Определение силы сопротивления движению при трении груза о стенки трубы на прямолинейных участках скребкового трубчатого конвейера Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 622.371

© В .Г. Дмитриев, Р.Р. Радимов, 2012

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИЛЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЮ ПРИ ТРЕНИИ ГРУЗА О СТЕНКИ ТРУБЫ НА ПРЯМОЛИНЕЙНЫХ УЧАСТКАХ СКРЕБКОВОГО ТРУБЧАТОГО КОНВЕЙЕРА

Для решения задачи по определению силы сопротивления движению при проталкивании тела волочения внутри трубы использовано уравнение внутреннего равновесия груза в цилиндрической системе координат. При некоторых несущественных допущениях получено выражение для нормального давления, действующего на стенки трубы, в зависимости от угла установки конвейера, угла внутренне -го трения, высоты слоя груза между скребками и его плотности. По известной величине нормального давления определена сила трения груза о стенки трубы. Ключевые слова: конвейер, сила сопротивления, система координат.

При определении силы сопротивления движению при проталкивании тела волочения внутри трубы воспользуемся приемом, принятым в работе [1]: сначала определим сопротивление проталкиванию полного тела волочения, а затем — реального, отсеченного впередиидущим скребком. Схема прямоугольной системы координат в поперечном сечении трубы конвейера показана на рис. 1, а. Схема напряжений, действующих в элементарном объеме сыпучей среды dxdydz. приведена на рис. 1, б (схема повернута продольной осью трубы z вверх). Уравнения внутреннего равновесия груза, согласно принятой схеме напряжений, имеют вид:

дс J дх + дх у/ ду + дх xJ dz = °

дс у/ду + дт ху/ дх + дт yz/дz = -pg cos Р, (1)

дс J & + дт xJдх + дт zl дУ = -pg sin P,

где сх, су, cz , Н/м2 — нормальные напряжения, действующие вдоль осей x, y и z; тху, Txz и тyz — касательные напряжения на плоскостях xy, xz и yz (причем, согласно правилу парности касательных ш^жщ тху = тух, Txz = Tzx и Txz = Tzy); Р — плотность груза; g — ускорение свободного падения; в — угол наклона трубы конвейера к горизонту.

Рис 1. Система координат в поперечном сечении трубы конвейера (а) и схема напряжений в точке сыпучей среды в прямоугольной (б) и цилиндрической системах координат (в): 1 — труба; 2 — сыпучий груз

Считаем, что форма тела волочения на прямолинейном участке конвейера не изменяется, относительно трубы частицы груза движутся только вдоль оси х. В этом случае силы трения груза о трубу направлены также только вдоль ее оси. В плоскости поперечного сечения трубы силы трения груза о трубу равны нулю. В этой плоскости имеют место только силы нормального давления

груза на трубу, то есть только радиальные напряжения ог на границе тела волочения, контактирующей с трубой (см. рис. 1, в). Поэтому на окружности трубы удобнее рассматривать напряженное состояние груза в системе цилиндрических координат r и 9, где r — текущий радиус, 9 — центральный угол, отсчитываемый от вертикальной оси у (см. рис. 1, а). Тогда схема напряжений, действующих в элементарном объеме (rda)drdz, приобретает вид, показанный на рис. 1, в. Уравнения равновесия груза при этом имеют вид:

дсг/дг + (1/r)дтг9/д9 + дтге/дz + (сг -с9)/r = -pgcosРcos9,

(1/r) •дc9/д9 + дтr9/дr + drQJdz + 2 тг9/r = -pg cos Psin 9,

дс z/дz + dr +(1/ r) дт9 J д9 + тrJr = -Pg sin P, (2)

где сг и c9 — соответственно, радиальное и тангенциальное (окружное) напряжения; тг9, Trz и t9z — касательные напряжения на соответствующих гранях элементарного объема груза.

При этом напряжения в плоскости поперечного сечения трубы связаны следующими соотношениями:

дс J dr + (1 / r) дтгв/д9 = -pg cos Р cos 9,

(1/r) • дсг/ д9 + dTr9/dr + 2 тг9/r = -pg cos Psin 9. (3)

В дальнейшем считаем систему координат жестко связанной с перемещающимся скребком.

В нашем случае, когда трения по поверхности трубы последними соотношениями пользоваться нельзя, так как при 9 = 90° напряжение ог = да. Поэтому определим напряжение ог следующим образом.

Уравнения внутреннего равновесия груза в плоскости г9 при условии, что тангенциальное нагружение равно радиальному (с0 = =оД приобретают вид:

dcr / dr + (1/r) dtr0 /дв = -pg cos (3 cos 9,

(1/ r) • dcr / d9 + dTr9/dr + 2т r 9 r = -pg cos в sin 9. (4)

На внутренней поверхности трубы конвейера, как уже указывалось выше, силы трения груза по трубе в плоскости г0 отсут-

ствуют. Поэтому вблизи поверхности трубы xre = дтг9 /59 = 0 и уравнения внутреннего равновесия принимают вид:

dcr/dr = -pg cos в cos 9,

dcr/ д9 + r dzreldr = -pgr cos вsin 9. (5)

Поскольку dr = dy/cos9, то из первого уравнения системы (5) получаем:

dcrl дУ = ~pg cos в (6)

Следовательно, сила трения fpCy в первом приближении зависит только от высоты уровня груза, отсчитанной вдоль оси у и не зависит от напряжения cy. На оси у (х=0), cy = pgh. В точке пересечения линии уровня h со стенкой трубы (x = Ятр) имеем:

CTy = с cos2 9 = pgh cos2 9 = pgh[l - (hmax - h)/ R]2 (?)

где hmax — полная высота слоя груза, отсчитываемая от нижней точки трубы O'; R — радиус трубы.

Таким образом, у стенки трубы вертикальная компонента напряжения меньше, чем на оси у. Напряжение cy просто уменьшается от центральной вертикальной оси трубы к ее стенкам. Скорость уменьшения зависит от уровня груза. В точке O', h = hmax

и Cy = С = pghmax.

В случае, если давление груза в верхней точке трубы равно нулю, радиальное давление получается равным:

Cr =pg[hmax - R(1 - cos9)] cosв, Н/м2. (8)

Чтобы определить силу трения в данном сечении тела волочения необходимо проинтегрировать эту величину по дуге окружности, элементом которой является величина:

Rd9 = RD[arccos(1 -(hmax -h)/R] (9)

Интегральное нормальное давление груза на стенки трубы, выраженное через высоту слоя груза, при этом равно:

h"!.ax f h - h

S = 2 \p-g ■ hcose■ R■ darccosl l —max-

0 V R

z-^max i hmax\ , -<__r>2 .

1 -| 1 - ,hmax

= 2pg^U-mfx -1 larcos(1 -^m^) + 2pg^ cos в тт/2/.ч

V я У1 R Vv R J Н/м2 (9)

Это выражение с достаточно высокой точностью аппроксимируем зависимостью:

S « 2n{hmaxlD)

?

где lnn/ln2 «1,65.

Если сопоставить величине Ар соответствующий уровень груза над верхней образующей трубы, равный Ah, то

S = 2п • p • g •R 2 cos в + 2п • p • g •Ah cos в = 2п • p • g^R2 (1 + Ah/R )cos в =

= 2n-p-g^R 2 cose • (2hmax/D -1), где hmax = D + Ah .

Такой же результат получается при интегрировании нормального давления на стенки трубы в пределах от 9 = 0 до 9 = п,

S

то есть при подстановке в предыдущие выражения для и значений 9max = п, sin9max = 0. Таким образом, если условный уровень груза hmax больше D, следует пользоваться другой формулой для расчета интегрального давления груза на трубу.

Определим условный коэффициент трения груза о трубу (среднеинтегральный).

Погонный сила от веса груза в сечении трубы при hmax = D в проекции на ось у равен:

Gy = р • g-R2 (i9max - ^sin(2 • 0max))cos^ Н/м 2

(10)

и тогда

R^ — 1J ' ^max + sin ^max fy _ Утр ' S/Gy _ 2 Утр 1 _

^max — ^ sin 2^max

_ 2 f sin ^max ~ ^max 'cos ^max _ Л./тр i '

^max — ^ sin 2^max где fíp — коэффициент трения груза о трубу конвейера.

(11)

При заполнении половины сечения трубы и полном заполнении условный коэффициент трения, соответственно, равен / = = 4тГр/п (при/Тр « 0,75/0,/ = /о) и 2/тр. При йтах > В.

fy =

2п • р •r • g • Л cosв Г2h

2

nR р • g cos в

D

-lj = 2 /гр (2Лта^/ D -1)

. (12)

Рассмотрим более общий случай, когда нормальное напряжение cy не равно проекции гидростатического давления груза. При этом используем метод Кулона, при котором считают границы зон различного напряженного состояния груза прямолинейными, распределение давления на эти границы линейным, а предельные соотношения между напряжениями в состоянии предельного равновесия груза переносят на соотношения между интегральными силами на границах зон различного напряженного состояния. При этом в любом сечении груза распределение напряжений cy и cz принимается линейным, а также считаем, что напряжения cy и cz распределены равномерно по ширине сечения трубы конвейера и имеют линейное распределение по ее высоте. Тогда в формуле (11) необходимо принять, что интегральное давление груза на трубу в сечении, где hmax < D, равно

h h

max f J. _ J. \ "max

S = 2 J cy • Rdarccosl 1 - hmax h ]= J -

о ^ R } о 1 - Итак -h

R

- c

y

=dh =

= -2cy J

hdh

1

(hmax - h)R2 -

h - h ''max "

R

Н/м 2

(13)

Отсюда следует, что при линейном распределении су(Н) можно использовать полученные формулы (11) и (12) с поправочным коэффициентом, равным к = су /2р£С08р.

h

2

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Хаар М.Е. Основы теоретической механики грунтов — М.: Стройиздат, 1971. — 319 с.