CC BY
214
УПРАВЛЕНИЕ, ИНФОРМАТИКА И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА
УДК 519.872
А. П. Кирпичников, А. С. Титовцев СИСТЕМЫ ОБСЛУЖИВАНИЯ С НЕОДНОРОДНЫМ ВХОДНЫМ ПОТОКОМ ТРЕБОВАНИЙ, ОТКАЗАМИ И ОЧЕРЕДЬЮ
Ключевые слова: Система массового обслуживания, поток требований, очередь, обслуживающее устройство.
Представлена новая модель систем массового обслуживания - комбинация многолинейной модели Эрланга, многолинейной СМО с ограниченной очередью и классической многолинейной СМО. Проведена математическая формализация модели в квази-стационарном режиме функционирования. Решена задача оптимальной организации обслуживания в СМО подобного типа при заданных требованиях к производительности.
Keywords: queuing system, flow of requirements, queue, serving device.
The problem of the optimum organization of service in СМО of this kind is solved at the set requirements to productivity. A new model of queuing systems - a combination of a multi-linear Erlang model, a multi-linear queuing system with limited queue and classical multi-linear queuing system is presented. Mathematical formalization of model in a quasi-stationaryy mode of functioning is performed.
The problem of optimal-governmental organizations of service in queuing systems of this type at the set requirements to productivity is solved.
Системы массового обслуживания (СМО), встречающиеся в повседневной практике, зачастую представляют собой сложные системы, имеющие во входном потоке требования разных типов. При проектировании объектов массового обслуживания с целью их правильной организации необходимо исследование методом математического моделирования. Известные на сегодняшний день классические модели СМО не позволяют в полной мере описать реальные объекты. Практический интерес имеют более сложные модели, являющиеся комбинациями ранее известных моделей СМО [1 - 3]. В этой связи авторами была предложена модель открытой многолинейной СМО с потерями и очередью. Граф состояний такой СМО приведён на рис.1. Это комбинация многолинейной модели Эрланга, многолинейной СМО с ограниченной очередью и классической многолинейной СМО [4 - 7]. Примером подобных систем могут служить обычные кассы с очередями. Люди, приходящие в кассу, представляют собой входной поток, содержащий требования разного типа: одни люди из-за отсутствия времени пользуются услугой только в том случае, если касса свободна, другие - в зависимости от количества людей в очереди, третьи - дожидаются обслуживания до конца. В работе приводятся конечные формулы общих зависимостей для вероятностных, числовых и временных характеристик открытой многолинейной СМО с потерями и очередью в установившемся режиме работы. Установившимся считается такой режим работы СМО, когда система бесконечно блуждает по всем возможным состояниям, но математические ожидания её числовых и временных характеристик остаются постоянными во времени. Первая и единственная известная авторам попытка математического описания работы комбинированных систем массового обслуживания была предпринята в работе [8], однако её автор, ввиду трудности задачи, ограничился лишь исследованием комбинации модели Эрланга и классической многолинейной СМО, менее интересной с точки зрения возможных приложений [9]. В настоящей работе формализация модели осуществлена по общей схеме, впервые предложенной в фундаментальной монографии [10].
Предположим, что рассматриваемая СМО имеет m обслуживающих устройств и входной поток требований, содержащий заявки трёх типов:
• 1-й тип - заявки, которые обслуживаются при любых обстоятельствах, независимо от наличия свободных обслуживающих устройств и количества заявок, ожидающих обслуживания в очереди;
• 2-й тип - заявки, которые обслуживаются при наличии свободного обслуживающего устройства, либо становятся в очередь, если число требований в очереди меньше определённого числа Е. В случае, когда в очереди уже имеется Е или более требований, вновь поступившая заявка второго типа получает отказ и выбывает из системы необслуженной;
• 3-й тип - заявки, которые обслуживаются только при наличии свободного обслуживающего устройства и никогда не становятся в очередь. В случае, если на момент поступления в систему очередной подобной заявки в системе не оказывается свободного обслуживающего устройства, данная заявка покидает систему необслуженной.
Рис. 1 - Граф состояний СМО с неоднородным входным потоком требований, отказами и очередью
Потоки заявок каждого типа являются простейшими и имеют интенсивности X,, X 2, X 3 соответственно, суммарный поток с интенсивностью Л = Х 1 + X 2 + X 3 также является простейшим [например, 11]. Обозначим X = X.! +X 2 - входной поток требований после т-го состояния и X., - входной поток требований после (т + Б) -го состояния (также простейшие). Среднюю интенсивность обслуживания заявок одним обслуживающим устройством обозначим за /и.
В этом случае интенсивность выходного потока обслуженных заявок до т -го состояния кратна и и зависит от числа занятых каналов. После т-го состояния интенсивность потока обслуженных заявок равна т и. Поток обслуженных заявок также носит простейший характер. Обозначим приведённые интенсивности соответствующих потоков требований как
X, X 2 X з Л X
рі =—; р2 =—; Рз =—; к = — = Рі +р2 +Рз; р = - = рі +р2.
и и и и и
С учетом принятых обозначений и допущений получим вероятностные, числовые и временные характеристики установившегося режима работы СМО.
Вероятность простоя системы (нулевого состояния)
Р0
О т
Єт(—)+—г
р
т -р
Б + -
рі
т -рі
р = т
К
гда ет (Я) = - - неполная экспонента; вероятности состояний СМО в квазистационарном
¡=о
режиме функционирования
Р
К і
—Р0, О < і < т
Р0, т < і < т + Б
т) т!
— I Г—! —-Р0, і > т + Б
т
т) т!
Введём базисные вероятностные характеристики СМО: вероятность неполной загрузки накопителя
т+Б-і р т
р = V р = —______________р
ГНЗН 7 п Гп
/ . і і=т
т!
і -
т
і-Р.
т
Б, р = т
р * т .
вероятность полной загрузки накопителя
Р,
ПЗН
ад пт
V Р= —-Ро
і=т+Б
т!
і-
Р1
т
вероятность немедленного обслуживания
т-і
РНО = 2 Р = Єт-і (—)Р0 . і=0
Под неполной загрузкой накопителя в данном случае следует понимать такое состояние СМО, когда общее число требований в очереди не превышает Е -1. В этом случае в очередь принимаются заявки первого и второго типов. Система при этом может находиться в любом состоянии от т-го до (т + Е - 1)-го.
Накопитель считается загруженным полностью, когда в очереди уже имеется Е заявок. В этом случае в очередь становятся только заявки первого типа, а требования второго типа получают отказ. Система в этом случае может находиться в любом состоянии, начиная с (т + Е)-го.
Б
Р
Б
Вновь прибывшая заявка любого типа обслуживается немедленно, когда система находится в любом из состояний от 0-го до (т -1) -го. Приведённая интенсивность р1 потока заявок первого типа не должна превышать числа обслуживающих устройств т, иначе произойдёт переполнение очереди.
С целью упрощения математической модели все остальные числовые характеристики СМО выражены через вышеуказанные базисные характеристики с учётом последних трёх выражений. Ясно, что при этом должно выполняться условие
Р + Р + Р = і
ГНЗН ^ ГПЗН ^ гНО 1 •
Вероятность ожидания обслуживания заявкой в очереди
вероятность отказа в обслуживании вновь прибывшей заявке
относительная пропускная способность системы
а = і-Р
Л (
абсолютная пропускная способность системы
среднее число требований, находящихся под обслуживанием
П = —РНО + рРНЗН + РіРПЗН = —(РНО + Рож
осреднённый квадрат числа требований, находящихся под обслуживанием
П2 = — (О - Рт-і ) + —(РНО + тРож );
дисперсия этой величины
средняя длина очереди
(ЗН БРт+Б ^ Р * т
, Р = т
осреднённый квадрат числа требований в очереди
І2 =
т-р
т + р т-р
Р - Е
ГНЗН |-
Е +
2т Л
т-р
Р
т+Е
р * т
(Е + 1Х2Е +1),
6
НЗН
р = т
>+ +рі
Е2
- + -
т т -р1
(2Е + т +рі
V т -р1
Р,
ПЗН>
дисперсия числа требований в очереди
~2 _ |2 72.
О, = І - І ;
ковариация числа требований, находящихся под обслуживанием, и длины очереди
Кп| =(т - п) I;
коэффициент корреляции числа требований, находящихся под обслуживанием, и длины очереди
Гп1 =■
К
ПІ .
среднее число требований в системе в целом
+ т -р)рнзн - ЕРт+Е 1 р* т
т -р
т +-
Е +1'
+ р1
Е 1
1+—+
т т -р1
Р,
ПЗН’
осреднённый квадрат числа требований в системе
к2 = ^ (РНО - Рт-1) + ^РНО + тРож Х
+
р
т -р
Г
т + р
2т +
V т-р.
2Е +1
Л (1 1 Л 1 +
Р - Е ГНЗН Е + 2т Р т+Е
р - т
(Е + 1)т +=-г1 Рнзн, р = т
+ р1
6
— + 2Е + т
1
т -р1
_/ _ч т + р1 2(т + Е) +-----—
т-р1
Р,
р * т
К
ПЗН’
дисперсия числа требований в системе
о? = к2 - к2;
среднее время обслуживания заявки одним каналом
П 1
^обсл « ;
А ^
р
а^|
осреднённый квадрат времени обслуживания заявки одним каналом
2
12 = — •
обсл 2 ’
й
дисперсия времени обслуживания заявки одним каналом
-2 1
ф 2 = { =___— •
обсл обсл обсл 2 5
среднее время ожидания обслуживания заявкой в очереди
—=1 •
ожид Д 5
осреднённый квадрат времени ожидания обслуживания заявкой в очереди
1
12 = - < ‘‘ожид д
й(т - р)
Е2 -1
2-Р^(Рнзм -ЕРт+Е)-Е(Е + 1)Р, т -р
т+Е
+ ■
Рнзн, р = т
} +
Г Е 1 1
2р1 — +
- - і 1
Рпзн + Е(Е + 1)Р,
Дд(т — р.,)
дисперсия времени ожидания обслуживания заявкой в очереди
т+Е
функция распределения времени ожидания обслуживания заявкой в очереди
р
Рожи» (1 ) = 1 - Р7^е-тй 1
ч
— еЕ-1 (к 1) +
р1
т -р
т -р1
Чр1 J
(е (1 - Єе-1 (М ))-
+
р1 р
Е
-ТІ ЄЕ-1 (-й 1)
т
т — р1 т — р
плотность распределения времени ожидания обслуживания заявкой в очереди
р
ґ М _ т-1 ^--й 1
'ожид^ _ е
ч
ҐП/ \
к еЕ-2 (к1 ) + к (е м - еЕ-2 (V))
1р1 J
среднее время пребывания заявки в системе
—=л ■
сист д 5
осреднённый квадрат времени пребывания заявки в системе
_2_
Дд
RPHO + РРНЗН + P1 ^ m + 1 ]РПЗН
+
1
+—< д
1
д(ш -р)
E + 1ГE -1
2т£_((1 + т - р)Рнзн - EPm+E) - E( + E + 1)P,
m-p
m+E
+ 1 рНЗН, p = m
} +
+
1
Дд(гп -p1)
2p1
1
m m -p1
Рпзн + E(E +1)
m+E
дисперсия времени пребывания заявки в системе
a2 = t2 -1
сист сист сист
Имитационное моделирование СМО данной архитектуры в системе GPSS World [12] показало, что при произвольно заданных значениях числа обслуживающих устройств m и ограничения длины очереди Е в выходном потоке обслуженных заявок наблюдается преобладание требований одних типов над заявками других типов. Задача оптимальной организации обслуживания заключается в том, чтобы по известным в качестве исходных данных интенсивностям входных потоков заявок всех типов и заданным требованиям к производительности СМО по каждому типу заявок рассчитать необходимое число обслуживающих устройств, а также ограничение по длине очереди для заявок 2-го типа. Для этого абсолютную пропускную способность СМО представим в виде трёх слагаемых, каждое из которых представляет собой количество обслуженных заявок определенного типа.
Д = Лрно + ^РНЗН + ^1РПЗН = ^ 1 (Рно + Рнзн + Рпзн ) +
+ ^2 (НО + РНЗН )+ ^3РНО = Д1 + Д2 + Д3 .
2
t
сист
Поскольку заявки 1-го типа обслуживаются при любых обстоятельствах, то задать требуемую производительность можно только для заявок 2-го и 3-го типов. Из последнего
/Д3 = Х 3РНО
выражения следует < ( у С1)
[Д2 = X 2 (Рно + РНЗН )
/Чз = РНО (2)
или, в относительных единицах, < . (2)
№ = РНО + РНЗН
Первая система уравнений используется, если задана абсолютная пропускная способность по каждому типу заявок, вторая - если требуемая производительность задана в относительных единицах. Так как правые части уравнений являются функциями от т и Е, решение системы в той или иной форме относительно данных переменных даст значения числа обслуживающих устройств и ограничения длины очереди, удовлетворяющие заданным требованиям.
Обращаем внимание, что значения m и Е должны быть натуральными, поэтому возможно лишь приближенное решение данной системы уравнений. При этом ближайшим целочисленным решением, максимально удовлетворяющим поставленным требованиям, очевидно, будет то решение, при котором невязки между правой и левой частями систем уравнений (1), (2) являются минимальными.
Приведённые в данной работе результаты могут быть полезны при проектировании объектов, работающих по принципу систем массового обслуживания. Предложенная модель является универсальной для целого класса открытых СМО, поскольку при определённых значениях параметров m и E, а также интенсивностей входных потоков требований разных типов, она сводится к ранее известным классическим моделям открытых СМО. Подобные математические модели позволяют оценить производительность проектируемой системы при известной её структуре, а также дают возможность разработать оптимальную архитектуру СМО на этапе проектирования с целью получения её требуемой производительности.
Литература
1. Кирпичников, А.П. Открытая одноканальная система массового обслуживания с отказами и неограниченной очередью / А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев // Вестник Казан. технол. ун-та. - 2006. -№4. - С. 78 - 85.
2. Кирпичников, А.П. Многоканальная система массового обслуживания с отказами / А.П. Кирпичников, И.Н. Валеев // Вестник Казан. технол. ун-та. - 2006. - №4. - С. 66 - 70.
3. Кирпичников, А.П. Замкнутые модели систем массового обслуживания с ограничениями / А.П. Кирпичников, Р.Ф. Гильмутдинов // Вестник Казан. технол. ун-та. - 2006. - №4. - С. 220 - 223.
4. Клейнрок, Л. Теория массового обслуживания / Л. Клейнрок. - М.: Машиностроение, 1979. - 432 с.
5. Ивченко, Г. И. Теория массового обслуживания / Г.И. Ивченко, В.А. Каштанов, И.Н. Коваленко. - М.: Высшая школа, 1982. - 256 с.
6. Альянах, И.Н. Моделирование вычислительных систем / И.Н. Альянах. - Л.: Машиностроение, 1988. - 224 с.
7. Вентцель, Е. С. Теория вероятностей / Е.С. Вентцель. - М.: Academia, 2005. - 576 с.
8. Cohen J.W. Certain Delay Problems for a Full Availability Trunk Group Loaded by Two Sources / Communications News. - 1956. Vol. 16, - P. 105 - 113.
9. Саати, Т. Элементы теории массового обслуживания и её приложения / Т. Саати. -М.: URSS, 2010. -520 с.
10. Кирпичников, А.П. Прикладная теория массового обслуживания / А.П. Кирпичников. Казань: Изд. КГУ, 2008. - 118с.
11. Тихоненко, О.М. Модели массового обслуживания в информационных системах / О.М. Тихоненко. -Минск.: Технопринт, 2003. - 328 с.
12. Боев, В.Д. Моделирование систем. Инструментальные средства GPSS WORLD / В.Д. Боев. - СПб.: БХВ-Петербург, 2004. - 360 с.
© А. П. Кирпичников - д-р физ.-мат. наук, зав. каф. интеллектуальных систем и управления информационными ресурсами КГТУ, kirpichnikov@kstu.ru; А. С. Титовцев - ст. препод. той же кафедры, notna6683@mail.ru.
