Система массового обслуживания с групповым обслуживанием неординарного потока требований Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.2

СИСТЕМА МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ГРУППОВЫМ ОБСЛУЖИВАНИЕМ НЕОРДИНАРНОГО ПОТОКА ТРЕБОВАНИЙ

В.Б. МОНСИК, А.А. СКРЫННИКОВ, А.Ю. ФЕДОТОВ

Рассматривается процесс функционирования многоканальной системы массового обслуживания с групповым обслуживанием неординарного потока требований. Изучены два случая формирования входного потока требований: один путём суммирования групповых эрланговских потоков, имеющих в составе каждой заявки фиксированное число требований; второй путём задания порождающего распределения и ряда распределения числа требований в составе каждой заявки. Для первого случая описана процедура составления системы уравнений равновесия. Для второго получена формула расчёта элементов матрицы переходных вероятностей для вложенной по моментам прихода заявок цепи Маркова.

Ключевые слова: система массового обслуживания, групповое обслуживание, неординарный поток требований, этапы Эрланга, вложенная цепь Маркова, моменты регенерации.

Введение

Существующие в настоящее время основные математические модели систем массового обслуживания (СМО) получены для ординарного потока требований. В таком потоке вероятность наступления двух и более событий за бесконечно малое время пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью наступления одного события, что не всегда соответствует реальным физическим явлениям. Так поток пассажиров в маршрутное такси (пассажиры могут ехать по одному, группами - семья, компания) является наглядным примером неординарного потока. Помимо неординарности для приведённого примера характерно, что пассажиры, как правило, и покидают такси в составе тех же групп, которыми они заходили. Такое поведение обслуженных требований (пассажиров) характерно для систем с групповым обслуживанием. Другими примерами СМО неординарного потока требований с групповым обслуживанием служат: автопарк, машины которого могут быть в рейсе в составе автоколонн разного размера (рейс может выполняться как одной машиной, так и несколькими); авиационная бригада, самолёты которой могут выполнять задания в составе пары, звена, эскадрильи.

1. Постановка и формализация задачи

Осуществление анализа и оптимизации сложных систем диктует необходимость в разработке математических моделей СМО с групповым обслуживанием.

Рассмотрим т -канальную систему массового обслуживания, на вход которой поступает неординарный (групповой) поток требований. Будем отождествлять момент прихода группы требований с моментом прихода некоторой заявки, включающей в себя эти требования. Если в момент поступления очередной группы требований имеется достаточное число свободных каналов, то заявка принимается на обслуживание. Время обслуживания заявки размера к - случайная величина Тк, имеющая экспоненциальное распределение [1...3]

(0 ї бе Ї < 0,

^к(0 = Р(Тк < 0 = \ (1)

(і _ е тк ї бе Ї > 0,

с параметром тк . Особенность предложенной СМО - все требования группы обслуживаются одновременно и по окончании обслуживания одновременно покидают систему. Если в момент прихода заявки все т каналов заняты или число свободных мест меньше размера групповой

заявки, то эта заявка покидает систему необслуженной. Таким образом, рассматриваемая СМО - система с отказами.

2. Система массового обслуживания неординарных эрланговских потоков

Пусть интервалы времени АТк между заявками одного размера к во входном потоке распределены по нормированному закону Эрланга порядка Гк с плотностью

/ ( Д) = Гк1к (Гк1к Д )Гк 1 е~ГкЯкД , (2)

(гк _1)!

где 1 - интенсивность входного потока заявок размера к.

Так как входной поток формируется суммированием потоков с плотностью порождающего распределения, описываемой формулой (2), то возникает необходимость в применении метода этапов (фаз) Эрланга [6].

Суть метода заключается в том, что процесс поступления заявок одного размера можно рассматривать не как единое целое, а как совокупность Гк последовательных этапов (рис. 1), где длительность каждого из этапов предполагается распределённой по экспоненциальному закону с плотностью /к (?) = ГкХке~Гк1кі. При построении модели в пространство состояний включается текущий номер фазы. Так как длительность фазы распределена по экспоненциальному закону, то процесс изменения фазы является марковским [3]. Для анализа такого процесса можно воспользоваться традиционным аппаратом непрерывных цепей Маркова [6].

Рассмотрим конкретизацию метода фаз Эрланга на простейшем примере, когда на вход двухканальной системы поступают только одиночные и парные заявки, а время между заявками одного размера распределено по нормированному закону Эрланга второго порядка ( Г1 = Г2 = 2 ) с интенсивностями 1 и 1 соответственно для одиночных и парных заявок. Диаграмма интенсивностей переходов рассматриваемой двухканальной СМО представлена на рис. 2.

В качестве состояния системы рассматривается расширенное состояние Бу,

где і - общее число этапов поступления в систему парных заявок, а j - общее число этапов поступления в систему одиночных заявок:

£оо - в системе нет ни одиночных, ни парных заявок; идёт первый этап поступления как одиночной, так и парной заявок;

- в системе находится х одиночных и *2 парных заявок; идёт У1 -й этап поступления одиночной заявки и у2 -й этап поступления парной ( х = [і / Г1], *2 = [ j / Г2], >1 = і _ *1, у2 = j _ *2, где [г] - операция взятия целой части от 2 ).

Рис. 1

Далее, используя закон сохранения потока, путём перебора состояний записываются уравнения равновесия системы. Полученная система уравнений сводится к матричному уравнению вида

ро=о, (3)

где 2 - матрица интенсивностей переходов; Р = [Роо, Р01 -., Р31] - вектор-строка стационарных вероятностей состояний.

Уравнение (3) решается совместно с нормирующим условием

Е Рj = ^ (4)

где О - множество возможных состояний СМО.

Вся информация, необходимая для заполнения матрицы системы 2 содержится в размеченном графе состояний (рис. 2).

Так для г = Г2 = 2; 1 = 1 = 1; т = 0,4; Ц2 = 0,8 получаем

Р = [Р00, РоьР02, Р03,Р04, Р05,Р10, Р^11,Рl2, Рl3,Рl4, Рl5,Р20, Р2ЬР30, Р31] = (5)

= [0.04, 0.06, 0.07, 0.08, 0.05, 0.03, 0.05, 0.09, 0.06, 0.1, 0.06, 0.03, 0.08, 0.09, 0.05, 0.06]. ( )

Зная распределение состояний системы, нетрудно определить распределение числа заявок, находящихся в СМО на обслуживании. Для этого необходимо разделить все состояния системы на группы, для каждой из которых характерно наличие в системе по х1 одиночных заявок и по х2 парных. Тогда, просуммировав вероятности состояний каждой группы, мы получим распределение вероятностей количества заявок в системе . Используя (5), получаем

V = [%>, ^1, ^’о2, ^] = [0.24, 0.31, 0.17, 0.28].

Определить основные вероятностные характеристики системы можно по формулам из работы [4]. Таким образом, полностью описана процедура составления и решения уравнений для расчета вероятностей состояний рассматриваемой двухканальной СМО.

Для СМО одиночных и парных заявок с произвольным числом каналов уравнения равновесия составляются аналогично. Так, для трёхканальной системы размеченный граф состояний представлен на рис. 3.

Рис. 3

Система уравнений равновесия будет состоять из 24 уравнений (по числу состояний). Численное решение этой системы уравнений позволяет найти распределение вероятностей состояний и на основании этого рассчитать распределение количества заявок в системе, необходимое для определения показателей эффективности функционирования СМО.

3. Система массового обслуживания рекуррентного неординарного потока

Пусть последовательность {п}, где tn < ^+1, П = 1, ¥ - моменты появления событий в потоке с произвольным порождающим распределением A(t); {^п} - последовательность независимых неотрицательных целочисленных случайных величин с распределением fk = P(hn = к),

k = 0, ¥ ( =о = 1). Последовательности {^п } и {tn} взаимно независимы. Считаем, что в

момент tn в систему поступает групповая заявка, состоящая из Т]п требований - событий некоторого случайного потока. Такой поток назовём рекуррентным неординарным (групповым). Таким образом, рекуррентный групповой поток определяется распределением A(t) и набором вероятностей {fk }.

В качестве состояния системы рассматривается расширенное состояние N=N. «„м..... ^), тт= 0 к«к £ т , где Nk - число заявок размера к, находящихся в системе. Так как закон распределения длин интервалов между соседними заявками во входном потоке в общем случае отличен от показательного, то процесс «^) - число требований в СМО в момент t - является немарковским. Для исследования такой системы воспользуемся методом вложенных цепей Маркова [2, 3, 6].

Суть метода заключается в следующем: если состояния предложенной СМО рассматривать только в случайные моменты времени Тп = tn — 0, непосредственно предшествующие приходу

групповой заявки, то последовательность {(«„ (тп), «т—1(гп),..., ^(-гп)), п > 1} образует т -мерную цепь Маркова. Тогда найдя стационарное распределение вероятностей состояний вложенной цепи Маркова, можно определить распределение вероятностей состояний исследуемой

Рассмотрим для примера простейший случай, когда на вход двухканальной системы поступают только одиночные и парные заявки. Приход заявки необязательно означает принятие её к обслуживанию (заявка также может получить отказ). Определим момент Тп, предшествующий приходу заявки, как п -й момент регенерации. В качестве состояния (х2 п, Х1 п) = (N2 (тп), ^1(тп)) выберем число соответственно парных и одиночных заявок, находящихся в системе в п -й момент регенерации. Тогда (Х2 п+1, Х1 п+1) - это число заявок, находящихся в системе в следующий (п + 1)-й момент регенерации,

Если цепь в момент Тп находилась в состоянии (0, 0), то в следующий момент регенерации Тп+1 она может остаться в нём же одним из следующих способов: в СМО поступила одиночная заявка и к моменту Тп+1 была обслужена (рис. 5 а); система приняла на обслуживание парную заявку, и к моменту Тп+1 её обслуживание завершилось (рис. 5 б).

СМО.

т. е. (х2, п+1, х1, п+1) = (^2(тп+1), N1(tn+1)).

Переходы между состояниями для моментов регенерации образуют вложенную цепь Маркова (рис. 4). Рассмотрим стационарный режим [6] функционирования данной цепи при п ® ¥ и найдём матрицу одношаговых переходных вероятностей Я = Гц , для чего

Ши! УиШЛ IV - / ц , ДЛ/1 14/14

необходимо проанализировать все возможные перехо ды из состояния в состояние.

Рис. 4

Основное свойство показательного распределения обусловливает полную независимость моментов окончания обслуживания от моментов поступления групповых заявок в СМО. Поэтому свойства потока освобождений в этом случае не зависят от свойств поступающего потока групп требований и полностью определяются числом обслуживаемых групповых заявок. Если в системе находятся на обслуживании і заявок размера к, то вероятность обслуживания у из них за время і можно рассматривать как у успешных испытаний среди общего числа і независимых испытаний и определить согласно биномиальному закону

рк Сл К О = сіРІ(і )(1 - Рк(і))і"у,

где Рк (і) - вероятность обслуживания одной заявки размера к за время і. Учитывая (1), имеем

рк (у, і, і) = СІ (1 - є~тк)у є~(і-у)Мкі. (6)

Перепишем для удобства формулу (2) следующим образом

Иі(к)(і) = С/'є (1 - є Мкі )і-І,

/у /

(7)

где ИІ) (і) - вероятность того, что в системе к моменту і останется только І заявок размера к

из і находившихся в ней.

Теперь, воспользовавшись формулой полной вероятности для непрерывного множества альтернатив, получаем

Р [за время ожидания очередной заявки в системе

осталосьу заявок размера

к из і]=І Жук)(і)аА(і).

(8)

0

В систему может поступить как одиночная, так и парная заявка. Учитывая возможные альтернативы, имеем

Г11 = Р(Лп = 1) І щ(№(/)+Р(Лп = 2) І <^(0

о о

¥ ¥

=/11 (1 - є-* )аА(1)+/1 (1 - є-м )А).

(9)

Рис. 5

Если цепь в момент Тп находилась в состоянии (0, 0), то в следующий момент регенерации Тп+1 она может перейти в состояние (0, 1). Это возможно в том случае, если в момент іп в систему поступит одиночная заявка и за интервал (іп; Тп+у) не закончится её обслуживание (рис. 6 а). Так получаем

о

о

Г12 = Р(Пп = 1) ІиЦ’А) = /11 є-^т). (10)

о о

Переход из (0, 0) в (0, 2) за интервал (тп; Тп+1) невозможен, т. к. для его осуществления необходимо последовательное поступление двух одиночных заявок, что противоречит определению моментов регенерации, поэтому имеем

П3 = 0. (11)

Переход из (0, 0) в (1, 0) представлен на рис. 6 б. Для его выполнения нужно, чтобы в момент іп поступила именно парная заявка, и до следующего момента регенерации её обслужива-

ние не было завершено. Вероятность этого события равна

г14

= Р(Пп = 2) | »л2)аА(ґ) = /21 є~т2<аА(і).

(12)

X

2

Гп+1 -

(0,1)

(0,0))

іп

а)

Рис. 6

Проводя аналогичные выкладки для оставшихся элементов матрицы Я, имеем

¥ ¥

Г21 = Л / (1—)2 т)+/г / (1—е-*' )Щг);

0 0

¥¥

Г22 = /11 ге-*' (1—е-*1' )М.(')+/г | е~тЫА(г);

00

¥¥

Г23 = /1 / е-2т,т); Г24 = 0; Г31 = / (1 — е-*' )2 т); 00

¥¥ г32 = \ 2е~т(1 — е~т)ёА('); г33 = \ е-2*1'ёА('); г34 = 0;

(13)

Г41 = |(1 -є )аА(і); г42 = 0; г43 = 0-

г44 = | е~т А'). 00 Таким образом, формулы (9) - (13) полностью определяют переходные вероятности Гц для

вложенной цепи Маркова двухканальной СМО.

Приведём пример использования полученных формул для следующих исходных данных: / = 0,3; /2 = 0,7; * = 0,3; * = 0,2. Пусть длины интервалов между поступлениями групповых заявок имеют усечённое слева нормальное распределение с параметрами а = 0, т{ = 3 и =1, тогда

сю

сю

о

о

т

п

1

о

о

о

сю

сю

Л(і) = Ра о) =

0,5 + Ф,

і - т

ї бе і < 0,

ї бе і > 0,

'і

К =

где Фо (х) - функция Лапласа.

Применяя формулы (9) - (13), рассчитаем элементы матрицы переходных вероятностей

0,48 0,13 0 0,39

0,51 0,43 0,06 0

0,35 0,45 0,20 0

0,44 0,56 0 0

Используя алгоритм [6] приведения к каноническому виду системы уравнений ж = Кж, находим следующий вектор стационарного распределения вероятностей

ж = 110,48 0,31 0,02 0,19||.

Таким образом, задача отыскания стационарных вероятностей полностью решена.

Опишем процедуру заполнения матрицы переходных вероятностей для более общего случая, когда СМО имеет т каналов обслуживания и на вход системы поступают только одиночные и парные заявки с произвольно распределёнными длинами интервалов. Рассмотрим возможные переходы из произвольного состояния (і, 7) за интервал (іп; Тп+{). Эти переходы соответствуют обслуживаниям одиночных заявок (перемещения по горизонтали) и парных (по вертикали) до прихода очередной заявки, определяющей момент регенерации. Состояние системы в момент регенерации Тп+у определяется перемещением на единицу в момент іп в случайном направлении: или вправо с вероятностью /1, или вниз с /2 и взаимно независимыми перемещениями в двух направлениях за интервал (іп; Тп+\).

По формуле полной вероятности с учётом (7) для 2і2 + ^ < т — 1 получаем

¥ ¥

Г ((л, л) І (І2, іі)) = /1 | ^(+\л (І )^222 (і )<«(<)+/2 | г® (І )^22)1 7 (г )ёЛ(г), (14)

0 0

где Г(()2, Л) | ^ і1)) = Р((х2, п+1 = 72, х1, п+1 = Ь)\ (х2, п = i2, х1, п = і1)) - вероятность одношагового перехода из состояния (і'2, і\) в состояние (у2,Л) вложенной по моментам прихода групповых заявок цепи Маркова.

Если 2І2 + і'1 = т, что соответствует случаю, когда все каналы заняты, то в момент іп произойдёт отказ заявке в обслуживании независимо от её размера (текущее состояние СМО останется прежним). Тогда

Г ((.І2, Л)І(І2. І1)) = | (і )1Г™ (і ).

(15)

Если 2І2 + І1 = т — 1, что соответствует случаю, когда свободен только один канал, то в момент іп текущее состояние системы может измениться только, если поступит одиночная заявка (парная же получит отказ). Тогда

¥¥

Г((72, 71) І (І2. І1)) = /11 ^ к (I )Г <2» (і)<ІЛ(і)+/21 Г® (і)Г <2) (і)<ІЛ(і). (16)

0

0

0

0

2

Если ' - 'к) > 1 или X^О'к _'к) > 1, т0 г((72, 71) I ('2, '1)) = 0, так как поступление более

одной групповой заявки за период регенерации невозможно по определению.

Обобщим полученные результаты для произвольного числа групп заявок разного размера.

Если ' -'к) > 1 к = 1, д , или XI=\(7к -'к) > 1, то г((уд, 'д-Ь- 7\) 1 ','д-\,..., г\)) = 0, в противном случае имеем

У ¥ д

Г((', '-1,..., 71) I ('д, 'д-1, ••., '1)) = I /к |(') П К' «^) +

к=1 о ^=1,

И ф к.

д ¥ д

+ I /IПК' «А), У = т-1д=1 . (17)

2 =у+1 0 И =1

Перенумеруем состояния системы таким образом, чтобы от д - индексного обозначения состояний перейти к одноиндексному. В дальнейшем будем понимать под ' номер состояния СМО, а под О - множество возможных состояний СМО. Считаем, что 0 = {0,1,2,..., о}, 0)<+¥. Перепишем с учётом (17) соответствующим образом матрицу переходных вероятностей. Для нахождения полученного вектора стационарного распределения вероятностей Р = (р), ..., Ро) необходимо решить систему уравнений р = ЯР совместно с условием норми-

Ею Л

7=0Р7 =1.

Таким образом, получены все основные уравнения для расчета вероятностей состояний СМО с групповым потоком требований.

Заключение

Представленный подход к исследованию СМО с групповым обслуживанием, на вход которой поступает сумма потоков одиночных и парных заявок с порождающими нормированными распределениями Эрланга второго порядка позволяет рассчитать распределение количества заявок в системе, необходимое для определения показателей эффективности функционирования СМО. Предлагаемый подход не накладывает никаких ограничений на количество суммируемых нормированных групповых потоков Эрланга и на порядок каждого из них. Таким образом, он может быть использован для исследования СМО и более общего вида.

Полученные формулы для СМО рекуррентного неординарного потока требований позволяют рассчитать предельные вероятности состояний, необходимые для определения показателей эффективности функционирования системы.

Рассмотренные частные случаи позволяют проиллюстрировать применение метода вложенных цепей Маркова к выводу формул для предельных вероятностей СМО неординарного потока требований и обобщить полученные результаты для произвольного числа каналов и произвольного количества групп требований разного размера.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бочаров П. П., Печенкин А. В. Теория массового обслуживания: учебник. - М.: Изд-во РУДН, 1995.

2. Ивченко Г.И., Каштанов В.А., Коваленко И.Н. Теория массового обслуживания. - М.: Высшая школа, 1982.

3. Клейнрок Л. Теория массового обслуживания. - М.: Машиностроение, 1979.

4. Монсик В. Б., Скрынников А. А., Федотов А. Ю. Показатели эффективности функционирования системы массового обслуживания с неординарным входным потоком заявок в нестационарном режиме работы // Научный Вестник МГТУ ГА. - 2009. - №145. - С. 113-118.

5. Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории массового обслуживания. - М.: Машиностроение, 1969.

6. Черноморов Г.А. Теория принятия решений: учеб. пособие. Юж.-Рос. гос. техн. ун-т. - Новочеркасск // Известия вузов. Электромеханика, 2002.

QUEUING SYSTEM WITH GROUP SERVICE OF NONORDINARY FLOW OF DEMANDS

Monsik V.B., Skrynnikov A.A., Fedotov A.Y.

The analysis of functioning multichannel queuing system with group service on which input the sum of streams of single and pair demands with generating normalized Erlang distributions of the second order arrives is carried out. The approach for definition of distribution of quantity of demands in the system, necessary for calculation of basic likelihood characteristics queuing system is described. The multichannel queuing system with an entrance stream of group requirements and exponential distributed holding time is considered. The stationary mode of functioning enclosed on the moments of receipt of group demands of Markov chain is investigated. Settlement formulas for elements of a matrix of the singlestep transitive probabilities necessary for definition of limiting probabilities of conditions considered queuing system are received.

Key words: queuing system, group service, not ordinary stream requirements, Erlang distributions of the second order, embedding Markov chain, regeneration moments.

Сведения об авторах

Монсик Владислав Борисович, 1936 г.р., окончил ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского (1964), кандидат технических наук, профессор ВВА им. проф. Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина, автор более 100 научных работ, область научных интересов - теория вероятностей, математическая статистика, вероятностные методы оценки эффективности авиационных комплексов.

Скрынников Андрей Александрович, 1962 г.р., окончил Даугавпилсское ВВАИУ (1984), кандидат технических наук, старший преподаватель ВВА им. проф. Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина, автор более 80 научных работ, область научных интересов - вероятностные методы оценки эффективности авиационных комплексов.

Федотов Александр Юрьевич, 1988 г.р., курсант ВВА им. проф. Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина, автор 11 научных работ, область научных интересов - теория массового обслуживания.