CC BY
26
УДК 621. 778 Еремеев Валерий Константинович,
к. т. н., доцент кафедры «Вагоны и вагонное хозяйство», Иркутский государственный университет путей сообщения, тел. 8-964-215-88-11, e-mail: [email protected]
Цвик Лев Беркович, д. т. н., профессор кафедры «Вагоны и вагонное хозяйство», Иркутский государственный университет путей сообщения, тел. 8-964-359-30-88, e-mail: [email protected]
АНАЛИЗ ДИАМЕТРАЛЬНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ТРУБЫ В КЛИНОВЫХ ЗАХВАТАХ ПРИ ОСЕВОМ НАГРУЖЕНИИ
V.K. Yeremeyev, L.B. Tsvik
THE ANALYSIS OF DIAMETRICAL STABILITY OF THE PIPE IN WEDGE-SHAPED CLAMPS AT AXIAL LOADING
Аннотация. Рассмотрена задача обеспечения диаметральной устойчивости круглых оболочек большой длины (горячекатаных и холоднотянутых труб) при одновременном воздействии на них диаметрального и осевого нагружения.
Конкретно задача решена в приложении к условиям проталкивания труб в волочильную фильеру с зажимом её головной части в клиновом самотормозящемся механизме плашками различного профиля. Осевое усилие создаётся силами сопротивления от проталкивания в волочильную фильеру, а диаметральное - от плашек зажимного устройства. Данная схема нагружения довольно широко используется и в других машинах, например, при закатке днищ баллонов и формировании в штампах торцевой части полых изделий, в станках для формирования обжатого конца труб для их последовательного сочленения или формирования конусного конца буровых труб под нарезку резьбы. Известные проверенные зависимости по диаметральной и продольной устойчивости оболочек при одновременном действии того и другого не учитывают распределение усилий по длине зажимного инструмента, и их применение в реальной инженерной практике даёт значительные погрешности.
Приводятся результаты аналитического анализа воздействия силовых факторов от клинового зажимного инструмента на диаметральную устойчивость трубы в процессе принудительной задачи в волочильную фильеру. На основе результатов анализа и экспериментальных исследований трубоволочильного стана определяются предельные возможности разовых обжатий в принятой конструкции без нарушения формы обрабатываемого изделия. Даются рекомендации по выбору оптимальных параметров геометрии зажимного инструмента, исключающие возможность потери диаметральной устойчивости изделия в процессе проталкивания изделия в фильеру волочильного стана.
Ключевые слова: волочение, проталкивание, расчетные схемы нагружения изделия, возникающие силы и напряжения, методы оптимального профилирования зажимного инструмента.
Abstract. The problem of ensuring diametrical stability of round covers of big length pipes (hot-rolled and cold-drawn) under simultaneous coercion of diametrical and axial loading on them is considered. Particularly, the task is solved as applied to the conditions of pushing the pipes through drawing die-hole with its head part clamped in the cuneiform self-braking mechanism by tapping dies of various profiles. The axial effort is created by resistance forces from pushing through the die-hole, while the diametrical one comes from clamping dies of a clutch. This scheme of loading is used quite widely in other machines, for example, in rolling up of the cylinder bottoms and formation of the face parts of hollow workpieces in the stamps, in machine tools for the pressed-out pipe end formation for their consecutive joining, or formation of the conical end of boring pipes previous to thread cutting. The known checked up dependences for the diametrical and longitudinal stability of covers under simultaneous effect of both don't take into consideration the distribution of efforts over the length of the clampinging device, which results in considerable errors in the course of their actual application in engineering. The results are given of the effect ofpower factors from the wedge clamping device upon the diametrical stability of a pipe during the coercive introduction into the drawing die-hole. Based on the results of the analysis and experimental studies of a pipe drawing mill the ultimate capabilities of single squeezings in the accepted design without deformation of a processed product are defined. Recommendations concerning the choice of optimum parameters of geometry of the clamping device are given, excluding the possibility of a diametrical stability losses in the workpiece while pushing it through the die-hole of a drawing mill.
Keywords: drawing, pushing through, calculated schemes of loading of the workpiece, arising forces and tensions, methods of optimum profiling of the clamping device.
Актуальность проблемы
В различных технологических машинах, работающих по принципу проталкивания изделия через инструмент (волочильные станы, различные прессы, станки для формирования обжатого конца труб для их последовательного сочленения), изде-
лие в большинстве случаев зажимается в клиновом самотормозящемся механизме, который обеспечивает отсутствие проскальзывания при выполнении технологического процесса. Возможность получения максимальных обжатий по диаметру за один проход ограничивается продольной и диа-
метральной устойчивостью изделия. Усилие зажима изделия в клиновом инструменте вариативно пропорционально усилию проталкивания в зависимости от конструктивного исполнения. Вопрос продольной и диаметральной устойчивости труб и оболочек достаточно хорошо изучен в литературе [1, 2]. Однако применение в реальной инженерной практике известных зависимостей даёт значительные погрешности, поскольку в рассматриваемых машинах на изделие накладываются одновременно и продольные и радиальные нагрузки. Кроме того, распределение продольной нагрузки на зажимной инструмент весьма неравномерно по его длине. Указанные недостатки теоретического рассмотрения вопроса не позволяют с достаточной точностью определить практически реальные возможности принятой конструкции по основным технологическим параметрам. В настоящей статье рассматриваются реальные схемы нагружения изделия при различной геометрии зажимного инструмента.
Полученные аналитические зависимости позволяют выбрать наиболее оптимальные геометрические параметры зажимного инструмента в зависимости от номенклатуры обрабатываемых изделий и определить предельные технологические возможности принятого конструктивного исполнения машины.
Выбор и расчёт реальных схем нагруже-ния в проталкивателе волочильного стана
Схема взаимного расположения изделия и клинового инструмента в проталкивателе волочильного стана показана на рис. 1.
Рис. 1. Схема проталкивателя волочильного стана, совмещённого с основной фильерой: 1 - обрабатываемая труба; 2 - фильера стана; 3 - клиновые зажимные плашки; 4 - каретка проталкивателя
Труба 1 подаётся рольгангом до упора в фильеру 2. Зажимные плашки 3 приводятся в действие, как правило, пневмо- или гидроцилиндром. Затем подаётся давление в гидроцилиндры перемещения каретки 4 и труба принудительно проталкивается через фильеру 1 для последующего захвата плашками волочильной тележки, плашки 3 расклиниваются и выполняется процесс волоче-
ния. Усилие проталкивания Qnp обычно составляет 1,25...1,35 от усилия безоправочного волочения. Возможность увеличения разовых обжатий в проходе ограничивается потерей продольной и диаметральной устойчивости трубы.
Угол клина a в каретке 4 выбирается из условия самозаклинивания механизма во избежание проскальзывания трубы в плашках 3 в процессе проталкивания. Это условие в упрощенном виде записывается формулой
a < arctgf - arctg/2, где f - коэффициент трения между трубой и плашками; f - коэффициент трения между плашками и корпусом каретки.
В зависимости от материала обрабатываемых труб (стальные или медные сплавы) угол клина принимается в пределах a = 7____12 о. Усилие, передаваемое каждой плашкой на обрабатываемую трубу (см. сечение А-А рис. 1), с достаточной для инженерной практики точностью,
можно записать в виде: Q = 0,5 Ql . Таким обра-
tg a
зом, при угле клина а = 7 о (трубы из медных сплавов) усилие давления на трубу Q составит 4,1 от усилия проталкивания и 5,2 от усилия волочения. При максимально возможном угле клина а = 12 о (трубы из стальных сплавов) усилие давления на трубу составит 2,4 от усилия проталкивания и 3,1 от усилия волочения. Уже здесь видно явное противоречие между возможностями разовых обжатий при волочении труб из медных сплавов и предельными возможностями устойчивости труб в процессе проталкивания. Возникает задача поиска оптимальной геометрии контактной поверхности плашек и их длины для выполнения максимальных разовых обжатий.
Особенность нагружения трубы при проталкивании на участке взаимодействия её с плашками заключается в том, что труба на этом участке нагружена как нормальными давлениями, так и переменной по величине осевой силой, которая меняется от усилия проталкивания до нуля. Действие осевой силы существенно влияет на распределение давлений по длине контактной зоны. Для определения наиболее опасного сечения трубы в пределах контактной зоны необходимо установить характер изменения осевой силы на участке взаимодействия трубы с плашками и закон изменения контактного давления на этом участке. Знание этих закономерностей позволит обоснованно выбирать необходимую длину плашек, исключающую потерю устойчивости поперечного сечения трубы при заданной технологической нагрузке.
Для решения указанной задачи рассмотрим сначала взаимодействие круглой трубы с плоски-
Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение
ми контактными поверхностями, т. е. плашки выполнены призматической формы с углом развала 2 Р (см. рис. 2).
\ JL Мо С /
п ___\
V /
/ у — \ Рис. 2. Схема действия сил в поперечном сечении
трубы при использовании плашек призматической формы
Совместим начало координат с ненагружен-ным осевой силой сечением трубы в пределах контактной зоны. На расстоянии х от начала координат выделим из трубы кольцо единичной длины и запишем выражение полной потенциальной энергии деформации для этого кольца, пренебрегая влиянием поперечных сил и контактными деформациями ввиду их малости [3].
0,5л о Л /Г V Л,-. 2
Г = í
2M и R, dф + Qx
D„
(1)
0 D4 2EF' где Ми - изгибающий момент в поперечном сечении кольца с угловой координатой ф , Rcp - средний радиус трубы R = R — 0,5t, t - толщина стенки трубы; Dn - цилиндрическая жёсткость кольца, Et3
D = —7-' v - коэффициент Пуассона; Q -
12(1—v )
осевая сила с координатой x; F - площадь сечения трубы; Е - модуль упругости.
Для определения М раскроем статическую неопределимость кольца, пренебрегая деформациями ввиду их малости и учитывая симметричное приложение нагрузки. При раскрытии статической неопределённости воспользуемся методом сил [3], в соответствии с которым условно разрежем кольцо в точке 0 и приложим к полученным разрезом плоскостям сечения момент сил М0 и продольную силу N0, эквивалентные силовым факторам, действующим в этом сечении кольца. Запишем выражения для изгибающих моментов в сечении для одной четверти кольца:
Mx = M0 + N0 R^ (1 — cos ф) при 0 <ф<р;
M2 = M0 + N0R, (1 — cos ф) — qRcp sin (ф — р)
при р<ф< 0,5л, (2)
где Р - половина угла профиля плашки.
Силу N0 определим по условиям симметрии
N = q • sinp,
(3)
где q - нагрузка, действующая на кольцо единичной длины.
Применим для определения М0 метод Касти-льяно и получим следующее уравнение:
í-^s = 8ф0, (4)
J EJdM
где ds = Rcp dф - элемент длины кольца; 8ф0 -
поворот сечения в точке 0; J - момент инерции сечения кольца.
Вследствие симметричности всей системы относительно оси справедливо равенство 8% = 0.
Продифференцируем выражение для изгибающих моментов (2) по М0 и получим: -= 1.
dM0
Подставим это значение в уравнение (4) и проинтегрируем его для одной четверти окружности, учитывая, что каждое кольцо нагружено одинаково. После сокращения на постоянную получим:
Р 0,5л 0,5л
jМ^ф + jМ^ф = j Mo + N0Rcp (1 — cos ф)}/ф —
0 р 0 0,5 л
— jqRcv sin (ф — р^ф = 0,5л(м0 — N0R, )—
0
— N0Rtp — R (1 — sin p) = 0,
и отсюда
M0 = qRop (1 — sin Р> 0,5л — ^R^ (1 — 0,5л). (5) Подставим N0 в (5) и в результате преобразований определим: M0 = qRcp (0,5л — sin р).
Подставляя данное значение М0 в выражение (2) окончательно для изгибающего момента получим: M = qRcp (0,5л — sin р cos ф) при 0 < ф < р;
M2 = qR^ (0,5л — sin фcos р) при р < ф < 0,5л. (6)
Подставим значения М1 и М2 в выражение (1), проинтегрируем и тогда:
24q2 (1 — v2 RKa¡ Q2
Г = -
■ + ■
(7)
Et3 2EF '
где Кп = 0,25(sm2 p-2p^2р + лcos2 p-8/л).
Связь между осевой силой, приложенной к трубе со стороны плашек, и интенсивностью радиальной нагрузки на контактной поверхности найдём из условия, что в сечении трубы с координатой х осевая сила равна сумме элементарных сил трения, действующих на участке от нуля до х:
л
Qx = 4f j qdx,
(8)
где / - коэффициент трения на контактной поверхности с плашками.
Отсюда после дифференцирования определим д:
q =
4f
(9)
Для определения О. воспользуемся уравнением Эйлера вариационной задачи [4]
ёГ ё ёх
( ^ ^ dr
dQx
dQ
+ -
т2 f ^ Л
d2 dr
dx
x J
dQ
= 0, (10)
xJ
из которого после подстановки (7) с учётом (9) получим дифференциальное уравнение относи-
п п" 12/2& тельно & : Ох = „4
6л(1 -v2 R Кп •
Решением этого уравнения является выра-
жение
где 5 = -
Qx = QeBx + C^e
(11)
tf
-, С1 и С2 - произволь-
q = Q
пр
4/8к{Б1п ) • (12)
Анализ полученного выражения показывает, что наибольшего значения д достигает при х = /п, а наименьшего при х = 0.
q = ^ tí¿(B/ ); q. =
^ max л г V п / ' ^ min
4/ .....^ 4/!МВ1ш )•
Знание экстремальных значений интенсивности сил нормального давления позволяет оценить границы применимости допущения о их постоянстве по длине контактной зоны. Примем, что указанное допущение справедливо, если отличие максимального значения от минимального не превышает 10 %. Представим это условие в виде следующего неравенства
qn
qn
= ch (в/ п )< 1,1 •
Разложим гиперболический косинус в ряд и
(13)
удержим два его члена, тогда
v
1 + 0,5(В/П )2 < 1,1 • Представим В и виде
В =
_Kptf
R
(14)
ср
где Kp =[бя(1 -V2 )Кп I0,5 •
Значения при V = 0,3 для различных углов Р представлено ниже:
Р, град 15 30 45 60 75
К
Р
0,73 1,23 3,09 1,23 0,73
6^(1 -V2 )к„
ные постоянные, определяемые из начальных условий вида бх (о)= 0; бх (/п ) = бпр , 1п - длина плашек, б - усилие проталкивания.
Подставим С1 и С2 в (11) и найдём: О = ^(Бх) О
Ох 8к(Б1а ) Опр • Зная О, из (9) получим закон изменения давления по длине контактной зоны плашек.
Бек(Бх)
Подставляя В из (14) в (13), получим окончательное условие, при выполнении которого давление на контактной поверхности между трубой и плашкой распределено практически равномерно:
0,45 Я2
t <-- • (15)
ЛКР ' '
Анализ полученного условия при обычно реализуемых на практике значениях f = 0,2...0,3 и углов 30°<Р<60° показывает, что допущение о постоянстве давления на контактной поверхности трубы и плашки справедливо лишь для тонкостенных труб, а в общем случае вносит значительные погрешности в результаты расчёта.
Как следует из (12), наиболее опасным сечением трубы в пределах контактной зоны является сечение с координатой l. В этом сечении действует усилие проталкивания и минимальное контактное давление.
Для определения наиболее нагруженных точек этого сечения исследуем на экстремум выражения для изгибающего момента (6). В результате исследования получим, что М1 достигает максимума при ф = 0, а М2 - при ф = 0,5л. Максимальные значения М1 и М2 совпадают и равны:
M^ax = M2max = qЯсp (0,5л - 0,5 sin 2р) • (16)
Учтём, что при достижении напряжением в наиболее опасной точке предела текучести материала трубы её несущая способность не исчерпывается. Можно вместо расчёта трубы по допускаемым напряжениям использовать методику её расчета по предельным состояниям. В соответствии с этой методикой предельным состоянием трубы будем считать такое нагружение, при котором начинается пластическая деформация её поперечного контура. Допускаемую нагрузку qR определим с запасом прочности n по формуле
0
2
Bx
Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение
Чд =-
Чп
(17)
Для определения предельного значения нагрузки проанализируем процесс нагружения трубы. При увеличении силы сначала под действием изгибающего момента труба деформируется упруго. Затем в сечении, где действует наибольший по величине изгибающий момент, появляются пластические деформации. Предельное значение момента, которое может воспринимать наиболее нагруженное сечение трубы, определяется из условия равенства напряжений по всему сечению предела текучести qs материала трубы. Величина Мпр в таком случае определяется по формуле [5]
Mnv = 0,25//Ч - (18)
Сечение, в котором возник предельный момент, можно представить как шарнир с постоянным моментом трения, или так называемый пластический шарнир. Для исчерпания несущей способности поперечного сечения трубы необходимо, чтобы это сечение уподобилось шарнирному механизму, элементы которого могут поворачиваться относительно осей шарниров [3]. Следовательно, при появлении пластического шарнира в наиболее нагруженном сечении трубы и дальнейшим увеличением нагрузки q момент в этом сечении остаётся постоянным и равным Мпр, а в других сечениях изгибающий момент растёт до появления пластического шарнира в каком-нибудь из них. Определим значение предельной нагрузки для кольца единичной длины. При симметричной схеме нагружения кольцо начинает пластически деформироваться при появлении шести пластических шарниров в его поперечном сечении. Четыре пластических шарнира образуются в сечениях кольца, где приложены силы q, и два шарнира - по одной из осей симметрии кольца. Если рассматривать четверть кольца, как мы это делали ранее, то здесь образуется два пластических шарнира.
Анализ нагружения кольца проведём для случая 0 <ß< 45°, так как другой случай 45°<ß< 90° получается из первого простым поворотом осей на 90 o. Для определения сечения, в котором изгибающий момент по абсолютной величине достигает наибольшего значения, запишем пользуясь уравнениями (6), выражения для максимального и минимального моментов.
Мтж = qКр(0,5л-0,5sin 2ß);
Mmin = Ч2Кр (0,5 л- cos ß) .
Подставляя в эти выражения вместо Мтях и Мтп значения М и выражая из них q и д2, получим:
М„,
Мпр П
R^ (0,5л - 0,5 sin 2р) 2 R^ (2 - ncosp) Уравнения полученных значений q и q показывают, что q > q при 22° < Р <38° . В этом случае пластический шарнир появляется сначала в сечении с координатой ф = 0,5л. Для других диапазонов 0<Р< 20° и 38° <Р<45° пластический шарнир появляется в сечении, где приложена сила q, то есть при ф = Р . Для этого случая q < q .
Запишем выражение для изгибающего момента в сечении с координатой ф = Р . При действии пластического шарнира в сечении с координатой ф = 0,5л при (q > q)
M = M„р + qRcv(l-sin p)cosp. Аналогичное выражение получается и для случая q < q . Подставляя сюда величину М
вместо М из условия появления в сечении второго пластического шарнира, получим выражение для определения q
Чпр =-
2Мщу
(19)
2Rcp (1 - sin p)cos p' где у - коэффициент, учитывающий влияние жёстких концов трубы на устойчивость её поперечного контура.
После появления второго пластического шарнира в пределах одной четверти кольца кольцо может начать пластически деформироваться. Пластическим деформациям наиболее нагруженного кольца в зоне контакта трубы с плашками должно соответствовать перемещение плашек навстречу друг другу. Но такое перемещение невозможно, поскольку менее нагруженные участки трубы в зоне контакта не имеют пластических шарниров в поперечном сечении. Следовательно, пластическая деформация контура труб произойдёт лишь при распространении пластических шарниров на всю длину взаимодействия между трубой и плашками. Этому предельному случаю будет соответствовать равномерное распределение контактных давлений по длине трубы.
q = Q / L, (20)
где Q - нормальное усилие, действующее на каждую грань трапецеидального профиля плашек (на рис. 1 буквой Q обозначено усилие, действующее на плашку).
n
Для определения максимального значения силы Q получим условие равновесия клиновой плашки в заклиненном состоянии в зависимости от усилия проталкивания Qпp (см. рис. 1):
д = -- , (21)
4бю р • а
где а - угол клиновой поверхности плашки.
Подставляя полученное значение в (18) и (19), определим необходимую длину плашек про-талкивателя из условия устойчивости поперечного контура трубы
l
гс nRcpa np mß
2TJG s tga
(22)
продольной силой N, действующей в поперечном сечении кольца.
Ч^1 / \у 1 ^ ¿¿"^ \
\ / К ) /
\/ л
1 - sin ß
где mß =—jTß— при ß < 45°; mß = 1 - cos ß при
ß > 45°; T = t / 2R ; n - запас прочности.
Как следует из (22), длина плашек проталки-вателя должна выбираться из соотношения G™ / G,. Анализ зависимости l от угла ß по-
пр s п min '
казал, что наиболее рациональным углом ß является ß = 45°, при котором величины mß и l
принимают наименьшие значения. Следовательно, при выполнении захватов трапецеидальной формы целесообразно угол ß назначать ß = 45°. Так, например, использование угла ß = 45° вместо часто применяемого угла ß = 60° позволяет уменьшить l при прочих равных условиях более чем в 2 раза. Принимая ß = 45°, а = 10°, n = 1,2, получим формулы (22) для тонкостенных труб (T = 0,1) - зависимость минимальной длины плашек от напряжения проталкивания:
1п min = 15 Rop ü пр / ü s •
В то же время необходимо учесть, что диапазон охвата диаметров обрабатываемых труб плашками с углом ß = 60° в два раза превышает тот же диапазон охватываемых труб с углом ß = 45° • И здесь уже в зависимости от конкретных условий эксплуатации принимается решение, что выгоднее: увеличивать разовое обжатие в проходе или увеличивать количество захватного инструмента.
Для оценки предельных возможностей про-талкивателя по максимально возможному обжатию за один проход представляет интерес случай [6, 8], когда плашки имеют радиальный профиль, радиус которого равен радиусу трубы (рис. 3). В отличие от предыдущего случая, здесь при определении потенциальной энергии деформации кольца единичной длины, вырезанного из трубы в зоне взаимодействия с плашками, необходимо учитывать потенциальную энергию трубы, связанную с
Рис. 3. Схема нагружения трубы захватами радиальной формы
Необходимость учёта этой составляющей потенциальной энергии объясняется тем, что при углах Р, близких к 90 °, потенциальная энергия деформации, связанная с изгибающими моментами, действующими в поперечном сечении кольца, стремится к нулю. Запишем выражение для полой потенциальной энергии кольца единичной длины
^ = J
D
Et
2EF
(23)
где Ncp - среднее значение продольной силы в
поперечном сечении кольца.
Поскольку сила N на участке от 0 до 0,5 п меняется монотонно, то значение N с достаточной для инженерных расчётов точностью можно получить как полусумму максимального и минимального значений силы N на этом участке.
Считая, что в поперечном сечении трубы давление по дуге контакта между трубой и плашкой распределено равномерно, значения N и Nmn получаем как сумму проекций всех элементарных сил на оси 0X и 0Y . р
Nmax = J РЯср COS фф = РЯср Sin Р ;
0
Р
Nmin = J РЯср sin ф^ф = РЯср (1 - cos р), (24)
0
где P - давление на контактной поверхности.
Тогда выражение для N можно представить в виде: NСр = РЯСр Тр, где Тр = 0,5(1 - cosр + sin р).
Для определения Ми раскроем статическую неопределимость кольца, пользуясь методом сил. Для этого разрежем кольцо по оси 07 и заменим действие отброшенной части кольца на оставшуюся моментом М0 и продольной силой N0. Запишем
п min
0
Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение
выражение для изгибающих моментов в сечении с координатой ф для одной четверти кольца:
ф
Mi = М0 + N0 (1 - cos фХр - j PK sin (ф -
0
при 0 < ф < ß;
ф
М2 = М0 + N0 (1 - cos ф)Кср - j РКс2р sin (ф - уУу
0
при 0^<ß . (25)
Величина N0 определяется по условиям симметрии тела и равна
N0 = Nmin = РКср (1 - cos ß) . Используя, как и в предыдущем случае, метод Кастильяно, получим
0,5 л ß 0,5 л
j Ми^ф = j М^ф+ j М2ёф. 0 0 0 Подставляя сюда М1 и М2 из (25) и N0, получим после преобразований
f2 1 - cos ß^
М 0 = РКср ß
л
ß
(25):
М1 = PRpß
2 1 - cos ß cos ф
ß
при 0 < ф < ß
М2 = p« —
2 1 - sinßsin ф
при ß^< 0,5л .(26)
л ß
Подставим М1, М2 и N0 в уравнение (23) и, выполняя необходимые преобразования, полу-
чим
Г =
24P2 R2 (1 -V2)
Et3
Tit rR K + ß
п 24R2 (1 -v2)
+
QL_
2EF
. (27)
л
Qx =j 4fPRcv ßdx.
(28)
Q, =
6л(1 -v2) R; (Kn + Kn )
(29)
где Kv =
лt 2rß2
24Кс2р (1 -v2) 1,5 (ß- sin ß c Решением этого уравнения является выра-
Kn = 1,5(ß-sinßcosß) + | ^-ßlsin2ß-2ß-
жение вида
где B =
Kßtf
R2 :
Qx = QeBx + C^"Bx, C1 и С2 - произвольные постоянные,
определяемые из начальных условий вида
Qx (0) = 0; Qx (/п ) = Qnp;
ß
л/бл(1 -v2) (K n + Kn )
• C = -C =
' C1 C 2
2QПp
sh (B/п)"
(30)
Подставим С\ и С2 в (29) и найдём
о = ^^ о
Для определения Р воспользуемся выражениями (28) и (30), из которых получим
Зная М , найдём выражения М и М из
P =
лK ßt 2 °пр ch(Bx)
2ßRс2p ch(B/п) .
(31)
Полученное выражение устанавливает закон изменения контактных давлений между трубой и плашками проталкивателя по длине участка их взаимодействия. Как следует из этого выражения, давление достигает наибольшего значении при х = I :
P„„ = ■
л^ t2 а „р cth(B/п)
2ßR 2,
(32)
Учитывая, что осевая сила 0 равна сумме
сил трения между трубой и плашкой в пределах участка от нуля до х, получим зависимость между Р и О вида:
Выразим отсюда Р через О и подставим в
(27). Далее используем уравнение Эйлера вариационной задачи в виде (10), из которого получим дифференциальное уравнение для определения О:
* 7 2р2а
Для определения предельного давления рассмотрим выражения для изгибающего момента (26). Анализ этих выражений на экстремумы показывает, что наибольшего значения MH достигает при ф = 0. Следовательно, сначала пластический шарнир образуется в этом сечении. Наименьший момент действует с координатой ф = 90° .
Mmn = M0 - PRl (sin р + cos р -1). (33)
Несущая способность кольца исчерпывается при появлении второго пластического шарнира в сечении с координатой ф = 90° . Подставляя в (33)
значения M^ вместо M0 и (— M0) вместо Mmn ,
получим выражение для предельного давления:
р _ ^пД 45 R2 (cos р + sin р +1).
Принимая, как и в предыдущем случае, что пластический шарнир в поперечных сечениях трубы образовался по всей длине контактной линии
0
зоны между трубой и плашками, запишем выражение для определения давления Р
P=-
41 пRср sm Ptga
(34)
Подставляя сюда допустимое давление P, которое получается делением Р на коэффициент
запаса прочности п , получим после преобразований значение минимальной необходимой длины плашек при использовании захватов с радиальным профилем
/
Ж ap RcpnCT пр
yt ст s tga
(35)
rTJP cos P + sin p-l
где a =—-----
p sin p
Анализ полученного выражения показывает, что с увеличением угла p охвата трубы плашкой
величина /пшп уменьшается. При p^ 90 ° величина a ^ 0, что соответствует уменьшению изгибающего момента. Одновременно с этим увеличивается максимальная продольная сила, действующая в сечении с координатой ф = 0,5л. При достаточно большом значении Nm!ül труба может разрушиться под действием продольных напряжений, используя выражения (24) и (34), получим второй вариант расчёта минимальной длины плашек:
/
л^ср ст пр
п min2
2а ^ а
Анализ результатов расчёта по определению /пшп1 и /пшп2 показал, что определять минимальную необходимую длину плашек из условия прочности по продольным напряжениям можно лишь при а = Т, что для тонкостенных труб (Т = 0,1) соответствует углу Р> 84 ° . Для остальных углов охвата при определении / можно пользоваться формулой (35).
Сравнение величин ар и тр позволило
установить, что применение захватов радиальной формы вместо трапецеидальной даёт возможность уменьшить длину захватов и расширить технологические возможности проталкивателя лишь при углах охвата р> 70°. Так, например, при угле охвата трубы радиальными захватами р = 80 ° их длина может быть принята в два раза меньше, чем при использовании трапецеидальных захватов с углом р = 45 ° при прочих равных условиях. Одновременно следует иметь в виду, что применение захватов радиальной формы резко ограничивает
возможность их использования для разных диаметров труб без смены зажимного инструмента.
Результаты настоящей работы использованы при разработке конструкций действующих волочильных станов [6, 7] и экспериментально проверены [8].
Заключение
Полученные аналитические зависимости дают возможность на этапе проектирования протал-кивателей волочильных станов при заданных технологических режимах определять либо конструктивные параметры клиновых механизмов зажима, либо предельную величину обжатия за один проход, исключающие потерю их диаметральной устойчивости.
Анализ формы захватов клиновых плашек позволяет в заданных технологических режимах выбрать наиболее приемлемую их форму, исходя из экономической целесообразности и возможностей инструментальной службы предприятия.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. М. : Наука, 1967. 984 с.
2. Алфутов Н.А. Основы расчёта на устойчивость упругих систем. М. : Машиностроение, 1968. 311 с.
3. Федосьев В.Н. Сопротивление материалов М. : Наука, 1974. 559 с.
4. Краснов М. Л., Макаренко Г.И., Киселев А.И. Вариационное исчисление М. : Наука, 1973. 190 с.
5. Биргер А.А., Шор Б.В., Иосилевич Г.Б. Расчёт на прочность деталей машин : справ. М. : Машиностроение, 1979. 702 с.
6. Еремеев В.К. Состояние и перспективы совершенствования волочильного оборудования прямолинейного действия. // Тяжелое машиностроение. 1993. № 2. С. 2-7.
7. А. с. №899193, М. СССР, М. Кл.2 В 21 С 5/00. Устройство для формирования захватки на трубах перед волочением / В.К. Еремеев, К.Х. Клайс. № 2929914/22-02 ; заявл. 26.04.1980 ; опубл. 21.09.82, Бюл. № 3. 4 с.
8. Еремеев В.К., Баранов Г.Л. Экспериментальное исследование трубоволочильного стана 2500 кН // Сталь. 1988. № 2. С. 58-60.
9. Еремеев В.К., Цвик Л.Б. Математическое моделирование действия удара на растянутый стержень при резком снятии растягивющей нагрузки // Современные технологии Системный анализ 2013. № 2. С. 64-72.
