Определение резонансных скоростей подвижного состава Текст научной статьи по специальности «Математика»

Маркса пр., д. 35, г. Омск, 644046, Российская Федерация.

Кандидат технических наук, доцент кафедры «Информатика, прикладная математика и механика», ОмГУПС.

Тел.: +7 (3812) 31-18-66.

E-mail: enklim@mail.ru

Ерошенко Александра Викторовна

Омский государственный университет путей сообщения (ОмГУПС).

Маркса пр., д. 35, г. Омск, 644046, Российская Федерация.

Кандидат технических наук, доцент кафедры «Информатика, прикладная математика и механика», ОмГУПС.

Тел.: +7 (3812) 31-18-66.

E-mail: avx_firka@mail.ru

БИБЛИОГРАФИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ СТАТЬИ

Климович, А. В. Обоснование возможности снижения энергозатрат на тягу электропоездов на Омском отделении Западно-Сибирской железной дороги [Текст] / А. В. Климович, А. В. Ерошенко // Известия Транссиба / Омский гос. ун-т путей сообщения. -Омск. - 2016. - № 4 (28). - С. 2 - 11.

Ph. D. in Engineering, Associate Professor of the department «Computer science, applied mathematics and mechanics», OSTU.

Phone: +7 (3812) 31-18-66. E-mail: enklim@mail.ru

Eroshenko Alexandra Viktorovna

Omsk State Transport University (OSTU). 35, Marx st., Omsk, 644046, the Russiаn Federation. Ph. D. in Engineering, Associate Professor of the department «Computer science, applied mathematics and mechanics », OSTU.

Phone: +7 (3812) 31-18-66. E-mail: avx_firka@mail.ru

BIBLIOGRAPHIC DESCRIPTION

Klimovich A. V., Eroshenko A. V. Rationale the possibility of electric train energy consumption decrease at West Siberian railway Omsk department. Journal of Transsib Railway Studies, vol. 27, no. 3, pp. 2 - 9. (In Russian).

УДК 629.04

В. А. Нехаев

Омский государственный университет путей сообщения (ОмГУПС), г. Омск, Российская Федерация

ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕЗОНАНСНЫХ СКОРОСТЕЙ ПОДВИЖНОГО СОСТАВА

Аннотация. В статье рассмотрено такое важное понятие, как резонанс для трех случаев, когда подвижной состав описывается системой линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, когда математическая модель подвижного состава представляется нелинейной системой дифференциальных уравнений и когда в последней учитывается мультипликативное возмущение со стороны железнодорожного пути, а именно его междушпальная неравноупругость. В этом случае правильно и корректно говорить не о конкретной величине резонансной скорости, а об областях параметрической неустойчивости.

Ключевые слова: подвижной состав, железнодорожный путь, продольная неравноупругость пути, простые и комбинационные параметрические резонансы, резонансная скорость движения.

Victor A. Nekhaev

Omsk State Transport University (OSTU), Omsk, the Russian Federation

DEFINING FOR RMS-VELOSITY OF ROLLING STOCK

Abstract. The article deals with such important concept as the resonance to three cases: when rolling stock is described by a system of linear differential equations with constant coefficients, when the mathematical model of rolling stock represented a nonlinear system of differential equations, and when in the latter we take into account the multiplicative disturbance from railway, namely its non-equal-elasticity between sleepers. In this case, speak properly and correctly is not about a particular value of RMS-velocity, but on parametric instability areas.

Keywords: rolling stock, railroad, longitudinal non-equal-elasticity of railway, simple and Raman parametric resonances, RMS-velocity for motion.

I

№,n4!68) ИЗВЕСТИЯ Транссиба

Как хорошо известно, динамическая система колебательного типа обладает некоторыми собственными частотами, а их совпадение с частотами внешнего возмущения, действующими на механический, электрический или электромеханический объект, приводит к тому, что в системе устанавливается резонансный режим, следовательно, это повышенные нагрузки на элементы системы. Высказанная мысль верна только при одном условии, математическая модель такой динамической системы представляется системой обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Она наиболее хорошо укрепилась в динамике подвижного состава железных дорог.

Действительно, само понятие резонанса является самым важным и основным, всем хорошо известным понятием со средней школы. Все также хорошо знают, что явления резонанса имеют место не только в области звука и электричества, но и в механике,

оптике, физике, что резонанс может быть, например, причиной _ .

' ^ ^ > г г Рисунок 1 - Расчетная

разрушения моста, тоннеля под действием периодических сил, схема условного одноос-крушения поезда из-за интенсивных колебаний подпрыгивания, ного железнодорожного галопирования, относа, боковой качки, виляния или относа, по- экипажа

ломки валов при критических числах оборотов и т. п. С эволюцией понятия резонанса можно подробно ознакомиться по работе Н. Д. Папалекси [1]. Именно потому, что роль резонанса в науке чрезвычайно велика, а в реальной жизни мы практически постоянно встречаемся с теми или иными проявлениями резонанса, весьма важно глубокое и четкое понимание того, что же все-таки мы подразумеваем под резонансом.

Наше исследование будем вести на примере условного одноосного железнодорожного экипажа с тремя степенями свободы. Как доказано в работе [2], такую модель механической колебательной системы «экипаж - путь» можно считать корректно обоснованной. Ее расчетная схема показана на рисунке 1.

Здесь приняты следующие обозначения: Мк, Мт, Мк.п, Мп - массы соответственно кузова, тележки, колесной пары и «приведенная» масса железнодорожного пути; жц, жб, жп - жесткости центрального и буксового подвешиваний и жесткость железнодорожного пути; Дц, Дб, Дп - коэффициенты вязкого трения центрального и буксового подвешиваний и коэффициент вязкого трения железнодорожного пути; гк, гт, гкп - обобщенные координаты экипажа, характеризующие подпрыгивания кузова, тележки и колесной пары и отсчитываемые от положений статического равновесия. Считаем безотрывным движение колесной пары по рельсам. Более того, полагаем, что диссипативные силы, действующие в экипаже, малы - это обычное допущение для теории колебаний и выражается оно в виде:

)

Ы_1с «1,

(1)

здесь ... - норма матрицы. Для выбранного примера имеем: 0,241432<<1.

В качестве математической модели был взят условный одноосный экипаж - электровоз ВЛ10, исходные данные которого приняты следующими: 1,208; 0,5015; 0,562; 0,0516 - массы кузова, тележки, колесной пары и «приведенной» массы железнодорожного пути соответственно (тс-с /м); 97; 304; 7860 - жесткости центрального, буксового подвешиваний и средняя на рельсовом звене жесткость пути соответственно (тс/м); 4,74; 4,1; 27,8 - коэффициенты вязкого трения в центральном и буксовом подвешиваниях и железнодорожном пути соответственно (тс-с/м); /шп = 0,54348 (м) - среднее междушпальное расстояние.

Применяя известный алгоритм Лагранжа второго рода [3, 4], получим систему линейных дифференциальных уравнений для рассматриваемого условного обобщенного одноосного железнодорожного экипажа:

12 ИЗВЕСТИЯ Транссиба № 4(28) 2016

—— 1 V

м к ¿'к + Рц ( - ¿т) + жц ( - ¿т) = 0;

Мт¿т - Ац¿к + (Ац + Аб ) - Аб¿к.п - жц^к + ( + жб) ¿т - жб= 0; (2)

(к.п + Мп ) ) - Аб¿т + (Аб + Ап ) ¿к.п - жб¿т + ((б + жп ) ) = МЛ + АЛ + ж^

где л(0 - геометрическая неровность железнодорожного пути, и пока для нас неважно каким образом она описывается. Преобразуем систему уравнений (2) к векторно-матричной форме записи, которая является наиболее удобной для аналитического или численного решения задачи:

Aq + Bq + Cq = F (t),

(3)

здесь А = diag(Mк, Мт, Мк.п + Мп) - матрица инерционных коэффициентов условного обобщенного одноосного экипажа, имеющая диагональный вид;

^Рц -Рц 0 1

B = -р. Рц +Рб -Рб - матрица диссипативных коэффициентов экипажа;

V 0 -Рб Рб +Рп J

{ jtt. ц 0 1

C = _а//» jtt. Ol/i _|_ Ol/i ц _о//» жб - матрица жесткостных коэффициентов экипажа;

V0 б б п (t) J

Ч1

q =

- вектор обобщенных координат условного обобщенного одноосного экипажа;

VZK.n J

F (t) =

0

M Ji(t) + РпГ) + ™ur(t)

вектор внешнего возмущения, действующего на же-

лезнодорожный экипаж.

Далее решение задачи ветвится в зависимости от того, будут ли элементы матрицы C постоянными величинами или нет.

1. Примем жесткость железнодорожного пути постоянной, т. е. жп = const. Вычислим собственные частоты экипажа для консервативного случая, воспользовавшись математическим пакетом Mathcad k0 = eigenvals (A-1C). В результате получим вектор собственных частот

k0 =(k0к к0т к0к.п) ,

(4)

где к0к, к0т, к0к.п - собственные частоты подпрыгиваний кузова, тележки и колесной пары соответственно. Индекс Т означает транспонирование. Например, для исходных данных электровоза ВЛ10 они оказались такими: 1,42; 4,49 и 18,37 - соответственно для подпрыгиваний кузова, тележки и колесной пары (Гц). Если допустить, что геометрическая неровность описывается гармонической функцией (это предположение допустимо для волнообразного износа железнодорожного пути)

r(t) = Г0 sin cot,

(5)

здесь л - амплитуда геометрической неровности; со = жУ/1,8Ь - частота внешнего возмущения; У- скорость движения, км/ч; Ь - длина геометрической неровности, м, то несложно определить три значения резонансной скорости движения железнодорожного экипажа:

V = кок1.

. к п

у = 1,8 к0т Ь

'т :

п

= 1,8 к0кл Ь

к.п

п

А так как на железнодорожном пути можно обнаружить множество различных длин неровностей условно периодических, то какой-либо узел экипажа будет находиться в резонансном режиме даже в диапазоне эксплуатационных скоростей конкретного участка железной дороги. Нужно, конечно же, еще помнить о галопированиях кузова и тележки (в нашей расчетной схеме они опущены), следовательно, добавятся еще две собственных частоты и соответственно две резонансных скорости.

Если геометрическая неровность является стационарным случайным процессом с известной спектральной плотностью Я^(У,0), то внешнее возмущение можно записать так:

С($)=Mп \С(1)+)+к^С) ].

(7)

Далее несложные действия и применение преобразования Лапласа дают нам такое значение спектральной плотности для переменной £(():

^(V,®) = Mп2 (-02) + 4п®2

Я (V,®),

(8)

где к02п = жп/М п, 2пп = М п - вспомогательные параметры для принятой по умолчанию

дискретной инерционной математической модели железнодорожного пути. Воспользовавшись известной методикой Винера - Хопфа, можно написать:

Як (у,®) = ((®))^(У,0;

Ягт (V,®) = К (>)| 2 (V,®);

(у ®)=к м )2 му®) ,

(9)

здесь

Ж (у®) , Ж (70) , Ж (у®) - модули передаточных функция подпрыгиваний кузо-

ва, тележки и колесной пары соответственно.

Кратко остановимся на методике прямого вычисления передаточных функций системы дифференциальных уравнений (3). Выполним преобразование Лапласа над системой дифференциальных уравнений (3), тогда получим:

(Ар2 + Вр + С) д( р) = Р (р),

(10)

где р - оператор дифференцирования; д (р), Р(р) - изображения векторов выходных и входных координат экипажа. Распишем выражение для правой части уравнения (10):

Г Л

Р (р) =

0 0

Мп [р2 + 2Ппр + к2п р)

-Мп [ р2 + 2Пп р + к2п р)

Г 0Л 0

V1У

(11)

Следовательно, разделив левую и правую части системы (10) на изображение возмущения т](р) и введя обозначение для вектора передаточных функций Ж (р), имеем вместо (10) следующее:

(Ар2 + Вр + С)Ж (р) = М п (р2 + 2«п р + к2п) (0 0 1)1

(12)

14 ИЗВЕСТИЯ Транссиба № 4(28) 2016

—— 1 V

здесь

Ж (р) =

Г Жк (р)Л

Ж (р)

VW,П (р)у

- вектор передаточных функций системы «экипаж - железнодорож-

ный путь». Возвращаясь к оригиналам, полагая, чтор =]0 и Ж(7'0) Ж(0) + (0), имеем:

Б (0) X = й, (13)

где

Б(®) =

Г С-02 А -®В Л 0В С-а"

X =

Ж ^

Ж

V" I У

(14)

(15)

б =

0 0

Мп ( -0 = 0 0

2М п пп0

Г

(16)

Ж (70) =

Ж (70) =

^ (70) ^ (70)

С/0).

Г ^ (70) Л Ж*, (70) Ж* (70)

(17)

(18)

Таким образом, резонансы будут проявлять себя на спектральных плотностях выходных координат 2к, 2т и гкп в виде «пиков». Дальнейшая идентификация геометрической неровности железнодорожного пути состоит в том, что скорость экипажа и резонансные частоты известны, поэтому следует определять длины:

(

Ь. =

пУ 1,8 к0к

=

пУ 1,8 к0т

пУ

Л

1,8 к

0к.п У

(19)

Для линейной динамической системы справедлив принцип суперпозиции, поэтому геометрические неровности железнодорожного пути представляют собой сумму соответствующих гармоник.

2. Гораздо сложнее дело обстоит в том случае, если механическая система «экипаж -путь» описывается нелинейными дифференциальными уравнениями. Тогда понятие резонанса трактуется по-другому. Известно, что собственные частоты таких динамических систем зависят от соответствующих амплитуд колебаний, следовательно, уже нельзя утверждать, что при совпадении собственных частот с частотами возмущающих факторов возникает резонанс, ведь собственные частоты меняются со временем и в последующие моменты времени совпадение частот невозможно. Обычно в этом случае исходят из равенства работ дис-

сипативных и возмущающих сил на периоде колебаний узлов подвижного состава железных дорог. Известно, что амплитудно-частотные характеристики таких систем с жесткими упругими свойствами изгибаются вправо. Это значит, что резонансные скорости экипажа будут зависеть от соответствующих амплитуд колебаний узлов экипажа.

Подробно познакомиться со свойствами нелинейных колебательных систем можно по работе [6]. В нелинейной системе резонансные явления возникают не только при ш &к0п, как в обычных линейных системах, но и в случае, если одна из комбинационных частот внешнего воздействия близка к какой-либо собственной частоте системы. Следовательно, в нелинейных системах резонанс может наступить при выполнении условия:

к - Р

к0п - — ш, (20)

здесь р и q - целые взаимно простые числа (обычно небольшие); к0п - п-я собственная парциальная частота механической системы. Сегодня в теории колебаний принята следующая классификация различных случаев резонанса:

1) «главный», или основной, резонанс, когдаp=q=1, т. е. к0п & ш;

2) резонанс на обертоне собственной частоты, или параметрический резонанс, когда р = 1, т. е. ш &qk0n или к0п & ш/Ц; резонанс данного типа возможен в линейных системах с периодическими коэффициентами;

3)резонанс на обертоне внешней частоты, когда q = 1, т. е. к0п &рш.

Таким образом, при аналитическом, или численном, исследовании необходимо тщательно анализировать области указанных выше частот, иначе можно прийти к неверным заключениям. К сожалению, математика не представляет нам регулярных методов интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений, следовательно, мы вынуждены применять приближенные методы, в которых нужно задаваться каким-либо видом решения (3), при этом легко можно ошибиться.

3. В предыдущих пунктах жесткость пути считалась постоянной по его длине. Железнодорожный путь в действительности не является равноупругим по его протяженности из-за большого числа физических факторов, которые нам неважны, а важны математические аспекты учета этого обстоятельства в математических моделях подвижного состава. Нерав-ноупругость пути, очевидно, будет проявлять себя в математических моделях мультипликативным и аддитивным образом.

Так как мы интересуемся резонансными скоростями железнодорожного подвижного состава, то необходимо помнить о том, что в параметрических дифференциальных уравнениях существуют простые, комбинационные суммарного или разностного типа параметрические резонансы (области неустойчивости, где решения неограниченно возрастают). Следовательно, и резонансные скорости нужно уметь определять для указанных выше параметрических резонансов. Поэтому в качестве математической модели можно принять такую систему дифференциальных уравнений, т. е. учесть только мультипликативную составляющую неравно-упругости пути, отбросив ее аддитивную составляющую, которая характеризует изменение положения статического равновесия экипажа на пути (фактически это переносные ускорения, действующие на узлы подвижного состава):

Aq + Bq + С(^ - 0, (21)

где матрица жесткостных коэффициентов имеет теперь следующий вид:

_0 ^

С (/) -

_ 1//1

1//1

0 _11/1

-"I к

жб + ж0 (1 + 2лсо$2ш1)

(22)

здесь ж0 - средняя на рельсовом звене жесткость железнодорожного пути; / - коэффициент параметрического возбуждения; ш - частота параметрического возмущения:

16 ИЗВЕСТИЯ Транссиба № 4(28) 2016

—— 1 V

а

= ^7 3,6/шп;

(23)

V - скорость движения железнодорожного экипажа, км/ч; /шп - междушпальное расстояние железнодорожного пути (для заданной эпюры шпал в 1840 шт./км /шп ^0,54348), м. Преобразуем уравнение(21)так:

Ад + Бд + (С0 + 2у¥ соб 2а/) д = 0,

(24)

где

С =

1//1 Жц _а//» ц 0 >

_ Л//1 жц а//» а//» _о//1 жб , (25)

0 _а//» о//»

'0 0 0 >

7 = 0 0 0 V0 0 ж0 У (26)

Используя нормальные координаты, вместо выражения (24) получим уравнение в глав-

ных осях матрицы А- С0:

X + БХ + С (1 + 2цР со$2аг)х = 0. Здесь введены следующие обозначения:

'Б = и -1 А"1 Би;

С = и-1 А''С0и = (¿0К, ^0т, ^0к.п);

7 = С-1и-1 А-^и,

(27)

(28)

где и - матрица, составленная по столбцам из собственных форм консервативной системы, которые легко находятся с помощью математического пакета МаШсаё, а именно стандартной

функции и = eigenva/s(Aл С0), д = иХ. Положив, что диагональные элементы матрицы диссипации Г1 = /к°]' а при малой диссипации именно эти величины в основном определяют

демпфирование свободных колебаний системы, и элементы матрицы 7 - это /¡ь Тогда до-пус-

тимо воспользоваться несколько откорректированными формулами для границ областей параметрической неустойчивости, полученными методом малого параметра в работах [7 -10]. Границы главных областей параметрической неустойчивости при простых главных резонан-сах а =

= кщ определяются по формуле:

а

= к0; [1 ± ) ,

(29)

границы главных комбинационных резонансов суммарного типа а = (к0у- + к0к)/2 определяются по выражению:

1

а- — 2

7 , / , ГА ] + УкКк I 2 г г ~л к0 ^ + к0к ± 7 7-у]!Л // - 4Г;Гк

"0 ] 0к

№ 4(28) ^^ ИЗВЕСТИЯ Транссиба 17

Ц2016 — — ш я ^^ т^я ^^т ^^ я ш я я ■ ■ Еч^ ■ в ^^ ^^ Ш ш

если // < 0, то вычисляем границы главных комбинационных резонансов разностного типа а = (ко/ - к0к)/2 по формуле:

/

1

а- — 2

ко / к0 к -

у,К/ -уА

Ок

V

У/Ук

Ф21 - 4У/Ук

(31)

С учетом соотношения (23) формулы для главных границ областей неустойчивости (29) - (31) могут быть переписаны так (они, разумеется, являются приближенными, ибо не учитывают взаимодействия форм колебаний между собой, и мы вынуждены были ограничивать число гармоник):

у - 3,б/шп к0 /

1 -

у--

1,81

ж

ж

ко / + к0 к —

- {^/У ],

У/ко/ +Укк0к гтт/—4-

—/ V г 1/к1к/- 4У/Ук

4У/Ук

у -

1,8 /,„

ж

ко / к0 к

У,ко / -Укк0

О к

У/Ук

Фг\ - 4У/Ук

(32)

(33)

(34)

Выражения (32) - (34) позволяют найти главные резонансные скорости железнодорожных экипажей, но следует помнить о том, что кроме главных областей существуют зоны второго, третьего и так далее порядков и что мы учли только колебания подпрыгивания подвижного состава. Колебания галопирования кузова, тележек и тяговых электрических двигателей при опорно-осевом их подвешивании также дадут области параметрической неустойчивости и, следовательно, найдутся еще зоны резонансных скоростей, которые, разумеется, нужно добавить к уже найденным формулам (32) - (34).

Из формул для комбинационных параметрических резонансов (33), (34) очевидно, что они могут возникать и развиваться только в диссипативных системах. Заметим, что диссипа-тивные силы подвижного состава железных дорог создают порог, превышение которого коэффициентом мультипликативного возмущения просто недопустимо, ибо в отличие от обычного гармонического резонанса амплитуды колебаний колесной пары, тележки и кузова не будут ограничены, а устремятся в бесконечность, следовательно, через какое-то время экипаж перестанет существовать.

В результате математического моделирования были найдены области главных параметрических резонансов частей экипажа для консервативного случая (рисунки 2, 3).

а б

Рисунок 2 - Главные области параметрической неустойчивости в консервативном случае: а - колесной пары экипажа; б - тележки экипажа

18 ИЗВЕСТИЯ Транссиба № 4(28) 2016

—— 1 V

С учетом зависимости (22) были определены зоны резонансных скоростей экипажа (рисунки 4, 5).

1.002 г________

— 1

V

0,938

0,936

0.994'-----

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

М-

Рисунок 3 - Главная область параметрической неустойчивости кузова экипажа

в консервативном случае

901-----

Рисунок 4 - Зоны резонансных скоростей консервативной системы: а - колесной пары экипажа, б - тележки экипажа

Рисунок 5 - Зона резонансных скоростей кузова экипажа без диссипации

Анализ представленных на рисунках 4, 5 графиков для резонансных скоростей различных частей железнодорожного экипажа убеждает в том, что в область эксплуатационных скоростей подвижного состава попадает только колесная пара. Следует отметить, что с ростом коэффициента параметрического возмущения / область резонансных скоростей существенным образом расширяется. Однако нужно иметь в виду, что реальное значение коэффициента параметрического возбуждения/ не превышает 0,04 - 0,05.

Для экипажа, обладающего диссипативными силами, собственные частоты подпрыгиваний кузова, тележки и колесной пары равны 1,216; 4,205 и 17,866 (Гц) соответственно. Их сравнение с консервативным случаем указывает на уменьшение собственных частот подпрыгиваний кузова, тележки и колесной пары на 16,8; 6,78 и 2,82 % соответственно. Таким образом, можно сделать вывод о том, что силы вязкого трения в основном влияют на кузов и тележку экипажа и в незначительной степени на его колесную пару.

На рисунке 6 показаны зона главного и второго параметрических резонансов колесной пары экипажа в консервативном и диссипативном случаях, из которого нетрудно установить существование критического значения коэффициента мультипликативного возмущения, так, для колесной пары /кр « 0,461 для главной и / « 0,59 для второй зоны.

Рисунок 6 - Главная и вторая зоны параметрической неустойчивости колесной пары экипажа: красная и коричневая линии для консервативного случая, синяя и черная линии для диссипативного случая

Критические коэффициенты параметрического возбуждения представлены ниже в виде матрицы, где по главной диагонали даны значения /кр для простых резонансов, сверху главной диагонали находятся критические коэффициенты для суммарных комбинационных ре-зонансов, снизу главной диагонали - для разностных комбинационных резонансов:

/кр =

(26,987 24,465 3,579

24,465 22,178 3,245

3,579^ 3,245 0, 475

(35)

Учитывая, что практически значения средней жесткости железнодорожного пути и коэффициента параметрического возмущения можно вычислить по максимальному и минимальному значениям жесткости в шпальном ящике:

20 ИЗВЕСТИЯ Транссиба № 4(28) 2016

—— 1 V

1/ \

- -I 1//1 \1П I •

Ж0 - 2\ Жтах + Жтт) ;

Л =

1Л//1 _ О//1

(Ж- (Ж__max_mln

2 жтах ^ ж_

(36)

можно утверждать, что / находится в диапазоне приблизительно 0,04 - 0,05. Следовательно, в чистом виде ни простые параметрические, ни комбинационные суммарного или разностного типов резонансы не могут возбудиться. На рисунке 7 приведены области резонансных скоростей колесной пары железнодорожного экипажа для консервативного и диссипативного случаев.

Рисунок 7 - Области резонансных скоростей колесной пары экипажа: красная и коричневая кривые для консервативного случая, синяя и черная кривые для диссипативного случая

В заключение отметим, что в чистом виде любые параметрические резонансы в диссипа-тивной системе, каковой является любой железнодорожный экипаж, возникнуть не могут. Но попадание в ограниченные области (между красными и синими линиями, коричневыми и черными) параметрического резонанса приводит в действие другой эффект мультипликативного возмущения, заключающийся во взаимодействии вынужденных и параметрически возбуждаемых колебаний, и амплитуды вынужденных колебаний могут как увеличиваться, так и уменьшаться (все зависит от фазовых соотношений) [7 - 9, 11].

Согласно выводам работ [7 - 9, 11] нужно иметь в виду, что если все элементы матрицы ¥ в уравнении (23) имеют одинаковый порядок, то относительная ширина всех главных областей неустойчивости, измеряемая по отношениям частот, обладает одинаковым порядком ¡л. При слабой связи между обобщенными координатами области комбинационных резонан-сов могут оказаться по ширине уже областей простых резонансов. Напротив, если диагональные элементы матрицы ¥ в главных осях матрицы Л-С равны нулю или малы по модулю по сравнению с недиагональными элементами (для рассматриваемого примера имеем ( 0,01092 0,044167 -1,121581 ^

0,007389 0,029884 -0,758858 ), то области простых резонансов будут по ширине уже ч-0,009339 -0,037773 0,959196 ,

областей комбинационных резонансов того же порядка.

Как и в системах с одной степенью свободы, диссипация приводит к невозможности возникновения неустойчивости при малых глубинах параметрической модуляции, это прояв-

ляется в большей степени на побочных резонансах, чем на главных. Установлено [7 - 10], что в системах с несколькими степенями свободы возможен дестабилизирующий эффект диссипации, состоящий в расширении малых комбинационных областей при введении в систему без диссипации диссипативных сил с существенно различными парциальными коэффициентами.

Что же в действительности происходит в зонах комбинационных параметрических резо-нансов в настоящее время автору неизвестно, так как их теория еще слабо развита и достаточно громоздка. Видимо, продольная неравноупругость железнодорожного пути должна нормироваться, ибо создает достаточно большие переносные ускорения, действующие на узлы подвижного состава [12]. Кроме шпальной неравножесткости встречаются другие длины волн, а это может отразиться, например, на колебаниях подпрыгивания и галопирования кузова и тележки железнодорожного подвижного состава.

Таким образом, необходимо составлять жесткостные карты железных дорог, что возможно осуществить только с помощью натурных экспериментов, о чем мечтал мой учитель заслуженный деятель науки и техники РСФСР, доктор технических наук, профессор Пахо-мов Михаил Прокопьевич.

Список литературы

1. Папалекси, Н. Д. Эволюция понятия резонанса. Успехи физических наук [Текст] / Н. Д. Папалекси. - М., 1947. - Т. XXXI. - Вып. 4. - С. 447 - 460.

2. Нехаев, В. А. Обоснование выбора расчетной схемы железнодорожного экипажа для оценки импульсного воздействия со стороны пути [Текст] / В. А. Нехаев, В. А. Николаев, Е. П. Челтыгмашев // Известия Транссиба / Омский гос. ун-т путей сообщения. - Омск, 2015. - № 1 (21). - С. 36 - 44.

3. Суслов, Г. К. Теоретическая механика [Текст] / Г. К. Суслов. - М.-Л.: Гостехиздат, 1946. - 656 с.

4. Колесников, К. С. Курс теоретической механики [Текст] / Под ред. К. С. Колесникова / МГТУ им. Н. Э. Баумана. - М., 2002. - 736 с.

5. Галиев, И. И. Методы и средства виброзащиты железнодорожных экипажей [Текст] / И. И. Галиев, В. А. Нехаев, В. А. Николаев / УМЦ ЖДТ. - М., 2010. - 340 с.

6. Колебания нелинейных механических систем. Вибрации в технике: Справочник [Текст] / Под ред. И. И. Блехмана. - М.: Машиностроение, 1979. - Т. 2. - 351 с.

7. Болотин, В. В. Динамическая устойчивость упругих систем [Текст] / В. В. Болотин. -М.: Гостехиздат, 1956. - 600 с.

8. . Болотин, В. В. Колебания линейных систем. Вибрации в технике: Справочник [Текст] В. В. Болотин. - М.: Машиностроение, 1978. - Т. 1. - 352 с.

9. Шмидт, Г. Параметрические колебания [Текст] / Г. Шмидт. - М.: Мир, 1978. - 337 с.

10. F.Weidenhammer. Zufallschwingungen. - Zeitschr.angew. Math. Und Mech., Sonderheft (GAMM - Tagung), Bd. 47, 1967, p. 25 - 28.

11. Нехаев, В. А. Взаимодействие экипажа с квазиинвариантной системой подвешивания и неравноупругого по протяженности пути [Текст]: Дис... канд. техн. наук. - Омск, 1983. -217 с.

12. Неравноупругость пути и динамика железнодорожного экипажа с учетом нелинейной связи между обобщенными координатами [Текст] / В. А. Нехаев, В. А. Николаев и др. / Казахская академия транспорта и коммуникаций. - Алматы, 2014. - 134 с.

References

1. Papaleksi N. D. Evoliutsiiaponiatiia rezonansa. Uspekhi fizicheskikh nauk (Evolution of the concept of resonance. Successes of physical sciences). - Moscow, 1947, T. XXXI, no. 4, pp. 447 -460.

22 ИЗВЕСТИЯ Транссиба № 4(28) 2016

—— faV 1 V

2. Nekhaev V. A., Nikolaev V. A., Cheltygmashev E. P. Justification of the choice of the design scheme of the railway crew for the evaluation of impulse impact from the side of the path [Obosnovanie vybora raschetnoi skhemy zheleznodorozhnogo ekipazha dlia otsenki impul'snogo vozdeistviia so storony puti]. Izvestiia Transsiba - The journal of Transsib Railway Studies, 2015, no. 1 (21), pp. 36 - 44.

3. Suslov G. K. Teoreticheskaia mekhanika (Theoretical mechanics). Moscow L.: Gostekhiz-dat, 1946, 656 p.

4. Kolesnikov K. S. Kurs teoreticheskoi mekhaniki (Course of theoretical mechanics). Moscow: MGTU, 2002, 736 p.

5. Galiev I. I., Nekhaev V. A., Nikolaev V. A. Metody i sredstva vibrozashchity zheleznodorozhnykh ekipazhei (Methods and means of vibration protection of railway carriages). Moscow: GOU «Uchebno-metodicheskii tsentr po obrazovaniiu na zheleznodorozhnom transporte», 2010, 340 p.

6. Blekhmana I. I. Kolebaniia nelineinykh mekhanicheskikh sistem. Vibratsii v tekhnike: Spravochnik (Oscillations of nonlinear mechanical systems. Vibration in technology). Moscow: Mashinostroenie, 1979, T. 2, 351 p.

7. Bolotin V. V. Dinamicheskaia ustoichivost' uprugikh sistem (Dynamic stability of elastic systems). Moscow: Gostekhizdat, 1956, 600 p.

8. . Bolotin V. V. Kolebaniia lineinykh sistem. Vibratsii v tekhnike: Spravochnik (Oscillations of linear systems. Vibration in technology). Moscow: Mashinostroenie, 1978, T. 1, 352 p.

9. Shmidt G. Parametricheskie kolebaniia (Parametric oscillations). Moscow: Mir, 1978, 337 p.

10. F.Weidenhammer. Zufallschwingungen. - Zeitschr.angew. Math. Und Mech., Sonderheft (GAMM - Tagung), Bd. 47, 1967, pp. 25 - 28.

11. Nekhaev V. A. Vzaimodeistvie ekipazha s kvaziinvariantnoi sistemoi podveshivaniia i neravnouprugogo po protiazhennosti puti (Interaction of a crew with a quasi-invariant suspension system and a non-uniformly elastic path length). Ph. D. thesis, Omsk, OmIIT, 1983, 217p.

12. Nekhaev V. A., Nikolaev V. A., Solonenko V. G., Makhmetova N. M. Neravnouprugost' puti i dinamika zheleznodorozhnogo ekipazha s uche-tom nelineinoi sviazi mezhdu obobshchennymi koordinatami (Nonuniformity of the path and dynamics of the railway crew, taking into account the nonlinear connection between the generalized coordinates). Almaty: KazATK, 2014, 134 p.

ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРЕ

Нехаев Виктор Алексеевич

Омский государственный университет путей сообщения (ОмГУПС).

Маркса пр., д. 35, г. Омск, 644046, Российская Федерация.

Доктор технических наук, профессор кафедры «Теоретическая механика», ОмГУПС.

Тел.: +7 (3812) 37-60-82, +7 (3812) 31-16-88.

E-mail: NehaevVA@rambler.ru

БИБЛИОГРАФИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ СТАТЬИ

Нехаев, В. А. Определение резонансных скоростей подвижного состава [Текст] / В. А. Нехаев // Известия Транссиба / Омский гос. ун-т путей сообщения. -Омск. - 2016. - № 4 (28). - С. 11 - 23.

INFORMATION ABOUT THE AUTHOR

Nekhaev Victor Alekseevich

Omsk State Transport University (OSTU). 35, Marx st., Omsk, 644046, the Russion Federation. Doctor of Technical Sciences, Professor of the department « Theoretical Mechanics» Omsk State Transport University.

Phone: +7 (3812) 37-60-82, +7 (3812) 31-16-88. E-mail: NehaevVA@rambler.ru

BIBLIOGRAPHIC DESCRIPTION

Nekhaev V. A. Defining for RMS-velosity of rolling stock. Journal of Transsib Railway Studies, 2016, vol. 28, no. 4, pp. 11 - 23. (In Russian).

№,n4!68) ИЗВЕСТИЯ Транссиба 23