Циклическое управление конфликтными потоками Гнеденко-Коваленко Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математическое моделирование. Оптимальное управление Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2014, № 4 (1), с. 382-387

УДК 519.21

ЦИКЛИЧЕСКОЕ УПРАВЛЕНИЕ КОНФЛИКТНЫМИ ПОТОКАМИ ГНЕДЕНКО-КОВАЛЕНКО

© 2014 г. А.М. Федоткин,1 Н.М. Голышева,1 Н.И. Сутягина2

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского 2Нижегородский государственный инженерно-экономический институт

[email protected]

Поступила в ридакцию 22.05.2014

Исследуется задача управления с помощью светофора (обслуживающего устройства) потоками

П ь П2, ..., Пт машин, переезжающих перекрёсток в т направлениях. Потоки П-,- е {1, 2, ..., т}, считаются конфликтными. Основным результатом можно считать получение нелокального описания выходных потоков в таких системах в виде управляемой однородной марковской последовательности {(Г,-, ж-, ,-, Е'-, I- 1); г > 0}. Получено рекуррентное соотношение для однородной марковской последовательности {(Г,-, ж-,,-, Е'--,,- 1); г > 0}.

Ключивыи слова: конфликтный поток, однородная марковская последовательность, условное распределение, марковский процесс.

Рассмотрим задачу управления потоками П 1, П2, ..., Пт машин, переезжающих перекрёсток в т направлениях. Потоки П -, - е {1, 2, ..., т}, считаются конфликтными. На содержательном уровне это означает, что обслуживание потоков должно происходить в непересекающиеся промежутки времени. Более того, указанные промежутки с целью безопасности движения машин на перекрестке должны быть разделены промежутками, в которые запрещается обслуживание каких-либо машин (жёлтый свет светофора). Поэтому светофор должен иметь несколько состояний работы. Адекватной математической моделью реальных задач такого рода являются управляющие системы обслуживания с переменной структурой. Общая схема таких систем приведена на рис. 1.

Элементами таких систем обслуживания и управления конфликтными потоками будут

входные потоки П ь П2, ..., Пт, стратегии 8], 82, ...., 8т механизмов обслуживания очередей Оь О2, ..., от по потокам, структура Б(Г) обслуживающего устройства и алгоритм а смены

- тЧ1) тЧ2) т(2т)

его состояний Г , Г , ., Г , наконец, потоки насыщения П 1, П 2, ... , П т (см. рис. 1). В классической теории массового обслуживания был достаточно хорошо изучен входной поток вызывающих моментов для многих реальных систем. В результате этих исследований было выявлено, что довольно часто адекватным описанием реального входного потока вызывающих моментов служит пуассоновский процесс с некоторым параметром. Можно рассмотреть ситуацию при въезде машин в город, когда поток машин ещё не подвергся обработке системой светофоров на перекрестках. Итак, потоки машин П -, - е {1, 2, ..., т}, считаем независимыми неординарными пуассоновскими случайными процессами (независимыми стационарными процессами без последействия). Тогда поток вызывающих моментов, в которые машины поступают на перекрёсток по каждому --му направлению, представляет собой пуассонов-ский процесс с параметром А-. Более того, допустим, что в каждый из этих моментов появляются одна или две машины с вероятностями р- или qj = 1 - р- соответственно. Обозначим

эти процессы также через {"П-(0: ? ^ 0}, - е {1, 2, ..., т}. Здесь случайная величина ц}() при каждом - е {1, 2, ..., т} определяет число по-

Циклическое управление конфликтными потоками Гнеденко—Коваленко

383

ступивших машин на перекресток по потоку П р за промежуток времени [0, ?).Такой поток назовем потоком Гнеденко-Коваленко.

Накопители очередей ор, Р е {1, 2, • ••, т}, перед стоп-линиями перекрестка по каждому

потоку П р предполагаются неограниченными. Рассмотрим следующие правила выбора заявок из очереди для обслуживания или переезда машин через перекресток. Заявки на обслуживание отбираются группами, причем машина, пришедшая раньше, раньше и обслуживается. Число этих заявок при функционировании системы определяется следующим образом. Через перекрёсток может проехать машин не более, чем это возможно при максимальной загруженности системы, но и не более того, сколько машин было в очереди к моменту включения сигнала, разрешающего переезд, плюс число подъехавших машин во время работы этого сигнала. Это так называемые экстремальные стратегии механизма обслуживания [1]. Обозначим их через др, р е {1, 2, •.., т}. Эти правила отбора заявок на обслуживание хорошо согласуются с реальными процессами на перекрестке. В самом деле, если у стоп-линии перекрестка по некоторому направлению образовалась достаточно длинная очередь, то во время обслуживания система не будет простаивать, ожидая заявки, а будет выбирать их из существующей очереди. В этом случае через перекресток проедет максимально возможное число машин. Если же в очереди накопилось заявок меньше, нежели система в состоянии обслужить за соответствующий такт работы, то, во-первых, система обслужит такую пачку заявок, во-вторых, те заявки, которые поступят позже и заметят, что система простаивает в их ожидании, увеличат скорость переезда, уменьшив тем самым свое время обслуживания. Поэтому, хотя будут и простои системы, реально все-таки существует возможность успеть обслужить пришедшие заявки, как если бы они ждали вначале своего обслуживания в очереди.

Как уже отмечалось, обслуживание конфликтных потоков должно происходить в непересекающиеся промежутки времени, которые, считаем, разделены интервалами переналадок. Таким образом, минимальное число такого рода различных непересекающихся промежутков равно 2т. Это определяет минимальное число состояний, или фаз светофора, равное 2т. Будем полагать, что светофор имеет следующие состояния:

- зелёный свет для потока П р и, соответственно, красный свет для остальных направле-

ний (обозначим такое состояние светофора через Г(2; _ 1), а его длительность — черезТ2;- _ 1);

- жёлтый свет для всех потоков, наступаю-

тЧ2/ _ 1)

щий сразу после зеленого состояния Г (обозначим это состояние светофора через Г(2р), а его длительность — через Т2;), где ре {1, 2,

• .., т}.

Пусть светофор работает в фиксированном циклическом ритме переключения своих фаз, или состояний, в следующей последовательности:

Г(1) ^ г(2) ^ ^ Г(2т) ^ Г(!)

Граф смены состояний светофора показан на рис. 2.

Считаем, что через перекрёсток машины потока П р могут проезжать лишь на зелёный свет, или в состоянии Г(2р _ 1). Потоки насыщения системы, описывающие выходные потоки системы при ее максимальной загрузке, считаем независимыми и обозначаем их через П р, ре {1, 2, •.., т }.

При указанном выше выборе промежутков разрешения и запрещения обслуживания, когда дополнительно не определяются времена обслуживания отдельных заявок, функционирование системы является достаточно сложным процессом и не представляет собой марковский процесс. Если бы время обслуживания для каждой заявки подчинялось показательному закону и если бы любой поток обслуживался без прерывания, то процесс образования очереди на перекрестке по каждому потоку был бы марковским процессом. Поэтому исследовать такие характеристики, как длины очередей, время ожидания обслуживания, выходные потоки в непрерывном времени в данной задаче не представляется возможным. Можно проводить некоторые исследования этой системы массового обслуживания, если использовать метод вложенных цепей Маркова. Суть этого метода заключается в том, что процесс обслуживания с непрерывным временем рассматривается в специально подобранные случайные или детерминированные моменты времени. Флуктуация состояний системы массового обслуживания в такие выбранные моменты времени, как правило, описывается некоторым марковским процессом. Однако, зная процесс с непрерывным временем, всегда необходимо решать трудную задачу выбора указанных специальных моментов времени. Поэтому возникает проблема решения этой задачи еще на этапе построения мо-

Рис. 2

дели процессов обслуживания и управления потоками. Перейдем к рассмотрению и решению этой проблемы.

На оси времени выберем начальный момент т0 > 0, который совпадает с некоторым моментом переключения фаз светофора. В дальнейшем будем отслеживать значения интересующих нас величин в дискретные моменты времени, совпадающие с переключением светофора из одной фазы в другую. Случайную последовательность этих моментов времени обозначим через множество т = {тг; г = 0, 1, •..}. Элементы множества т, вообще говоря, случайны, так как значения Т1, Т2, • , Т2т являются различными и можно задать вероятность того или иного состояния светофора в начальный момент времени т0. При ре {1, 2, •.., т} и г е {0, 1, •..} на основном вероятностном пространстве (£1, 3, Р(0) введем следующие случайные величины и элементы:

a) "р _ число заявок потока Пр, поступивших в систему за промежуток времени [тг, тг + 1);

b) Ер _ максимально возможное число заявок потока П р, которые система виртуально может обслужить на промежутке времени [тг, тг + 1);

c) Гг _ состояние обслуживающего устройства на промежутке времени [тг, тг + 1);

d) Шрг _ число требований потока П, находящихся в системе в момент тг;

e) Ер _ число заявок потока П р, которые в действительности покидают систему на промежутке времени [тг, тг + 1);

£) Ер _ 1 _ число заявок потока П р, которые реально покидают систему на промежутке времени [0, т0).

Каждый из случайных элементов Гг, ге {0, 1, • }, принимает значения из набора Г = ={Г(1), Г(2), • .., Г(2т)} состояний светофора. Случайные величины Шрг, г е {0, 1, •..}, принимают значения из множества X = {0, 1, •..} возможного числа машин в очереди. Случайные величины Ер г _ 1, г е {0, 1, •..}, при каждом р е {1, 2, •, т} принимают значения из конечного множества Ур = {0, 1, •.., 1р}. Множество Ур определяет число машин, которые в действительности могут покинуть перекрёсток по р-му направлению. Случайные величины Ер, г _ 1, г е {0, 1, • ..}, при каждом р е {1, 2, • , т} могут принимать значения 0 или рр.

Входные потоки и потоки насыщения также будем теперь задавать нелокально [1, 2]. Так как входные потоки _ стационарные без последействия и независимые, то можно вместо случайных процессов Пр = {"■(?): I > 0}, р е {1, 2, • ..,

т}, с непрерывным временем рассматривать последовательности неотрицательных целочисленных случайных величин Пр = {Лрг; г = 0, 1, •..}, ре {1, 2, • .., т}. При этом условные распределения каждой из случайных величин Лрр, очевидно, удовлетворяют равенству

Р({ш: " г(ш) = п} I {ш: Гг (ш) = Г«}) = Ф(п; Т ), (1)

где г е {0, 1, ...}, р е {1, 2, • .., т}, п е {0, 1, ^ }, г(х) е Г и вероятность фр(п; Т ) из (1) определяется как

, С^кРр

Ф р(п; 0 = е

(п - к)!

t > 0. (2) В (2) символ [п/2] означает целую часть числа п/2 [3].

* * *

Потоки насыщения П 1, П 2, • •• , П т будем задавать соответственно случайными последовательностями {Ерр, г = 0, 1, •..}, р е {1, 2, •.., т}. Введём теперь в рассмотрение функции

Ж^) = = ГРр при * = 2р - 1;

[0 при * е {1, 2, ..., 2т} \ { - 1},

гдер е {1, 2, •.., т}, Г(ж) е Г, Рр — максимально возможное число машин р-го потока, которые могут проехать за время работы сигнала Г(2р _ 1). Определим зависимость случайной величины Ер г от случайного элемента Гг следующим образом:

Ер, г = рГг), р е{1, 2, •, т}, г е {0, 1, •..}.

Отсюда нетрудно заметить, что каждая случайная величина Ер,г имеет вырожденное условное распределение вида

Р({ш: Ер(ш) = Ъ} | {ш: Гг = Г«}) = р/Ъ; Г^), (3)

где

Р р(Ъ; Г^ =

М _ г(2рр-1)

1, если Ъ = Рj и Ги) = Г 1, если Ъ = 0 и Гм е Г\{Г(2р-1)}, (4) 0 в остальных случаях.

Светофор работает в фиксированном ритме, поэтому Гг + 1 зависит лишь от Гг. Введём функцию м(Г(х)), которая принимает значение Г(* + 1)1 при * е {1, 2, •.., 2т _ 1} и значение Г(1) при * = 2т, т. е.

„^ = {Г + 1 при * = 1 2, ..., 2т -1 ,

[Г1 при * = 2т .

Определим теперь зависимость Гг+1 от Гг следующим образом:

к =0

Цикличискои управлинии конфликтными потоками Гнидинко-Ковалинко

385

Г,- + 1 = м(Г,), ,е{0, 1, ...}.

Заявки обслуживаются в соответствии с так называемой экстремальной стратегией обслуживания 8-,-е{1, 2, ..., т}, по каждому из т направлений. Это значит [1-3], что справедливо соотношение:

Е', = тт{ж-; , + ц,, Е-, , }, -е {1, 2, ., т}, ,е{0, 1, ...}.

Итак, полагаем, что через перекрёсток может проехать машин не более, чем это максимально возможно, и не более числа, равного сумме числа ж-, машин, которые находятся в очереди по потоку П- в момент х,-, и числа ц-,,- машин, подъехавших за промежуток [х,, х,- + 1) по --му потоку. Число ж-,- + 1 машин в каждой --й очереди в момент х,- + 1 определяется тем, сколько машин:

1) было в очереди в предыдущий момент переключения х,;

2) пришло за промежуток [х,-, х,- + ]);

3) было реально обслужено системой за промежуток [х,-, х,- + Д

Поэтому каждая случайная величина ж-,+1, -е {1, 2, . , т}, определяется с помощью следующего рекуррентного по ,е {0, 1, .} равенства:

ж-,,- + 1 = ж-,,- + - - Е '-,,-.

Отсюда, учитывая выбранные экстремальные стратегии обслуживания и выполняя простые преобразования, получим, что

ж-,, + 1 = ж-,, + ц, - тт{ж-;, + ц,, Е-,, } =

=тах{0, ж-, , + ц-, , - Е-,, }, - е {1, 2, ...,т}, - е {0, 1, ...}. (5)

В самом деле, если ж-- + ц-, - Е-,,- — 0, то правая часть тах{0, ж-- + ц-- - Е-,,} соотношения (5) равна ж-- + ц-,,- - - При этом тт{ж-;,- + - Е-,-} = =- Тогда левая часть ж-, + ц-, - тт{ж-;,- + -Е-,,} соотношения (5) примет вид ж-, + ц-, - Е-,,-. Если ж-, + ц-,,- - Е-,,- < 0, то правая часть тах{0, ж-, + ц-- - Е-,,} соотношения (5) равна нулю. При этом случайная величина тт{ж;;,- + ц-,-, Е-,,} = = ж-, + ц-,,-. Значит, левая часть ж- + ц-,,- - т^ж-,- + + ц-,,-, Е-,,} соотношения (5) примет вид ж-,,- + ц-,,- -- ж-,- - ц-,,- и будет равна нулю.

Итак, для случайной последовательности {(Г,-, ж-,,-, Е '-,,- - 1); - = 0, 1, .}, которая определяет динамику состояний обслуживающего устройства, учитывая (3), (4), флуктуацию длины очереди по потоку П- и выходной поток {Е -ч; - = = 0, 1, ...}, получаем следующее по - е {0, 1, ...} рекуррентное соотношение:

(Г,- + 1, ж-,,- + 1, Е'-,,- ) = (м(Г,- ), тах{0, ж-,,- + ц-,, - Е-,,- }, тт{жЛ, + - Е-,,- }). (6)

Из (6) видно, что для - е {1, 2, ..., т} случайные величины ж-,- + 1 и Е '-,,- определяются как неслучайные функции от случайных переменных ж-,-,

ц-,-, Е-,,-. В свою очередь, случайные величины ц--, Е-,,-, - е {1, 2, ..., т}, задаются при помощи условных распределений, зависящих от состояния Г,- светофора. Случайные величины ц,-, Е-,,-, - е {1, 2, ..., т}, независимы, если состояние Г,-обслуживающего устройства известно. Таким образом, случайные векторы (ж-,+1, Е '-,,), - е {1, 2, . , т}, статистически независимы при условии, что известны фаза Г, светофора и вектор (ж!,-, ж2,-, ..., жт,- ). В силу независимости входных потоков, потоков насыщения и циклического переключения сигналов (состояний) светофора представляется возможность рассматривать процесс обслуживания {(Г,-, ж-,-, Е - 1); - = 0, 1, ...}, - е {1, 2, ..., т}, по каждому потоку П- отдельно. Считаем теперь, что в начальный момент времени х0 известны распределения случайных векторов (Г0, ж-)0, Е '¿-1), - е {1, 2, ..., т}, т.е. известны начальные распределения:

{Р(Г0 = Г®, ж-,0 = х, Е '-,- 1 = у): Г® е Г, х е X, у е ¥- }, - е {1, 2, ..., т}. (7)

Одна из практических задач состоит в том, чтобы найти такие ограничения на параметры Тк, V I- (к е {1, 2, ..., 2т}, - е {1, 2, ..., т}) системы, при которых число машин в очереди не имело бы тенденции к неограниченному росту с увеличением времени наблюдения [3-5] .

Прежде всего покажем, что последовательность {х,-; I = 0, 1, ...} из моментов наблюдения при построении математической модели управляемой системы обслуживания и выходного потока была выбрана удачно. Другими словами, построенная случайная последовательность {(Г,-, ж-,,-, Е'-,,- - 1); - = 0, 1, ...} трехмерных векторов является управляемой цепью Маркова со счетным числом состояний.

Теорема 1. При заданном распределении (7) начального вектора (Г0, ж-0, Е '-,1) векторная случайная последовательность {(Г,-, ж-,-, Е '-,,- 1); , = 0, 1, . } является управляемой однородной марковской цепью со счетным числом состояний.

Доказательство. Докажем, что последовательность векторов {(Г,-, ж-,,-, Е '-,,- - 1); - = 0, 1, ...} удовлетворяет свойству

Р(Г, +1 = Г(г), ж-,, +1 = х, Е '-,,- = у | Г = Г(^к ),

ж-к = хк, Е '-,к-1 = Ук, ке {0, 1, ... ,}) = = Р(Г, +1 = Г(г), ж-,, +1 = х, Е ' = у | Г, = Г^ ),

ж-,, = х,, Е'--,, -1 = у, ), (8)

которое и определит её как цепь Маркова.

Рассмотрим левую часть выражения (8) и преобразуем её, используя формулу полной вероятности. Обозначим событие {ю: Гк(ю) = Г(Л ),

ж-;к(ю) = хк, Е ' -,к -1(ю) = Ук, к = 0,1 } через Л,,-. Тогда последовательно получим:

Р(Г г + ! = Г(г), шji + 1 = х, Е'и = y | Г, = r(sk\ л h, = m, Е= b | Л,) =

^ = х., 1 = yfc ке{°, 1, ... ,}) = = j Е p(^j,, = m, еj, = ь | Г, = Г(^, ),

V V uz-r Г« S' m = 0 be{ 0Jj }

= V V Р(Г , + 1= Г ;,шji + 1= х, Е.,, = y,

m = 0 be{0,lj } ш j, = х,, Е j,, - 1 = Уi ) X

Л = m, Ел = b | A°,,) = X Р(Г, + 1 = Г(г), ш+ 1 = х, Е] = y | Г, = Г* ),

= V V Р(л. = m, Е= b | ,) X . ш-= * j 1 =* Л* = m, Е-= b) =

ГГ be{ J) Е | Л = V V p j(b; Г>, ))ф j(m; Г, )Р(Г, + 1 =

X Р(Г , + 1 = Г(Г), ш j, + 1 = X, Е ' j-,f = y | Л°,,, m = 0 be{ 0,lj } ,

л л = m, Е И = b). (9) =r(r), ш j, + 1 = х, Е' и = у | л,, л j, = m, Ел = b) =

Рассмотрим отдельно в правой части выраже- V v СО СО

ния (9) первый из сомножителей под знаком = V V p j(b; Г^ф j(m; 7;,)Р(М(Г(^,)) =

4 7 r m = 0 be{ 0,lj }

суммы и преобразуем его, используя независи- м

е =Г(), max{0, X, + m - b} = х, min{x,- + m, b} = y).

мость л.,, и Ец от любых случайных величин, ' 1 ' ' ' 1 ' '

кроме Г,-, условную независимость Лц и Ец Значит, результат преобразований правой части

при известном значении Г,, а также выражения равенства (8) запишем в виде:

(1), (2) и (3). Следовательно, с учетом всего ска- „м )

« Р(Г + 1 = Г , ш и + 1 = х, Е' ц = У | Г, = Г , ,

занного, найдем v ' ' ^ ■>• J 1 '

ns е LIT- тЧ"к ) ш j,, = Е' j,, - 1 = y ) = (12)

Р(л;,, = m, Е j, = b | Г, = Г к', ш jk = хк, ш

Е']Л- 1 = yk, ке {0, 1, ... ,}) = = V V p j(b; Г^ф j(m; 7;,)Р(М(Г(^,)) =

m = 0 be{ 0,lj } ,

= Р(л;,, = m, ЕJ,г = b | Г = Г", )) = РОЛ,,, = m | =Г(г), max{0, х, + m - b} = х, min{х, + m, b} = y).

Г, = Г1^ )) x Сравнивая правые части равенств (11) и (12),

X Р(Е, = b | Г, = Г(si )) = ф (m' T, ) p (b' Г(si )) (10) убеждаемся в том, что они совпадают. Отсюда

, следует, что марковское свойство (8) выполня-

Подставляя (10) в (9) и используя (5), получим: ется. Из (12) для марковской последовательно-

V V pj(b; Г(", )) фj(m; Г, ) х СтГ11 {(Г„ ^ -1); Т следуеТ' что

m = 0 ье{о,] } j j , матрица вероятностей перехода из одного со-

Т./Т- т-(г) i-i I л стояния цепи в другое состояние не изменяется

X Р(Г, + 1 = Гшj, , + 1 = х, Е ' j,, = У | Ло,,, м

= Е = ь) = во времени. Это определяет рассматриваемую

л j, , = m , Е j, , = b ) =

х цепь как однородную по времени. Теорема 1

= V V p J(b; Г(", ))ф J(m; T, )Р(м(Г(", )) = доказана.

m=0 ье{°,ij} , С использованием данной модели были дока-

Г(г), max{0, х, + m - b} = х, min^, + m, b} = y). заны важн^1е рекуррентн^хе соотношения в работе

Итак, окончательный результат преобразо-

Теорема 2. Пространство состояний управ-

ваний левой части равенства (8) можно записать 1 F F J F

в следующем виде: ляемой векторной марковской последовательности {(Г,, ш^, Е 'J,,-1);, = 0, 1, .} разбивается на

Р(Г, + 1 = Г(г), ш J, + 1 = х, Е] = У | Гк = Г(,к ),

2m

ш = хЕ' = У к = ^ ) = (11) замкнутое подмножество UEj(Г(")) суще-

ш j,k = хЬ Е j,k - 1 = Уk, к = 0,, ) = (11) s=1 J

■у -у (, ) (, ) ственн^1х периодических состояний с периодом

= V . V pj (b; Г S )фJ(m; T,, )Р(м(Г S ) = 2m и на незамкнутое подмножество {(Г(г), х, у):

<r) г \ r(2J) V d Y - 1 / XII f(r(2j)

=Г(Г), max{0, х, + m - b}= х, mmfe + m, b}= y). Г е Г \ Г(J), х е У = 1 lj } U {(Г(J), х, У):

= г(",) ш.,(т) = х х > 0, y = 0, 1, ..., - 1} несущественных со-

(s\ — ur(s)

Теперь при {ю: Г,(ш) = Г(,,), ш/;,(ю) = хи

Е' 1,г _ 1(ю) = Уг} = Аг подобн^хм же способом пре- стояний, где р ) = {(Г , Хр 0): х X при

образуем правую часть равенства (8): * е {1, 2, ..., 2т} \ {2р} и Ер(Г ) = {(Г , р ):

Р(Гг + : = Г(г), + : = х, Е'и = У I Гг = Г*г), - е х} и {(Г(2]), 0, У): У = ^ 1, Рр _ 1}.

ю ц = Хг, Е ' рг _ 1 = Уг ) = При каждом Г(5) е Г и у е Ур равенство

» ад

= , , Р(Г г + 1 = Г(г), шрг + 1 = х, Е' р,г = У, Фу/Г®, г, у) = , йц^, х, у)^х определяет

............х=0

Циклическое управление конфликтными потоками Гнеденко—Коваленко

387

производящую функцию по z (| 7 | < 1), которая соответствует семейству вероятностей 2у,г(Г(х), х, у), х е X .

Теорема 3. Для производящих функций вида

Ф;;г+1(Г(2Л, 7, /), Флг +1(Г(2/+1), 7, 0), Ф/, +1(Г(Г), 7, 0), где Г(г) е Г(/), выполняются следующие рекуррентные по г > 0 соотношения:

Ф/;г+1(Г(2/), 7, //) = 7 - 1/ Ф/;г(Г(2/-1), 7, 0)х

/ . - 1

х/2/-1,7) // Е 2/,г(Г(2/1), V, 0) X

V = 0 /. - V - 1

X7V Е 7к ф.(к; Г2/-1),

к = 0

Ф/,г + 1(Г(2/ + 1), 7, 0) = Ф/, г(Г(2/), 7, //у, 7) + // - 1

+ Е 2/, г(г(2/), 0, 7),

№ = 0

Ф/,г + 1(Г(Г), 7, 0) = Ф/,г(Г(г - 1), 7, 0Щ7Г - 1, 7).

Список литературы

1. Федоткин М.А. Процессы обслуживания и управляющие системы // Математические вопросы кибернетики. 1996. Вып. 6. С. 51-70.

2. Федоткин М.А. Нелокальный способ задания управляемых случайных процессов // Математические вопросы кибернетики. 1998. Вып. 7. С. 332-344.

3. Федоткин А.М., Федоткин А. А. Изучение свойств потока Гнеденко-Коваленко // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2008. № 6. С. 156-160.

4. Федоткин А.М., Федоткин М.А. Анализ и оптимизация выходных процессов при циклическом управлении конфликтными транспортными потоками Гнеденко-Коваленко // Автоматика и телемеханика. РАН. 2009. № 12. С. 92-108.

5. Федоткин А. М. Свойства управляемой векторной марковской цепи со счетным числом состояний, удовлетворяющей рекуррентным соотношениям // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2009. № 3. С. 152-161.

CYCLIC CONTROL OF GNEDENKO-KOVALENKO CONFLICT FLOWS A.M. Fedotkin, N.M. Golysheva, N.I. Sutyagina

Traffic light (a servicer) control problem of n j, n 2, ..., n m car flows traversing a crossroads in m directions is

studied. The flows n -, j e {1, 2, ..., m} are considered to be conflicting. The main result is a non-local description of output flows in such systems in the form of a controlled homogeneous Markov chain {(r,-, œ-, ,-, E, j, ,- 1); i > 0}. A recurrence relation for a homogeneous Markov chain {(r,-, œ,-, ,-, E, j,,_ 1); i > 0} is obtained.

Keywords: conflict flow, homogeneous Markov chain, conditional distribution, Markov process.

References

1. Fedotkin M.A. Processy obsluzhivaniya i uprav-lyayushchie sistemy // Matematicheskie voprosy kiber-netiki. 1996. Vyp. 6. S. 51-70.

2. Fedotkin M.A. Nelokal'nyj sposob zadaniya up-ravlyaemyh sluchajnyh processov // Matematicheskie voprosy kibernetiki. 1998. Vyp. 7. S. 332-344.

3. Fedotkin A.M., Fedotkin A.A. Izuchenie svojstv potoka Gnedenko-Kovalenko // Vestnik Nizhegorodskogo universiteta im. N.I. Lobachevskogo. 2008. № 6. S. 156-160.

4. Fedotkin A.M., Fedotkin M.A. Analiz i op-timizaciya vyhodnyh processov pri ciklicheskom uprav-lenii konfliktnymi transportnymi potokami Gnedenko-Kovalenko // Avtomatika i telemekhanika. RAN. 2009. № 12. S. 92-108.

5. Fedotkin A.M. Svojstva upravlyaemoj vektornoj markovskoj cepi so schetnym chislom sostoyanij, udovletvoryayushchej rekurrentnym sootnosheniyam // Vestnik Nizhegorodskogo universiteta im. N.I. Lobachevskogo. 2009. № 3. S. 152-161.