Определение влияния стенок аэродинамической трубы по параметрам потока вблизи них Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том XIX 198 8

№ 3

УДК 533.6.071.088

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЛИЯНИЯ СТЕНОК АЭРОДИНАМИЧЕСКОЙ ТРУБЫ ПО ПАРАМЕТРАМ ПОТОКА ВБЛИЗИ НИХ

С. А. Глазков

Представлен метод для оценки индукции стенок рабочей части аэродинамической трубы в рамках линейной дозвуковой теории. Для оценки влияния необходимо измерение двух параметров потока на контрольной поверхности вблизи стенок трубы (распределение статического давления или возмущенной компоненты скорости, направленной по течению и скоса потока). Найденные выражения отличаются тем, что не зависят в явном виде ни от формы тела, ни от вида граничного условия на проницаемых стенках.

Проведена оценка точности интегрирования по контрольной поверхности. Определена допустимая погрешность измерения параметров потока.

Методы оценки интерференции и поправок на индукцию стенок трубы получили новый импульс в развитии в последние десять лет [1, 2]. Классические теории индукции стенок использовали линейные однородные граничные условия для описания поведения характеристик перфорированных стенок. Недостатвк этого приближения состоит в том, что величина проницаемости стенки, необходимая для постановки граничных условий, не известна априори и обычно меняется с изменением конфигурации стенки, числа М, Ие, геометрии модели и загрузки трубы [3].

Метод оценки индукции стенок по измеренным параметрам потока на контрольной поверхности вблизи границ был впервые предложен в работе [4] для крыла бесконечного размаха без подъемной силы в двумерном потоке. В работе [5] метод был распространен на осесимметричные тела в канале с проницаемыми стенками. Удовлетворительные результаты по оценке поправок к давлению за счет индукции были получены вплоть до числа М = 0,8. Для двумерного обтекания крыла бесконечного размаха под углом атаки в аналогичной постановке задача была решена в работе [6].

В классической постановке с линейными граничными условиями методом отражений получены выражения, определяющие скос потока (в области расположения модели), вызванный стенками трубы для крыла с подъемной силой в работах [7, 9]. Простота и удобство данного метода очевидны. Но естественные трудности, возникающие при

решении задачи определения индукции стенок с различным параметром проницаемости на поверхности, вряд ли смогут быть преодолены в трехмерном потоке с использованием метода отражений.

В работах [8, 9] исследованы расходные характеристики перфорированных панелей и разработана достаточно простая методика определения параметров проницаемости стенок. Дренаж, выполненный на всей поверхности рабочей части трубы позволяет измерять распределение статического давления, а значит и осевую возмущенную компоненту скорости. По известному параметру проницаемости (связывающему давление на стенке со стороны потока и угол скоса) можно определить компоненту скорости, перпендикулярную стенке.

Если процедура измерения двух компонент скорости на контрольной поверхности вблизи стенок выполнена, то становится реально возможным учесть полную индукцию стенок по предложенному методу.

1. Будем считать, что модель крыла, установленная в трубе под малым углом атаки, обтекается дозвуковым стационарным невязким потоком газа. Рассмотрим задачу в линейном приближении.

Рис. 1

В преобразованных координатах (рис. 1)

X У г

х = т, у--,г = т,

где с—максимальная хорда крыла, (32= 1—М2ю ■— параметр сжимаемости Прандтля—Глауэрта, после потока описывается уравнением Лапласа для потенциала возмущенной скорости Ф(х, у, г)

V2 ф (*, У, г) = 0.

Условие непротекания на крыле, снесенное на плоскость (У=0), имеет вид

-1(-\±0г)Цг)(:5кр=у(/;(^ 2)± а;(*. *)),

где ¡(х, у)—уравнение формы средней линии крыла, к(х, у)—толщина крыла относительно средней линии, 5кр — поверхность крыла,

1М1«1.

Искомый потенциал возмущенного течения Ф представим как сумму

Ф (х, у, г) = Ф* (х, у, г) + Фл (*, у, г),

где Ф4(л:, у, г) и ФА (-*, у, г) — симметричная и антисимметричная функции относительно плоскости хг, у = 0 соответственно. По оп-гг дФ ,, дФ дФ

ределению £/ = 5^ , ^ 5^ . №=51-

2. Симметричный потенциал Фв(лс, у, г) удовлетворяет уравнению Лапласа

у2Ф* (*, у, г) = О

и граничному условию на теле

дФ (х, ± 0, г)

ду

= +

ЬЛх, г)

кр

тт о / 1 \ ^Фо ^Фс

На поверхности 5 (рис. 1) известны и ^.

По теореме Грина для потенциала Ф5 справедливо

У, *> = Е Я {ф.«. ’Ь **■ +

кр

г — [(х—1)2 + (У — У)2 + (г ~ С)2]2 , индекс т-- указывает на то, что поток ограничен поверхностью 5.

Рис. 2

Интеграл по поверхности 5кр в соответствии с симметрией (и снесением граничного условия на плоскость) преобразуется к виду

*¿(*,*.>-¿^*4^. (3)

КР

Учитывая (1) — (3), .можем записать ¡выражение для потенциала индукции

Ф[(х, у, г) = Ф| (х, у, г) - ф£ (*, у, г) =

5

В аэродинамической трубе с рабочей частью прямоугольного сечения (рис. 2) для индуцируемой компоненты скорости вдоль оси X в плоскости расположения модели (с учетом симметрии) получим

и{(х, =

— ± СПН-ив&Я, д-кле, Н, С)(х-$П ,

” ■2" 3 ) I К* - 6)» + № + (г - С)*]3'2 ) « *• +

3/2

[(л-5)*+ч* + (г -т

2

_1_ Г Г (и1&, 11. ¿) Гг + I) - УГ]д, Т), ¿) (х -£)

2я '/ ^ I [{х - 6)* + ц* + (г + ¿)2]3'2 _ 5,

2

| &й-п: (4$

где 5! — поверхность верхней стенки, -^-53 — верхняя половина правой

стенки,— верхняя половина левой стенки. Симметричные компоненты скорости на поверхности трубы определяются следующим образом:

*£(5, ч,. 9=НИ*/Т.(*’ ч* с) + ^т($’ — ч, С)]; у/а Г), ;)=4-[1/т (6, ч, 9- Ут(£, - ч, с)];

»7 (5, Ч с) = 4- [1^т (?, Ч, с) + ИГ (5, - V, 01-

Принимая во внимание преобразование Прандтля—Глауэрта, с учетом (4) получим поправку (симметричную ее часть) к давлению на поверхности тела

4 {Х, о. г)=-±(

^ * Л .) I [(ЛГ — 5)2 + ра //2 + рз — С)2]3/2 I

—оо —[,

1 °°с НС (- Р3 и] (6. ц. Ь) (г - Ь) - г; (6, ц, Р(Х - ^ _

71 3 ) I [(х-ф + р^ + рцг-т312 ) 11

—00 О

—00 О

При переходе в цилиндрические координаты для осесимметричного течения из (5) получаем выражение для поправки к коэффициенту давления, как было представлено в работе [5]

ит (I, Я) <14 , 0 л Ут(1, ¡?)(Х-Ц)<К

с' (X, 0) = — Р2 /?2 Г------------------- ; 3<2 + II Г

^ Г Л [(X — 4. Й2 /?313/2 J

[(А- - £)2 + р2 /?2]3/2 J [(X 5)3 + ра ^2]3/2 >

—^ —00

где Я — радиус цилиндрической контрольной поверхности.

Аналогично, при стремлении оо и интегрировании по £ при независящих от этой переменной компонент скорости, получаем из (5)

Ш Г и1&Н)К 1 Г У^,Н)(Х-1)Я

СР(Х, и) = —— 3 (^-£)2 + Р2Я2 + лЗ (ЛГ-£)2 + р№ ,

—00 —оо

что соответствует результату работ [4, 6].

3. Антисимметричный потенциал Фа(х, у, г) удовлетворяет следующим граничным условиям:

а) на поверхности тела условие непротекания, снесенное на плоскость хх, у = О

<ЭФл(*, ± 0, г) I /'■(*, г)

ду |с^, лг)е^кр ' р '»

Ф на вихревой пелене, сходящей с задней кромки крыла (условие

так же снесено на плоскость хг, у = 0) — непрерывность давления

при прохождении через поверхность тангенциального разрыва

(х, -Ь 0, г) дФЛ*,—О, г) дФ.(х, ± 0, г)

__7 —______________±1_!______ а следовательно, _________А v . ' — о

дх дх дх ’

непрерывность нормальной компоненты скорости на пелене

дФл(*, + 0, г) дФА (х, — 0, г)

ду ду ’

\ о дФд

с) на поверхности 5 известны ______± и ___2 .

дх дп

Так же как и для симметричного потенциала

Ф№,У,г)=1 и

5кр+5п

+¿г И (ф^. 1- с> т) - (^’с> • 41 ■«- <б>

Интеграл по поверхности крыла и вихревой пелене в соответствии с антисимметрией преобразуется к виду

5кр+5п

кр

(8)

•Ф

Для потенциала индукции с учетом (6) — (8) имеем

ф,А (X, у, г) = фт (X, у, г) - Ф£ (х, у, г) =

! . . дФ'А(£, О, С) кр

у2 +

+ ¿11 (®1№- ’.'»(¿1)

а м аф5(б,ч.с) 1

дп

(9)

Из условия непротекания

дФ'^х, ± 0, г) дУ

.>€**" Ту 1Фл <*• ± г) - ф£ <*. ± °- *>]

(х, г) £5

и с учетом (8), (9) получим

Г Г *4(6. С) 1

2л J ^

д$

(г — С)2

1 +

х — £

Л

1.А

4к ду

У(х-?+(г- С)2 }

Произведя интегрирование по частям во втором члене полученного уравнения и представляя интеграл по поверхности 5 как для канала прямоугольного сечения (см. рис. 2) с учетом антисимметрии, придем к уравнению, определяющему антисимметричную часть потенциала индукции

у. р- I I ~~А'" +0,!:) 1

2л

■ (г - О2

кр

1 +

X—«

5Г

У(X- 6)* + (г - С)* X- &

/*»-(*-С)» Л , __________

[Я2 + (г - С)»]* ^ т у{х-ф + № + (г_Ср

Я2 (.* - 5)

[Я* + (г - С)*] [(* - £)2 + Я2 + (г - С)*];

|3/2

+

1^(5. Я, С) Я

+ Я.[ЧаН-1* — ^)а1*Х (] +

[(х - £)» + № + (г — О2]3'2 х — 5

Ь

}<«Л +

[12 + (2 —^)2РV* ' —5)а + 1]2-)-(г

(г — ¿) (* — ) • т)

-¿)2 )'

[Ч* + (* - ¿)2] [(Л - ?)2 + V)2 + (г - ¿)*]'

3/2 ]

+

^1(6. ч, ¿) • ■п

[(X - Е)а + 7) + (г

_ ¿)г]3/2 } аЫт1 + 2к и {иА (*» Ч> 1) [ [ч» + \г + £)2]2

Т5‘

I _________________■* — £___________\ , (г + L) (x — E) • ц___________]

, V(x-W + r? + (Z + Ly> ) + h2 + (* + m [(*-5)a + 1* + "r

[(* - I)2 + + (г + Lff2 )

Антисимметричные компоненты скорости на поверхности 5 определяются следующим образом:

и\ (6, 71, С) = \ [1Л (Е', ц, С) - ит (?, - ч> О];

J “2

WTA (6, т), С) = y [ (5, т), С) - Гт (I, - т), С)].

Правая чадуть (обозначим ее F(x, z)) полученного уравнения есть скос потока, индуцированный стенками трубы в область расположе-

ния модели. Величина — представляет интенсивность вихревых ди-

di

полей, которые обеспечивают условие непротекания на крыле в присутствии стенок. Полученное уравнение можно интерпретировать как уравнение потенциала течения возле крыла, геометрическая крутка которого вычисляется из условий на стенках трубы.

Для сжимаего газа, после преобразования Прандтля — Глауэр-

дФА

та в уравнении (10), с учетом того, что с1р —— 2-^-, получим

~ J f СРА+ °» V (Z=c)2 [y{X-w + p*-(z-;■)*■] d%<K = ’ Z)

SKP

OO L

(X’ Z) = 2^ Я [iW+Ww (l + V(x-W + № + p*+

,_________рячх-g)_______________________ +

[tf 2 -)- (Z — C)2] [(X— 5)2 + pa Я2 +Р» (Z — C)3]3/2 1

+__________—„]«*+

[(A: — £)* + рз fp + p2(Z _ i)3]3/2 J

CX5 H

(X -g)

. . . - ... -6)* + P*4» + P(Z-£)*.

— OO 0

_______________(Z-L) (X - £) prj_________ 2n (Z + L)

[4» + (Z-i)*][(^-e)2+pi4* + p3(Z-L)*]«/*',‘ Ph2 + (Z + i)*]»

h _ц ____________\ a. (Z + L)(X-S) pti_______

I K(X-£)2 + p3113+p2(z+ ¿)ij ^ [y)2(Z+Z.)3] [(AT—£)2 + рз^з+p2(Z+¿)]3'2

+

+ 1^(5, 11, ¿)[-

Рч

[(X-£)3-f p2r)2 + p2(Z-L)2]3/2 1

+ Г---------;------—---------------(H)

1 L K* - i)2 + Pa 71s + P3 (z + Wf J J

гдб Fсж (X, Z) — скос потока в сжимаемом газе.

В делом поправка к коэффициенту давления на поверхности модели, исследуемой в аэродинамической трубе, имеет вид

С1 (х> Л |к=±0= С‘Р(Х, г) ±с'РА (А, 2).

4. Формула (5), определяющая симметричную часть поправки к коэффициенту давления, и формула (11) для скоса потока при численном расчете были представлены в приближенном виде

их, г)=I х 2 (ич, ■ *>■' + ун.1 ■ в«> +

/=1 /=1

+ ¿2

(12)

Й=1 /=1

^.{Х‘ 2)=-г 2 2 Щ., • Аы + К,' в">+

+-^2

Й=1 /=1

где Аг,/ = ]Г 2(-1)п+т[-^+т(2-Су+п)/0/+п +

(13)

т=0 л=0

+ (г- с/+п) / о/+„ -1- 1п |^./+п + ^/±?>

* I Я1 + т,1+п~(2-Ч+п)

т=0 я=0 1 1

£>м= 2 Х(-1)п+т^+-^-£)/р1-^+^/ял-

т=0 л=0

- (* ■- ■¿) / ^?+(^+¿) Р2*+т,1+„ / *?Ь

1 1

С,,=2 £

(-1)

п+т

т=0 п=0

1п

Фк+т,1+п ^)й4-т

Фй+/л,1+и ' ^А + т)

+

+ 1п

1 1

@й+т,2+л + (Х~ ^й+т)

Л^= 2 2 (—1)'"+"агС{§

®к + т,1+п № %к+т)

(2-С/+я) (*-«/+«.)

т=0 п=0 1 1

в'и= 2 Ц(-1)т+п1п',(г-СуЧл)Р + /?г+т,/+„|;

т=0 л=0

Ч»+1,(^-Е*+«)

т=0 п=0

— аг^

(г + ¿) <2А+тг+„

см“Е ¿(- 1)ш+л<1пI^+» + +

от=О я = 0

+ 1п]рт)/+„ + £2|+т>г+и|};

0; = Л2 + (г-Су)*;

^=/(* - У2 + Рг я2 н- р2 (г - С,?;

Р} = ч 2 + (г_1)2;

Р2 = ^ + (г + ^)5;

3*./ = /(^-6*)' + РЧ + Р*(^-^)*;

О2*.* = /(*-1*)2 + ^-И2(£+£)2>

#*, и Ьж, — количество разбиений на стенках горизонтальной и боковой соответственно (см. рис. 2), значения компонент скорости берутся в центрах прямоугольных участков.

При анализе выражений (12) и (13) встает вопрос о количестве разбиений и размерах области, на которой вычисляются суммы. Непосредственно из уравнений (5) и (11) видно, что область интегрирования вокруг интересующих точек может быть ограничена, так как

1

подынтегральные выражения стремятся к нулю как—- при г-»-оо.

В работе [7] было показано, что для линейных граничных условий (типа Дарси) возмущения от стенок могут быть представлены точечными особенностями. При вычислениях внешнее поле, имитирующее возмущение от стенок, моделировалось комбинацией П-образных вихрей и источников, не вдаваясь в подробности, какой проницаемостью обладают стенки. Проведя исследование точности интегрирования на этих простых особенностях, в силу линейности потока можно оценить необходимое количество разбиений поверхности трубы для получения удовлетворительных результатов и в случае произвольных моделей и граничных условий.

Рассмотрим канал, имеющий в прямоугольном сечении полуширину ¿=1,5 и полувысоту # = 0,861. Центральный П-образный вихрь по-

луразмаха а = -у- Ь расположен так, что вихревые жгуты уходят на

бесконечность параллельно оси X из точек с координатами (0, 0, —а) и (0, 0, а). Расположение четырех П-образных вихрей, имитирующих возмущение от стенок, определяется зеркальным отражением центрального вихря от боковых стенок.

На рис. 3 для возмущения моделируемого четырьмя П-образными вихрями в сечениях по оси X представлены для сравнения вычисленные и действительные значения скосов потока при различном разбиении в процессе интегрирования. Удовлетворительное согласование в области расположения модели достигается уже при Х1=—>2 а и Х2 = 2 а (координаты начала и конца интегрирования) и МХ = ЬХ—10, Му = 2, Ы2 = 3. Рис. 4 иллюстрирует расчет симметричной поправки от возмущения типа источник—сток.

При непосредственном измерении компонент скорости на стенках необходимо учитывать точность фиксирующего прибора. Для оценки точности была выбрана приближенная модель прибора измерителя.

Рис.

¿М <й с нос потока ,z °'SL

о j 7 / •

продольная / / * О

ь[ компонента^ / ■& '

,, , +| иидуцирУети / / /

h J скорости. ' / /

/у /

///

///

///

/¿?Ь / //

Г

Рис. 6

Величина измеренного параметра U=U0+bS', где i/0 — точное значение величины, b — константа, S' — случайная величина, генерируемая оператором случайных чисел 0<5'<1. Если предположить, что параметр проницаемости измеряется этим же прибором, то для величины V=kU имеем V=V0+2bS'. При определенных b на рис. 5 представлены распределения измеренных предложенным прибором компонент осевой скорости на верхней стенке. Среднеквадратичёское отклонение составляло сг=6,9|% и о=3,4%. На рис. 6 для разбиения стенок на участки, как показано на рис. 2, приведены результаты, иллюстрирующие влияние среднеквадратической ошибки измерения параметров потока на среднеквадратическую ошибку в расчете скоса потока и осевой компоненты скорости в различных сечениях по Z. При ошибке измерения параметров на контрольной поверхности 5%, ошибка для расчетных величин индукции составляет 10%.

ЛИТЕРАТУРА

1. Влияние стенок в трансзвуковых трубах и пути его уменьшения.— Труды ЦАГИ, 1980, вып. 2028.

2. Быркин А. П., М е ж и р о в И. И. Численное исследование индукции проницаемых стенок рабочей части аэродинамической трубы малых скоростей. — Ученые записки ЦАГИ, 1977, т. 8, № 6.

3. VayssaireJ. Survey о! methods for correcting wall constraints in transonic wind tunnels., NiN (AGARD R-601), 1973.

4. L о C. F. Tunnel interferense assesment by boundary measurements.—

AIAA J„ 1972, N 4.

5. Глазков С. А., Иванова В. М. Исследование индукции проницаемых стенок аэродинамической трубы по известным параметрам потока вблизи них.—Ученые записки ЦАГИ, 1982, т. 13, № 4.

6. К г a f t Е. М. and Duhm J. A. Direct assesment of fall interference in a two-dimensional subsonic wind tunnels. — AIAA J., 82-0187, January 11—14, 1982.

7. С e м e н о в А. В., Ч и к и н а О. К. Влияние перфорированных стенок на обтекание П-образного вихря несжимаемым потоком. — Ученые записки ЦАГИ, 1984, т. 15, № 4.

8. И в а н о в А. И. К расчету граничного условия на проницаемых стенках аэродинамических труб. — Ученые записки ЦАГИ, 1985, т. 16, №1.

9. И в а н о в А. И., Нейланд В. М., Семенов А. В., Семенова О. К. Расчетно-экспериментальное исследование интерференции моделей с перфорированными стенками и хвостовой державкой при испытаниях в дозвуковом потоке. — Доклад на советско-французской подгруппе по аэродинамике, авиационной акустике и прочности. — М.: 1984.

Рукопись поступила 22/1 1987