CC BY
30
Математическое моделирование. Оптимальное управление Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2013, № 4 (1), с. 219-224
УДК 519.217
СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ ТРАНСПОРТНЫХ ПОТОКОВ С ВОЗМОЖНОСТЬЮ НАЛОЖЕНИЯ ОЧЕРЕДЕЙ
© 2013 г. Н.М. Голышева
Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского
ptv@vmk.unn.ru
Поступола вре4акцою 26.05.2013
Рассмотрена система массового обслуживания (СМО) с тремя входными потоками. Первый и второй из них являются конфликтными. Первый и третий между собой, а также второй и третий между собой не имеют конфликта при обслуживании, поэтому имеется возможность суммирования (или наложения) очередей этих потоков в процессе функционирования СМО. Построена и исследована математическая модель системы, предложен алгоритм управления входными потоками, учитывающий их особенности.
Ключевые слова: система массового обслуживания, конфликтные потоки, алгоритмическое управление, марковская последовательность.
Описание системы на содержательном уровне
В данной работе рассмотрим систему массового обслуживания следующего вида. Пусть в СМО поступают 3 потока П1,П2,П3 однородных требований. Предположим, что потоки являются независимыми и пуассоновскими с постоянными интенсивностями ^1, X 2, X 3 соот-
ветственно. Потоки П1, П 2 являются конфликтными. Это означает, что их невозможно объединить в процессе обслуживания (говорят, невозможно их суммирование или наложение очередей). Потоки П1,П3 и П2,П3 конфликтными не являются, поэтому требования потоков П1 и П3, а также П 2 и П3 могут быть обслужены одновременно, в одни и те же интервалы времени.
Пусть в системе для всех трех потоков имеются бункеры-накопители бесконечного объема, следовательно, очереди по каждому потоку не ограничены.
Обслуживающее устройство (ОУ) имеет 3 различных режима работы.
В первом из них оно осуществляет обслуживание трех потоков П1, П 2, П3 по циклическому алгоритму с жестким переключением. При этом время V нахождения ОУ в этом режиме последовательно разбивается на времена и0, и2, и0,и3,и0,и1. В течение времени и1 в системе обслуживаются с интенсивностью ц требования первого потока и никакие другие; в течение
времени и2 обслуживаются с интенсивностью ц2 только требования второго потока; в течение времени и3 обслуживаются с интенсивностью ц3 только требования третьего потока; наконец, в течение времени и0 потоки не обслуживаются (это время ориентации или переналадки системы).
Второй режим работы ОУ обеспечивает циклическое обслуживание двух потоков: П1 и суммы П 2 +П3. Время V пребывания ОУ в этом режиме разбивается на 4 части: и0, и2 + +и0 + и3, и0, и1. В течение времени и1 с интенсивностью ц обслуживаются требования только первого потока; в течение времени и2 + и0 + и3 обслуживаются заявки объединенного потока П 2 +П 3 с интенсивностью
ц2 + Н-3 (И < И2, и3 < Из); в течение времени и0 потоки не обслуживаются.
При нахождении в третьем режиме ОУ осуществляет циклическое обслуживание двух потоков: П2 и суммы П1 +П3. Время V пребывания ОУ в этом режиме разбивается на части: и0, и2, и0, и3 + и0 + и1. В течение времени и2 в
системе с интенсивностью ц2 обслуживаются только требования второго потока; в течение времени и3 + и0 +и1 с интенсивностью Ц +н3 (и/ < Н1) обслуживаются требования объединенного потока П1 +П3; время и0 - время ориентации системы.
Смена режимов работы ОУ в процессе функционирования СМО происходит в зависимости от соотношения длин очередей по потокам. Предположим, что загрузка по первому потоку, равная Х^ц , и загрузка по второму потоку, равная X 2/ ц2, значительно больше загрузки X 3/ц3 по третьему потоку. В силу этого условия тенденция к накоплению очереди по П1 или П 2 выше, чем по потоку П 3. С учетом данного предположения смену режимов ОУ осуществим в зависимости от соотношения длин очередей только по потокам П1 и П 2. Для этого зададим числа N1, ^, характеризующие некоторые «критические» размеры очередей по потокам П1 , П2 соответственно, и примем следующие условия. Если в некоторый момент принятия решения о смене режима работы очередь по П1 не больше N1 и очередь по П 2 не больше N, то следующим режимом будет первый режим. Если очередь по П1 не больше N1 и очередь по П 2 больше N, то следующим режимом будет второй. Если очередь по П1 больше N1 и очередь по П 2 не больше N, то следующим режимом будет третий. В случае, когда очереди по обоим потокам превышают N1 или N соответственно, найдем разницу между длиной очереди и критическим уровнем для каждого потока. Если эта разница больше или равна для первого потока, то следующим режимом будет третий. В противном случае следующим будет второй режим.
При выборе параметров СМО будем руководствоваться естественными и общеизвестными условиями, а именно:
X, X 2 X 3 — + — + — < 1,
Мі
X,
Мі
X, + X
М2 Мз
X + X,
м 2 + м3
< 1,
м/ +М3
3 X 2 3 + — < 1;
М2
МЛ > X1F,
М2и2 > XV,
М3и3 > X3У,
(м2 + М3)(и2 + и0 + из) > (X2 +Xз)V,
(м/ +М3)(и, +ио +«з) > (X1 +Xз)V, где V - период обслуживающего устройства. Как было сказано ранее, его величина равна и1 + и2 +и3 + 3и0.
Исследуемую в работе модель можно применить при управлении транспортными потоками в районе площади Лядова города Нижнего
Новгорода. В данной реальной системе поток П1 - это поток машин, следующих с площади Лядова на проспект Гагарина; поток П2 - поток машин со стороны Молитовского моста на улицу Тимирязева; поток П3 - поток машин с Молитовского моста на проспект Гагарина. Обслуживающее устройство - светофор, и0 - длительность фазы желтого света, и1, и2, и3 - длительности фаз зеленого света по потокам П1, П 2, П3 соответственно.
Построение математической модели
Все случайные объекты, применяемые далее при построении и анализе математической модели, будем конструктивно задавать на некотором полном вероятностном пространстве (О,F,Р) элементарных исходов йєП с вероятностной мерой Р(-) на ст -алгебре F.
Представим рассмотренную систему в виде СМО с переменной структурой обслуживания [1, 2]. Для этого введем строго возрастающую последовательность т = (т; і > 0} точек на оси времени. Положим ті = і для всех і > 0 и зададим таким образом неслучайную шкалу тактов времени функционирования системы, для которой величина единицы времени постоянна и равна 1.
Обозначим через лу і количество поступающих заявок по потоку Пу на интервале [т(, ті+1)
для всех у = 1,3 и і > 0 . Выполним описание пуассоновских входных потоков с помощью четырехмерной случайной последовательности ((т,Ли,Л2і,Л3і); і > 0} с выделенной дискретной компонентой л і = (Л1 і , Л 2 і, Л 3 і ). При этом
случайные величины л Уі , У = 1,3, і > 0, окажутся независимыми в совокупности и будут иметь распределение вида
Р( ) -X, (Xу)"
Р(Лу і = У) = <? у——,
У у!
у є (0,1,2,...} = N для всех у = 1,3 и всех і > 0.
Для описания структуры и функционирования обслуживающего устройства необходимо указать множество Г его состояний и алгоритм а смены этих состояний с течением времени.
Назовем первый режим работы ОУ его состоя-
1_'(1) ^ 1_'(2) нием Г , второй режим - состоянием Г и
третий режим - состоянием Г(3). Таким образом, Г представляет собой множество (Г(1), Г(2), Г(3)} из трех элементов.
Выберем теперь моменты наблюдения за состоянием ОУ и моменты наблюдения за очередями по потокам. Для этого из последовательности (ті; і > 0} выделим 3 подпоследовательности (0уі =Т(- ; і > 0}, у = 1,3. При этом последовательность (01і; і > 0} будет определять
моменты наблюдения за состоянием ОУ и одновременно за длиной очереди по первому потоку; последовательность (02 і; і > 0} - моменты наблюдения за длиной очереди по второму потоку; последовательность (03 і; і > 0} - моменты
наблюдения за длиной очереди по третьему потоку. Положим
^(Г) =
^0 + и2 при Г = Г(1) или Г = Г(3), Р(|1 . = 2 | Г = Г(г>) =
_ Т(3)
2и0 + и2 + и3 при Г = Г(2),
^ (Г) = \ 2^ + и2 + ^ при = Г(1) или = Г(2), і) [ V при Г =Г(3)
и зададим номера С при у = 1,3 и всех і > 0 по правилу:
С1,0 = 0, Си+1 = Си + V,
С 2,0 = Си +«2(Гі),
С 3,0 =Си +«3(Гі ).
Выбранные таким образом моменты являются моментами окончания обслуживания потоков, в которые, как правило, очереди в системе минимальны. Приняв обозначения: Г(?) - состояние
ОУ в момент t, Г =Г(01і) = Г(01і+1 -0), kJ(t)
- длина очереди по потоку Пу в момент t,
kJ і = kJ (0 у і), у = 1,3, і > 0 , можно получить
соотношения, определяющие алгоритм а изменения состояний обслуживающего устройства в моменты 01,і , і > 0 :
Гі+1 = и (К ,, ^) =
Г (1)при ^ ^ ^ < #2;
Г(2) при ^ ^ ^ > #2
или при условии ^ і - N1 < k2 і - #2;
Г(3) при kl,i > ^ k2,i < #2
или при условии ^ - N1 > k2- Ы2.
Для описания потоков насыщения введем случайную величину ^ (у = 1,3, і > 0) - мак-
симально возможное число обслуженных заявок за интервал [ті, ті+1) по потоку Пу. Положив
Г = Г(ті), рассмотрим последовательность
{(Т,Г/,Е,и,^2і.,^3і); і > 0} с выделенной дис-
Р(^2, = 2|г;=г(г о =
кретной компонентой Е, = (Е,и, Е 2,, Е3,). Для этой последовательности примем ограничения
Р(Еу,, = 1, 1 = 13, , = »0, ,«\Г/ = о,, * = 0,1,...) =
= П П р&»==о ,к >0);
1=Ч)А,...,Ьп 1=1
р(Е 1,, = 7\г/ = о, к > 0)=Р(^.,, = 7 | Г/ = &) при всех возможных значениях величин, входящих в равенства.
Нетрудно показать, что для случайных величин Е у,, у = 1,3, , > 0, будут справедливы следующие выражения для условных вероятностей:
1 при , е /1; г = н1; г е{1,2};
1 при ,е/1, г = 0, г е {1,2};
1 при , е /2, г = ц/, г = 3;
1 при ,е/2, г = 0, г = 3;
1 при , е /1, 7 = ц2, г е {1,3}; 1 при 1е11, 7 = 0, г е {1,3};
1 при, е J2, 7 = ц2, г = 2;
1 при iеJ2, 7 = 0, г = 2;
1 при , е £1, 7 = ц3, г = 1;
1 при ,еЦ, 7 = 0, г = 1;
1 при , е Ц2, 7 = н3, г = 2;
1 при ,еЦ, 7 = 0, г = 2;
1 при , е Ц3, 7 = н3, г = 3;
1 при ,еЦ3, 7 = 0, г = 3. Здесь множества /1,/2,J1,J2,Д,Ц2,Ц определяются равенствами:
/1 = {, :кУ-ц <, < кУ, к = 1,2,...};
/2 = {, :кУ- (и3 + и0 +и1) <, < кУ, к = 1,2,...}; J1 = {, :и0 + кУ <, < и0 +и2 + кУ, к = 0,1,...};
J2 = {,: и0 + кУ <, < 2и0 + и2 + и3 + кУ, к = 0,1,...};
Ц = {, :2и0 + и2 + кУ <, < 2и0 + и2 + и3 + кУ, к = 0,1,...};
Ц2 = {, :и0 + кУ <, < 2и0 + и2 + и3 + кУ, к = 0,1,...};
Ц3 = {, :2и0 + и2 + кУ <, < (к + 1)У, к = 0,1,...}. В качестве стратегии механизма обслуживания требований будем использовать экстремальную стратегию. Для нее функциональная
зависимость между случайной величиной Е11 и случайными величинами к.., и Е
Р(^3,і = 2|Г = Г(Г)) =
;+,і
J,^
где
V,г
^у <■, Л+і и означают соответственно число
фактически обслуженных системой заявок, число поступивших заявок и максимально возмож-
Ное число обслуженных заявок по потоку П у
на интервале [0у 1,0у 1+1), имеет вид: Еу 1 =
= тп{ку., + Л+,,, Е+,,}, у = 1,3, , > 0.
Для такой стратегии закон формирования очереди задается равенством
ку.,+1 = тах{0, ку, , + л+,, -Е+,,}, у = I,3, , > 0. Изучение свойств последовательности
7 = {(Г,, ки, К, К);, > 0}
На основном вероятностном пространстве (О, F, Р) зададим случайный вектор (Г0, к10,
к20,кЪ0) и рассмотрим случайную последовательность у = {(Г,, к1,, к2,, к3,);, > 0}, элементы
которой, как уже было показано ранее, удовлетворяют рекуррентным соотношениям
г,+1 = и (ки, к2,,),
ку ,+ 1 = тах{0, У + Л +,, -Е+ ^ У = 1>3 при всех , > 0.
Закон распределения случайных величин
Л +,, Е +,, У = 1,3, , > 0, найдем с учетом вида распределения для лу,, У = 1,3, , > 0, вида условных вероятностей для Еу ,, У = 1,3, , > 0, и,
наконец, с учетом алгоритма а смены состояний обслуживающего устройства.
Для сокращения записи и удобства чтения формул введем обозначения:
V?;1 = V, V* = V + «0 + «3, V- = V - («0 + «3),
Vз0 = V, Г3+= Г + «0 + ц, ¥3-= V-(«0 + «1), ф(Т2,Т3;п1,п2,п3) = ехр(-Х^-X2Т2 -Х3Т3)х
х (X1V)п (X2Т2)”2 (X3Т3)П3(п1!п2!п3!)-1 при всех п1,п2,п3 е N,
= [М1«Л ^ = [М2«2 ], /3(1) = [М3«3] ,
112) = [м1«1], /22) = [м2 («2 + «0 + «3)],
13(2) = [м3 («2 +«0 + «3)]
А® = [М( («3 +«0 +«1)], 123) = [М2«2 ],
13(3) = [М3 («3 +«0 +«1)].
Тогда условная вероятность Р(л + , = пу,у =
= 1,3 | Г, = Г(г), к1, = х1, к2, = х2) будет равна: а) ф(V0, V,0; п1, п2, п3), если
(Г(г) =Г(1), х1 < #1, х2 < N2) V V (Г(г) = Г(2), х1 < ^, х2 > #2) V
V (Г(г) = Г(2), х1 > Л^, х2 > Ы2, х1 - N < х2 - Ж2) V
V (Г(г) = Г(3), х1 > #1, х2 < #2) V
V (Г(г) = Г(3), х1 > ^, х2 > N2, х1 -N > х2 -N2);
б) ф(V/ ,У3°; п1, п2, п3), если
(Г(г) =Г(1), х < N1, х2 > N2) V
V (Г(г) = Г(1), х1 > ^, х2 > N2, х1 - N1 < х2 - N2);
в) ф(V0, V/; п1, п2, п3), если
(Г(г) = Г(1), х1 > ^, х2 > N2) V
V (Г(г) =Г(1), х >^, х2 >N2, х1 -N1 > х2 -N2);
г) ф(V- ,У3°; п1, п2, п3), если
(Г(г) = г(2), х1 < N1, х2 < N2);
д) ф(V-, V/; п1, п2, п3), если
(Г(г) = Г(2), х1 > ^, х2 < N2) V
V (Г(г) = Г(2), х1 > N1, х2 > ^, х1 - N1 > х2 - N2);
е) ф(Г20, V-; п1, п2, п3), если
(Г(г) = Г(3), х1 < N1, х2 < N2);
ж) ф(V/,У3;п1,п2,п3), если
(Г(г) = Г(3), х1 < N1, х2 > N2) V
V (Г(г) = Г(3), х1 > N1, х2 > N2, х1 - N1 < х2 - N2).
Условная вероятность Р(Е + , = ку,у = 1,3 |
Г, = Г(г), к1, = х1, к 2, = х2) будет равна 1 при вы-
полнении условий:
- из пункта а) предыдущей формулы и при
К = г), у = 1,3, г = 1,3;
- из пункта б) и при к = /1(1), к2 =/22),
= 3 к3
- из пункта в) и при к1 = /1(1), к2 =/23),
3) = 3 к3
- из пункта г) и при к = /1(2), к2 =/2(1),
= 3 к3
- из пункта д) и при к1 = /12), к2 =/23),
к = 1(3) * л3 ^3 5
- из пункта е) и при К = /Г, к2 = /2°,
к = /(1); 33
- из пункта ж) и при К = /Г, к2 =/22),
к3 = /32).
Отсюда непосредственно следует равенство
Р(Л+,, = пу, Е+,, = м = й|г. = ^,
ку а = ху а, а = 0,,, у = 1,3) =
= Р(Л +,, = пу, Е +,, = ку, у = 1,3|
Г= ^, ки = ху,,, у = 1^),
где пу,ку,ху а е N0, Ga еГ при а = 0,,, у = 1,3,
, > 0. В силу этого последовательность у является марковской. Найдем для нее вероятности р((О,х1,х2,х3),(О,х1,х2,х3)) перехода за один шаг из состояния (G, х1, х2, х3) е 5 в состояние (О, х1, х 2, хъ) е 5 , где 5 = {(О, х1, х2, х3): G еГ, х1, х2, х3 е N0} - пространство состояний марковской цепи у:
р((О, х1, х2, х3),(О, х1, х 2, х 3)) = Р(Г,+1 = О, ку,,+1 = ху, у = 1,31 Г, = G, ки = ху, у = 1,3) =
= I р(л; = п„ е ;= к1, Г„, =О,
пу ,ку е^,у-=1,3
ку,,+1 = ху',у = 1,31 Г, = G, ки = ху,у = 1,3) =
= I Р(Л+,, = пу,у= 1,3|
пу ,к у е^,у=1,3 Г, = G, к1,, = ^ к2,, = х2) Х Х Р(Е+, = ку,у = I,31 Г, = G,к1,, = X1,к2,, = х2) Х
Х Р(Г,+1 = О 1 к1,, = X1, к2,, = х2) Х
х I! Р(ку,,+1 = ху1 ку,, = х- Л+,, = п^ Е+,, = ку) •
у=1
Принимая во внимание вид условных распределений случайных величин Л+ , Е+ , у = 1,3, , > 0, а также равенство
Р(ку,,+1 = ху 1 ку, = ху, Л+, = ^ Е+,, = ку ) =
1 при пу = ху + ку. - ху, ху Ф 0,
1 при п у < ку - ху, ху = 0,
0 в остальных случаях, можно показать, что вероятность р((О, х1, х2,
х3), (О, х1, х2, х3)) (если она отлична от нуля) будет находиться по одной из следующих формул:
1. ф(Т2,Т3;/1 + х1 -х1,/2 + х2 -х2,/3 + х3 -х3)
при х1 Ф 0, х2 Ф 0, х3 Ф 0;
/1 -х1 _ _
2. 1ф(Т2,Т3;а,/2 +х2 -х2,/3 +х3 -х3)
а=0
при х1 Ф 0, х2 Ф 0, х3 Ф 0;
/2-х2 _ _
3. 1ф(Т2,Т3;/1 +х1 -х1,а,/3 +х3 -х3)
а=0
при х1 Ф 0, х2 = 0, х3 Ф 0;
/3-х3 _ _
4. 1ф(Т2,Т3;/1 +х1 -х1,/2 + х2 -х2,а)
а=0
при х1 Ф 0, х2 Ф 0, х3 = 0;
5 2^ф(Т2,73; «1. a2, 13 +Х 3 - хз)
а =о «2 =о
при хі = 0, х2 = 0, хз ф 0;
11 -Хі І3 - Х3
6 Цф(Т ,Т3;а1,12 +х2 -х2,а3)
«1 =0 «з =0
при хі = 0, х2 ф 0, хз = 0;
12 - х213 - х3 _
7 Цф(Т2 ,Т3;/1 + хі -х1,а2,а3)
«2 =0 «3 =0
при хі Ф 0, х2 = 0, хз = 0;
11 -хі І2 - х213 - х3
8- ЕЕЕф(т2,тз;аі,«2,«з)
« =0 02 =0 «3 =0
при хі = 0, х2 = 0, х3 = 0 и при общем для всех вариантов условии: х у < Іу + ху, у = і, 3 ■
Очевидно, что параметры Т2,Т3;/і, /2, /3 будут зависеть от значений G, G и при каждом наборе
(О, G) должны быть определены особо.
Рассмотрим теперь отдельно несколько случаев в зависимости от значения О є Г =
= {Г(і) Г(2) Г(3)}
і. О = Г(і) ■ Вероятность перехода за один шаг здесь будет отлична от нуля при обязательном выполнении требований: хі < N1 , х2 < N2■
Если О = Г(і), то в приведенных выше формулах следует положить Т2 = V!0 , Т3 = V,0,
Іі = Если О = Г(2), то т2 = г;, Т3 = V0, /і = Іі(2) ■ Наконец, если О = Г(3), то Т2 = V20, Т3 = V- , Іі = Іі(3) ■ При любом О є Г нужно взять
І2= І?\ І3= І3(і) ■
2^ О = Г(2) ■ Переход за один шаг в состояние (Г(2), хі, х 2, х3) с положительной вероятностью возможен лишь при условии, когда
хі < #і, х2 > N2 или хі > Яі, х2 > N2,
хі — Nl < х2 — N2 ■
При О = Г(і) параметры Т2,Т3, Іі будут равны соответственно У2+,У30,Іі(і) ■ Если О = Г(2), то
Т2 = V0, Т3 = V0, Іі = Іі(2)^ Если О = Г(3), то Т2 = К,+ , Т = V- , Іі = Іі(3) ■ Во всех случаях
І2 = І22), І3 = lз(2)■
3^ О = Г(3) ■ Для того чтобы вероятность
р((О,хі,х2,х3),(Г(3),хі,х2,хз)) была отлична от
І -х^ І
нуля, необходимо х > N1, х2 < N2 или х1 > N1, х2 > N2, х1 - N1 > х2 - N2.
При О = Г(1) следует взять параметры Т2 = V0, Т3 = у;, /1 = /®. Если О = Г(2), то Т2 = Г2-, Т3 = V/ , /1 = /1(2). При условии, что
О = Г(3), положим Т2 = V0, Т3 = V0, /1 = /1(3). Для всех О = Г : /2 = /2(3), /3 = /3(3).
Список литературы
1 Федоткин МА^ Построение модели и исследование нелинейных алгоритмов управления интенсивными конфликтными потоками в системе с переменной структурой обслуживания заявок, і // Литовский ма-тем^ сб^ і977^ Т 17^ № 1 С 193-204■
2^ Федоткин МА^ Оптимальное управление конфликтными потоками и маркированные точечные процессы с выделенной дискретной компонентой, 1 // Литовский матем^ сб^ 1988^ Т 28^ № 4^ С783-794^
A TRAFFIC FLOW QUEUING SYSTEM WITH THE ABILITY TO OVERLAY THE QUEUES
N.M. Golysheva
The article considers a queuing system (QS) with three input flows. The first and the second ones are conflicting. The first and the third one, as well as the second and the third one are in no conflict in servicing, so it is possible to summarize (or overlay) the queues of these flows in the process of the QS operation. A mathematical model of the system is proposed and studied, as well as an algorithm to control the input flows with the account of their specific features.
Keywords: queuing system, conflicting flows, algorithmic control, Markov sequence.
