CC BY
29
Математическое моделирование. Оптимальное управление Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2012, № 5 (2), с. 190-196
УДК 519.21
ИССЛЕДОВАНИЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ СВОЙСТВ ВЫХОДНЫХ ПОТОКОВ В СИСТЕМЕ УПРАВЛЕНИЯ C ПРИОРИТЕТНЫМ НАПРАВЛЕНИЕМ
© 2012 г. Е.В. Пройдакова
Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского pev_1@mail.ru
Поступила в редакцию 10.09.2012
Проведено исследование выходных потоков, возникающих в системе массового обслуживания с приоритетным направлением. Предложено нелокальное описание выходных потоков для рассматриваемой неклассической системы в виде случайной векторной последовательности. Доказано, что данная последовательность является марковской, и определены ее несущественные состояния.
Ключевые слова: система массового обслуживания с преимуществом, выходной поток, марковская векторная последовательность.
Введение
Часто в реальных задачах научного, производственного и экономического характера действует система массового обслуживания с преимуществом, когда на некоторую обработку поступает несколько потоков требований, обладающих определенным рангом. Требования с высокими рангами пользуются преимуществом и поступают на обработку впереди всех ранее поступивших требований с более низкими рангами. На практике необходимо знание распределений выходных потоков, возникающих в неклассической системе массового обслуживания такого рода. Это связано с тем, что обработанные одним устройством заявки могут образовывать входной поток требований для другого обслуживающего устройства. В данной статье в описание выходного потока требований включены очереди и состояния обслуживающего устройства, что позволяет получить новые результаты в области изучения свойств выходных потоков, возникающих в системе массового обслуживания с преимуществом.
Описание работы управляемой системы обслуживания и постановка задачи
Все рассматриваемые случайные объекты будем задавать на некотором вероятностном пространстве (Q, 3, Р( )), где Q - множество описаний всех элементарных исходов системы, 3 - а-алгебра событий A cz Q. а Р(А) - вероятность исхода Л є 3. В работе изучается система массового обслуживания, которая является математической моделью управления с помощью
автомата-светофора независимыми и конфликтными транспортными потоками Пь П2, ..., Пт на пересечении т магистралей. Конфликтность потоков означает, что их нельзя суммировать, что не позволяет свести задачу к случаю одного потока. Поступающие в систему потоки делятся на три типа: П - маломощный поток, заявки которого пользуются приоритетом при обслуживании; Пт - интенсивный поток без преимуществ по обслуживанию; П2,..., Пт_! - потоки средней интенсивности без преимуществ по обслуживанию. Приоритет первого потока состоит в том, что если поступила хотя бы одна заявка по этому направлению, то она должна быть обслужена как можно быстрее, но при этом не должно прерываться обслуживание других требований. Обслуживание требований (машин, заявок) из конфликтных потоков должно происходить в непересекающиеся промежутки времени. Под обслуживанием машин понимается их переезд через перекресток. Кроме того, допускаются промежутки переналадок, за счет которых разрешается проблема конфликтности потоков, например, проблема безопасности движения транспорта. У каждого из т потоков есть основной этап обслуживания и этап переналадки, для интенсивного потока Пт введен дополнительный промежуток времени, в котором продолжается его обслуживание. Таким образом, обслуживающее устройство имеет 2т + 1 состояний Г (1), Г (2), ..., Г (2т), Г (2т +1), где Г(2 _ :) - состояние обслуживающего устройства, при котором пропускается поток П; с интенсивностью > 0 и не пропускаются остальные; Т('2]>
- состояние обслуживающего устройства, при котором пропускается поток П;- с интенсивно-
стью Цу > ц и не пропускаются остальные потоки; Г(2т+1) - состояние обслуживающего устройства, при котором пропускается только поток Пт с интенсивностью Ц"т > Цт. Здесь Цу (Ц) определяет среднее число заявок, обслуживающихся в единицу времени в состоянии Г(2;~1)
/т-,(2;)\ и
(Г ) соответственно, а ц т определяет среднее количество требований, обрабатываемых в единицу времени в состоянии Г
(2т+1)
Длительности состояний Г , Г
(1) г (2)
Г
(2т)
Г
(2т +1)
известны и равны Т1, Т2, ..., Т2т+1 единиц
времени соответственно. Граф смены состояний обслуживающего устройства представлен на рис. 1.
(2)-^—► (Гу> • • •
Рис. 1
Адекватной математической моделью для реальных задач обслуживания машин и управления потоками являются системы с переменной структурой. Элементами описания таких систем [1] являются входные потоки, потоки насыщения, дисциплины очередей и стратегии механизма обслуживания, структура обслуживающего устройства и алгоритм смены его состояний Г (1), Г (2), ..., Г (2т), Г (2т +4 Входные потоки Пі, П2,..., Пт считаем пуассоновскими с параметрами Хь Х2, ..., Хт соответственно. Интенсивность Xу, у = 1, т, определяет среднее
число машин, поступивших к стоп-линии перекрестка за единицу времени. Для нашей системы Х1 << Хт. Заявки, пришедшие в систему, могут или сразу поступать на обслуживание, или образовывать неограниченные очереди. В качестве стратегий механизма обслуживания выбраны экстремальные [1]. Потоки насыщения П'ь П'2, П'т определяют выходные потоки
системы при ее максимальной загрузке; будем считать их независимыми.
Математическая модель выходных потоков
Если дополнительно не определяются времена обслуживания отдельных заявок, функционирование системы в непрерывном времени в общем случае не является марковским процессом. Условимся, что величины Ті, і > 0, являются моментами переключения состояний обслуживающего устройства (автомата-светофора) из одной фазы в другую. Положим, что т0 - момент начала функционирования системы.
Пусть он совпадает с некоторым моментом переключения фазы светофора. В дальнейшем изучать характеристики системы будем в дискретные моменты времени Ті, і = 0, 1, ..., переключений фаз светофора или на промежутках времени [хг-; Ті+1). Элементы ті случайны, поскольку значения Т1, Т2, ..., Т2т+1 различны и можно задавать произвольные вероятности для состояний светофора в начальный момент времени т0, а последовательность переключений состояний обслуживающего устройства зависит от случайного поступления заявок по приоритетному потоку П1.
Введем на (О, 3, Р(-)) при у = 1,т и і = = 0, 1,. следующие случайные величины и элементы:
а) Пм - число заявок потока Пу, пришедших за [хг-; ті+1), каждая дискретная случайная величина Пу і принимает значения из множества X = = {0, 1, '...};
б) у - максимально возможное число заявок, которое может быть обслужено за время [хг-; ті+1) из очереди потока Пу; любая дискретная случайная величина у є {0, ¡'у, 1у} с Х при у = 1, т -1, а дискретная случайная величина
^т,і є {0, 1 m, 1 m, ¡т} с Х. Здесь ¡у При у 1,т
определяет максимально возможное число требований потока Пу, которое может обслужиться за время работы сигнала Г(2;-1), ¡у = [цуТ2у-1], I'у -максимально возможное число заявок потока Пу, которое может обслужиться за время работы сигнала светофора Г(2у), ¡'у = [Ц уТ2у], а I"т -максимально возможное число требований потока Пт, которое может обслужиться за время работы сигнала Г (2т+), I "т = [ц"тТ2т+1]; при этом ¡у > ¡ у, а ¡т > ¡ "т;
в) Гі - состояние обслуживающего устройства на промежутке времени [ті, ті+1), причем случайный элемент Гг- є Г ={Г(1), Г(2), ..., Г(2т+1)};
г) Шуу - длина очереди по потоку Пу в момент времени Ті, величина Шуу является дискретной случайной величиной со значениями из X;
д) - число реально обслуженных заявок потока Пу за время [хг-; ті+1), случайная величина ^уі принимает значения из множества Уу = = {0, 1,..., ¡у} с Х;
е) у -1 - число реально обслуженных заявок потока Пу за промежуток времени [0; т0), причем
у є У; _
Семейства {\}1;у = 1,т, і = 0, 1,.} и {у
у = 1,т, г = 0, 1,...} определяют нелокальное описание выходных потоков и потоков насыщения. Входные потоки являются пуассонов-скими, поэтому:
Р(П,г = и] |Гг = Г (г)) =
= (у )и ехр{-хт} = Фу и, тг),
щ е X, у = 1,т, г = 1,2т +1. (1)
Введём в рассмотрение функции / : Г ^ {0, /,
Гу, 1"т}, у = 1, т, где
I, (Г(г) =
1у при г = 2у -1, у = 1, т; Гу при г = 2у, у = 1, т;
/" при г = 2т +1, у = т;
0 при г е {1,2,...,2т +1}\{2у -1,2у },у = 1,т -1;
0 при ге{1,2,...,2т + 1}\{2т - 1,2т,2т +1},
у = т.
Случайные величины у определяются с помощью функций /у (Г (г)) следующим образом:
у = / (Г г), г = 0, 1,., у = 1^.
Для у можно записать вырожденное условное распределение вида
Р(у = VI Гг = Г (г)) = р/у, Г (г)), (2)
где
в у (Г(г) =
1 при V = 1у, г = 2у -1, у = 1, т;
1 при V = Гу, г = 2у, у = 1,т;
1 при V = /т, г = 2т +1, у = т;
1 при V = 0, ге{1,2,...,2т +1}\{2у -1,2у},
у = 1, т -1;
1 при V = 0, ге{1,2,...,2т + 1}\{2т-1,2т,2т +1},
у = 1, т;
0 в остальных случаях.
Обслуживающее устройство имеет циклический алгоритм работы, но при этом его следующее состояние Гг+1 зависит от предыдущего состояния Гг и числа заявок, поступивших в очередь приоритетного потока Пь Введем в рассмотрение функцию и(Г (г), wI, щ):
и (Г( г), w1, и1) =
Г(1) при г = 2т;
Г(г+:) при г = 1,2т - 2;
= Г(2т) при г е{2т - 1,2т +1}, w1 = 0, и1 > 0;
Г(2т) при г е {2т -1,2т +1}, w1 > 0;
Г(2т+1-1 при ге{2т - 1,2т +1}, w1 = и1 = 0.
Зависимость Г+ от Гг определяется рекуррентным соотношением
Гг+1 = и(Гг, Ш1,г, П1, г), г = 0, 1, . (3)
Заявки из очереди у-го потока отбираются по экстремальной стратегии механизма обслуживания. Это означает, что справедливо выражение
\у,г = т1п{Ш;,г + у ^,г } = Л
г = 0, 1, ..., у = 1, т. (4)
Для очереди справедливо следующее соотношение:
жу, г+1 = тах{0, жу,г + -у - Л = (у у ^д,
г = 0, 1, ..., у = 1, т. (5)
В силу независимости входных потоков и потоков насыщения в дальнейшем изучим вероятностные свойства только пятимерной последовательности {(Гг; Ж1,г; &„/; ^1,г-а; \т,г-\У; г — 0}. Данная последовательность определяет поведение системы как по приоритетному потоку П1, так и по наиболее интенсивному потоку Пт. Такие же результаты для последовательностей
{(Гг; ж1,г; ж2,г';---; жт,г; ^1,г—1; ^2,г-1; ■■■ ; ^>т,г'-1); г —
— 0}, {(Гг; Ж1,г; у ^; у-О; г — 0}, у = = 2,т -1, {(Гг; »1,,; ^1,г-а); г — 0} могут быть получены аналогичным способом. Считаем, что в момент т0 задано распределение для векторов
(Г0; »1,0; »т,0; ^1,-1; \т, -1 = Ут), то есть известны вероятности Р(Г0 = Г(х); »1,0 = х\; жт,0 = = хт; ^1, -1 = У1; |т,-1 = Ут), где Г® е Г, хх е Х,
хт е Х, У1 е У1, Ут е Ут.
Вероятностные свойства случайной векторной последовательности
ж1,г', жт,Ь ^1, ¡-Х-; ^т, г-1); г — 0}
Для последовательности {(Гг, ж^-, жт,г, ^1,г-1, ^т, ¿1); г — 0}, включающей в себя описание состояния обслуживающего устройства, величины очереди по потокам П1, Пт и выходных потоков по данным направлениям при г = 0, 1, ., имеет место следующее векторное рекуррентное соотношение:
(Гг+1, »1 ,г'+Ь жт,г+1
, ^1,г, ^т, г) =
= (и(Гг, Ж1,г, П1,г), Ы^М, П1, г, ^1,г), Ут(жт,г,пт,г,^т,г),С1(ж1,г',п1,г',^1,г'),Ст(жт,г',пт,г',^т, г)).
Введем в рассмотрение следующие множества состояний:
Ак = {®: Гк = Г ^, ж1,к = x1,k, жт,к = хт, к->
\\,к-1 = У1,к, !т, к-1 = Ут,к}, Г(гк) е Г, Х1,к е Х, Хт,к е Х, У1,к еУ1, Ут,к еУт';
Вг + 1 {Ю: Гг + 1 Г , ж1,г+1 x1, жт,г+1 xm,
^1,г = У1, \ту = Ут}, Г(г) е Г, Х1 е Х,
Хт е Х, У1 е У1, Ут е Ут.
Докажем, что в силу выбора моментов вре-
мени {тг; г = 0, 1,.} векторная последовательность {(Гг, Ж1,г, Жт,г, \\,г-\, \т,г-\У; г — 0} будет марковской.
Лемма 1. При заданном распределении начального вектора (Г0, ж^, жт,0, Е,^, ^т,-1) управляемая случайная векторная последовательность {(Гг, Ж1,г, Жт,г, \lj-1, ^т-У г — 0} является марковской.
Доказательство. Марковское свойство состоит в следующем ограничении:
Р(Вг+1 | Ак, к = 0^) = Р(Вг+1 | Аг). (6)
Докажем, что для последовательности {(Гг, Ж1,г, Жт,г, \lj-1, ^т-У г — 0} ЭТО свойство справедливо. Рассмотрим отдельно левую часть выражения (6). Преобразуем ее, используя формулу полной вероятности, а также учитывая,
что для у = 1, т случайные величины у и у условно независимы при фиксированном значении случайных величин Гк, жук и £>у,к-1, где
к = 0,г). Последовательно получаем:
Р(Вг+11 Ак, к = 0, г) =
ад ад
= X X Р(Вг+1, ^',1 = Уг, 1т,г' = Ут, Пц = и1,
v1,vm =0 и1,ит =0
Пт,г = ит, ^1,г = V1, ^т,г = Vm\Ак, к = 0 О =
ад ад ад ад
= Х X X X Р(П1,г = u1, Пт,г = ит, ^1,г = ^
Vl =0 Vm =0 Щ =0 Щт =0
^т,г = Vm\Ак, к = 0, г)Р(Вг+1|Ак, к = 0, І, П1,г = U1,
Пт,г = ит, ^1,г = V1,\ш,г = Vm ) =
ад ад ад ад
= X X X X Р(П1,г = и1|Ак, к = 0, 0 *
Vl =0 Ут =0 Щ1 =0 Щт =0
* Р(Пт,г = ит \Ак, к = 0, 0Р(^1,г = , к = 0,0 *
* Р(^т,г = ^ \Ак, к = 0 г )Р(Вг+1 \Ак, к = 0, ^
П1,г = иЪ Пт,г = Щт, ^1,г = V1, ^т,г = Vm ).
Воспользуемся тем, что случайные величины у-, жу,к, \],k-l, к = 0, г, и Гк, к = 0, г -1, условно независимы при фиксированном Гг, и тем, что у жу, к, ^у,к-1, к = 0, г, и Гк, к = 0,г -1, также условно независимы при фиксированном Гг. Затем используем соотношения (3)-(5):
ад ад ад ад
XXX X Р(П1,г = и1\Ак, к = ° о *
Vl =0 Vm =0 ^=0 ит =0 * Р(Ит,г = Щт \Ак,к = 0,0Р(^1,г = V \Ак,к = 0,0 *
* Р(^т,г = ^ \Ак, к = 0, г)Р(Вг+1\Ак, к = 0,^ И1,г = U1,
Пт,г = ит, ^1,г = V1, ^т,г = Vm ) =
ад ад
= X X ' X X Р(П1,г = и1\Г =Г(г')) *
v1 ={0,/у Л} ут е{0,/т ,/уу } и1 =0 ит =0
* Р(Ит,г = Щт \ Г = Г(^ ^(^г = Vl \ Г = ) *
* Р(^т,г = Vm\Г■ = Г(г )Р(и(Г( г), Х,, , Щ) = Г( г),
Т1(Х1,г, U1, V1) = ^ У т (Хт,г, Щт, Vm ) = Хт,
^1 (Х1,г, U1, V1) = УЪ Ст (Хт,г, Щт, Vm ) = Ут X
Воспользовавшись соотношениями (1) и (2), получим следующее:
адад
= X X XX Р(П1,г = Щ1 \ Г =Г(гг)) *
v1 ={0,/1,/1} vm е{0,/т Л'т } и1 =0 ит =0
* Р(Пт,г = Щт\Гг = Г('г ))Р(^м = V \ Ц =Г( ^) *
* Р(^т,г = = Г(г )Р(и (Г( П ), Хи , Щ) = Г(г),
Т1(Х1,г, U1, ^ = Х1, 1т (Хт,г, Щт, ^ ) = Хт,
?1(Х1,г, U1, V1) = Уи Ст (Хт,г, Щт, ^ ) = Ут ) =
адад
= X XX Xфl(ul, Т* )Ф т (ит, Т ) *
v1 ={0,/1 ,/1} ут е{0,/т,/уу } и1 =0 ит =0
*вl(Vl, Г(гг ))вт ^т, Г( г' ))Р(и (Г(г'), Х1,г, и1) = Г(г),
Т1(Х1,г, U1, ^ = Х1, 1т (Хт,г, Щт, ^ ) = Хт,
?1 (Х1,г, U1, V1) = УЪ Ст (Хт,г, Щт, ^ ) = Ут ).
Теперь повторим эти же выкладки с незначительными изменениями для правой части выражения (6). При ее преобразовании также используем формулу полной вероятности и учитываем, что у и у условно независимы при фиксированных значениях Гг, жу,г и :
ад ад
Р(Вг+1 \ Аг = X X Р(Вг+1, П1,г = ^ Пт,г = Щт,
^^т =0 и1,ит =0
^1,г = ^ ^т,г = Vm \Аг ) =
ад ад ад ад
= X X X X Р(П1,г = U1, Пт,г = Щт , ^1,г = V1,
Vl =0 Vm =0 и1 =0 Щт =0
^т,г = Vm \Аг )Р(Вг+1 \Аг, П1,г = U1, Пт,г = Щт ,
ад ад ад ад
^1,г = ^ ^т,г = Vm ) =X X XX Р(П1,г = Щ1 \Аг ) *
Vl =0 Vm =0 и1 =0 Щт
* Р(Пт,г = ит \Аг )Р(^1,г = Vl\Aг ) *
* Р(^т,г = Vm \Аг )Р(Вг+1 \Аг, П1,г = U1, Пт,г = Щт,
^1,г = ^ ^т,г = Vm ).
Последовательно воспользуемся тем, что случайные величины у, жу,г, ^]■,г-1 условно независимы при фиксированном значении Гг и что ^г, ж]■,г■, ^]■,г■-1 также условно независимы при фиксированном значении Гг. Затем применим соотношения (3)-(5):
ад ад ад ад
XXX X Р(П1,г = Щ1 \ Аг )Р(Пт,г = Щт\Аг ) *
v1 =0 vm =0 щ =0 ит =0
* Р(^и. = V \ А Ж^т,г = V« \ А)Р(Вг+1 \ А, П1,г = и,,
Пт,г = ит, ^1,г = V1, %т,г = Vm) =
ад ад ад ад
= X X X X Р(П1,г = Щ \ Г = Г(г ))Р(Пт,г =
У1 =0 '^т =0 Щ =0 Щт =0
= ит\Гг = Г(гг ))Р(^1, = Vl\Гг = Г(гг))Р(^,г =
= Vm\Гг =Г( г ))Р(и ( Г(гг), Хи, Щ) = Г( г),
У,(Х1,г, U1, V1) = ^ 1т (Хт,г, Щт, Vт) = Хт,
С,(Х1,г, U1, V1) = Уl, Ст (Хт,г, Щт, ^ ) = Ут ). Учитывая соотношения (1) и (2), получим:
ад ад ад ад
XXX X Р(П1,г = и \ г =Г(- )) *
У1 =0 '^т =0 Щ =0 Щт =0
* Р(Пт,г = ит\Гг = Г(Ч ^Р^, = Vl\Гi = Г(Ч )) *
* Р(^,г = Vm\Гг = Г( г ))Р(и (Г(г ), Х,,, Щ) = Г(г),
У,(Х1,г, U1, V1) = Х1, У т (Хт,г, Щт, Vт ) = Хт,
С,(Х1,г, U1, V1) = Уl, Ст (Хт,г, Щт, Vm ) = Ут ) =
адад
= X XX XФl(U1, Т )Фт (ит, Т )*
v1 = {0,/1 ,/1 } ут е{0,/т ,/'гп } и1 =0 ит =0
*вl(Vl, Г(гг ))вт(Vm, Г(гг ))Р(и(Г(гг ), Х1,г, Щ) = Г(г),
У1 (Х1,г, U1, V1) = Х1, 1т (Хт,г, Щт, Vт ) = Хт,
С,( Х1,г, иЪ ^ = Уl, Ст (Хт,г, Щт, Vm ) = Ут У Таким образом, в итоге преобразования правой и левой частей выражения (6) были получены одинаковые результаты. Значит, справедливо:
Р(Вг+1 \ Ак, к = 0,7) = Р(Вг +1 \Аг) =
ад ад
= X X X Xфl(ul, Тг )Ф т (ит, Тг ) *
и1 =0 ит =0 v1 ={0,/1 ,/1} vm е{0,/т,/уу }
*вl(Vl, Г(г'))вт V, Г(^))Р(и(Г(гг), Х1,г, и1) = Г(г),(7)
У1 (Х1,г, U1, V1) = Х1, 1 т (Хт,г, Щт, ^ ) = Хт,
С,(Х1,г, ^ V1) = Уl, Ст (Хт,г, Щт, ^ ) = Ут X Из (7) следует, что для случайной последовательности {(Гг, »1,г, Жт,г, \i.i-i, \т,г-\); г — 0} свойство (6) выполняется.
Выражение (7) фактически представляет собой вид переходных вероятностей для марковской цепи. Правая часть этого выражения не зависит от г, а зависит от значений некоторых случайных величин в этот момент времени. Следовательно, эти условные вероятности одинаковы для любых пар моментов времени тг, тг+1, то есть рассматриваемая цепь Маркова является однородной по времени. Используя способ доказательства леммы 1, нетрудно показать истинность следующего утверждения.
Утверждение 1. При заданном распределении начальных векторов (Г0, ж10, ^1,-1) и (Г0,
»2^ • • •^т^ ^1,-Ь ^2,-Ь •••, ^т,-1) Управляемые векторные последовательности {(Гг, ж1г,
^1,г-1); г — 0} и {(Гг, Ж1,г, »2,г, • ••, Жт,г, 1и-1, \2J-1, ..., £т,г-1); г — 0} будут являться однородными марковскими цепями.
Введем следующие обозначения для вероятностей:
_ Р({Гг+1_ Г , Ж1,г+1 xl, Жт,г+1 xm,
^1, г y1, ^т, г Ут}) Qi + 1 (Г ; Х1; Хт; У1; ут).
Пусть по определению справедливы равенства:
Г (0) = Г (2т), Т0 = Т2т, Г' = Г \ {Г (1), Г (2), Г (3) ,
Г (2т) г (2т + 1)}
Г" = г \ {Г (1) Г (2) Г (3) Г (4) Г (2т) Г (2т+1)} Лемма 2. Следующие состояния управляемой случайной векторной марковской последовательности {(Гг, Ж1,г, Жт,г, ^1,г-1, £т,г-1); г — 0} являются несущественными:
(Г(1:1,0, Хт, Уl, Ут X Х1 = 0, Хт е X, У, = УЪ Ут е Ут;
x1, Хт, Уl, Ут ), Х1, Хт еX, У = ^ Ут = Гт + 1 /т
(Г(1), xl, Хт, У^ Ут ), Х1 е ^ Хт е Х \{0},
У1 = ^ Ут =0, /т +1;
x1, Хт, Уl, Ут ), Х1, Хт еX\{0}, Ух = l, /1, Ут еУт; (Г(2), ^ Хт, Уl, Ут), Х1 еX\{0}, Хт еX,
У1 = 0, /1 - 1, Ут еУт;
(Г(2), xl, Хт, Уl, Ут X Хт е X, У, = ^ Ут е 1, /т
(Г(2), xl, Хт,0, Ут ), x1, Хт е X, У2 = Ут;
(Г(3), xl, Хт, Уl, Ут ), xl, Хт е X, У, = /1 + 1 /1, Ут еУт (Г(3), Х1, Хт, У^ Ут ), Х1 е X \{0}, Хт е X,
У1 = ^ /!- 1, Ут е Ут;
(Г(3), xl, Хт, Уl, Ут ), Хт е X, У, = У1, Ут е 1, /т;
(Г(2m),0, Хт, Уl, Ут), Хт е X, У, = У1, Ут е Ут;
(Г(2m), xl, Хт, Уl, Ут ), Х1 е X, Хт е X \ {0},
Уь=yl, Уте0, /тт-
(Г(2m), Хт, Уl, Ут ), Х1 е X, Хт е X \ {0},
у1 = У1, ут е/т + 1,/Пт -
(Г(2m), Хт, Уl, Ут ), x1, Хт е X, У, = 1 /1, Ут е Ут;
(Г(2т+!), Х,, Хт, У,, Ут ), Х, е X \{0}, Хт е X,
У1 = У1, Ут еУт;
(Г(2т+!),0, Хт, У1, Ут), Хт е X\{0},
Уь = yl, Ут е0, С-
(Г(2т+!),0, Хт, У1, Ут ), Хт е X\{0},
у1 = У1, ут е/т + 1, /т - 1
(Г(2m+1), Хи Хт, Уl, Ут X Х1, Хт е X, У, = 1 /1, Ут еУт (Г(xl, Хт, Уl, Ут X Г(^ е Г', xl, Хт е X,
У1 = 1 /1, Ут еУт;
(Г(*), xl, Хт, Уl, Ут X Г(^ е Г', xl, Хт е X,
У1 = Ут, Ут е1, /т (Г(^ xl, Хт, У^ Ут X Г(*: е Г', xl, Хт е X,
У1 =1, /1, Ут е1, /т. Доказательство. Для перечисленных состояний, учитывая связь многомерных распределений, а также используя теорему умножения вероятностей, соотношение (7) и свойства отображения и(-): Г ^ Г, последовательно находим, что для (Г(1), Х1, Хт, У1, Ут), Х, = 0, Хт е Х, У, е У,, Ут е Ут; (Г(1), Х,, Хт, у,, Ут), Х,, Хт е Х,
У1 е У,, Ут = /т+ 1, /т '; (Г(1), Х,, Хт, У1, Ут), Х, е Х, Хт е Х \ {0}, Ут = 0, Гт- 1; (Г(1), Х1, Хт, У1, Ут,), Х,, Хт е Х, У1 = 1, /1, Ут е Ут справедливо следующее соотношение:
Ог+1(г(1); Х1; Хт; у,; у« =
2т+1 ад ад /, /т
= X X X X X°г(Г(г);ч;^;&;я«:*
г = ^ =0 М>т =0 Я, =0Ят =0 ад ад
*X X X X Ф1 (и1, ТТг )фш (ит ,Тг : *
и1 =0 иш=0 V е!0,/! ,/ь! vш е!0,/т,/уу ,/ш !
*Pl(Vl, г (г):в ш (vш, г (г: )Р(и (г (г), wl, и,: = Yl(wl,U1, V1) = Х1, Ут^ ^ Vш) =Хш,
Cl(wl,ul,vl)= Уl,Zm(Wш,Uш, ^ ) = Уш ) =
ад /1 /ш
= XX (Г-2т);0;Wm;Я,;я«)*
^=0 Й=0 Яш =0
ад ад
*XX X X Ф1(и1,Т2т:Фт(иш,Т2ш) *
и1 =! иш=0V е!0,/1 ,/1! Vш е{0,/ш ,/ш ш
*Рь(Ч, Г(2т))вш(Vш, Г(2ш))Р(У1(0,и1,V,: = Х1,
Уш ^ш, иш, ^ : = Хш, ?1(0, U1, г!) = Уl,
ад ад /ш
Сш(wш,иш,vш:=Уш:+X X X X 0(г(2ш);w^;^;
w1 =! ^ш =0 Й =0 Яш =0
я,;Яш)XX X X Ф1(и1,Т2ш)*
и1=о иш=о Vlе{o,/l,/l! Гт е{о,/т ,/т ,/ш}
*Фт(Щт,Т2т)Pl(Vl, Г(2ш)) *
*вт (vm , Г(2т) ЖУ, (W1, U1, V ) = Х1, Ут ( Wm , Щт , Vm : =
= Хт , С,( ^ U1, ^ = Уl, Ст (wm , Щт , ^ : = Ут : =
ад /1 /т
= X X XОг(Г(2т);0;Wm;Я,;я«)*
wm = 0 Я1 = 0 Ят = 0
ад ад
х Z Z^1(M1’72m)фт(“m,72m)P(max{0,Mi} = xi,
“1 =1 Mm =0
max{0, Wm + “m - I'm } = Xm , min{“i,0} = min{wm + “m , C } = ym ) +
ад ад ¡i Im
+Z Z Z Z Qi(r(2m);wi;wm;gi;gm)*
W1 =1 wm =0 gi =0 gm =0
ад ад
*ZZ Ф1 (M1 , T2m )фm (“m , T2m ) *
“i=0 Mm =0
xP(max{°, W1 + “i} = X1,max{0, wm + “m - I'm } = Xm , min{w1 + “i;0} = yi,min{wm + “m, I'm } = ym ) = 0
В случае x1 = 0, xm e Х, y1 e Yb ym e Ym равенство нулю получается вследствие того, что при x1 = 0 в первом слагаемом нарушается условие max {0, “1} = x1, так как “1 > 0, а во втором слагаемом нарушается условие max {0, w1 + “1} = = x1, так как здесь w1 > 0. Для случая x1, xm e Х,
У1 e Y1, ym = I'm +1, lm равенство Qi+1(r(1); x1; xm; y1; ym) = 0 следует из того, что в обоих слагаемых не выполняется условие max {wm + “1, l ,m} =
ym.
При x1, xm e Х, y1 = 1, l1 , ym e Ym равенство нулю получается вследствие нарушения в первом слагаемом условия max {“1, 0} = y1, а во втором слагаемом - условия max {wm + “1, 0} = = y1. Для ситуации x1 e Х, xm e Х \ {0}, ym = 0, l'm -1 рассмотрим два возможных варианта:
а) Wm + “m < l'm - равенство Qi+1(r(1); x1; xm;
y1; ym) = 0 следует из того, что для обоих слагаемых условие max {0, wm + “m - l = xm не-
выполнимо при xm e Х \ {0};
б) wm + “m > l 'm - к равенству нулю приводит невыполнение в первом и втором слагаемых условия min {Wm + “m, l'm} = ym при ym =
=0cr1.
Для оставшихся несущественных состояний доказательство проводиться аналогично. Полностью доказательство леммы 2 приведено в [2].
Список литературы
1. Федоткин М.А. Процессы обслуживания и управляющие системы // Математические вопросы кибернетики. 1996. Вып. 6. С. 51-70.
2. Пройдакова Е.В., Федоткин М.А. Нелокальное описание выходных потоков в системе массового обслуживания с приоритетным направлением / Нижегородский гос. ун-т. Н. Новгород, 2006. 64 с. Деп. в ВИНИТИ 21.03.2006., 293 - В2006.
PROBABILITY PROPERTIES OF OUTPUT FLOWS IN A PRIORITY QUEUING SYSTEM
E.V. Proydakova
The probability properties of output flows arising in a priority queuing system are studied. A nonlocal description of output flows is proposed for a nonclassical system in the form of a vector random sequence. This sequence has been proved to be a Markov vector chain and its inessential states have been determined.
Keywords: priority queuing system, output flow, Markov vector chain.
