Численное исследование индукции проницаемых стенок рабочей части аэродинамической трубы малых скоростей Текст научной статьи по специальности «Физика»

________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том VIII 19 77

М 6

УДК 533,6.071.88

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ИНДУКЦИИ ПРОНИЦАЕМЫХ СТЕНОК РАБОЧЕЙ ЧАСТИ АЭРОДИНАМИЧЕСКОЙ ТРУБЫ МАЛЫХ СКОРОСТЕЙ

А. П. Быркин, И. И. Межиров

Приводятся результаты численных расчетов плоских и пространственных течений в рабочей части аэродинамической трубы малых скоростей имеющей проницаемые стенки.

Получено, что при давлении в камере, окружающей рабочую часть, равном давлению невозмущенного потока, применение проницаемых стенок при плоском течений не приводит к уменьшению индукции стенок.

В случае пространственных течений со свободными вихрями, распространяющимися вниз по потоку, использование проницаемых стенок с продольными щелями позволяет существенно уменьшить индукцию стенок.

В последние годы значительную актуальность приобрели вопросы индукции стенок рабочей части аэродинамических труб малых дозвуковых скоростей. Это вызвано разработкой и исследованиями летательных аппаратов с большими значениями коэффициентов подъемной силы (например, самолетов вертикального и укороченного взлета и посадки), модели которых сильно возмущают поток в аэродинамической трубе. Следует отметить, что индукция стенок в данном случае обусловлена в основном не вытесняющим влиянием модели, а отклонением потока несущей системой.

К настоящему времени опубликовано довольно большое количество работ, в которых в приближении потенциального течения рассматривается вопрос взаимодействия несущей модели с проницаемыми стенками рабочей части (см., например, [1]). В большинстве этих работ решение получено аналитически в виде рядов. Коэффициенты ряда зависят от источника возмущений, формы рабочей части, характеристик стенки, и их значения обычно приходится определять численно с помощью ЭЦВМ.

В настоящей работе используется численный метод решения, что позволяет изучать течения в рабочих частях с произвольной

формой поперечного сечения, с произвольно меняющимися по длине характеристиками и типом перфорации, при достаточно сложных источниках возмущений (моделях). Это иллюстрируется расчетами, проведенными для расположенного в рабочей части П-образного вихря конечного размаха и для случая переменного давления по длине камер. ^

1. Будем предполагать, что в рабочей части аэродинамической трубы с проницаемыми стенками (плоской или прямоугольного

Фиг. 1

сечения, фиг. 1) осуществляется потенциальное течение несжимаемой жидкости. Потенциал возмущенной скорости удовлетворяет уравнению Лапласа (ось х совпадает с направлением невозмущенного потока):

д2 9 , , (?5у __0 ^

дх2

ду2

Потенциал <р представим в виде:

(2)

где потенциал модели, находящейся в неограниченном пространстве (считается известным); — искомый потенциал возмущения, обусловленный наличием стенок.

В качестве <?т в данной работе будут рассмотрены потенциалы плоского и П-образного вихря. Здесь и ниже предполагается, что координаты отнесены к половине высоты рабочей части А, а потенциал — к величине {/«А, где — скорость невозмущенного потока.

Граничные условия на проницаемых' стенках примем в следующем виде (см., например, [2]):

в случае поперечных щелей или круглых отверстий

д<р 1 й<р дх ' Л? дп

= 0,

(3)

в случае продольных щелей

ду дх

(У2 ср

дх дп

0,

(4)

где п — направление нормали к стенке.

Предполагается, что рабочая часть окружена камерой, в которой поддерживается давление рК, равное давлению невозмущенного потока (рк=рао).

Граничные условия (3) и (4) являются „осредненными", т. е. в них фигурируют параметры потока не на самой стенке, а на некотором небольшом расстоянии от нее, при котором уже не чувствуются периодические изменения скоростей, связанные с чередованием непроницаемых участков и участков свободной границы. При выводе условий (3) и (4) предполагается, что возмущенные скорости вблизи стенки малы.

В условии (3) ^ где а — отношение площади отвер-

стий к площади стенки. Можно легко показать, что Я является коэффициентом пропорциональности между перепадом давления на стенке и расходом жидкости через стенку. Такая пропорциональность имеет место при ламинарном течении вязкого газа через пористую среду (закон Дарси). Поэтому условие (3) иногда называют „условием пористой стенки14. В действительности соотношение (3) справедливо не из-за влияния вязкости, а вытекает из того факта, что перепад давления на элементе твердой поверхности перфорированной стенки („подъемная сила1*, развиваемая элементом) пропорционален углу атаки элемента, т. е. нормальной к стенке составляющей скорости V.

Величина к в условии (4) является коэффициентом пропорциональности между перепадом давления на стенке и кривизной линии тока вблизи нее, который определяется соотношением ’

где / —шаг продольных щелей.

Однако в обзоре [1] отмечается, что применение выражения для к

где і — толщина стенки рабочей части,

обеспечивает лучшую корреляцию между теорией и экспериментом.

Следует указать, что в случае продольных щелей граничное условие (4) предполагает, вообще говоря, конечность шага щелей I. При I -* 0 и фиксированном о & -» 0, и мы получаем из условия (4) ду/дх = 0, т. е. стенка с очень частыми продольными щелями ведет себя как свободная граница. Эта предельная форм граничного условия была получена А. А. Никольским [3].

В случае проницаемых стенок бесконечной длины граничные условия при х = ± сю имеют вид: .

2. Интегрирование уравнения (1) для определения функции <р, с граничными условиями (3) или (4) и (5) будем проводить конечноразностным методом. Применение этого метода проиллюстрируем на примере плоского случая.

Для этого введем преобразование продольной координаты по формуле

т4

сов Ж (1 —о) — СІ1 -у-

5ІП К (1 — з)

д<?1і'дх = 0 при ,дс = + со.

(5)

Е = ~г аг^ (сх).

3—Ученые записки № 6.

33

позволяющее свести область интегрирования по 5 к конечной

(I изменяется от —1 до 1). При этом уравнение (1) запишется

следующим образом:

д ( ду1 \ д2 <р,-

£ Ж аа ) + ду* ~ ^

где

_<К_ с

& йх 7С 1 + (сх)2 '

Плоскость ? у покрывается сеткой с узлами _уг =/Ду

(к, 1 = 0, + 1, +2,...), где Д?, Ду — шаги сетки, и уравнение (6) аппроксимируется по симметричной схеме

+ ёк (?/)* + !, I ~ (?()*. I _ Еч 4 ёк—г Ы*. I — (?/)*_!, I „2 д£ 2 Д£ ,

£* -------------------------

Д£

Ы*,г+1-2Ы*,г +Ы*, г_.

= 0.

где

1 (Ду)2

Полученное выражение приведем к виду

“*(?/)*, г-1 + ,3* (?<)*, г + и (?г)л. /+1 = 8* I?г 4- £* (<Р/)*+ъ /, (7)

, £ = 0, +1, +2,..., ±(/С—1); /=0, +1, +2, (1-1),

_ 1/(Ау)2 й _ 1/(Ду)»

а* —-------г— . Р*=1» Та = '

Г

я + ^-1 1 \ / г _/ £й4-1 + £*____

°А \fift 2 (Д£)2 ) I ™ ^Ь—уёк 2 (Д £)2//4*’

г I #*+1 + £* , £*+£*-1 | * ,

(*А 6* I о Т о I /леи ■+'

1 (де)э (Ду)2 ’

К, I — номера граничных узлов сетки. При этом граничные условия (3) или (4) и (5) также представляются в конечно-разностном виде.

Решение системы линейных алгебраических уравнений (7) совместно с конечно-разностными соотношениями, следующими из граничных условий, будем находить последовательными приближениями по методу верхней блочной релаксации [4]. Для этого предварительно вычисляются значения функции ('р<)*л/2 в узлах сетки в результате решения одномерной системы уравнений

ак Ы7*:/-! + Р* (<Р&\П + (<Р,)4Г*+1 = 8. 1 + £а (?|)*+1. /. (8)

А = сопб^ 1 = 0, 4^1, +2, ..., (£ — !)•

Недостающие два уравнения, замыкающие данную систему на слое к, имеем из граничных условий (3) или (4), записанных в разностном виде по внутренним узлам сетки. Окончательно значение искомой функции (?/)*,/ на (у + 1)-й итерации определяется по формуле

(? ,-)£!!=(?,)'*. г + х [(?,г/2 - (?,)£. 11, (9)

где т — релаксационный параметр (-с = 1,2-ь 1,4).

При этом решение системы (8) и выполнение процедуры (9) осуществляется последовательно при возрастании значения А. Само решение системы (8) находится методом прогонки, формулы для которой являются устойчивыми [5].

Итерации прекращаются при выполнении в каждой точке условия

I ?;:+1 — ?!■ I <г.

где а — малая величина.

При расчетах в качестве начального приближения поля в рассчитываемой области использовалось условие 'Р^О.

3. Изложенным выше методом проведен расчет индукции перфорированных стенок плоской рабочей части аэродинамической трубы малых скоростей. Моделью обтекаемого тела служил плоский вихрь (см. фиг. ], а), потенциал которого имеет вид

*™=-1йГагс18-Ь

где Г — значение циркуляции.

Численное интегрирование уравнения Лапласа'для определения потенциала обусловленного стенками, проводилось при параметрах сетки /С= 30, /. = 20 и с =0,5.

Расчеты проведены для стенок, перфорированных поперечными и продольными щелями. При этом нижняя и верхняя стенки имели одинаковую степень проницаемости.

На фиг. 2 для значений (3= 1 —0; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1 и

Р = -^гкг= 0; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1 приведены данные по величине

параметра индукции § в зависимости от приведенной длины х. Здесь случай С2 = Р = 0 соответствует сплошным стенкам рабочей части, случай <3 = Р=1 — свободной границе. Величина 8 характеризует влияние стенок (скос потока) и определяется следующим образом:

Отметим, что данные, аналогичные приведенным на фиг. 2, содержатся также в работе [6].

Из фиг. 2 следует, что наименьшие значения параметра 8 в окрестности модели обеспечиваются сплошной стенкой и, таким образом, применение проницаемых стенок (как с поперечными при рк = р0й, так и с продольными щелями) является нецелесообразным.

Такой вывод подтверждается данными фиг. 3, где в качестве примера для С} = Р = 0,2 приведены распределения поперечной скорости г>/£/оо на верхней стенке по х. Здесь для сравнения со случаями проницаемых стенок штрихпунктиром нанесена кривая, отвечающая условию безграничного потока. Все кривые на фиг. 3 соответствуют безразмерной циркуляции Г = :г5т10о. Видно, что вверх по потоку от модели поперечная скорость на проницаемых стенках отрицательна, в то время как в безграничном потоке она должна быть положительной. Несоответствие картины обтекания модели безграничным и ограниченным потоком как при лг<0, так и при х>0 все более увеличивается с ростом С1 и Р.

Индукция проницаемых стенок может быть уменьшена, если давление рк в камерах, окружающих рабочую часть, будет меняться

по длине рабочей части [7—9]. При этом в случае стенок с поперечными щелями граничное условие (3) можно записать в виде [9]:

11 i v — Р*

при у == 4 1,

(Ю)

где Рк

1 Ра

Рк

2 > У°° — г ■

Вводя переменные по длине давления рк. „ (л;) и рк_ „ (х) в нижней и верхней камерах, определенные из условия (10) при возмущенных скоростях и и v, соответствующих условиям обтекания безграничным потоком, мы полностью исключаем влияние стенок.

На фиг. 4 для Г = i: sin 10° и Q = 0,2 (/? = 0,25; о —0,16) приведена зависимость Рк.в(х). Отметим, что при использовании в качестве источника возмущения плоского вихря Рк. н (х) = — Рк. в (х).

Далее были проведены расчеты индукции проницаемых стенок при Q = 0,2, когда вместо Рк в(х) бралась кусочно-постоянная функция, изображенная на фиг. 4. Это соответствует наличию всего двух отсеков в нижней и верхней камерах, в которых давление отличается от давления невозмущенного потока. Для сравнения с предыдущими результатами данные последнего расчета

нанесены на фиг. 2 и 3. Резкие изменения в поведении кривых на фигурах, отвечающих этому расчету, вызваны разрывами в аппро-ксимационных зависимостях Рк. „(х) и Рк. в(х).

Видно (см. фиг. 3), что даже при грубой аппроксимации закона давления, соответствующего обтеканию безграничным потоком, имеется качественное согласие вертикальных скоростей на линии у =1 для данного случая и случая безындукционного обтекания. При этом обеспечивается заметное уменьшение параметра индукции 8 по сравнению со случаем без противодавления (см. фиг. 2). Аналогичный результат был получен ранее в работе [9] в случае плоского трансзвукового потока. Таким образом, регулируя давление по длине камер перфорации ступенчатым образом при сравнительно небольшом числе отсеков камер, можно добиться повышения эффективности перфорации в плоском случае.

4. По аналогии с плоским случаем проведено исследование индукции проницаемых стенок рабочей части прямоугольного сечения (см. фиг. 1,6) при отношении ширины к высоте 2; 1 и 0,5.

В качестве модели несущей системы (крыла конечного размаха) использовался единичный П-образный вихрь, состоящий из несущей линии (присоединенного вихря) и пары свободных вихрей, параллельных оси х. Следует иметь в виду, что здесь не учитывались нелинейные эффекты (заметное отклонение свободных вихрей от плоскости симметрии при очень больших значениях циркуляции),, и поэтому настоящие результаты могут быть в будущем уточнены.

Потенциал П-образного вихря имеет вид:

Интегрирование уравнения Лапласа для определения функции проводилось численно с использованием метода верхней блочной релаксации для пространственного случая. Как и в плоском случае, расчеты проводились для стенок, перфорированных поперечными и продольными щелями [граничные условия рассматривались вида (3), (4)].

Источник возмущения — П-образный вихрь — рассматривался конечного {аф 0) и бесконечно малого (а-*0) размаха. В случае вихря бесконечно малого размаха (вихревого диполя) предполагалось, что существует конечный предел Га. Выражение для потенциала возмущения приобретает при этом вид:

На фиг. 5 для вихревого диполя приведено распределение параметра индукции 8 по длине х. Величина о в данном случае определялась следующим образом:

Результаты расчетов представлены для показанной на фиг. 5 конфигурации рабочей части и разных значений параметров Рн (Я1> = Рг> = 0), где индекс И отвечает горизонтальным, а V — вертикальным (боковым) стенкам. Из графика видно, что перфорация поперечными щелями не будет эффективной ни при каком значе-

(V) + агс1ё ^~зг) + агс^ (!

а — г

У |'.г2 + у2 + (а — г)2

х

у=0, г = 0

Га

нии (}л. При х со независимо от С1к величина 8 стремится к одному и тому же значению, соответствующему сплошным горизонтальным стенкам [это следует из граничных условий (3) и (5)].

В то же время, как следует из фиг. 5, в случае перфорации продольными щелями при Рь = 0,4 можно добиться достаточно малого влияния стенок на величину подъемной силы. Поэтому расчеты других случаев проводились только для продольных щелей. Отметим, что результаты расчетов, приведенные на фиг. 5, хорошо согласуются с результатами расчетов работы [6].

Было выяснено, что боковые стенки при рассмотренных значениях Р„ = 0 и 0,4 и форме рабочей части в виде прямоугольника (Ь/к = 2) и квадрата (при одной и той же площади поперечного сечения) слабо влияют на величину 8. Однако при форме рабочей части в виде прямоугольника, вытянутого по оси у, влияние боковых стенок становится заметным. В последнем случае приемлемые значения величины 8 могут быть обеспечены только при проницаемых боковых стенках.

На фиг. 6 приведены результаты расчетов для вихря конечного размаха. Штриховые линии на этой фигуре отвечают значению 8 при у — 0, 2 = 0, штрихпунктирные — при у — 0, г/а = 0,5. Сравнивая соответствующие кривые фиг. 5 и 6, можно видеть, что для рассмотренной конфигурации поперечного сечения рабочей части и /г/а= 1 величина 8 слабо зависит от размаха вихря. Из фиг. 6, кроме того, можно сделать вывод, чте 8 является слабо изменяющейся функцией г.

В целом проведенные расчеты показывают, что при заданной площади целесообразной формой поперечного сечения является прямоугольник с 6/А = 2. Величина 8 слабо зависит от bih при 1<6/Л<2, если площадь поперечного сечения рабочей части остается постоянной. В этом случае приемлемые значения параметра индукции получаются при сплошных боковых стенках и перфорированных продольными щелями горизонтальных стенках.

ЛИТЕРАТУРА

1. Carbonaro М. Review of some problems related to the design and operation of low speed wind tunnels for V/STOL testing-. „AGARD Report”, N 601, 1973.

2. Медер П., В у д А. Влияние типа стенок околозвуковой трубы на характер течения. „Механика*. Сб. переводов и обзоров иностранной периодической литературы, т. 44, № 4, М., Изд. иностр лит., 1957.

3. Гродзовский Г. Л., Н и к о л ь с к и й А. А., С в и щ е в Г. П., Таганов Г. И. Сверхзвуковые течения газа в перфорированных границах. М., „Машиностроение", 1967.

4. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. Изд.

СО АН СССР, Новосибирск, 1972.

5. I оду нов С. К., Рябенький В. С. Разностные схемы. М..

„Наука“, 1973. '

6. Р i n d s о 1 а М., L о С. F. Boundary interference at subsonic speeds in wind tunnels with ventilated walls. AEDC TR-69-47, 1969.

7. Sears W. R. Self correcting wind tunnels. .Aeronautical Journal",

78, 1974. ’

8. Bernstein S., J о p p a R. G. Development of minimum correction wind tunnels. „А1АА Paper", N 144, 1975.

9. Сычев В. В., Ф о н a p e в А. С. Безындукционные аэродинамические трубы для трансзвучных исследований. „Ученые записки ЦАГИ“, т. 6, № 5, 1975.

Рукопись поступила 21/XII 1976 г.