; Хт =0;0 < Ут < т) +

/т

+ £ О,(Г12’+1)'0'0'0;8,ФДХ1,Т2,+1)х

ёт =0

хФт (Хт + С , Т2т+1 )Р(Х1 > 0; Ут = /” ) +

хт +1т

+ £ О,(Г<2’+1,'°'Щ,/—)ф1 (Х1,Т2,+1)х

Щт =1

хФт (Хт _ Щт + С , Т2т+1 )Р(Х1 > 0; Ут = /” ) +

хт + т

+ £ О,(Г°’*1,'°'Щ,'°'/,фХ1,Т2,+1)х

Щт =1

хФ— ( Хт _ Щ + С, Т2—+1 № > 0 Ут = С );

О, + 1( Г(2"+1);°; х, ;0; у,) =

ут

= £ О,(Г'2-Щ,;0;0)Ф1 (0,Т2^х

Щт =0

хФт (Ут _ Щт , Т2т_1 )Р(Хт = 0 Ут < ^ ) +

—

+ £ О,( Г'1т +1,;°;°;°; 8т >^1(0, Т2„+1 ) х

8— =0

хФт (Ут , Т2т +1 )Р(Хт = 0 Ут < /” ) +

ут

+ £ й (Г'2“«Л Щ, ;0; /— ф0, Т-+1) х

Щт =1

хФт (Ут _ Щт , Т2т+1 )Р(Хт = 0;0 < Ут < С ) +

ут

+ £ ШГ'2“«АЩ,;0;/,>фl(°,Т,+1)х

Щт =1

хФт (Ут _ Щт , Т2т+1 )Р(Хт = 0;0 < Ут < С ) +

^т

+ £ й(г<2-*1);°;°;°;8,>Фl(°,Т2т+1)х

8т =0

хфт( х-+, Т2 т+1 )Р(Ут = /т) +

хт + 1т

+ £ ШГ<!т+1);°;Щт;0;/,>фl(°,Т2т+1)х

Щт =1

хФт (Хт _ Щт + 1т , Т2т +1)Р(Ут = 1т ) +

х +1” л—^1—

+ £ О,(Г<2-*1>;°;Щ-;0;/->фl<°,Т—1)х

Щ- =1

хФ- (Х- _ Щ- + /№- , Т2- +1)Р(У- = /№- ) +

х + /

^^—1-

+ £ ОД Г(2”_ Щ- ;°;°>фl<°, Т2 — _1) х

Щ- = 0

хФ- (Х- _ Щ- + /- , Т2-_1 )Р(У- = /- ).

В работе [3] доказано, что для рекуррентных соотношений теоремы 1 выполняется условие нормировки

2 т+1 ¥ ¥ 1! 1-

£ £ £ £ £ й+1(Г (") ’ х1’х- ’ У1’ у-)=1.

Ж=1 Х1 =0 х- =0 У! = 0 У- = 0

Пусть по определению справедливы равенства:

Е = {(Г(х); Х1; х-; у^ у, ): Г (х) е Г, Х1, х-е Х,

У1 е У1, у- е У-};

Е1(Г^ = {(Г(*); Х1; х-;0; 0) : хь х- е Х},

Г (*) е Г';

Е1(Г (1)) = {(Г(1); х,; х- ;0; /- ): Х1 е Х \ {0},

Х- е Х } и {(Г(1); х; 0; 0; у, ): Х1 е Х \ {0},

Х- е Х, Ут = 0 /'т _1};

Е1(Г(2)) = {(Г(2); Х1; х-; /1;0): хь х- е Х} И

И {(Г(2);0; х-;У1;0): х- е Х, у = 1^};

Е1(Г(3)) = {(Г(3); Х1; х-; /'; 0): Х1, х- е Х} И

И {(Г(3);0;х-;У1;0): х- е Х, У1 = 0,/[_ 1};

Е1(Г (2-)) = {(Г(2-); Х1; х- ;0; /- ): Х1 е Х \ {0},

Х- е Х} {(Г(2-); х; х, ;0; - ): Х1 е Х \ {0},

х- е Х} {(Г(2-); Х1; 0; 0; у,): Х1 е Х \ {0},

У- = 0^} {(Г(2-); Х1; 0; 0; у, ): Х1 е

е Х \ {0}, у, = /- +1,/- _ 1};

Е1(Г(2-+1)) = {(Г(2-+1);0; х- ;0; /-): х- е Х} И

И {(Г(2-+1);0;х-;0;/,): х- е Х}И

И {(Г(2-+1);0;0;0;у,): у, = 07^=1} И

И {(Г (2-+1);0;0; 0; у, ): у, = /- +1, - _ 1}.

Лемма 3. Пространство Е всех возможных состояний векторной марковской цепи {(Г,, ж1>г-, ж-,г, Хи - 1, Х-,г - 1); ■ > 0} распадается на незамкнутое множество Е0 несущественных состояний и на минимальное замкнутое

2 т+1 ( )

множество Е1 = И Е1(Г г)) существенных

г=1

сообщающихся апериодических состояний.

Лемма 4. Для марковской цепи {(Г,, ж1>г-, жт,,, Х1,,- 1, Хт,1 -1); ■ > 0} при любом начальном распределении {60 (Г(г); Х1; х-; уь у-): (Г(г), Х1, х-, У1, у-) е Е1} либо

Пт б, (Г(г); х1; х,; у^ у, ) = 0 для (Г(г), Х1, х-,

, ——¥

у1, ут) е Е1 и стационарное движение в системе не существует, либо

1Ш1 & (Г (г); х1;Х-; у^ у, ) =

г ——¥

= a*< Г(г); хр х—; У1; у—) > 0,

£ О*( Гг); хр х—; у—) = 1 и

(Г (г) ;х1 ;х-; л; у- )еЕ1

стационарное движение в системе существует.

Помимо этого были найдены рекуррентные соотношения для производящих функций за один такт работы системы

Ф,(Г (‘); я; у—; ^; *—) =

= £ £ О,(г<');хрхт;Л;у— ^ХхХ-,

Х1 =0 х- =0

і = 0, 1, ..., Г ^ Є Г, л Є Уь

Ут Є Уm, | ^1 | — 1, | ^т | — 1,

а также для производящих функций

следующего вида:

Ф2ті( Г ‘'); У1; Ут; V *. ) =

= ї ї й„і( Г<'); Хр Х„; У1; Ут )2,х'гтх-,

Х1 =0 Хт =0

і = 0, 1, ...,

Г ^Є Г, У1 Є У1, Ут Є Ут, | ^1 | — 1, | ^2 | — 1,

2т

где Т = ї Тг .

г=1

На основании полученных соотношений были доказаны теоремы 2-3.

Теорема 2. Если 11Т - 11 - 1\ > 0, то имеет место предельное равенство

ііш 0>. (Г(г}; Х1; Хт; У1; Ут ) = 0 для всех (Г(г); Х1; і®¥

Хт; У1; Ут) Є Е.

Теорема 3. Пусть одновременно выполняются следующие неравенства:

\Т — І1 —/' < 0,

ЛТ(І1 + І1)—1 — Я1Т2т+1 (іт + іт )((І1 + М )— +

+1тТ2т+1 (іт )—1 > 1 Л*Т2т+1 < іт • Тод

справедливо Ііш Qi (Г(г'>; х1; хт; у1; Ут ) = 0 для

і®¥

любого состояния (Г(г); х1; хт; у1; Ут) є Е.

Список литературы

1. Федоткин, М.А. Процессы обслуживания и управляющие системы / М.А. Федоткин // Математические вопросы кибернетики, 1996. Вып. 6. С. 51-70.

2. Федоткин, М.А. Нелокальный способ задания

управляемых случайных процессов / М.А. Федоткин // Математические вопросы кибернетики, 1998.

Вып. 7. С. 332-344.

NECESSARY CONDITIONS FOR THE EXISTENCE OF A STATIONARY DISTRIBUTION OF OUTPUT FLOWS IN A SYSTEM WITH PRIORITY DIRECTION

E. V. Proydakova

We analyze the output flows in a queuing system with priority direction. A nonlocal description is proposed. The properties of output flows arising in the considered nonclassical system are studied. The necessary conditions for the existence of a stationary operation mode of such a queuing system are given.

3. Пройдакова Е.В. Нелокальное описание выходных потоков в системе массового обслуживания с приоритетным направлением / Е.В. Пройдакова, М.А. Федоткин; Нижегородский гос. ун-т. Н. Новгород., 2006. 64 с. - Деп. в ВИНИТИ 21.03.2006., 293-В2006.