CC BY
23
5. Skovorodnikov E. I., Mikheyev V. A. Modelling of processes functioning of diesel locomotive power for the purpose of optimization the number of control parameters [Modelirovanie protsessov funktsionirovaniia dizel'-generatornoi ustanovki teplo-voza s tsel'iu optimizatsii kolich-estva parametrov kontrolia]. Transport Urala - The Urals Transport Bulletin, 2009, no. 1 (20), pp. 59 - 62.
6. Anisimov A. S., Mikheyev V. A., Grishina Yu. B Methods of interference locomotive functioning parameters [Metody issledovaniia vzaimovliianiia parametrov funktsionirovaniia teplovo-za]. Izvestiia Transsiba - The Trans-Siberian Bulletin, 2010, no. 1 (1), pp. 2 - 8.
7. Emelichev V. A. Lektsii po teorii grafov (Lectures on graph theory). Moscow: Science, 1990, 383 p.
8. Filonov S. P. Teplovoz 2TE116 (Locomotive 2TE116). Moscow: Transport, 1996, 334 p.
9. Ed. Steinberg M. O. Spravochnikpo gidravlicheskim soprotivleniiam (Handbook of hydraulic resistance). Moscow: Mechanical engineering, 1992, 672 p.
10. Chinyaev I. A. Sudovye sistemy (Ship systems). Moscow: Transport, 1984, 216 p.
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРЕ
Михеев Владислав Александрович
Омский государственный университет путей сообщения (ОмГУПС).
Маркса пр., д. 35, г. Омск, 644046, Российская Федерация.
Кандидат технических наук, доцент кафедры «Вагоны и вагонное хозяйство», ОмГУПС.
E-mail: Micheev_V_A@mail.ru
БИБЛИОГРАФИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ СТАТЬИ
Михеев, В. А. Оценка технического состояния топливной системы дизельной энергетической установки тепловоза [Текст] / В. А. Михеев // Известия Транссиба / Омский гос. ун-т путей сообщения. - Омск. -2017. - № 2 (30). - С. 34 - 42.
INFORMATION ABOUT THE AUTHORS
Mikheyev Vladislav Aleksandrovich
Omsk State Transport University (OSTU). 35, Marx av., Omsk, 644046, Russia. Ph. D., assistant professor of the department «Cars and carriage economy», OSTU.
E-mail: Micheev_V_A@mail.ru
BIBLIOGRAPHIC DESCRIPTION
Mikheyev V. A. Evaluation of technical condition of the diesel power plant fuel systems. Journal of Transsib Railway Studies, 2017, vol. 30, no. 2, pp. 34 - 42. (In Russian).
УДК 629.4
В. А. Нехаев, В. А. Николаев
Омский государственный университет путей сообщения (ОмГУПС), г. Омск, Российская Федерация
О ПАРАДИГМЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ДИНАМИКИ ПОДВИЖНОГО СОСТАВА И ИХ УСТОЙЧИВОСТИ
Аннотация. Представлены результаты исследования влияния реально существующей продольной нерав-ноупругости железнодорожного пути, обусловленной наличием шпал и других факторов, на вертикальную динамику подвижного состава. Получены формулы для определения границ простых и комбинационных параметрических резонансов. Построены области динамической неустойчивости электровоза ЭП2К.
Ключевые слова: продольная неэластичная железнодорожная колея, вертикальная динамика транспортного средства, простые комбинационные и параметрические резонансы, динамическая нестабильность электровоза.
42 ИЗВЕСТИЯ Транссиба № 2(30) 2017
1
Victor A. Nekhaev, Victor A. Nikolaev
Omsk State Transport University (OSTU), Omsk, the Russian Federation
ON THE PARADIGM OF MATHEMATICAL MODELS OF ROLLING STOCK DYNAMICS AND SUSTAINABILITY OF THEM
Abstract. Explores the impact of truly existing longitudinal non-elastic railway track caused by the presence of sleepers and other factors on the vertical dynamic of vehicle. Formulas to determine the bounds of simple combinational and parametric resonances is obtained. Areas of dynamic instability of electric locomotive EP2K is builted.
Keywords: longitudinal non-elastic railway track, vertical dynamic of vehicle, simple combinational and parametric resonances, dynamic instability of electric locomotive.
Хорошо известно, что железнодорожный путь не является равноупругим ни в продольном, ни в поперечном направлении [1 - 4]. Следовательно, математические модели колебаний подвижного состава в принципе не могут представляться системами дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, что в действительности имеет место в настоящее время.
Применение дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, вообще говоря, ничего нового для развития науки не несет, так как алгоритм их интегрирования давно представлен в курсе высшей математики [5, 6]. Разумеется, исключением являются нелинейные дифференциальные уравнения, за редкими исключениями обладающие точными решениями, однако регулярные методы их решения отсутствуют, т. е. существуют конкретные приближенные методы их интегрирования. При их применении необходимо обязательно тщательно проверять условия соответствующих теорем, в противном случае полученным результатам нельзя доверять. Прикладники чаще всего бездумно вводят в математические модели малый параметр, в конечном итоге приравнивая его к единице. В действительности, асимптотические методы интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений используются в асимптотическом смысле, т. е. при стремлении малого параметра к нулю, а не к единице.
Авторы работы имеют достаточно полное представление о новых веяниях в теории колебаний динамических систем, например, о странных аттракторах (детерминированных динамических системах не обязательно высокого порядка, в которых нет ничего случайного, но они рождают детерминированный хаос - новый раздел математики, появившийся в конце прошлого века).
Параметрический резонанс в отличие от обычного имеет три существенных особенности.
1. Спектр частот, при которых возникают колебания с неограниченно возрастающей амплитудой, при обычном резонансе является точечным и совпадает с совокупностью собственных частот системы; при параметрическом - состоит из ряда малых интервалов, длины которых зависят от амплитуды возбуждения и стягиваются к нулю, когда амплитуда стремится к нулю. Значения частот, к которым стягиваются эти интервалы, называются критическими, а не резонансными.
2. Возрастание амплитуды колебаний динамической системы при обычном резонансе происходит по степенному закону, как правило, - линейному, при параметрическом - по показательному.
3. В диссипативных динамических системах при обычном резонансе трение ограничивает максимальные, резонансные амплитуды колебаний, а в параметрических системах оно создает пороговые условия для коэффициентов параметрического воздействия и при превышении этих порогов амплитуды колебаний неограниченно возрастают.
В дальнейшем под устойчивостью динамической системы там, где это не будет вызывать недоразумений, будем понимать ограниченность решений систем дифференциальных уравнений с переменными параметрами на бесконечности.
Итак, мы полагаем, что динамика подвижного состава должна описываться системами дифференциальных уравнений со случайными коэффициентами [7] (параметрические системы) и случайным возмущением, но на сегодняшний день это чрезвычайно сложно и доступно только математикам. Мы полагаем, что обсуждению данное утверждение не подлежит, ибо с математической точки зрения другого просто не дано. Нам всем, в том числе и авторам настоящей статьи, необходимо поднимать уровень математической культуры.
В конце прошлого века в транспортной механике появились работы, посвященные неравноупругости железнодорожного пути [3, 8 -12], причем работа Михаила Прокопьевича Пахомова (нашего учителя) была выполнена раньше, чем появилась знаменитая книга [4].
На наш взгляд, настало время ученым-железнодорожникам поменять парадигму дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и случайной правой частью на парадигму дифференциальных уравнений со случайными коэффициентами и случайной правой частью.
Чтобы несколько упростить ситуацию, будем изучать параметрическую систему и из всех факторов, создающих продольную неравноупругость железнодорожного пути, учитывать только наличие шпал. Хорошо известно, что технические требования, предъявляемые к эпюре шпал, такие жесткие, что мы вправе считать возмущение, которые они вносят в динамическую систему, узкополосным или на первых порах - гармоническим и представлять его в дальнейшем периодической функцией вида:
/ (V,г) = 21008 2Ог,
здесь ¡1 - коэффициент параметрического возбуждения, б/р; О =
тУ 3,6/
(1)
частота параметри-
ческого возмущения, 1/с; V - скорость движения поезда, которую будем считать постоянной, км/ч; / шп - расстояние между шпалами, определяемое эпюрой шпал, м, например, для эпюры 1840 штук на 1 километр имеем / шп = 0,543; 3,6 - переводной коэффициент из километров в час в метры в секунду.
Таким образом, учеными-железнодорожниками должны изучаться динамические системы с детерминированным параметрическим возмущением и случайной правой частью. Если ограничиться экипажем с линейными силовыми характеристиками, то поведение таких систем описывается системами дифференциальных уравнений вида:
Л! + БЙ + (С + 21 008 2 О г)! = С (г) +),
(2)
где г (г) - вектор обобщенных координат, отсчитываемых от положения статического равновесия, имеющий размерность п (число степеней свободы подвижной единицы); Л, Б, С и Л -постоянные п х п - матрицы, причем матрицы масс, диссипации и жесткостей Л, Б и С -симметричные и положительно-определенные, 1 - коэффициент мультипликативного (параметрического) возбуждения. Через £ (г) обозначен вектор случайного внешнего возмущения, представляющего собой стационарный процесс с нулевыми средними значениями и соответствующими спектральными плотностями. Вектор д(г) описывает детерминированный возмущающий фактор с частотой О, связанный с продольной, шпальной неравноупругостью железнодорожного пути.
Будем рассматривать влияние продольной неравноупругости железнодорожного пути на динамику подвижного состава, используя расчетную схему условного одноосного экипажа, обладающего тремя степенями свободы (рисунок 1).
Уравнения движения такой динамической системы легко находятся с помощью энергетического метода - уравнений Лагранжа второго рода. Опуская рутинные действия, связанные с вычислением кинетической и потенциальной энергий и диссипативной функции и взятием прямых и частных производных от соответствующих энергетических характеристик, запишем систему дифференциальных уравнений, которые представляют математическую модель принятого к рассмотрению экипажа в виде:
(4 - ¿т)+с & - ¿т)=чР;
тА-в - ¿т) - 4п ) - сц (гк - ¿т) + Сб(*т - ¿кп) = тт8'; (3)
т 2 -в (г - г ) + в -п) - сб (1 -I )+с (1 -п) = т (р+77),
к.п к.п Лбч т к.п/ г*п\ к.п I/ б\ т к.п/ п\к.п // к.п\о //'
где тк, тт, ткп - соответственно масса кузова, тележки и колесной пары, приходящиеся на одну колесную пару экипажа; в, в, в - коэффициенты вязкого трения в центральном и буксовом подвешиваниях подвижного состава и пути; сц, сб, сп - жесткости центрального и буксового подвешиваний подвижного состава и пути; ¿к, ¿т, ¿кп - подпрыгивания кузова, тележки и колесной пары экипажа; п - геометрическая неровность железнодорожного пути, имеющая случайный характер; р - ускорение свободного падения на Земле.
Из уравнений (3) нетрудно видеть, что в правых частях дифференциальных уравнений стоят постоянные величины, от которых необходимо избавиться, что упростит алгоритм поиска решения. Положим, что
Ч = /к + Як;
т = /т + Ят; (4)
к.п /к.п + Як.п ,
здесь /к, /т, /к.п - переменные, подлежащие определению из условия, что обнуляют правые части, кроме последнего уравнения системы (3); дк, дт, дкп - новые обобщенные координаты, отсчитываемые от положений статического равновесия, ибо жесткость железнодорожного пути по протяженности является функцией времени в предположении движения экипажа с постоянной скоростью:
Сп = с0 (1 - 2^С08 2ПI), (5)
где !! = ■
1 ст
- коэффициент параметрического
Рисунок 1 - Схема условного одноосного железнодорожного экипажа
2 с + с ■
тах тт
возбуждения от шпальной неравноупругости; стах -жесткость железнодорожного пути над серединой шпалы; ст1п - жесткость железнодорожного пути в середине междушпального ящика; с0 = 2(стах + ст1П) - средняя на рельсовом звене жесткость
пути, которая определяется регионом расположения железной дороги и сезоном года (зима, лето).
Подстановка уравнений (4) в систему (3) и несложные преобразования приводят нас к системе алгебраических уравнений для определения переменных /:
с/ = тр,
здесь C ■
экипажа;
c —c
ц ц
0 Л
—c c + c6 —c6
ц ц б б
0 —c6 c6 + c ,
б б п у
- матрица жесткостных коэффициентов железнодорожного
' f ^
f= f2 -
V f3 У
' mк Л
m = mт
m V к. п У
вектор отыскиваемых переменных;
вектор масс экипажа. Решение САУ (6) дается следующими формулами:
г = д + д
f2 = Аб ст +
f3 = f =
J 3 J п ст
( + mт + mR.H )g.
?
c
n
( + m + mK.n )g
(7)
где
m g
Ац сТ = — = const;
(к + mт )g Аб ст = —-— = const
- статические прогибы центрального и букового подвешива-
ний железнодорожного подвижного состава. Отдельно рассмотрим последнее выражение в системе (7):
(к + тт + тк.п ) _ /о
f3 =■
(1 — 2^cos2Qt) 1 — 2^cos2Qt
= f0 (1 + 2^cos2Qt),
(8)
„ тк + тт + т _ „
здесь /0 = —к-т-— ^ - средний статический прогиб пути под статической нагрузкой от
со
экипажа. Формулы (7) тогда следует записать в виде:
А =Дц ст +Дб ст +/3;
f2 Аб ст + f3 ;
f3 = fo (1+2^cos2Qt).
(9)
Отсюда нетрудно видеть, что переменные /1, /2 и /3 являются функциями времени г, поэтому возьмем от уравнений (9) первую и вторую прямые производные по времени, в результате имеем:
f = f2 = f3 = —4jaQf0sin2 Q t;
f = f2 = % = —1 fo cos2Qt.
(10)
п
c
п
б
Подставляя уравнения (4) и (10) в систему (3), после несложных преобразований получим математическую модель, описывающую вертикальные колебания подпрыгивания кузова, тележки и колесной пары экипажа при движении по неравноупругому железнодорожному пути с постоянной скоростью:
тА+в (Як- ят)+сц (Як- Ят)=-т /1; ' ттЯт-в (Як - ЯТ ) + Д (Ят - Як.п ) - сц (Як - Ят ) + Сб (Ят - Як.п ) = -т/2; (11)
тк.пЯк.п -в(ЯТ -Як.п) + ДА.п -Сб(Ят -Як.п) + спЯк.п =-тк.п./3 + т,пЛ + виП + соП.
Возмущение от геометрических неровностей железнодорожного пути в виде вектора записывается так:
Ы)
0 о
(12)
V тк.пП + впП + cоЛJ
а вектор воздействия от продольной, шпальной неравноупругости имеет вид:
Г тк / >
тт ./2
^.пЛ
(13)
и физически представляет собой переносные ускорения, действующие на кузов, тележку и колесную пару подвижного состава.
Вводя матрицы масс, диссипации и упругости
г
А =
Б-
с =
^ =
т..
0
0 ^
0 т„
= ^яр (тк, тт, ткп);
V 0 0 тк п у
( вц -вц
V 0 -вб
Г сц -сц
-сц сц + Сб
V0 -сб
( 0 0 0
0 0 0
V 0 0 -2^с(
0 ^ -вц вц +вб -вб
вб +У
0 ^ -сб
Сб + с0 J
(14)
и вектор обобщенных координат
0 J
' Як ^
^к.п J
(15)
в конечном итоге приходим к форме записи дифференциальных уравнений (2). Проверяем условие малости диссипативных сил в подвижном составе [11]:
(Л-1Е )2
л-1с
«1.
Здесь символ ||...|| означает евклидову норму матрицы. Действительно, недиагональные элементы матрицы коэффициентов диссипативных сил малы по сравнению с элементами, стоящими на главной диагонали. Это подтверждает вычисление отношения норм матриц (16), которое выполняем с помощью математического пакета МаШсаё 13, в результате получаем 0,462503 << 1. Кроме того, колебания экипажа считаем малыми (это обычное допущение дисциплины «Динамика подвижного состава»), а движение колесной пары по рельсам -безотрывным.
Определяем собственные частоты консервативной системы (для примера воспользуемся параметрами электровоза ЭП2К) с помощью стандартной функции математического пакета МаШсаё 13 с = eigenvals(Л'l С), в результате имеем (таблицы 1, 2):
Таблица 1 - Собственные частоты подпрыгиваний частей экипажа
Собственная частота подпрыгиваний
кузова тележки колесной пары
5,159497 рад/с (0,82116 Гц) 18,364974 рад/с (2,922876 Гц) 150,178311 рад/с (23,901621 Гц)
Таблица 2 - Парциальные частоты подпрыгиваний частей экипажа
Собственная частота подпрыгиваний
кузова тележки колесной пары
7,195950 рад/с (1,145271 Гц) 17,725900 рад/с (2,821165 Гц) 150,171332 рад/с (23,900510 Гц)
Из изучения данных таблиц 1 и 2 следует, что ошибка парциальных частот может быть достаточно большой: так, например, если взять для сравнения данные по кузову экипажа, то отличие достигает почти 50 %. Поэтому парциальные частоты можно, видимо, использовать только в экспертных оценках динамических качеств подвижного состава железных дорог России.
Таблица 3 - Парциальные коэффициенты колебаний частей экипажа
Собственная частота подпрыгиваний
кузова тележки колесной пары
0,353779 0,66846 0,276161
По данным таблицы 3 можно сделать вывод о том, что колебания подпрыгивания тележки электровоза ЭП2К несколько передемпфированы. К данным, представленным в таблице 3, нужно подходить с той же меркой, о которой говорилось выше. Однако согласно критерию (16) диссипативные силы, действующие в экипаже, являются малыми. Это утверждение можно усилить рассмотрением матрицы парциальных коэффициентов колебаний, если ввести такое понятие:
С
А =
¿1,1 2т1с01 ¿1,1 2т1с01 Л 0
¿1,1 Ь2,2 ¿2,3
2т2С02 2т2С02 2т2С02
0 Ь2,3 2т3с03 ¿3,3 2т3с03
Подстановка значений, входящих в строки этой матрицы, дает:
( 0,353779 -0,353779 0 ^ -0,384790 0,668460 -0,283670 0 -0,050704 0,276161 у
Пользуясь уже указанным математическим пакетом МаШсаё 13, перейдем в системе (11) к нормальным координатам с помощью матрицы нормированных собственных векторов системы У= eigenvecs(A~1 -С):
I = Ух; переход к нормальным координатам;
С = у-1 А-Су = ^ (щ к, щ т , щ Кп);
В = У-1А-1ВУ; р = У -1А-1РУ;
I = У-1А-1С; I = У-1А-11
тогда можно написать:
щ+В4+С (е+2^р соэ 2аг)) = | (/)+| (*),
(17)
где
В-
( 2,032506 -2,949121 -6,203859
-1,317261 -1,737168 ^ 26,522443 -8,972689 -14,312718 83,177571, для нормальных координат электровоза ЭП2К, (26,620413 0 0
С =
- матрица диссипативных коэффициентов
Л
- матрица жесткостных коэффициентов
0 337,272266 0
0 0 22553,525129
\ ' У
= diag (26,620413; 337,272266; 22553,525129)
для нормальных координат электровоза (или квадратов собственных частот консервативной системы, когда В =0),
(-0,028013 -0,063945 -5,433346^
р =
-0,025757 -0,014859
-0,058796 -0,033919
-4,995833 -2,882076
- матрица коэффициентов параметрического
у
возбуждения для нормальных координат электровоза.
Нетрудно видеть, что нормальные координаты не разделились, а связаны между собой через матрицы диссипативных коэффициентов и коэффициентов мультипликативного возмущения. Этого, разумеется, следовало ожидать; три матрицы практически никогда не приводятся к диагональным видам одновременно.
Преимущества последней формы записи состоят в том, что для нее уже найдены формулы для определения границ простых и комбинационных параметрических резонансов. Так, для главных областей неустойчивости (параметрических резонансов) имеем [7, 13,14]: простые параметрические резонансы -
Ц,2 «Щ (1 - 4/2 ) (к = 1,2,3),
комбинационные резонансы суммарного типа -
^-к=,,2,3),
комбинационные резонансы разностного типа -
ц
m-m 2
■fiffj-îm (i, k=1,2,3),
(20)
Здесь введенный в формулы (18) - (20) коэффициент является парциальным коэффициентом колебания у = Ъ;,/а, так, например, для одностепенной механической системы это есть 8= п/щ. Для рассматриваемого подвижного состава вектор
' 0,393935^ у = 1,444186 ч0,553859у
Перейдем в выражениях (18) - (20) к скорости движения экипажа, в результате получим такие формулы:
3,6/шп
Vki,2 ( (1 ±у1м2Л2к - Y ) (k = 1,2,3);
V
3,6/шп
ik1,2
п
п
m + m
+ т+ш [¡ПГГ
- „ I--Ji,kJk,i
Чш
-ЧП
V
3,6/ш
ik1,2
п
m -m
| +
\т -
kfk 4YiYk
(i, k = 1,2,3);
(i, k = 1,2,3).
(21)
(22)
(23)
Расчетом установлено, что критические коэффициенты параметрического возбуждения (в смысле, что подкоренные выражения должны быть положительными или равными нулю) для простых параметрических резонансов имеют следующие значения: 28,125326 - для кузова; 49,125327 - для тележки; 0,384347 - для колесной пары.
Следовательно, в чистом виде простых параметрических резонансов на железнодорожном подвижном составе мы не можем наблюдать, так как коэффициент параметрического возбуждения /, зарегистрированный на практике, находится в пределах 0,04 - 0,05.
Графики изменения границ зон параметрического резонанса показаны на рисунках 2 - 4.
Из рисунков 1 и 2 можно сделать очевидный вывод о том, что резонансные скорости кузова и тележки электровоза ЭП2К находятся значительно ниже зоны эксплуатационных скоростей, да и диссипативные силы в локомотиве таковы, что критические значения коэффициентов параметрического возмущения чрезвычайно велики (об этом речь пойдет далее).
Из рисунка 4 следует, что колесная пара может находиться в области главного параметрического резонанса, но он в чистом виде невозможен, поскольку критическое значение коэффициента мультипликативного возбуждения все же достаточно высоко и равно 0,384347.
Относительно комбинационных параметрических резонансов суммарного или разностного типов можно утверждать, что, во-первых, в консервативных системах они в принципе не могут возникнуть и развиваться, во-вторых, критические коэффициенты параметрического возбуждения комбинационных резонансов равны соответственно: 37,170766 - для под-
системы «кузов - тележка»; 3,2879 - для подсистемы «кузов - колесная пара» и 4,345247 для подсистемы «тележка - колесная пара».
Рисунок 2 - Главная область неустойчивости кузова ЭП2К для консервативного случая
Рисунок 3 - Главная область неустойчивости тележки ЭП2К в консервативном случае
Рисунок 4 - Главная область неустойчивости колесной пары ЭП2К: пунктирная кривая - для консервативного
случая, сплошная кривая - для диссипативного случая
У не совсем искущенного исследователя, вероятно, возникнет вопрос - зачем мы переходим в другую парадигму, если ничего в чистом виде нельзя наблюдать. Ответ на это «немой» вопрос такой. Во-первых, мы учли только продольную, шпальную неравноупру-гость железнодорожного пути, но хорошо известно из работ ученых ДИИТа, что имеются и другие длины скрытых периодичностей в спектральной плотности жесткости пути и по величине они гораздо больше междушпального расстояния. Следовательно, на них могут среагировать как кузов, так и тележка экипажа. Во-вторых, нельзя забывать о том, что продольная, шпальная неравноупругость железнодорожного пути создает аддитивное возмущение в правой части (это - переносные ускорения соответствующих частей экипажа).
Кроме того, в зонах простых параметрических колебаний обычно возможно возникновение и развитие явления взаимодействия параметрически возбуждаемых и чисто вынужденных колебаний (в рассматриваемом случае внешнее возмущение обязано содержать скрытую периодичность с длиной волны, равной, например, двум междушпальным расстояниям).
Таким образом, остаются пока неразрешенными две проблемы - это исследование влияния продольной неравноупругости железнодорожного пути на случайное возмущение, действующее со стороны пути на колесные пары (прохождение геометрических неровностей). Конечно же, математической моделью такой задачи является система дифференциальных уравнений (17), когда в правой части отсутствует аддитивное возмущение от продольной неравноупругости пути. Вторая из них: необходимо, на наш взгляд, нормировать продольную неравноупругость пути, как это уже сделано для геометрической неровности, где нормируется градиент. Математическая модель для решения данного вопроса также выводится из системы дифференциальных уравнений (17) при условии, что геометрических неровностей на пути нет. Напоминаем, что хотя исходная математическая модель является параметрической, она остается линейной и для нее справедлив принцип суперпозиции.
Кроме того, развитие данной области исследований требует учета изложенного выше, что в конечном счете позволит оценить границы применения и погрешности ныне используемых математических моделей.
Список литературы
1. Нехаев, В. А. Неравноупругость железнодорожного пути как возмущающий фактор [Текст] / В. А. Нехаев, Р. Д. Сабиров // Известия Транссиба / Омский гос. ун-т путей сообщения. - Омск. - 2013. - № 3. - С. 42 - 54.
2. Нехаев, В. А. Особенности составления математической модели условной двухосной тележки, движущейся по неравноупругому железнодорожному пути в продольном направлении [Текст] / В. А. Нехаев, Р. Д. Сабиров // Материалы II всерос. конф. с междунар. участием «Технологическое обеспечение ремонта и повышение качества подвижного состава» / Омский гос. ун-т путей сообщения. - Омск, 2013. - С. 185 - 191.
3. Нехаев, В. А. Взаимодействие экипажа с квазиинвариантной системой подвешивания и неравноупругого по протяженности пути [Текст] / В. А. Нехаев: Дис.. канд. техн. наук. -Омск, 1983. - 217 с.
4. Болотин, В. В. Динамическая устойчивость упругих систем [Текст] / В. В. Болотин / ГИТТЛ. - М., 1956. - 600 с.
5. Понтрягин, Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения [Текст] /Л. С. Понтря-гин. - М.: Наука, 1970. - 332 с.
6. Смирнов, В. И. Курс высшей математики: В 5 т. [Текст] / В. И. Смирнов. - М.: Наука, 1974. - Т. 2. - 656 с.
7. Диментберг, М. Ф. Случайные процессы в динамических системах с переменными параметрами [Текст] / М. Ф. Диментберг. - М.: Наука, 1989. - 176 с.
8. Пахомов, М. П. Исследование вертикальных колебаний и воздействия электровозов на путь [Текст] / М. П. Пахомов: Дис... доктора техн. наук. - М., 1958. - 311 с.
52 ИЗВЕСТИЯ Транссиба № 2(30) 2017
1
9. Панькин, Н. А. Колебательные движения экипажей при параметрическом стохастическом возмущении [Текст] / Н. А. Панькин, И. М. Стесин, В. П. Ценов // Вестник ВНИИЖТа. -М. - № 1. - 1978. - С. 27 - 30.
10. Гавриленко, А. К. Планирование подъемочного ремонта и планово-предупредительной выправки железнодорожного пути с учетом критерия неравноупругости [Текст] / А. К. Гавриленко: Дис... канд. техн. наук. - Екатеринбург, 2007. - 121 с.
11. Привалов, С. В. Влияние жесткости подрельсового основания на взаимодействие экипажа и пути [Текст] / С. В. Привалов: Дис... канд. техн. наук. - М., 2004. - 118 с.
12. Курган, Д. Н. К решению задач расчета пути на прочность с учетом неравноупруго-сти подрельсового основания [Текст] / Д. Н. Курган. https://cyberleninka.ru/article/n/k-resheniyu-zadach-rascheta-puti-na-prochnost-s-uchetom-neravnouprugosti-podrelsovogo-osnovaniya
13 Болотин, В. В. Случайные колебания упругих систем [Текст] / В. В. Болотин. - М.: Наука, 1979. - 336 с.
14. Вибрации в технике: Справочник: В 6 т. / Под ред. В. Н. Челомея. - М.: Машиностроение, 1978. - Т.1. Колебания линейных систем / Под ред. В. В. Болотина. 1978. - 352 с.
References
1. Nekhaev V. A., Sabirov R. D. Non-elasticity of the railway track as a disturbing factor [Neravnouprugost' zheleznodorozhnogo puti kak vozmushchaiushchii faktor]. Izvestiia Transsiba -The journal of Transsib Railway Studies, 2013, no. 3, pp. 42 - 54.
2. Nekhaev V. A., Sabirov R. D. Features of the compilation of a mathematical model of a conditional biaxial trolley moving along an unequal-elastic railway track in the longitudinal direction [Osobennosti sostavleniia matematicheskoi modeli uslovnoi dvukhosnoi telezhki, dvizhushcheisia po neravnouprugomu zheleznodorozhnomu puti v prodol'nom napravlenii]. Materialy II vse-rossiyskoy konferencii «Tekhnologicheskoe obespechenie remonta i povyshenie kachestva podvizhnogo sostava» - Proceedings of the II All-Russian Conference «Technological maintenance of repair and improvement of quality of a rolling stock». - Omsk, 2013, pp. 185 - 191.
3. Nekhaev V. A. Vzaimodeistvie ekipazha s kvaziinvariantnoi sistemoi podveshivaniia i neravnouprugogo po protiazhennosti puti (Interaction of a crew with a quasi-invariant suspension system and a non-uniformly elastic path length). PhD thesis, Omsk, OSTU, 1983, 217 p.
4. Bolotin V. V. Dinamicheskaia ustoichivost' uprugikh sistem (Dynamic stability of elastic systems). Moscow: GITTL, 1956, 600 p.
5. Pontriagin L. S. Obyknovennye differentsial'nye uravneniia (Ordinary differential equations). Moscow: Nauka, 1970, 332 p.
6. Smirnov V. I. Kurs vysshei matematiki (The course of higher mathematics). Moscow: Nauka, 1974, 656 p.
7. Dimentberg M. F. Sluchainye protsessy v dinamicheskikh sistemakh s peremennymi pa-rametrami (Random processes in dynamical systems with variable parameters). Moscow: Nauka, 1989, 176 p.
8. Pakhomov M. P. Issledovanie vertikal'nykh kolebanii i vozdeistviia elektrovozov na put' (Investigation of vertical oscillations and the impact of electric locomotives on the path). Doctor's thesis, Moscow, 1958, 311 p.
9. Pan'kin N. A., Stesin I. M., Tsenov V. P. Oscillatory motion of crews under a parametric stochastic perturbation [Kolebatel'nye dvizheniia ekipazhei pri parametricheskom stokhastiche-skom vozmushchenii]. Vestnik VNIIZhT- Vestnik VNIIZhT, 1978, no. 1, pp. 27 - 30.
10. Gavrilenko A. K. Planirovanie pod"emochnogo remonta i planovo-predupreditel'noi vypravki zheleznodorozhnogo puti s uchetom kriteriia neravnouprugosti (Planning of lifting repair and preventive adjustment of the railway track, taking into account the criterion of non-equal-elasticity). PhD thesis, Ekaterinburg, USTU, 2007, 121 p.
11. Privalov S. V. Vliianie zhestkosti podrel'sovogo osnovaniia na vzaimodeistvie ekipazha i puti (Influence of the rigidity of the under-rail base on the interaction of the crew and the track). PhD thesis, Moscow, 2004, 118 p.
12. Kurgan D. N. K resheniiu zadach raschetaputi naprochnost's uchetom neravnouprugo-sti podrel'sovogo osnovaniia (To solving problems of calculating the path to strength with allowance for the non-equal-elasticity of the under-rail base) https://cyberleninka.ru/article/n7k-resheniyu-zadach-rascheta-puti-na-prochnost-s-uchetom-neravnouprugosti-podrelsovogo-osnovaniya
13. Bolotin V. V. Sluchainye kolebaniia uprugikh sistem (Random oscillations of elastic systems). Moscow: Nauka, 1979, 336 p.
14. Chelomei V. N. Vibratsii v tekhnike. Kolebaniia lineinykh sistem (Vibration in engineering). Moscow: Mashinostroenie, 1978, 352 p.
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ
Николаев Виктор Александрович
Омский государственный университет путей сообщения (ОмГУПС).
Маркса пр., д. 35, г. Омск, 644046, Российская Федерация.
Доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Теоретическая механика», ОмГУПС. Тел.: +7 (3812) 37-60-82. E-mail: NikolaevVA@omgups.ru
INFORMATION ABOUT THE AUTHORS
Nikolaev Viktor Aleksandrivich
Omsk State Transport University (OSTU). 35, Marx st., Omsk, 644046, the Russiаn Federation. Doctor of Technical Sciences, Professor, leader of the department «Theoretical Mechanics», OSTU. Phone: +7 (3812) 37-60-82. E-mail: NikolaevVA@omgups.ru
Нехаев Виктор Алексеевич
Омский государственный университет путей сообщения (ОмГУПС).
Маркса пр., д. 35, г. Омск, 644046, Российская Федерация.
Доктор технических наук, профессор кафедры «Теоретическая механика», ОмГУПС.
Тел.: +7 (3812) 37-60-82.
E-mail: NehaevVA@omgups.ru
БИБЛИОГРАФИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ СТАТЬИ
Нехаев, В. А. О парадигме математических моделей динамики подвижного состава и их устойчивости [Текст] / В. А. Нехаев, В. А. Николаев // Известия Транссиба / Омский гос. ун-т путей сообщения. -Омск. - 2017. - № 2 (30). - С. 42 - 54.
Nekhaev Viktor Alekseevich
Omsk State Transport University (OSTU). 35, Marx st., Omsk, 644046, the Russiаn Federation. Doctor of Technical Sciences, Professor of the department «Theoretical Mechanics», OSTU. Phone: +7 (3812) 37-60-82. E-mail: NehaevVA@omgups.ru
BIBLIOGRAPHIC DESCRIPTION
Nehaev V. А, Nikolaev V. A. On the paradigm of mathematical models of rolling stock dynamics and stainability of them Journal of Transsib Railway Studies, 2017, vol. 30, no. 2, pp. 42 - 54 (In Russian).
УДК 629.423.31; 629.4.01
В. В. Харламов, Д. И. Попов, А. И. Стретенцев
Омский государственный университет путей сообщения (ОмГУПС), г. Омск, Российская Федерация,
РАЗРАБОТКА ЦИФРОВОГО ПРИБОРА КОНТРОЛЯ КОММУТАЦИИ ТЯГОВЫХ ЭЛЕКТРОДВИГАТЕЛЕЙ ПОДВИЖНОГО СОСТАВА
Аннотация. В статье сформулированы основные требования к цифровому прибору контроля коммутации тяговых электродвигателей подвижного состава и приведены результаты разработки и апробирования данного устройства на испытательном стенде. Обоснована целесообразность применения входного фильтра верхних частот при питании испытуемого тягового двигателя от тиристорного преобразователя. Описана методика обработки диагностического сигнала с разнополярных щеток с целью фильтрации помех различной физической природы.
54 ИЗВЕСТИЯ Транссиба № 2(30) 2017
i
