Оптимальное Граничное управление переносом тепла в изотропном теле Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

Р.К. Романовский, Н.Г. Чурашева

Омский государственный технический университет, г. Омск

ОПТИМАЛЬНОЕ ГРАНИЧНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПЕРЕНОСОМ ТЕПЛА В ИЗОТРОПНОМ ТЕЛЕ

1. Пусть

E = [0,2п] х [0,п] ,

D - область в □ 3 с гладкой границей

dD = {x = т(р)Юр, р = [р,р ] е E, r > 0}, ю = [cosp sinp ,sinp sinp ,cosp

p

1 2 1 2

|ср дТ / дt + (Ну ц = 0,

[т дц / дt + к gradT + ц = 0,

(х^) ей х (0,ю),

(1)

Т(х,0) = 0, ц(х,0) = (0,0,0)т , Т (гф)®ф ^ = Ц(Фt), М(Ф,0) = о.

Здесь Т ,

ц = (ц , ц

, Ц )т

- температура и вектор плотности теплового потока, с , р ,

1 2 3

Т , К - удельная теплоемкость, плотность, период релаксации и коэффициент теплопроводности,

М(0,ф ,0 = М(2п, ф,0,

107

T

]

2

М(Ф,0, t) = л(ф,п, t).

В рамках модели тепловой импульс распространяется по всем направлениям со скоростью Рассматриваются последовательно две задачи.

4

а = к / (тср) .

2. Задача граничного управления. С использованием аппарата из [1-3], при заданных

в (х) еС” (Б) с носителем внутри Б и

^ > 0

ищется управление

М(Фt) такое, что Т (х,Г; /л) = в (х),

х ей . Предполагается, что

0

^ > 2г

/ а,

г0 = тах х ,

дБ

у*

за время t

выходящий из каждой точки х едБ

тепловой импульс успевает достигнуть любой точки

тела. Решение проводится по схеме, близкой к примененной в [3] и состоящей в следующем. Пусть

Г = at

- Г0 ,

г2 = at

+ Г0 ,

П = [гъ г2 ] х Е х Е,

*

*

h

а =0

1

= h

а =2п

h

p =0

1

h

I I

Га1 1 77

а = є E (2)

Lh2 С*,а , p)J

2 2

h 0 = h

а =0 а

p =2n

2 2

h 0 = h

p =0 p =n -

Lа2 J n (s)

2 1

\[0,0,0,0]T , s є [—r , r ]

(x) = n

(a • x)dа,

\

\[h , h a

аp

]T , s є (r , r ], f

J ap а

[ 1 2

1 2

E

n

=

a

соа • х = х1 со8а1 8та2 + х2 8та1 8та2 + х3 со8а2, Q - усеченный конус с основаниями

х < г2

при

/ = 0 и

х < г0

при / = /

: Q = {(х,/) е □

: / е[0, / ], х < г0 + а(/

- /)}.

Рассматривается задача Коши для системы (1) в усеченном конусе Q с начальной вектор-функцией Г/ср (х) . Строится (обобщенное) решение (Ту , q(p)

этой задачи в виде суперпозиции плоских волн с использованием аппарата из [1-2] для одномерных гиперболических операторов. Для температуры Тр имеет место формула вида

2

Тр(х,/';К) = Тка (®а ■ ^ /; Кк ;Р) ^ , (3)

к=1 е

где

Тка (а *; Кк ;р)

вычисляется по компоненте Кк вектора (2) при фиксированном р . С

помощью (3) строится класс Н векторов (2), дающих решение при каждом вспомогательной задачи стартового управления

Тр (х/;К) = в (х),

р е Е (4)

*

Из построений следует: при каждом И вида (3) сужение решения (Тр, qр) задачи Коши

с усеченного конуса Q на цилиндр (1) с граничной функцией

В х [0, ? ] дает обобщенное решение смешанной задачи

2

Ц(р,г;И) = Тр(г(р)®р,/;К) = Тка ($ар, /;Кк ;р) dа,

к=1Е

(5)

108

V = ГЇЇ

ар 'х/а

■ г (р)% = Г (р)соъ(юа

тем самым при каждом И є Н формула (5) дает

решение задачи граничного управления. Пусть

4 О)

- функции Бесселя мнимого аргумен-

*

-г

та, Ь = 1 / 2,

Ь2 = -1 / (2aсp), d ■

V

г2 - (V / а)2 , ёк = Ьке 2т , в~г/(2т) Г Г d Л г Г d Л1

^г/(2т)

Г d Л ^, г) = 4ат

Ко І 2т І + d /1І2Т 'І,

v2 (б,0 =

4ак

*1 12т ',

Б+аг

V І ) І ЛІ І )

Т

ка

І Vk (V -а , г)Ик (а, а,р^о- .

г1

При

X < Го

справедливо

Б = х ■Па є[-Го , Го ] . С

учетом этого вычисления по схеме дают для Тр выражение (4), где

р Го

Тка = \

(б + аг,а , р) + Т

V + аг < г1,

, V + аг > г ,

(6)

I к к

ка 1

Продолжим функцию 0 ( х)

нулем из В в

3

а . Представляя продолженную функцию интегралом Фурье и переходя к полярным координатам X = Г (Оа.

0 ( X )

СО

ё и

получим

в (

ю

■ х

-)с1а , в

(*)=(2п)

ё'в ( тф

) 2Ф,

где в!

- преобразование Фурье

Г Г

J а а а J

Е 0

в . Обозначим Н класс вектор-функций (2):

*

Гли + л 2И2 = ва (* - аг

а

), (*,а , р) е П,

1 лк ик=ёк ик (*,а , р)+Г ^ (* - а/

— у , г

)Ик (у, а,р)йо .

I

* *

ТЕОРЕМА 1. Каждая вектор-функция И класса Н - решение задачи стартового

управления (4). Тем самым каждой И еН отвечает решение управления, вычисляемое по формулам (5), (6).

м(р,/; И)

задачи граничного

3. Выбор оптимального управления. Далее ищется вектор И , минимизирующий

*

*ар +а/

р (И) = dа йр

Г(г и )2 + (г

И )2 ^ шт,

И е Н ,

3

Г

V 1 1 2 2 І

2 І І І

Е Е г1

2а

V - V

ар

Гк Ик = ЬкЄ

Ик(Б,а, Р) + | Ч(Бар - а, )Ик(а,а , Р) ^

а

^(И) определяется значениями И в По = {(Б,а , р)єП,

Б < Гар = Бар + аг

3.1. Рассмотрим задачу

ЛИ -0а(б - аг) = о .

где

ЛИ = Л1И1 + Л2И2 ,

(7)

Ю9

' ) . Тогда функция Лагранжа задачи (7)

ар

и єх=ь2 (По ^ а

+ (ИД) = ^ (И) +

Д(б, а, р) ГЛИ - 0а (V - аг

)1 ds dа dр, д єї = ь2 (По ^ а ).

І

По

V

І

Использование свойств интегральных операторов Вольтерра в ^2 [4] и [5, п.3.4.1] (в

V

Г

*

2

решению системы +

И

'(И, Л) = 0, ли = ва (* - аг* ), (И, Л) е X х У,

равносильной систе-

т

ме интегральных уравнений Фредгольма по

* е[гЪ гар ] на тр°йку Щ

= [К И2 , Л]

из У :

М(*, а , р)щ (*, а , р) +

т

' ар

Г

N (*, у , а , р)щ (у , а , р)йу = /,

(8)

где Щ

= [И , И

, Л ,

/ =Г0,0,в

т

(* - а/* )! , М = [т

], N = [п ],

1 2 гк

а

гк

( * - 8арЛ

т12 = т21 = т33 = 0, п12 = п21 = п33 = 0; при к = 1, 2

ткк = ьк ехр|- I ,

а т

т

1

I

Г wk(s,a, a, p), а єГг1, si ,

і ) \v (s - at* -а,t*),а є[г, s],

I

nkk = і n3k (s,a) = і

\Wk(а , s,a , p),

J

а є (s, r2 1 ,

nk3(s,a) = n3k (а, s),

wk(s,a, a,p) = bk exP| -

a т

Ivk (sap -a , ) +

a

^ap

ap

a' - s

і )

a r - s

+ I vk (sap -a r

s

) vk (sap - s,

a ap )da' , a

m3k = mk3 = gk .

L J

k

1

1

I\ 0,

Г s - sapл

(s,rapJ,

а є ^ s, r, s - s

ap

det M > const > 0 . Применение альтернативы Фредгольма с учетом У хороших свойству ядра

M-1N и правой части

M-1, f

/V /V /V

как функции от (*,У , а,р)

т

дает: система (8) имеет единственное решение Щ = Г Н[, И2 , Л 1

е С(П0 ) , если выполняется условие

-1е *(К),

Кщ =

ap

I

M-1N /da ,

(9)

где

Б(К)

- множество собственных значений К . Собственные значения компактного оператора К - изолированные точки плоскости [4] и непрерывно зависит от с, р, К, т .

Поэтому случай -1 є б(К)

имеет место Ус вероятностью ноль||. Будем говорить, что имеет место ситуация общего положения (9).

В силу периодичности ядра и правой части по

al,a2 pp выполняются равенства

1

а =0

2

Щ , Щ

’а =п ’

р1=0

Щ р =2п ,Щ

р2 =0

= Щ

’ р =п

3.2. Из выполненных построений следует:

1 2

/V /V /V

И = (И , И )

удовлетворяет требованиям (2),

(7) на

П0 . Обозначим

Н = {и е Н : И = И И2 ) на

П„} . Вычисление векторов И еН

110

/V /V

сводится к решению интегрального уравнения Вольтерра второго рода по

* е[тар , т2 ] при

заданной одной из компонент И на сужение другой компоненты И на этот отрезок. Доказана ТЕОРЕМА 2. В ситуации общего положения (9) каждой вектор-функции

/V /V

И = (К И2 )

класса

2

/V

/V

Н, где

И1, И2

- компоненты решения Щ системы интегральных уравнений (8), отвечает решение

м(р,/; И)

задачи оптимального граничного управления (7), вычисляемое по формулам (5), (6).

Библиографический список

1. Романовский, Р. К. Метод Римана для гиперболических систем / Р. К. Романовский, Е. В. Воробьева, Е. Н. Стратилатова. - Новосибирск : Наука, 2007. - 172 с.

2. Жукова, О. Г. Граничное управление процессом теплопереноса в одномерном материале. Гиперболическая модель / О. Г. Жукова, Р. К. Романовский // Дифференциальные уравнения. - 2007. - Т. 43, № 5. - С. 650-654.

3. Жукова, О. Г. Граничное управление процессом теплопереноса в трехмерном материале. Гиперболическая модель / О. Г. Жукова // Дифференциальные уравнения.- 2009. - Т. 45, № 12. - С. 1794-1798.

4. Колмогоров, А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. - М. : Наука, 1976. - 543 с.

5. Алексеев, В. М. Оптимальное управление / В. М. Алексеев, В.М. Тихомиров, С. В. Фомин. - М. : Наука, 1979. - 432 с.