Построение и исследование математической модели управления потоками в классе алгоритмов с дообслуживанием Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.217

ПОСТРОЕНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ПОТОКАМИ В КЛАССЕ АЛГОРИТМОВ С ДООБСЛУЖИВАНИЕМ

© 2010 г. Н.М. Голышева

Нижегородский госуниверситет им.Н.И. Лобачевского ptv@vmk.unn.ru

Поступила в редакцию 18.05.2010

Рассмотрена задача управления двумя конфликтными пуассоновскими потоками по алгоритму, допускающему возможность дообслуживания по обоим потокам. Построена математическая модель системы в виде многомерной случайной последовательности. Для неё доказано свойство марковости и найдена матрица вероятностей перехода за один шаг. Исследованы свойства функционалов Чжуна, поставлена задача оптимизации управляющего алгоритма с использованием этих функционалов.

Ключевые слова: марковская случайная последовательность, функционалы достижения с запретами, задача оптимизации.

Содержательное описание системы

Рассмотрим систему, в которую поступает 2 независимых конфликтных пуассоновских потока требований Пь П2 с интенсивностями ^ = = сошИ >0, Х2 = сош12 > 0 соответственно. Требования в каждом потоке предполагаются однородными. Потоки являются равноправными, т.е. не имеющими приоритетов по отношению друг к другу.

Если в систему по одному из потоков поступает заявка и в момент поступления обслуживающее устройство свободно и готово обработать требование данного потока, то заявка сразу идёт на обслуживание. Если же в момент поступления обслуживающее устройство занято обработкой какого-либо другого требования или находится в состоянии, в котором заявки по данному потоку не обслуживаются, то требование помещается в специальный накопитель, в котором продолжает находиться (создавая очередь) до тех пор, пока не придёт время его обслуживания. Отбор заявок из накопителей осуществляется произвольным образом. Очередь по обоим потокам допускается бесконечной.

Обслуживающее устройство имеет п = 6

“ тЧ1) тЧ6)

структурных состояний Г , ...,Г , в каждом из которых система находится v(Г(г)) = V,, г = 1,6 единиц времени. Множество таких режимов

обозначим через Г. При каждом / = 1, 2 в со-

тЧ2/-1) ^ п

стоянии Г ^ ' в системе с интенсивностью Цу > 0

обслуживаются лишь требования /-го потока. В состояниях Г(2у), / = 1, 2, потоки не обслуживаются. В состоянии Г(6) с интенсивностью Ц1* > 0

обслуживаются только заявки первого потока, а в состоянии Г(5) с интенсивностью > 0 обслуживаются только заявки второго потока. Бу-

тЧ1) тЧ3)

дем считать Г и Г основными состояниями обслуживания требований. Пребывая в них, обслуживающее устройство обрабатывает основную массу заявок. Этим состояниям, например, соответствует зелёный свет светофора на перекрёстке. Состояния Г(2) и Г(4) определяют режим переналадки обслуживающего устройства (жёлтый свет светофора на перекрёстке). Длительность пребывания в таких состояниях обычно мала. Она определяется особенностями реальной физической системы (для перекрёстка -условиями безопасности движения). Состояния Г(5) и Г(6) назовём состояниями дообслуживания требований. Обслуживающее устройство может перейти в них только при определённых условиях. Переход в состояние Г(5) возможен лишь тЧ3) тЧ5)

из Г , Г и лишь при условии, что в момент перехода очередь по первому потоку не превышает некоторого целого значения т2, а очередь по второму потоку не меньше, чем некоторое целое значение т3. В противном случае из Г(3) или Г(5) происходит переход в Г(4). Таким образом, состояние Г(5) является в некотором смысле продолжением Г(3). Оно «включается» в случае,

если после нахождения системы в состоянии

Т-,(3)

Г очередь по второму потоку всё ещё велика, а по первому находится на некотором допустимом (достаточно малом) уровне. Обслуживающее устройство будет оставаться в Г(5) до тех пор, пока очередь по второму потоку не уменьшится до нужного уровня, или до тех пор, пока

очередь по первому потоку не станет слишком большой. Время пребывания в состоянии дооб-служивания (в нашем случае Г(5)) обычно значительно меньше основного времени обслуживания (в Г(3)). Также интенсивность обслужива-тЧ5)

ния в состоянии Г ; может отличаться от интенсивности обслуживания в Г(3) ( ц 2 и ц2). Например, если рассматривать работу светофора на перекрёстке с двумя полосами движения по направлению второго потока, то в состоянии Г(3) , как вариант, можно разрешить движение по обеим полосам, а в состоянии дообслуживания

Г(5) - только по одной (или наоборот). Переход (6) (1) (6) в состояние Г ; возможен лишь из Г , Г4' и

лишь при условии, что в момент перехода очередь по второму потоку не превышает некоторого целого значения m4 (m4> m3), а очередь по первому потоку не меньше, чем некоторое целое значение m1 (m1 < m2). В противном случае (1) (6) (2) из Г , Г происходит переход в состояние Г .

Таким образом, Г(6) (подобно Г(5)) является продолжением основного состояния Г(1). Так же как

и для Г(3) , Г(5) , интенсивность обслуживания в

(6)

состоянии Г может отличаться от интенсивности обслуживания в Г(1) (ц^ и ц1). Если время пребывания в состояниях Г(5) , Г(6) положить равным нулю, тогда описанный алгоритм с до-обслуживанием примет вид классического циклического алгоритма, имеющего 4 состояния обслуживающего устройства.

Для изучения поведения данной системы и оценки качества её функционирования введём в рассмотрение следующие характеристики:

• время разгрузки системы;

• вероятность того, что разгрузка произойдёт за конечное число шагов, - так называемая табу-вероятность;

• стоимостной показатель, связанный некоторым образом с первыми двумя характеристиками.

Определим содержательно время разгрузки как время, необходимое для первого перехода системы из начального состояния s0 области S0 «средних» очередей в область S+ «малых» очередей, минуя при этом область S_ «больших» очередей. Будем считать все параметры системы, за исключением времён обслуживания и дообслуживания, заданными. Тогда время разгрузки системы из начального состояния s0 , естественно, будет зависеть от Vj, V3 , V5, v6. Обозначим его R( s0, Vj, V3, v5, v6 ), а связанную с ним табу-вероятность - q(s0,vl5V3,V5,v6). Пусть теперь Cj - стоимость единицы времени

разгрузки из любого начального состояния и С2 - стоимость единицы табу-вероятности. Тогда показатель, введённый следующим образом:

C(s0; vl5 v3, v5, v6 ) = ClR(s0; v3, v5, v6 ) +

+ c2(1 - q(s0; v1> v3’ v5> v6))’ назовём стоимостным показателем качества работы системы. Выберем параметры

* * * *

V1, V3, V5, v6 обслуживающего устройства, такие, что

C(so; vi. V3> v5. v6) =

= min {C(so; Vi, V3, V5, v6)}

V],v3,v5,v6eD

для всех s0 e S0. Здесь D - область возможного изменения величин Vj , V3, V5, v6. Положив C2 = 0, получим оптимизационную задачу, связанную только с временем разгрузки системы. Аналогично, положив Cj = 0, в качестве характеристики будем рассматривать только табу-вероятность. Поставленная задача выбора оптимальных параметров является многокритериальной. Для её решения применим метод «свёртывания» в один критерий путём усреднения величин C(s0;vl5V3,V5,v6), s0 e S0 , или путём выбора максимальной из этих величин.

Математическое описание системы

При наблюдении за реальным процессом обслуживания будем подразумевать, что с ним можно связать некоторое полное вероятностное пространство (Q, F, P) элементарных исходов

й£й с вероятностной мерой P() на а-алгеб-ре F. Обозначим через т строго возрастающую последовательность {тf;i > 0} случайных точек на оси времени. Интерпретация этой последовательности соответствует дискретной шкале тактов времени функционирования системы. Пусть случайные величины n j j и £, j j

(j = 1, 2; i > 0) определяют по потоку П j на

промежутке [т i, т г+1) количество поступающих заявок и соответственно максимально возможное число обслуженных заявок; Г(?) есть состояние обслуживающего устройства в момент t > 0 и ri' = Цтг) .

Описание пуассоновских входных потоков выполним с помощью последовательности {(тi, П;); i ^ 0}, в которой первая компонента является неслучайной и определяется условием т i = iho, где h = const > 0 и i > 0 . Вторая

компонента представляется в виде П; = (П1 ;, П2 I), при этом случайные величины

П j;, у = 1, 2, г > 0 , независимы в совокупности и имеют распределение вида:

Р(П = у) = ехр{-^ у Л0)у (у!)-1,

у е Nу = 1,2; I > 0;N = {0,1,..} . (1)

В дальнейшем будем считать, что й0 = 1.

Для описания потоков насыщения воспользуемся последовательностью {т,, Г,-, '^1); г > о}, у которой третья компонента имеет вид = (^1 ;,^2 ;)■ Для этой последовательности примем ограничения:

тервале [0 j i, 0 j i+i) , j = 1, 2 , и число обслуженных на этом интервале заявок соответственно. Положим Zi i = Z2 і = Zi, Zi 0 = 0 и зададим

алгоритм смены состояний обслуживающего устройства следующим образом:

Zi+1 =Zi +v(r,.), і > 0;

Гі+1 = U(r;, Х,1,і+1, X 2,і+1) =

(j = j» J = 1» 2»і = *o»h,~,ia I rk = Gk»к = 0,1,..) = =

т

= ПП^у,,- = ^г1Г = С*,к > 0), (2)

>' у=1

р($и = г|Гк = Ок, к > о) =

= ^у,,- = *|Г= С,), / > 0,

где г, ,■ е N для всех у = 1, 2,г = г0,г\,..,1а.

Произвольные целые числа г0, г^,..., га при а е N удовлетворяют неравенствам 0 < г0 <

< ¡1 <... < ¡а и Ок еГ при к > 0. Также для потоков насыщения будут верны следующие равенства:

1 при г = ц1з г = 1,

= z | Г’, = Г(г)) =

P(^ = z | Г', = Г(Г)) =

1 при z = ц1з r = 6, (3)

1 при z = 0, r £ {1,6},

1 при z = Ц2, r = 3,

*

1 при z = Ц2, r = 5,

1 при z = 0, r £ {3, 5}.

Далее дадим математическое описание работы обслуживающего устройства. Для этого при 7 = 1, 2 введём последовательность {0^ 1 = т<-..;

г > 0}, элементы которой удовлетворяют ограничениям 01 г- < 0 ^ i < 01 г-+1, г > 0 , и совпадают с моментами наблюдения за очередью по потоку П, . Обозначим длину очереди по потоку

П,-, 7 = 1,2 , в момент ? через X у (/),

х= Х j (0 J,г) , Х» = (Х1,г> Х2,г) • Также введём случайные величины Пу г (7 = 1, 2; г > 0) и

^у г (7 = 1, 2; г > 0), которые обозначают число требований, поступивших в систему на ин-

Г

<1)

при Г; = Г(4);

Г(2) при [Г, є {Г(1),Г(6)}&((Xi,i+1 < mi)u

u (X2,,+1 > w4 ш

Г

<3)

при г, = Г(2);

Г(4) пРи [г, е{г(3),г(5)} & ((Ху+1 > m2) и (4)

u (X2,i+i < m3))];

г(5) пРи [ri е {г(3),г(5)} & ((Xi,i+i ^ m2 )&

&(X2,i+i ^ тз))];

Г(6) пРи [ri е{г(1),r(6)}&((Xi,i+i ^ mi)&

&(X2,i+1 ^ m4))]-На основном вероятностном пространстве (Q, F, P) зададим случайный элемент (Г0,Xi 0,

Х20) и рассмотрим векторную случайную последовательность у = |(Гг-, Xi f, X 2 i); i — 0} • Для неё справедливо рекуррентное соотношение: (Г;+1, Xl,;+1, X2,;+l) =

= (U(Гг ,max(0,XM +Л+; -^+; ),тах(0, X2,, +

+ n+j -^+,,)), max(0, Xi,, + n+, -^i+,),max(0, X2,, +

+ Л+,; -^+,г));i ^ 0-К тому же в силу равенств

n+,i +плС, +1 + - + +v( г )-1;

^+.» = S j,z, + ^ j,z, +1 + ■■■ + ^ У4+v( Г )-1, j = 1, 2; i > 0, и законов распределения (1), (3) случайных величин n j i и Ъ, j j, j = 1, 2, i — 0 , для nj t и

i, j = 1, 2; i — 0 , имеет место:

Pin),г = Иу, j = 1,2 | Гг = r(r)) = Ф(и15n2, r(r)) =

= exp{- (^1 +X 2 )vr )”' (^2Vr У2 (n1!n2!)-1, Р(^,г = к у, j = 1, 2 | Гг = Г( r) ) =

= V(k1, к2, Г(Г} ) = 1

при [г = 1 & ki = /1 & = 0] и

u [r е {2,4}&k = 0&k2 = 0]u

и [г = 3= О&А2 = /з]и и [г = 5&к = 0&&2 = /з]и[г = 6&к = /6&А2 = 0],,

Г(г) 6 Г; Пд, к} 6 N ; у = 1, 2; г > 0 .

Здесь 1 = [Ц^ ], /3 = [ц2 ^ ], 15 = [^5 ],

*

/6 = [ц 1У6 ]. Отсюда, очевидно, выполняется

соотношение:

п],п1,к],к2^Я

д,/+1 Хд , у = 1, 2|Г = С,Ху,г = Хд,у = 1,2)=

X = п ,у = 1,2| Г = С,

п],п2,^],Л2оУ

,] = 1, 2)>

X/,»■ = *д ,У =1, 2)х >Р£+» = кд,У = 1,2| Г = &,Хд/ = Ху,П+ = п,У = 1, 2)х > РГ+1 = С | Г = С,Хд,/ = Ху,П+ = пд ,^г- = кд,] = 1,2) х > р(Ху+1 = Х1Г = С,Хд,/ = Хд,

П+ = п / = кд,Г+1 = С,у = 1,2) х

> р(Х2,/+1 = Х21Г = С,Хі,/+1 = Х1 Хд,/ = хд,

д = Пд,Д = кд, Г+1 = С,] = 1,2) =

= Е >

п], п, к]

> Р(и(Г,, Х1,/+1,Х2, /+1) = С1Г = С,Хд,/ = Хд,

= пд &і,і = кд,] = 1,2) > х Р(шах(0,Х1,/ +П+/ Ч+/) =

= Х11 Хм = Х1,г1/ = п1^+/ = к1) х х Дшах(0,Х2, / +П+, / 4+,/) =

= х2 1 Х2,/ = х2,П+,/ = п2,^2, / = к2) =

Здесь

р(П,»=, у=^,

] = 1 2 I Га = > Ху,а = Ху,а,а = 0,--, 1,У = 1, 2) =

= Р(п1, = п д, Д = кд, у = 1,2 | Г, = а,)

при всех п,,к,,х, а 6 N ; Оа еГ; у = 1,2; а = 0,..,г; г > 0 , и, значит, последовательность у является марковской. Найдём для этой последовательности элементы Р((&, х1, х2 );

(О, х1, Х2)) матрицы вероятностей перехода за один шаг:

р№, х!, х2);(^, *1, х2» =

= РГ+1 = аХу,г+1 = Хд,у = 1,21Г = £,Ху,/ = Ху,У = 1, 2) =

= Е = кд,Г+1 = ^,х,,+1=*д

X ф(«1, «2, С)^(к1, ^2, С) X

пьп2 ,к1,к2еЫ

X Q(G, Хі, Х2, «1, «2, кі, ^2,0) X х g(n1, k1, Х1)g(Х2, п2, к2, Х2 ).

й (С, х1, х2, п1, п2, кЪ к2,С ) =

= Р(и (Г,, Х1.І+1, Х2,г+1) =

= С І = С, Xи = хд, П+ І = пд, ^+>г = кд, у = 1,2) = 1

при

[О = Г(1) & О = Г(2) &

&((У1 = тах(0,Х1 + «1 -£1) < М1)и и (У2 = тах(0, Х2 + «2 - к2 ) > т4 ))] и и [О = Г(1) & О = Г(6) &((у1 > т1 )&

&(у2 < т4 ))] и [О = Г(2) &

& О = Г(3) ] и [О = Г(3) &

& О = Г(4) &((У2 < «3 ) и (у1 > т ))] и и [О = Г(3) & О = Г(5) &

&((У2 > т3)&(У1 <т2))]и и [О = Г(4) & О = Г(1) ] и и [О = Г(5) & О = Г(5) & ((у2 > т3 ) & &(у1 < т2 ))] и [О = Г(5) & О = Г(4) &

& ((У2 < т3) и (У1 > «2))] и [О = Г(6) & & О = г(2) &((У1 < «1) и (У2 > «4))] и и [О = Г(6) & О = Г(6) &

&((У1 > т1 )&(У2 < т4))].

Функция g (Хд-, п д-, кд-, х д-) = Р(тах(0, х у,- +

+ Пуу - ) = Ху I Хуу = Ху, = п, '^д-,, = кд)

при у = 1, 2 удовлетворяет равенству:

£ Хд , Пд , кд , Xj ) ^

1 при Пд = Хд + кд - Хд, Хд Ф 0; 1 при Пд < кд - Хд, Хд = 0;

0 в остальныхслучаях.

Для конкретизации этой формулы рассмотрим каждый из случаев G = Г(к), к = 1,..,6 в отдельности.

1) О = Г(1). Принимая во внимание вид функции Q, получим, что вероятность

р((О, Х1, Х2 );(Г(1), Х!, Х2 )) при всех G , отлич-

ных от Г(4), равна 0, а при О = Г(4) с учётом вида функций у и g она имеет вид:

р(( Г(4), *15 х2 );(Г(1), ъ, Х2)) =

ад ад _ __

= Е Еф(% п2,г(4) Ж XI, п1,0, х1)^( х2, п2,0, х2 )

щ=0 п2 =0 и вычисляется по формуле:

р((0, *!, х2 );(С,х!, х2 )) =

1ф(х1 -х^,Х2 -Х2,0) при х1 < х^, Х2 < л^;(5) [0 в остальных случаях,

в которой О = Г(4), О = Г(1).

2) О = Г(2). Если О г{Г(1), Г(6)} или Ое{Г(1),Г(6)}, но (Х1 > м и х2 < М4) , то р((0, *1, Х2 );(Г(2), Х1, Х2 )) = 0. Если же О = Г(1) и (Х1 < М и х2 > Ш4) , то

р(( г(1), *1, *2 );(г(2), *1, *2)) =

ад ад _ __

= Е Еф(% п2,г(1) Ых, п1 1 х1)ё(х2’ п2,0, х2 ) =

«!=0 п2 =0

ф( - X + /1? х2 - х2, Г(1)) при

х1 < Х1 + /1, Х2 < Х2, Х1 Ф 0;

/]- Х1 —

Е 9(*1, Х2 - Х2, г(1)) при

¿1=0

4) О = Г(4). Если О г{Г(3), Г(5)} или

О е{Г(3), Г(5) } , но (х2 > Ш3 и Х1 < Ш2 ) , то р((0, *1, *2 );(Г(4), *1, *2 )) = 0 . Если же

О = Г(3) и (Х2 < Шз или Х1 > ^2 ) , то

р(( г(3), *1, *2 );(г(4), *1, ^2)) =

ад ад

Е Еф(% п2 ,г(3) Ж х1, п1,0, х1 Ж х2, п2,13’ х2 ) =

щ =0 п2 =0

ф( хх - хъ х2 - х2 +1,О) при

X < Х^ Х2 < Х2 + I, х2 ф 0;

1-х2 _

Е ф(Х1 - Х^,кх,О) при

к1=0

х^ < х^,Х2 < I, Х2 = 0;

(7)

(6)

Х1 < /1, Х2 < Х2, Х1 = 0;

0 в остальных случаях.

При О = Г(6) и (Х1 < М или х2 > М4) имеем равенство:

р((Г(6), Х1, Х2 );(Г(2), Х', ^2)) =

ад ад ____ ___

= Е ЕФ(и1>П2,г(6) Жх1,пЪ 16, х1)ё(х2,п2,0, х2)

Щ = 0 п2 =0

и ту же формулу (6) для вычисления вероятно-

т-(1) т-(б)

сти, в которой вместо Г ' следует взять Г ' и

вместо ¡1 - величину /6 .

3) О = Г(3). Если О Ф Г(2), то вероятность р((0, х1, х2 );(Г(3), х1, х2 )) равна 0. Если О = Г(2), то

р(( г(2), *1, *2 );(г(3), *1, ^2)) =

ад ад ____ __

= Е Еф(«1, п2, Г(2) Мхъ «1,0, X! )g(X2, П2,0, х2 )

П= 0 п2 =0

и справедливо выражение (5), где О = Г(2), О = Г(3).

0 в остальных случаях.

Здесь / = /3, О = Г(3). При О = Г(5) и (Х2 < Ш3 или Х1 > ^2) имеем равенство:

р(( г(5), *1, *2 );(г(4), *1, ^2)) =

ад ад _ __

= Е Еф(И1’ П2,Г(5) Ж*1, й1,°, х1Жх2, п2,15’ х2 )

щ= 0 п2 =0

и формулу (7), в которой / = /5, О = Г(5).

5) О =Г(5). Если О г{Г(3), Г(5)} или О е{Г(3), Г(5) } , но (Х2 < Шз или Х1 > М2 ) , то р((0, X!, х2);(Г(5), X!, х2)) = 0. Если же G=Г(3) и (Х2 > Шз и Х1 < М2 ) , то

р((г(3), *1, *2 );(г(5), *1, ^2)) =

ад ад _ __

= Е Еф(%и2,г(3))^(х1,й1,°,х1)^(х2,й2,Ч>Х2)■

щ=0 п2 =0

Для вычисления данной вероятности следует применить формулу (7), в которой положить:

/ = /3, О = Г(3). При О = Г(5) и (Х2 > Ш3 и

Х1 < М2 ) имеем равенство:

^((г(5), *1, *2 );(г(5), *1, ^2)) =

ад ад _ __

= Е Еф(и1’ п2,г(5) )^( x1, n1,0, х1)£( х2, п2,15’ х2 )

П1= 0 п2 =0

и снова формулу (7) для нахождения вероятности (здесь / = /5, О = Г(5)).

6) в =Г(6). Если О г{Г(1), Г(6)} или Ое{Г(1),Г(6)}, но (Х1 < М1 или х2 > т4) , то

р((0, х1, х2 );(Г(6), х1, х2 )) = 0. Если же G=Г(1) и (Х1 > М1 и %2 < М4 ) , то

р(( Г(1), х15 х2 );(Г(6), X", Х2)) =

ад ад __ ___

= Е Еф(й1’П2,г(1)Жх1>пЪк>х1)ё(х2,п2,0,х2)

щ= 0 п2 =0

и «работает» формула (6). При О = Г(6) и (Х1 < М и ^2 < т ) имеем равенство:

^((г(6), *1, *2 );(г(6), *1, *2)) =

ад ад __ _

= Е ЕФ(п1’п2’г(6))8(Х1’п1 к>х1)ё(х2>п2,0,х2)•

П}=0 П2 =0

Для вычисления данной вероятности необходимо использовать выражение (6), где Г(1) следует заменить на Г(б) и ^ на /6 .

Зададим теперь на траекториях однородной марковской последовательности у = {(Т,■ ,Х2I); г > 0} семейство функционалов достижения с запретами. Отметим некоторые их свойства [1], необходимые в дальнейшем для вычисления времени разгрузки Я(-) и табу-вероятностей ?(•).

Функционалы Чжуна и некоторые их свойства

Пусть у = (у,■; г > 0} есть некоторая однородная марковская последовательность, имеющая счетное множество Я состояний, и пусть Н = {£_, £0, £+ } есть покрытие пространства Б попарно не пересекающимися его подмножествами £_, So, £ +, такое, что £0 Ф0, £+ Ф0 (множество 8_ может быть пустым). Множества 8_, 80 и 8 + назовем соответственно запрещенным, критическим и достижимым. Предположим, что для всех состояний Лд из критической области вероятность Р({ю : у0(ю) = ^0}) больше нуля, и при этом условии для каждого £д е £0 введем в рассмотрение функционал:

J(so;Н,у) = тf{k : к > 0,у0(ш) =

= > У к(ш) е Я+> У;(ш) £ Я- > г = 1,»5 к}> 5о е Яо >

зависящий от последовательности у . Такой функционал называют функционалом Чжуна. Он определяет случайное число шагов, необходимых марковской цепи у для первого ее перехода из начального состояния л0 е £0 в множество 8+ и не

по элементам запрещенного множества S_ . При этом если множество {к > 0: у0 (ю) = s0, у ^ (ю) є S+, у i (ю) й S_, i = 1,.., к} пусто, будем полагать значение функционала J(s0; H, у) равным +да. Обозначим для всех s, s'eS, s0 є S0, Si с S, c > 0 через p(s; s') вероятность

P((®:Y¿+i(®) = s'}|{®:Yk(®) = s}), через~p(s0;S) -

сумму EP(s0;s) и через (s0;H, y) - вероят-

seSj

ность Р({ю : J(s0;H,y) = с}|{ю: у0(ю) = s0}),

называемую вероятностью перехода с запрещением или табу-вероятностью. Положим также

ад

q(0)(so;н,y) = о, и q(s0;h,y) = Eq(c)(so;H,y)

c=0

для всех s0 є S0 .

Теорема 1. Главное решение H (s0), s0 є S0, системы уравнений

H (so) = E p( so;+p( so; S+ )>

s^S0 (8)

so є So ,

существует и совпадает с табу-вероятностями q(s0; H, у), s0 є S0 .

Таким образом, H (s0) интерпретируется здесь как вероятность того, что первое попадание случайного процесса у из состояния

s0 є S0 в достижимое множество S+ произойдет в некоторый конечный момент времени и только по состояниям критического множества. Теорема 2. Пусть подмножества

S0O) = {s0 : s0 є S0, ~p{s0; S+ ) > 0},

P0k+1) = js0:s0 єS0\US®p(s0;)>0^, k>0,

ад

So = So \ U } k=0

составляют разбиение S0. Тогда для выполнения неравенств q(s0; H, у) > 0, s0 є S0, необходимо и достаточно, чтобы множество S-было пустым.

Теорема 3. Пусть q(s0; H, у) > 0 для всех s0 є S0 . Тогда система уравнений

K (s0) = Е P(s0'; K (+ H *(s0)’

seS0 (9)

s0 є S0,

имеет обобщенное главное решение: К *(ло) > Н (^о ), л0 е 50, и условные математические ожидания от функционалов J(s0;Н,у), л0 е 50, определяются равенствами:

М (3 (л0; Н, 1)\J (*0; Н, у) <да) =

= К * (^)(Н * (^ ))-1, (10)

5о е ¿о-

Теорема 4. Если £- = 0 и 50 конечно, то условные математические ожидания М(7 (л0; Н, у)| J (л0; Н, у) < да), л0 е 50, ограничены.

Выберем разбиение Н = {£_, 50, 5+ } пространства Б = {(С,х1зх2) : О еГ, е {0,1...}, у = 1,2} состояний марковской цепи у = = ((Г,, Х1 ;, Х2 ;); 1 — 0} с учётом особенностей математической модели изучаемой системы. Для этого зададим целые числа N2,N3

(0 < N < N2 < N3) и Кх,К2,К3 (0 < К <

< К2 < К3), которые будем интерпретировать как уровни загруженности соответственно по первому и второму потокам. Введя обозначения:

Х0 = {(х1> х2 ) : N1 - Х1 - N2 ’ К1 - х2 - К2 };

X1 = {(х1, %2): 0 < х1 < Nз ,0 < %2 < К3} \ Xо;

X =

= {(х1, х2) : 0 — Х1 — ^1>° — х2 — {(^1> х2) : К1 — х2 —

X3 =

= {(х1;х2): 0 < х1 < N^0 < х2 < К1}\{(х1,К1): N < х1 < N2), определим множества 8_, ,8 + следующим

образом:

^0 = {(^, х1, х2 ) : ^ е Г,(Х1, х2 ) е Х 5+ = {(О,хьХ2):(О £{Г(1),Г(3)},

(Х1, х2 ) £ XI) и (О £ {Г(2), Г(6)},(Х1, х2 ) £ X2 ) и и (О £{Г(4), Г(5)},(*15 х2) £ X 3 )},

S_ = S \(50 и 5+).

Такой тип разбиения, на наш взгляд, довольно естественно описывает процессы разгрузки, происходящие в реальных системах рассматриваемого класса. Принимая во внимание ранее полученные формулы (5), (6),

(7) для вероятностей перехода за один шаг последовательности у, нетрудно построить

множества £0к^, к > 0 и 50" :

80о) = {(Г(1),х15х2) £ ¿0 : X! < N + 1Х)и

и {(г(2), Х1, х2) £ 8о} и {(г(3), Х1, х2) £

£ ¿о : Х2 < К1 + /3} и

и {(Г(4), хх, х2 ) £ и {(^}, Х1, х2 ) е

£ ^о : х2 < К1 + /5} и {(г(6), x1, х2) £

£ ^о : х1 < ^1 + ^б};

5® = {(Г(1),х15х2) £ £0 : X! > N + 1Х} и

и {(г(3),х1, х2) £ 50 : х2 > К1 + 1з) и и {(Г(5),Х]_,х2) £ 50 : х2 > К + /5} и и{(Г(6),хх,х2) £ 50 : хх > N1 + /6};

80к) =0, к > 2, ^0" =0.

Отсюда и из теорем 2, 4 следуют два важных утверждения:

Утверждение 1. При любых N1, N2, N3 , К,К2,К3 условная вероятность Р( J(л0;Н,у) < <да | у о = л0) отлична от нуля для всех л0 = {С, х1, х2 ) £ ^0 •

Утверждение 2. Для всех N1,N2,N3 , Кх, К2, К3 и л0 £ £0 условные математические ожидания М( J(л0; Н, у)| J(л0; Н, у) < да) ограничены.

Данные утверждения и теоремы 1, 3 позволяют построить простой алгоритм вычисления вероятностей перехода с запрещением и условных математических ожиданий от функционалов Чжуна. Этот алгоритм на начальном этапе состоит в нахождении матрицы вероятностей перехода за один шаг последовательности у, а в дальнейшем сводится к решению двух систем (8), (9) линейных алгебраических уравнений. Однако следует отметить, что при использовании данного алгоритма величины ; Н, у) | J(s0; Н, у) < да)

удаётся получить только в тактах марковской цепи у. Различная длительность этих тактов приводит к невозможности нахождения условных математических ожиданий в единицах временной шкалы т = {тг';г > 0} . В связи с этим при решении оптимизационной задачи для вычисления целевой функции ^(-) - времени разгрузки приходится применять другие методы (в частности, метод имитационного моделирования). Проведённые многочисленные расчёты на ЭВМ показывают эффективность совместного использования двух подходов (описанный алгоритм + имитация) и позволяют дать полезные рекомендации по выбору параметров управления в реальных системах рассмотренного класса.

45)

Список литературы

1. Федоткин М.А. Алгебраические свойства распределений для функционалов Чжуна от однородных марковских цепей со счётным множеством состояний // ДАН СССР. 1976. Т. 227, № 1. С. 43-46.

2. Федоткин М.А. Управление конфликтными потоками заявок по минимальной информации о состоянии системы с переменной структурой обслуживания // Изв. АН СССР. Техн. ки-бернет. 1977. № 6. С. 65-71.

CONSTRUCTION AND INVESTIGATION OF THE MATHEMATICAL FLOW CONTROL MODEL IN THE CLASS OF AFTER-SERVICE ALGORITHMS

N.M. Golysheva

The task of controlling two conflicting Poisson flows is considered using the algorithm admitting after-service along both flows. A mathematical model of the system is built in the form of a multidimensional random sequence. The Markov property of the model is proved and the one-step transition probability matrix is found. Chung’s functional properties are studied and the control algorithm optimization problem using these functionals is formulated.

Keywords: Markov random sequence, Chung’s functionals, optimization problem.