Влияние продольной неравноупругости железнодорожного пути на динамическое поведение подвижного состава. Ч. 3. Определение областей комбинационных параметрических резонансов Текст научной статьи по специальности «Математика»

INFORMATION ABOUT THE AUTHORS

ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ

Крыгин Анатолий Николаевич

Омский государственный университет путей сообщения (ОмГУПС).

Маркса пр., д. 35, г. Омск, 644046, Российская Федерация.

Кандидат технических наук, доцент, ОмГУПС.

Тел.: +7 (3812) 31-18-66.

E-mail: krygin48@mail.ru

Плаксин Алексей Владимирович

Западно-Сибирская железная дорога - филиал ОАО «РЖД».

Вокзальная магистраль, д. 12, г. Новосибирск, 630004, Российская Федерация.

Ведущий инженер Западно-Сибирской железной дороги - филиала ОАО «РЖД».

E-mail: 111Marina@ngs.ru

БИБЛИОГРАФИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ СТАТЬИ

Крыгин, А. Н. Математическая модель оптимального регулирования мощности электровозов постоянного тока в тяговом режиме и способ ее решения [Текст] / А. Н. Крыгин, А. В. Плаксин // Известия Транссиба / Омский гос. ун-т путей сообщения. -Омск. - 2016. - № 2 (26). - С. 41 - 50.

Krygin Anatoly Nikolaevich

Omsk State Transport University (OSTU).

35, Marx st., Omsk, 644046, the Russion Federation.

Ph. D., senior lecturer, OSTU.

Phone: +7 (3812) 31-18-66.

E-mail: krygin48@mail.ru

Plaksin Alexey Vladimirovich

The West Siberian railway - branch of JSC «RZD». 12, Vokzalnaya Magistral, Novosibirsk, 630004, the Russion Federation.

Leading engineer of the West Siberian railway -branch of JSC «RZD».

E-mail: 111Marina@ngs.ru

BIBLIOGRAPHIC DESCRIPTION

Krygin A. N., Plaksin A. V. Mathematical model of optimum power control of DC electric locomotive in traction mode and the method of its solution. Journal of Transsib Railway Studies, 2016, vol. 26, no. 2, pp. 41 - 50. (In Russian).

УДК 629.4

В. А. Нехаев

Омский государственный университет путей сообщения (ОмГУПС), г. Омск, Российская Федерация

ВЛИЯНИЕ ПРОДОЛЬНОЙ НЕРАВНОУПРУГОСТИ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ПУТИ НА ДИНАМИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ПОДВИЖНОГО СОСТАВА.

Ч. 3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ КОМБИНАЦИОННЫХ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ РЕЗОНАНСОВ

Аннотация. В статье приведены результаты влияния продольного мультипликативного возмущения от железнодорожного пути на подвижной состав. Изложена методика нахождения областей комбинационных резонансов разностного типа, опирающаяся на теорему о разделении движения динамической системы на медленные и быстрые составляющие. Доказан факт, что резонансная скорость движения железнодорожного экипажа - это не конкретное числовое значение, а зона, ширина которой в основном зависит от коэффициента мультипликативного возбуждения.

Ключевые слова: подвижной состав, железнодорожный путь, продольная неравноупругость пути, простые и комбинационные параметрические резонансы, резонансная скорость движения.

Victor A. Nekhaev

Omsk State Transport University (OSTU), Omsk, the Russian Federation

THE EFFECT OF LONGITUDINAL NON-EQUAL-ELASTICITY OF RAILWAY TO THE ROLLING STOCK DYNAMIC.

PART 3. THE IDENTIFY AREAS OF RAMAN PARAMETRIC RESONANCE

Abstract. The article devoted to results of the longitudinal multiplicative perturbation effect from railway track in relation to rolling stock. There is the technique for finding of difference type Raman resonances areas, which based on the theory of division in slow and fast components for motion of dynamic system. It proves a fact that the RMS-velocity

for motion of the train is not a specific numerical value, but that is an area for which the width depends on the multiplicative factor driving.

Keywords: rolling stock, railroad, longitudinal non-equal-elasticity of railway, simple and Raman parametric resonances, RMS-velocity for motion.

Области простых параметрических резонансов достаточно легко отыскиваются с помощью либо обобщенных определителей Хилла [1], что показано в предшествующих статьях автора, либо тригонометрическим методом, а зоны параметрических комбинационных резонансов разностного типа найти достаточно сложно. И поэтому часто приходится прибегать к помощи интегродифференциальных уравнений (эта методика рекомендована немецким ученым Г. Шмидтом [2], ибо строить каждое последующее приближение проще, чем с помощью любого другого метода).

Поставим задачу нахождения этих областей при помощи приближенных способов, например, с помощью асимптотического метода разделения движения системы на медленные и быстрые составляющие [3]. Поэтому рассмотрим условную двухмассовую расчетную схему, в которой нижняя масса опирается на упругий элемент, жесткость которого меняется во времени. Физически это может быть условный двухмассовый одноосный железнодорожный экипаж (локомотив или вагон), движущийся по железнодорожному пути, жесткость которого зависит от пройденного вдоль оси пути расстояния х.

Воспользовавшись аппаратом уравнений Лагранжа второго рода, нетрудно записать математическую модель движения механической системы в виде (считая, что обобщенные координаты отсчитываются от положений статического равновесия):

+КА -КгЧг +сисЬ ~ci,2Ch = 0; \m2q2 -h-Jt, +h22q2 -c2Aqx + cX2q2 -2/лж0 cos2Qtq2 = 0,

(1)

где С2,2=Ж1+жо; 2// = ж1/ж0 - коэффициент параметрического возбуждения; жо - средняя

жесткость упругого элемента, на который опирается вторая масса. Представим уравнения (1) в векторно-матричной форме записи:

Aq + Bq + Cq — 2/лж0 cos 2Q,tHq = 0,

(2)

здесь обозначено:

A =

m,

0 1

v 0 m2 j

; B =

' A -A -A A +A

2J

с =

Л!/1

_1W1

; H =

4 =

_iwi Л//1 -L

v ~ ^жо j

v q J

(0 01 v0 1j

(3)

Перейдем в уравнении (2) к нормальным координатам, что, можно полагать, упростит решение задачи:

Я=их, (4)

следовательно, вместо (1) получим такую систему дифференциальных уравнений:

X + Bx + Cx-2/л cos 2 QiHx = 0,

где

№ 2(26) АЛЯ Л 111 Г! Г1 Till Транссиба 51

=2016 ■

и =

Л1 И =

0,856 0,068 1 Г0,3 -0.31 г 10 -101

; Л-В = ; Л— =

0,563 -0,998, ,-3 5,5 , ч-100 150у

Г0 01 ч0

и~1А~1Си = С =

и-1 А-1 ни = Н =

1 =

и1А1Ви = В =

3,189 О О 156,811 2,217 3,929 26.962 47.783

( 0,14 0.539

0,0791 5,66

(6)

(х^ , к0 — ' 1,786 1

\ %2 ) ,12,522,

Здесь заметим, что новые обобщенные координаты XI и X2 в выражении (5) связаны между собой через коэффициенты матриц диссипации и параметрического возбуждения, причем значения коэффициентов параметрического возмущения, относящиеся ко второму дифференциальному уравнению системы (5) по крайней мере на порядок выше, чем они же, но в первом дифференциальном уравнении системы (5). В выражениях (6) последний вектор представляет собой собственные парциальные частоты механической системы. Более того, необходимо выяснить, является ли диссипация малой, воспользовавшись известным критерием:

(Л-'В У

1|Л-'С||

«1.

(7)

Здесь скобки ... означают вычисление какой-либо нормы матрицы (для случая N = 1

критерий (7) превращается в соотношение п < где п - коэффициент демпфирования, а ^ -собственная частота консервативной механической системы). Для нашего примера ^ = 2), а этот критерий равен: 0,206 << 1, следовательно, в нашей механической системе можно считать диссипацию малой. Тогда можно в первом приближении пренебречь недиагональными элементами матрицы В.

Однако области комбинационных резонансов зависят от коэффициентов трения и чем они больше, тем шире отыскиваемые зоны, другими словами, трение оказывает негативное влияние на зоны комбинационных резонансов. Поэтому мы не будем пренебрегать недиагональными элементами указанной выше матрицы.

С учетом малости диссипации в системе перепишем (5) так:

X + Сх = -Вх + 2// соэ 2 ОМ х-

(8)

Правая часть соотношения (8) является малой величиной, собственно для этих целей мы изучали критерий (7), указывающий на малость диссипативных сил, поэтому в дальнейшем считаем коэффициенты диссипативных сил порядка ц. Отметим, что хотя по виду система дифференциальных уравнений напоминает линейную систему, но ведет она себя как некоторая нелинейная система. Поэтому чтобы ее приближенно проинтегрировать обратимся к асимптотическому методу разделения движений, суть которого состоит в том, что правые части дифференциальных уравнений усредняются по быстрым переменным (часто эти методы называются методами осреднения, или методами разделения движений). Они играют важную роль при изучении уравнений вида [3]:

х = /лХ(х,

(9)

здесь х и у - некоторые векторы, а л - малый параметр. Заметим, что подобные уравнения часто встречаются в различных задачах физики и механики, и, в частности, они типичны для

широкого класса задач теории колебаний. Их особенность состоит в том, что часть переменных (это компоненты вектора х) меняется медленно, а другая часть (это компоненты вектора у) - быстро. В дальнейшем мы будем называть эти переменные соответственно медленными и быстрыми.

Порождающее уравнение имеет вид:

Х + Сх = О,

здесь C = diag(kll кц2). Введем так называемые переменные Ван-дер-Поля:

ÍZi = eos у; х= -ктх2 sin у; \Хг = х2 cos Уг, Хг = ~Кгхгsm Уг-Дальнейшие преобразования приводят нас к следующему:

(10)

(11)

COSJ', -х,^ sinj', = -кп]х] sin J ,; х2 cosy -х2у sin у2 = -к02х2 sin у;

-кт (у sin >■ +x,j)l cosУ\) = ~kl\x\ C0SJ;i +KAnxi sinУ\ + +b12k02x2 sin y + 2yh\xX\ cos2Qt cos y + 2/2x2 cos2Qt cos y; -кС)2 (x2 sin у +x2y cosy) = -kl2x, cosy +b2lkmxx siny + +b22k02x2 sin y + 2^h2xx cos2Qt cos y + 2/h2 2x2 cos2Qt cos y.

(12)

Эту систему уравнений необходимо разрешить относительно неизвестных производных первого порядка:

= ~\ЪиХ1 (! " COS 2Уг ) ~\Ъ1,2 Х2 [COS {у 2 ~У\)~ COS {у 2 + У\ )] "

А, А, 01

h h -U-r1 х cos zsin 2y - /-у2x2cos z[sin (y + y2) + sin (у - y2)];

k01 k01

x2=~\b2,i X1 [cos(л -У2)- cos (я + у)] - ^ъ2 2 (1 - cos2y) -

h h

X [sin (yi +y2) + sin (y - ^2)]- U-jf-X2 c o s z sin 2y2 ;

k02 k02

Уг = Кг ~ \ Кг sin 2У ~ \ K2 ^ [sin (У2 + У ) + sin (У2 ~ У )] "

-/-h- cos z (1 + cos 2 y — cos z [cos ( y + y2 ) + cos (y2- yi )];

k01 k01 X1

У2 = ко2 ~ ^К —[sin (Л + У 2) + sin (у - у )] - ^b2 2 sin 2y -

k02 x2

h2,1 X -и—:—1cos z

к r

z = 2D,.

[cos ( y - y2 ) + cos (y1 + y 2 )]- и -

cos z

(1 + cos 2 y2 );

(13)

Система дифференциальных уравнений (13) обладает двумя медленными переменными (это амплитуды х1 и х2) и тремя быстрыми переменными (это фазы уь у2 и z). Последнюю переменную z = мы добавили, что обычно делается при исследовании таких систем дифференциальных уравнений. Сделаем последний шаг, состоящий в тригонометрических преобразованиях:

№ 2(26) 2016

<

02

cos z sin 2y = 1 [sin (2y + z) + sin (2y - z)];

cosz[sin(y + >>2)-sin(>2 -У)] =1 [sin(У + >2 + z) + sin(>2 + У -z)- sin (y2- >i +z)- sin ( >2 - >I - z)]; cos z cos 2y = 1 [cos (z - 2y ) - cos (z + 2y )];

[cos (y + y) + cos (y - y2)] =1 [cos (y + у2 - z)- cos

z) +

cos z

+ cos ( z - y2 + y )-cos (y2 - y + z)]; cos z sin 2y = 1 [ sin (2y + z) + sin (2y - z)];

cos z cos 2y = 1 [cos (2y + z) + cos (2y - z)].

Следовательно, подстановка (14) в (13) приводит нас к такой системе дифференциальных уравнений:

КЛ (1 - cos 2у) - i bx 2 ^ х2 [cos (у2 - у) - cos (у + у2)] -

- 1¡U~kLX [sin(2> + z) + sin(2y -z)]- x2 [sin(>i + >2 + z) + 2 k01 2 k01

+ sin ( >1 + >2 - z )-sin ( >2 - >1 + z )-sin ( >2 - >1 - z )] ;

*2 = Ь2Л X1 [C0S (У1 " У2 ) " C0S (У1 + У2 )] " ^ b2,2X2 (i " C0S 2У2 ) "

1 h

- 1 M 'к'1 X1 [sin ^ >1 + >2 + z ) + sin ^ >1 + >2 - z )-sin ^ >2 - >1 + z )-

1 h

- sin (>2 - >1 - z)]-1 j-22 X2 [cos (z - 2>2)-cos (z + 2>2)];

2 k,

y = Ki -^busin2У [sin(y2+ y) + sin(y2 -У\)]■

— cos z -1 ^ — [ c o s (z - 2 y) - co s (z + 2 y) ] -

k001 2 k001

- 1 ^^ ~ [cos (>1 + >2 - z)- cos (>1 + >2 + z) + 2 k01 x1

(15)

(z - >2+>1)-cos (>2- >1 +z)];

+ cos ( z

У2 = k02 ~ | Ь2Л ^ Y [Sln (У + У2 ) + Sln (y ~ У2 )] " | b2,2 S111 2У2 "

11J^Lx[cos(>1 ->2 + z) + cos(>1 ->2 -z) + cos(>1 + >2 + z) + 2 k02 x2

h 1 h

+ cos(y + y2 -z)]-j-^cosz-1J-22[cos(2y2 + z) + cos(2y2 -z)];

«02 2 «02

z. = 2Q.

<

Установим возможные резонансы в системе (15). Для этого достаточно обратиться к разностям переменных:

yi = y2 - это внутренний резонанс в систем, возникающий тогда, когда koi = k02; z = 2y1 - это главная область параметрического резонанса для первого груза; z = yi + y2 - это комбинационный параметрический резонанс суммарного типа (известно, что такие резонансы возможны только в канонических системах, к которым исследуемая система не относится, ибо обладает диссипативными силами);

z = y2 - y1 - это комбинационный параметрический резонанс разностного типа (главная цель наших исследований);

z = 2y2 - это главная область параметрического резонанса для второго груза. Как уже было сказано ранее, главные области параметрических резонансов мы будем отыскивать с помощью обобщенных определителей Хилла, но тем не менее укажем путь их нахождения и рассматриваемым методом. Примем, что

0 = z - 2y (16)

и

2 (П- k01 ) = u- (17)

Составим дифференциальное уравнение для медленной переменной 0:

9 = z-2у = 2Q-2km + bu sin2y + bl2 [sin(y2 + y) + sin(y2 -y)] +

к01 xi

+2j —cos z + ¡ — [cos ( z - 2y )-cos ( z + 2y )] + ju-1— — [cos ( y + y2 - z )-

lr lr k01 X1

к01 к01

-cos

(y + У2 + z) + cos (z - y2 + y )- cos (y2 - y + z)] = u- +

+éusin ( z-0) + Ъи^ ^

k01 X1

sinl y2 + ■

-0

+ sin l y2

-0

-1,1

cos z -

+j — [ cos0-cos ( 2z-0)] + jU-12 —

kr\ ^ V

k01 X1

z + 0

cosl y2--— I-cosl y2 +

01

3z-0

3z-0 1 f z + 0 + cos I--y2 I - cos l y2 +--

(18)

Осуществим соответствующие замены в системе (15) и напишем вместо третьего уравнения выражение (18), тогда после несложных преобразований получим:

*1 =™61,Л [1-со&(=-в)]-^ьиу-

008

У 2

г-в

- 008

У2+-

г-в4

1 и — X [п (2 г-в)-81пв]-

2 к

"01

1 Л,

— ¡и—^ х2

2 кп.

81п

3г -в

■ + У 2 1 + + 81п

У2

Г + в

- 81п

У2+-

г + в

- 81п

V

У2

3г-в

■ __}_]. 01

Х2 ~ ~ г. 2,1 , Х1 1 к02

1

008

Г -в

1 к

"У2 I-008

г -в

■ + У 2

1 Ь2,2 Х2 (1 - 0082У 2 )- 1 и^ Х1

2 к

81п

3г-в

■ + У 2 1 + 81п

У2

г + в

- 81П

У2 +

г + в

- 81П

У2

02

3г-в 2

1 к

-и-22 Х2 [°°08 (г-2 У2)-008 (г+2 У 2)]; 2к

02

к г

кт х,

81п

У2 +

г-в

+ 81П

У2

+2и — 008 г + ик±[(008в -008(2г-в)] + ик^ —

к01 к01 к01 Х1

008

У2

г + в

+

- 008

У2 +

3-в

/

+ 008

3-в

-У2 I-008

• _ Л- ^ г. ^01 Х1

>2 -%-Лт-—

Л02 Л2

V

81п

г -в

■+ У 2 1 + 81п

У2 +

г -в

г + в

У2

- 1 81п2 У 2 -

1 к2,1 Х1 --и—L

2 к Х

2 к02 Х2

008

3г-в 2

-У2 1 + 008

г + в 2

- + У 2 1 + 008

3г-в 2

■ + У 2 1 +

+ 008

У2

г + в4

к 1 к ' и~и~ 008 г -1 ии2 [с08 (2 У2+г) + 008 (2У 2 -г)];

к02 2 к02

¿ = 20.

(19)

Усредняя систему (19) по быстрым переменным z и у2 на бесконечном интервале времени, найдем:

1. 1 ..^д

л^ = — 1х1 + — ¡л —- х1 эт в; 2 ' 2 к,.

"-01

Х2 2 ^2Х2> /?п

0 = /лк + // —- сое к,,

(20)

Так как на границе зоны неустойчивости решение должно носить стационарный характер, то, отбрасывая второе уравнение этой системы (оно дает нам тривиальное решение х2 = 0), имеем:

2

2

2

2

2

2

<

о = -2

и , "и • а b i + j sin в

x;

01 у

(21)

0 = ¡uh + j —1 cos в. km

Нетрудно из выражений (21) получить формулу для вычисления границ главной области параметрического резонанса для первого груза (рисунок 1):

V koi У1.2

1+ ^U2-2! ~ bi2iko2i " " 2kl '

(22)

Критическое значение коэффициента параметрического возбуждения для главной области неустойчивости первого груза равно 0,113.

Рисунок 1 - Главная зона неустойчивости для первого груза, полученная асимптотическим методом разделения движений на «быстрые» и «медленные» составляющие

Обратимся к главной цели нашего исследования - поиску границ параметрического комбинационного резонанса разностного типа. Пусть выполняются следующие соотношения:

|в = г - У 2 + 12Q- k02 + k01 = juh.

(23)

Продифференцируем первое соотношение системы (23) по времени и определим дифференциальное уравнение для медленной переменной в:

в = z-у2 + у =1П-к02+кт+1-Ъи ^■^[sin(у2 - z + 0) - sin (z - 0)] + sin2у2 +

2 21 k x

2 k02 x2

+-j——[cosU +cos (2г-в)+cos (2y2 -в)+cos (2 г - 2y2 -U)] + u—cos г+-j —x

2 k02 x2

2 k„.

< [cos (2y2 + г) + cos (2y2 - г)] - 1bl l sin (2в - 2г + 2y2) --b^2 [sin (y2 - г + в) + sin (г - в)] - j—cos г - (24)

2 k x 2 k01 x1

1 [cos (3г - 2y - 2в)- cos (2y - г + 2в)]-1 j- [cos (2y - 2 г + в)-

2 k01 2 k01 x1

- cos (2y - в)+cos в - cos (2г - в)].

01

№ 2(26) АЛЯ Л ЩПГГТ1П Транссиба 57

=2016 ■

Теперь в системе (15) заменим производную dy1ldt выражением (24), а в остальных уравнениях выполним необходимые тригонометрические преобразования. Тогда получим вместо (15) следующую систему дифференциальных уравнений, в которой уже будет только две быстрые переменные - z иу2 - и три медленные переменные - х1, х2 и в:

Х1 = ~\ЪиХ1 " С08 2 (У 2 ~ - + " ^1,2 Т^ Х2 [С08 -в) ~ С08 (У2~-+ 0)] "

2 к

2 %

1 к 1 к —ил-—X [81п (2У2 - г + 2в) + 81п (2У2 - 3г + 2в)]—и —X [81п (в - 2У2) +

2 к01 2 к01 + 81п (2У2 - 2г + в) - 81п (2г - в) + 81п в];

Х2 = ~^Ь2Л у Х1 [С08 -в) - С08 (У2~г + 0)] " ^2,2Х2 I1 - С08 23^2 ] "

02

1 к 1 к ~и — X [п(в-2У2) + 81п(2У2 -2г + в)-81п(2г-в) + 81пв]-■ — — X' 2 к 0

02

2 к

02

• [с08 (г - 2У2) - 008 (г + 2У2)];

1 к2,1 X

о = + \ К ^ [яп (у2 - Г + в) - 81П (г - в)] + ^ ¿2,2 8"123^2 + - V ~■

I I к02 X

2 ' к г 2 к02 X2

к 1 к

• [008 в + 008 (2г - в) + 008 (2У2 - в) + 008 (2г - 2У2 - в)] + и—008 г + " ¡л—• (25)

^ 2 к

02

02

• [008 (2У2 + г) + 008 (2У2 - г)] -1 ¿1,1 81п 2 (У2 - г + в) -1 ¿1,2 у02 ^ [81п (У2 - г + в) +

2 1 2 к ^г 2 к01 x1

+ 81п (г -в)]-¡л —008 г - — и—^ [008 (3г - 2 У2 - 2в)- 008 (2У2 - г + 2в)]-к ^ ^

2к

1 к X

— и——[008 (2У2 - 2г + в) - 008 (2У2 - в) + 008 в - 008 (2г - в)];

2 к01 X1

У2 = к02 - ^2Л у — [81П (у2 - - + 0) + 8Ш ■- 0)] ■-\Ь2Р- 8Ш2Уг - -Г ~■

2 Х)2 Х2

2 к02 X2

к 1 к

• [008 в + 008 (2г -в) + 008 (2У2 -в) + 008 (2У2 - 2г + в)] - — ~22 008 г--ии

к02 2 к02

• [сов (2у2 + г) + сов (2у2 - г)]; ¿ = 20.

Усредняя правые части системы (25) на бесконечном интервале времени по быстрым переменным z и у2, получим вырожденную систему трех дифференциальных уравнений для медленных переменных х1, х2 и в:

- 1 , _ 1 А,, _ . -х = —а ,х, —ц^^х^ виш; 2й1 2 к, "

"01

- Ч - 1 • л

Х2

"02

1 К

а , 1 „ к2Л Х1

в - ¡иИ — /л —— сое0 + — ¡и^^^гсоъв. 2 к01 х1 2 к02 х2

(26)

Сравнение систем дифференциального уравнений (25) и (26) указывает на то, что усредненная на бесконечном интервале времени математическая модель поведения параметрической системы значительно проще исходной. Определим стационарный режим, ибо нас интересуют границы параметрического комбинационного резонанса разностного типа, т. е. положим производные равными нулю:

¿1,2 -

Ъх1хх + ц-1-х2 бШ^ = 0;

' к01 - ¿21 _ -

Ъ2х2 + л—1 х ^п^ = 0;

(27)

1 А,-

Я . 1 ¿2,1

/к -1 л-12 -^соъб +1 л^2 ^соб^ = 0.

2 к01 Х1

2 к02 Х2

Для того чтобы амплитуды колебаний не обращались в нули (т. е. решение не было бы тривиальным) должно выполняться следующее условие:

Д

к 1 -л-^пЯ £

к02

¡uk-smв к

'2,2

= 0,

(28)

следовательно, нетрудно найти

/1

Ъ Ъ к к

Ъ1,1Ъ2,2к01к02

¿1,2 ¿2,1

(29)

Вычислим теперь косинус этого же угла:

1

соъв = ±—

Ъ Ъ к к

2 Ъ1,1Ъ2,2к01к02

\2к

(30)

2,1

Определяя расстройку по частоте, после несложных преобразований находим формулу для вычисления границы параметрического комбинационного разностного типа:

(

20

Л

к - к

V к02 к01 У1,2

=1 ±IЪ*-^ /

2 к - к

2 к02 к01

к1,2к2,1

Ъ Ъ к к

Ъ1,1Ъ2,2 к01к02

1.

(31)

Отсюда нетрудно видеть, что границы определяются собственными парциальными частота системы, диагональными коэффициентами матрицы диссипативных сил и недиагональными коэффициентами матрицы мультипликативных сил (рисунок 2). Критическое значение коэффициента параметрического возбуждения (0,409)

№ 2(26) 2016

<

1

«,„=

Ъ Ъ к к

Ъ1,1Ъ2,2к01к02

¿1,2^2,1

Утверждение, аналогичное высказанному выше относительно формулы (31), может быть повторено и для выражения (32). Если коэффициенты к12 и Л21 имеют разные знаки, то в системе не возбуждается параметрический комбинационный резонанс разностного типа, по крайней мере в первом приближении, а может возбудиться, видимо, комбинационный пара-

метрический резонанс суммарного типа.

1.4

0,4 0,42 0,44 0,46 0,48 0,5 0,52 0,54 0,56 о. е. 0,6

ц -

Рисунок 2. Область параметрического комбинационного резонанса разностного типа, найденная при помощи асимптотического метода разделения движений на «быстрые» и «медленные» составляющие

Таким образом, методика вычисления области параметрического резонанса разностного типа может использоваться для анализа поведения реального железнодорожного экипажа, движущегося по неравноупругому в продольном направлении железнодорожному пути [4]. Исходя из выражения (31) можно установить область резонансных скоростей движения железнодорожного экипажа, которую нужно добавить к тем областям, которые получаются из условий простых параметрических резонансов:

^ = ^(ко2 -ки/1 ±гЯК1 (33)

Ж ^ к02 к01 V Ъ1,1Ъ2,2к01к02 )

здесь /шп= 0,54 м - междушпальное расстояние; /шп зависит от эпюры шпал; указанная величина соответствует соотношению 1840 шпал на 1 км.

И, наконец-то, следует напомнить, что согласно выводам работы [2] вязкое трение играет положительную роль для простых параметрических резонансов, сужая их области, и негативную роль для комбинационных параметрических резонансов, расширяя зоны последних. Кроме того, хорошо известно [1], что параметрическое возбуждение может взаимодействовать с кинематическим внешним возмущением, действующим на железнодорожные экипажи, либо усиливая, либо ослабляя последние, что зависит от фазового соотношения между ними.

К сожалению, практически во всех монографиях, посвященных динамическому поведению подвижного состава, данный факт не учитывается должным образом, т.е. как мультипликативное и аддитивное возмущение одновременно, чтобы упростить математический аппарат исследования. Обычно говорят о конкретной скорости движения экипажа как о резонансной, что в действительности не так, ибо это зоны в окрестности данной скорости, а ее ширина определяется в основном коэффициентом параметрического возмущения.

Список литературы

1. Болотин, В. В. Динамическая устойчивость упругих систем / В. В. Болотин. - М.: Гос-техиздат, 1956. - 600 с.

2. Шмидт, Г. Параметрические колебания / Г. Шмидт. - М.: Мир, 1978. - 336 с.

60 ИЗВЕСТИЯ Транссиба №202(266)

3. Моисеев, Н. Н. Асимптотические методы нелинейной механики / Н. Н. Моисеев. - М.: Наука, 1969. - 380 с.

4. Нехаев, В. А. Особенности составления математической модели условной двухосной тележки, движущейся по неравноупругому железнодорожному пути в продольном направлении / В. А. Нехаев, Р. Д. Сабиров // Материалы 2-й всерос. конф. с междунар. участием «Технологическое обеспечение ремонта и повышение качества подвижного состава» / Омский гос. ун-т путей сообщения. - Омск. - 2013. - С. 185 - 191.

References

1. Bolotin V. V. Dinamicheskaia ustoichivost' uprugikh system (Dynamic stability of elastic systems). Moscow: Gostekhizdat, 1956, 600 p.

2. Shmidt G. Parametricheskie kolebaniia (Parametric oscillations). Moscow: Mir, 1978, 336 p.

3. Moiseev N. N. Asimptoticheskie metody nelineinoi mekhaniki (Asymptotic methods of nonlinear mechanics). Moscow: Nauka, 1969, 380 p.

4. Nekhaev V. A., Sabirov R. D. Features of drawing up a mathematical model of the conventional biaxial trolley moving along neravnouprugomu railway track in the longitudinal direction [Osobennosti sostavleniia matematicheskoi modeli uslov-noi dvukhosnoi telezhki, dvizhushcheisia po neravnouprugomu zheleznodorozhnomu puti v pro-dol'nom napravlenii]. Materialy 2 vserossiis-koi konferentsii s mezhdunarodnym uchastiem «Tekhnologicheskoe obespechenie remonta i pov-yshenie kachestva podvizhnogo sostava» - Proceedings of the 2nd All-Russian conference with international participation «Engineering support repair and improvement of the quality of rolling stock», 2013, pp. 185 - 191.

ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРЕ

Нехаев Виктор Алексеевич

Омский государственный университет путей сообщения (ОмГУПС).

Маркса пр., д. 35, г. Омск, 644046, Российская Федерация.

Доктор технических наук, профессор кафедры «Теоретическая механика», ОмГУПС.

Тел.: +7 (3812) 37-60-82, +7 (3812) 31-16-88.

E-mail: NehaevVA@rambler.ru

БИБЛИОГРАФИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ СТАТЬИ

Нехаев, В. А. Влияние продольной неравноупру-гости железнодорожного пути на динамическое поведение подвижного состава. Ч. 3. Определение областей комбинационных параметрических резонансов [Текст] / В. А. Нехаев // Известия Транссиба / Омский гос. ун-т путей сообщения. - Омск. - 2016. - № 2 (26). -С. 50 - 61.

INFORMATION ABOUT THE AUTHOR

Nekhaev Victor Alekseevich

Omsk State Transport University (OSTU). 35, Marx st., Omsk, 644046, the Russion Federation. Doctor of Technical Sciences, Professor of the department « Theoretical Mechanics» Omsk State Transport University.

Phone: +7 (3812) 37-60-82, +7 (3812) 31-16-88. E-mail: NehaevVA@rambler.ru

BIBLIOGRAPHIC DESCRIPTION

Nekhaev V. A. The effect of longitudinal non-equal-elasticity of railway to the rolling stock dynamic. Part 3. The identify areas of raman parametric resonance. Journal of Transsib Railway Studies, 2016, vol. 26, no. 2, pp. 50 - 61. (In Russian).

УДК 621.373.826

В. И. Шастин1, С. К. Каргапольцев2

1 Сибирская академия права, экономики и управления (САПЭУ), г. Иркутск, Российская Федерация,

2Иркутский государственный университет путей сообщения (ИрГУПС), г. Иркутск, Российская Федерация

ЛАЗЕРНОЕ ТЕРМОУПРОЧНЕНИЕ ПАРЫ ТРЕНИЯ ДВС «КОЛЬЦО - ГИЛЬЗА ЦИЛИНДРА»

Аннотация. Статья посвящена актуальным вопросам исследования микроструктуры, физико-механических и трибологических показателей поверхностных слоев пары трения «кольцо - гильза цилиндра»,