Управление процессамизагрузки и разгрузки в системах с переменной структурой обслуживания Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математическое моделирование. Оптимальное управление Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2014, № 4 (1), с. 377-381

УДК 519.217

УПРАВЛЕНИЕ ПРОЦЕССАМИ ЗАГРУЗКИ И РАЗГРУЗКИ В СИСТЕМАХ С ПЕРЕМЕННОЙ СТРУКТУРОЙ ОБСЛУЖИВАНИЯ

© 2014 г. Н.М. Голышева, А.М. Федоткин

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского ptv@vmk.unn.ru

Поступила в редакцию 19.05.2014

Поставлена задача оптимизации управляющего алгоритма в системах с переменной структурой обслуживания. В качестве целевых функций выбраны нетрадиционные показатели - функционалы достижения с запретами, позволяющие находить времена загрузки и разгрузки системы. Рассмотрен численный пример.

Ключевые слова: система массового обслуживания, функционалы достижения с запретами, задача оптимизации.

1. Системы с переменной структурой обслуживания и их составляющие элементы

Системы с переменной структурой обслуживания являются адекватной математической моделью для описания сложных реальных систем обслуживания, таких как системы передачи информации, системы управления транспортными потоками и потоками самолетов в крупных аэропортах, системы управления качеством сварки перемычек при сборке интегральных микросхем и т.д. Такая широкая практическая востребованность систем с переменной структурой обслуживания в первую очередь обусловливает важность их изучения и оптимизации.

Для описания управляемых систем с переменной структурой обслуживания т (т > 2) поступающих потоков П1,П2,...,Пт и дальнейшего изучения процесса изменения очередей в таких системах требуется определить следующие их компоненты [1]:

- векторный входной поток П = (П1,П2,..., Пт) неоднородных или однородных требований;

- множество Г ={Г(1), Г(2),..., Г(и)} внутренних состояний обслуживающего устройства;

- управляющий алгоритм а изменения внутренних состояний Г(1),Г(2),...,Г(и) в некоторые дискретные моменты времени;

- семейство П(н) векторных потоков насыщения (векторных выходных потоков обслуженных требований в случае бесконечных очередей);

- стратегию 8 механизма обслуживания требований (определяющую зависимость числа фактически обслуженных требований от длины очереди, числа поступивших требований и максимально возможного числа обслуженных требований на некотором интервале времени).

Вероятностная структура векторного входного потока, вероятностная структура векторных потоков насыщения и вероятностная структура заданного вектора начальных условий определяют вероятностную структуру системы обслуживания в целом. Множество Г внутренних состояний обслуживающего устройства, управляющий алгоритм а и стратегия 8 механизма обслуживания определяют логическую структуру системы.

В системах с переменной структурой обслуживания допускается возможность изменения как вероятностной, так и логической структуры. Это допущение является важной существенной особенностью этих систем и во многом определяет широту применения систем с переменной структурой обслуживания на практике.

Очевидно, что задание элементов П, Г, П(н) -важный этап при изучении системы, но само по себе это задание не определяет полностью процесс функционирования системы во времени.

Не менее важным для этого является установление взаимодействия между элементами П, Г, П(н), которое определяется компонентами а и 8.

2. Постановка задачи оптимизации.

Свойства функционалов Чжуна

Предположим, что все элементы системы с переменной структурой обслуживания, за исключением а, фиксированы. Управляющий алгоритм а, наоборот, не фиксирован и может быть выбран в соответствии с некоторыми требованиями, предъявляемыми к качеству обслуживания. Таким образом, возникает задача алгоритмического управления потоками заявок и нахождения оптимального (с точки зрения требований к качеству обслуживания) управляющего алгоритма а. Подобная задача решалась уже не раз, и в литературе [2] приведены результаты её решения. Было выяснено, что традиционно используемые в классических СМО целевые характеристики (вероятность отказа в обслуживании, среднее число заявок в системе, среднее время пребывания произвольного требования в системе и т. п.), вычисляемые в условиях установившегося режима, оказываются малоэффективными для систем с переменной структурой обслуживания. Это объясняется прежде всего так называемым неполным описанием некоторых элементов системы. В некоторых случаях для упомянутых выше целевых функций не удается получить даже вычислительного алгоритма с целью их приближенного нахождения. Еще хуже обстоит дело, если система функционирует в условиях большой загрузки (что бывает достаточно часто). В этом случае традиционные характеристики вычисляются с недостаточной степенью точности и оказываются слишком большими по величине. Кроме того, при большой загруженности время переходного режима таково, что его просто нельзя не учитывать при решении задачи оптимизации.

Все это приводит к необходимости выбора других критериев качества при решении оптимизационных задач в системах с переменной структурой обслуживания. В данной работе такими критериями предлагаются функционалы достижения с запретами или функционалы Чжуна. Дадим их определение и укажем свойства, необходимые в дальнейшем.

Пусть у = (У 1; * > 0} - некоторая однородная марковская последовательность, заданная на основном вероятностном пространстве (О, ¥, Р) и имеющая счетное множество 5" состояний, и пусть Н = (5_, 50,5+ } - покрытие пространства 5 попарно не пересекающимися его подмножествами 5_, 50,5+, такое, что 50 ^0,5+^0 (множество 5_ может быть пустым). Множества 5_, 50,5+ назовем соответственно запрещенным, критическим и достижимым. Предположим, что для всех состояний 50 из критиче-

ской области 50 вероятность Р((ш : у0 (ю) = 50}) больше нуля, и при этом условии для каждого s0 е 50 введем в рассмотрение функционал:

J(у0, Н, у) = М(к : к > 0, У 0 (ш) = so, У к(ш)е 5+, у(ш)е 5_, г = й}, зависящий от 50, Н и у. Функционал такого вида определяет случайное число шагов, необходимых марковской цепи у для первого ее перехода из начального состояния ¿0 е 50 в множестве 5+ и не по элементам запрещенного множества 5_.

При этом, если множество

(к : к > 0,у0(га) = ¿0,ук()е 5+,

уг (оо)е 5 _, г = \к} пусто, будем полагать значение функционала J(•) равным +<». Обозначим для всех ¿1, е 5, ¿0 е 50, 51 с 5 , с > 0 через рС^,¿2) условную вероятность Р((ш : ук+1 (ш) = £2}|(ю : ук (ш) = ¿1}), через р(50,51) - сумму ^ р^0, и через

q(c,¿0,Н,у) - условную вероятность Р((ш : J(¿0, Н, у) = с}|(ш : у0(ш) = ¿0}), называемую вероятностью перехода с запрещением или табу-вероятностью. Положив q(0, ¿0, Н, у) = 0, q(s0,

да

Н, у) = 2 q(c, ¿0, Н, у) для всех ¿0 е 50, приве-

с=0

дем основные вероятностные свойства функционалов Чжуна, полученные в [3].

Теорема 1. Главное решение х*(^0), ¿0 е 50, системы уравнений:

[ х(50) = 2 p(s0, х(5) + р(А, 5+ ) ¿0 е 50

существует и совпадает с табу-вероятностями

q(so, Н, у), ¿0е 50.

Таким образом, х (¿0) интерпретируется здесь как вероятность того, что первое попадание случайного процесса у из состояния ¿0 е 50 в достижимое множество 5+ произойдет в некоторый конечный момент времени и только по состояниям критического множества 50 . Теорема 2. Пусть подмножества

500) = (¿0 е 5,: р(*0,5+) > 0},

к

50к+1) = (¿0 е 50 \У 50'0: Ж,¿Т) > 0}, к > 0,

г=0

Управленсе процеииамс загрузки с разгрузке

379

= 50 \ ^ S((k) составляют разбиение множе-

k=0

ства S0. Тогда для выполнения неравенств q(s0, Н, у) > 0 , s0 е S0, необходимо и достаточно, чтобы множество S(- было пустым.

Теорема 3. Пусть q(s0, Н, у) > 0 для всех s0 е S0. Тогда система уравнений:

I У^0 ) = 2 p(s0, s) У(^ + x*(s0)

so е S0

имеет обобщенное главное решение У*^0),

s0 е S0. При этом у*^0) > x*(s0) для всех

s0 е S0 и условные математические ожидания

от функционалов с запретами определяются равенствами:

M(J(so, Н, у) | J(so, Н, у) < «>) = So е ^ .

х (so)

Теорема 4. Если S(- = 0 и S0 конечно, то условные математические ожидания M (J(s0, Н, у)| J(s0, Н, у) <<») ограничены для всех

•0 е So .

Приведенные теоремы позволяют предложить простой алгоритм вычисления вероятностей перехода с запрещением и условных математических ожиданий от функционалов Чжуна. Этот алгоритм на начальном этапе состоит в нахождении матрицы вероятностей перехода за один шаг последовательности у , а в дальнейшем сводится к решению двух систем линейных алгебраических уравнений (теоремы 1 и 3).

В силу того, что с математической точки зрения управляемый процесс обслуживания с переменной структурой представляет собой управляемую марковскую последовательность у специального вида [1], предложенный алгоритм может быть использован, в частности, и при решении поставленной оптимизационной задачи.

Пусть теперь последовательность у описывает поведение системы с переменной структурой обслуживания. Тогда, очевидно, при фиксированных компонентах П, Г, П(Н) и 8 величина М(/(•0,Н,у) \J(•0,Н,у) <<») при каждом •0 е S0 зависит от алгоритма а функционирования обслуживающего устройства. При заданном покрытии Н = , S0, S+ } обозначим эту величину через Q(а, •0). Выберем множества S-, S0, S+ так, чтобы множество S- характеризовало область больших (недопустимых)

очередей в системе, множество S0 - область критических (в некоторой степени близких к недопустимым) очередей и множество S+ - область малых очередей. Вычислив при таком выборе Н для любого •0 е S0 условное среднее число тактов Q(а, •0), можно найти время, «затраченное» последовательностью у для прохождения этих тактов. Назовем его условным средним временем разгрузки системы из начального состояния •0 е S0 и обозначим через Л (а, •0). Аналогично, взяв в качестве S- область больших очередей, в качестве S0 область малых очередей и в качестве S+ область критических очередей, можно получить еще один показатель - условное среднее время загрузки из состояния •0 е S0. Обозначим его через X (а, •0). Физическая интерпретация областей S-, S0, S+ как для разгрузки, так и для загрузки предопределяет конечность множеств S0, S+ и бесконечность (счетность) множества S-. Таковыми они и будут полагаться в дальнейшем. Используем теперь введенные величины Л(-) и X (•) для постановки задачи выбора оптимального управляющего алгоритма.

Пусть Л есть некоторый класс допустимых управляющих алгоритмов а и /(а, •0) есть вероятность q(s0,Н,у), зависящая от а при заданном покрытии Н .

Определение 1. Алгоритм а/, удовлетворяющий условиям:

I / (а /, •0) = эир{/(а, •0): а е Л}

•0 е So,

(1)

назовем /-оптимальным.

Определение 2. Алгоритм аЛ, удовлетво ряющий условиям:

|Л(а Л, •0) = тДЛ(а, •0): а е Л}

•0 е So,

(2)

назовем Л-оптимальным.

Определение 3. Алгоритм а/Л, удовлетворяющий условиям (1) и (2), назовем (/, Л)-оптимальным.

Такой алгоритм для всех точек критической области обеспечивает наименьшее среди допустимых алгоритмов условное среднее время разгрузки системы и в то же время наибольшую вероятность того, что эта разгрузка произойдет за конечное число шагов.

Определение 4. Алгоритм aZ, удовлетворяющий условиям:

\Z (a Z, s0) = sup{Z (a, s0): aeA)

so e S0,

(3)

назовем Х-оптимальным.

Определение 5. Алгоритм а/ 2, удовлетворяющий условиям (1) и (3), назовем (/, X )-

оптимальным.

Очевидно, что при оптимизации процессов разгрузки в системе самым «желаемым» является алгоритм а/Я (по сравнению с а/ и аЯ).

Аналогично, алгоритм а/2 наилучший по отношению к а / и а 2 при оптимизации процессов загрузки. Выбор каждого из алгоритмов а /, аЯ , а2 , а / Д, а есть некоторая многокритериальная задача оптимизации, причем для первых трех алгоритмов число целевых функций в ней равно числу элементов в множестве 50, а для последних двух алгоритмов их в 2 раза больше. Опыт решения подобных задач показывает, что нахождение алгоритмов такого типа на практике явление очень редкое, в подавляющем большинстве случаев удается получить лишь решение оптимальное по Парето. В связи с этим приходится «свертывать» векторный критерий в обобщенный. Наиболее распространенным видом обобщенного критерия является аддитивный критерий оптимальности. Запишем его для нашей задачи.

Пусть Р(^0) - весовой коэффициент элемента

е S0, (£P(s„) = 1), У (0 <у< 1) -

долевой

S0eS0

коэффициент функций f (•) и R (•) или Z(•) соответственно, с (с = const) - масштабный коэффициент (вводится в силу различия порядка величин f (•) и R (•) , Z (•)). Тогда аддитивная целевая функция может быть представлена в виде R (a) = cy£p(s0)(1 - f (a, S0)) + S0eS0

+ (1 -у) ^P(Sc)R(a, S0)

S0eS0

для оптимизации процессов разгрузки и в виде

Z(a) = ^ P(s0) f (a s0) +

+

(1 -у) £p(s0)Z (a, s0)

¿0е50

для оптимизации процессов загрузки.

С использованием их решение многокритериальной задачи оптимизации сведется к отысканию алгоритма а , для которого

Я (а) = тДЛ (а): а е Л}

или

X(а) = 8ир(2(а): а е Л} .

Другой вид обобщенного критерия основан на принципе «наилучшего результата из наихудших». Для его применения выберем элемент ¿0 из 50, для которого

/(а ¿0) = тт(/(a, ¿0): ¿0 е и элемент ¿0 е 50, для которого

Я (а,¿0) = тах(Я(а, ¿0): ¿0 е 50} , и составим целевую функцию

Я~(а) = су(1 _ / (а, ¿0)) + (1 _ у) Я(а, ¿0), которую можно использовать для нахождения алгоритма а , удовлетворяющего условию:

Я(а) = тДЛ(а):аеЛ} . Аналогично, целевая функция

Х(а) = су/(a, ¿0) + (1 _ у)х (а ¿0),

*

где для ¿0 имеем:

X(а,¿0) = тт(2(а,¿0): ¿0 е 50}, будет подходящей при выборе алгоритма а~ , для которого

X(а) = 8ир(2(а): а е Л} .

Предложенные методы свертывания векторного критерия позволяют для поставленной задачи оптимизации находить компромиссные решения, являющиеся оптимальными по Парето.

3. Задача оптимизации циклического управления транспортными потоками

Рассмотрим в качестве примера задачу управления транспортом на четырехстороннем перекрестке. Входные потоки П1, П2 являются независимыми и пуассоновскими с параметрами X = 0.2 , X2 = 0.32 соответственно. Интенсивности ц, ц 2 переезда машин через перекресток равны 0.4 (по потоку П1) и 0.75 (по потоку П 2 ). Регулирование движения осуществляется автоматом-светофором, имеющим 4 фазы работы: зеленый свет по первому потоку длительностью V , желтый свет длительностью у2 = 4, зеленый свет по второму потоку длительностью у3 и, наконец, желтый свет длительностью у4 = 4 . Сигналы переключаются по заданному правилу, циклически, независимо от ситуации, сложившейся на перекрестке. С математической точки зрения функционирование данной системы можно описать с помощью двумерной марковской последовательности у = (у.. = (х1 г,х2 г);г > 0}, в

которой х , 1 (] = 1, 2; г > 0) - длина очереди по потоку П, в 1-й момент наблюдения. Зададим

s

s0eS0

Управление процессами загрузки и разгрузки

381

на траекториях последовательности у семейство функционалов Чжуна и выберем в качестве областей S_, S0, S+ множества:

S+ = X1 = {(xj,x2):4<xj < 15 , 3<x2 < 10}, S0 = X2 = {(x1,x2):0<x1 <4 , 0<x2 <3}\{(4, 3)},

S_ = X3 = {(x1,x2):x1 >0,x2 >0}\{X1 иX2}, определяющие некоторый тип загрузки системы. Поставим и решим задачу выбора параметров v1, v3, обеспечивающих наибольшее условное среднее время загрузки выбранного типа. Полученные с помощью ЭВМ результаты показывают, что при увеличении v1, v3 время загрузки в каждой точке критической области монотонно возрастает. Следовательно, оптимальные параметры нужно искать среди достаточно больших величин v1, v3. Обычно в реальных задачах период V = v1 + v2 + v3 + v4 обслуживающего устройства имеет верхнюю границу: V < V0. Пусть V0 = 140, и тогда оптимальные параметры v1 = 72, v3 = 60 . Заметим, что алгоритм с этими параметрами не будет (f, Z) -оптимальным, ибо он не обеспечивает максимума вероятностей f (•) для всех s0 е S0.

Если теперь в качестве области S+ взять множество X2, в качестве S0 - множество X1 и качестве S_ - множество X3, можно получить некоторый тип разгрузки и поставить задачу выбора параметров v1, v3, обеспечивающих

References

1. Fedotkin M.A. Teoretiko-mnozhestvennyj podhod pri analize diskretnyh nelinejnyh sistem massovogo

наименьшее условное среднее время разгрузки системы.

Такая задача была решена [2], и R -оптимальным алгоритмом оказался алгоритм с параметрами: v1 = 60, v3 = 51. Таким образом, суммируя результаты, полученные в данной работе и в [2], можно предложить следующую стратегию управления транспортными потоками в рассмотренной СМО. Если очереди в системе малы, то для поддержания этой ситуации необходимо установить период светофора максимальный из возможных, т. е. V0. Если же очереди по каким-либо причинам возросли и стали критическими (возникла опасность возникновения затора), следует период обслуживающего устройства уменьшить до минимального (но обязательно обеспечивающего условие существования стационарного режима). Тогда разгрузка системы (ликвидация пробки) будет осуществлена за кратчайшее время.

Список литературы

1. Федоткин М.А. Теоретико-множественный подход при анализе дискретных нелинейных систем массового обслуживания // Автоматика и вычисл. техника. 1975. № 2. С. 58-64.

2. Голышева Н.М., Федоткин М.А. Циклическое управление конфликтными потоками в условиях гибели и рождения очередей критических размеров // Автоматика и телемеханика. 1990. № 4. С. 68-75.

3. Федоткин М.А. О минимальности решения уравнений для табу-вероятностей // Сиб. мат. журн. ВИНИТИ. 1979. № 363-79 Деп. 23 с. obsluzhivaniya // Avtomatika i vychisl. tekhnika. 1975. № 2. S. 58-64.

2. Golysheva N.M., Fedotkin M.A. Ciklicheskoe upravlenie konfliktnymi potokami v usloviyah gibeli i

CONTROLLING LOADING AND UNLOADING PROCESSES IN SYSTEMS WITH A VARIABLE SERVICE PATTERN

N.M. Golysheva, A.M. Fedotkin

The optimization problem of the controlling algorithm is stated in systems with a variable service pattern. Unconventional indicators, incoming functionals with prohibitions, are chosen as the objective functions which allow us to find system loading and unloading times. A numerical example is given.

179

Управление процессами загрузки и разгрузки

rozhdeniya ocheredej kriticheskih razmerov // Avtomatika i telemekhanika. 1990. № 4. S. 68-75.

3. Fedotkin M.A. O minimal'nosti resheniya uravnenij dlya tabu-veroyatnostej // Sib. mat. zhurn. VINITI. 1979. № 363-79 Dep. 23 s.