CC BY
26
elektricheskoy energii iz pitayuschey energosistemi). Elektrotehnika - Electrotechnics journal, 2016, no.2, pp. 42 - 44.
3. Grunin O. M., Philipov C. A. Elektricheskie seti i sistemi vprimerah i zadachah (Electrical grid and schemes with examples and questions). Chita, 251 p.
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ
Ли Валерий Николаевич
Дальневосточный государственный университет путей сообщения (ДВГУПС).
Серышева ул., д. 47, г. Хабаровск, 680021, Российская Федерация.
Доктор технических наук, профессор, профессор кафедры «Системы электроснабжения», ДВГУПС.
Тел.: +7 (4212) 40-70-87
E-mail: livn@festu.khv.ru
Шурова Наталья Константиновна
Дальневосточный государственный университет путей сообщения (ДВГУПС).
Серышева ул., д. 47, г. Хабаровск, 680021, Российская Федерация.
Аспирант, преподаватель кафедры «Системы электроснабжения», ДВГУПС.
Тел.: +7 (4212) 40-70-87
E-mail: lunor92@mail.ru.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ СТАТЬИ
Ли, В. Н. Особенности выбора компенсирующих устройств в тяговой сети по критериям оптимальности [Текст] / В. Н. Ли, Н. К. Шурова // Известия Транссиба / Омский гос. ун-т путей сообщения. - Омск. - 2016. -№ 3 (27). - С. 38 - 44.
INFORMATION ABOUT AUTHORS Li Valerii Nikolaevich
Far Eastern State Transport University (FESTU). 47, Serysheva st. Khabarovsk, 680021, the Russian Federation.
Doctor of Technical Sciences, Professor, Professor of the department «Power-supply system», FESTU. Phone: +7 (4212) 40-70-87. E-mail: livn@festu.khv.ru
Shurova Natalia Konstantinovna
Far Eastern State Transport University (FESTU). 47, Serysheva st. Khabarovsk, 680021, the Russian Federation.
Postgraduate student, Lecturer of the department «Power-supply system», FESTU. Phone: +7 (4212) 40-70-87. E-mail: lunor92@mail.ru.
BIBLIOGRAPHIC DESCRIPTION
Li V. N., Shurova N. K. Features of compensating devices choice in traction power supply system with using optimally criterion. Journal of Transsib Railway Studies, 2016, vol. 27, no. 3, pp. 38 - 44. (In Russian).
УДК 629.4
В. А. Нехаев
Омский государственный университет путей сообщения (ОмГУПС), г. Омск, Российская Федерация
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ВЫНУЖДЕННЫХ И ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ВОЗБУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ ПОДВИЖНОГО СОСТАВА ПРИ ДВИЖЕНИИ ПО НЕРАВНОУПРУГОМУ ПО ПРОТЯЖЕННОСТИ ПУТИ С НЕРОВНОСТЯМИ
НА ПОВЕРХНОСТИ КАТАНИЯ РЕЛЬСОВ
Аннотация. В статье рассмотрена проблема учета продольной неравноупругости железнодорожного пути, приводящая к тому, что вынужденные колебания необрессоренной массы экипажа взаимодействуют с мультипликативным возмущением, усиливая амплитуду подпрыгивания колесной пары либо уменьшая ее. Это зависит от фазового соотношения между указанными внешними воздействиями.
Ключевые слова: подвижной состав, железнодорожный путь, продольная неравноупругость пути, простые и комбинационные параметрические резонансы, резонансная скорость движения.
Victor A. Nekhaev
Omsk State Transport University (OSTU), Omsk, the Russian Federation
THE DYNAMICS FOR NON-SPRING MASS OF ROLLING STOCK IN ITS MOTION ON NON-EQUAL-ELASTICITY OF RAILWAY TRACK WITH BUMPS;
THE INTERACTION FOR FORCED AND PARAMETRIC OSCILLATIONS
Abstract. The article is devoted to the accounting problem of longitudinal non-equal-elasticity of railway track which led to forced vibrations for non-spring mass of rolling stock are interacting with multiplicative perturbation, that is increasing the amplitude of the bouncing wheel pair, or reducing it. This depends on the phase relationship between these influences.
Keywords: rolling stock, railroad, longitudinal non-equal-elasticity of railway, simple and Raman parametric resonances, RMS-velocity for motion.
В предыдущих работах автора были представлены методики вычисления границ простых и комбинационных параметрических резонансов, нахождения аддитивного возмущающего фактора, действующего на подвижной состав, от продольной неравноупругости железнодорожного пути. В настоящей статье изучаются два момента.
Первый состоит в том, что сначала изучается влияние указанной неравноупругости пути на ускорение колесной пары экипажа, второй заключается в том, что еще в шестидесятые годы прошлого столетия В. В. Болотин [1] обратил внимание на возможность взаимодействия вынужденных и параметрически возмущаемых колебаний.
Пусть неравноупругость железнодорожного пути описывается следующей формулой, полученной на основании обработки эмпирического материала о жесткости пути, измеренной сотрудниками кафедры «Взаимодействие подвижного состава и пути и динамики локо-
мотивов» Омского института инжене
жп (x) = Ж0
ров железнодорожного транспорта (ОмИИТа):
(1)
5 f x Л
1 + 2Z Vk cos 2Я- + П
k=1
k
V lk J
где ж0 = 7800 - средняя на звене жесткость пути, тс/м, / = 0,035, / = 0,046, / = 0,054, / = = 0,036, / = 0,073 - коэффициенты параметрического возбуждения для первой, второй, третьей, четвертой и пятой гармоник жесткости, б/р, 11 = 15,62, 12 = 3,57, 13 = 2,67, 14 = 1,43, 15 = = 0,544 - длины волн с первой по пятую гармонику, м, ( = -1,248, ( = 1,281, (3 = 0,738, (р4 = -0,364, (р5 = 1,570 - сдвиг фазы с первой по пятую гармонику, рад. График изменения жесткости пути представлен на рисунке 1, здесь отметим, что спектр этой переменной чрезвычайно богат, но у остальных гармоник, кроме учтенных, коэффициенты параметрического возбуждения весьма малы. Кстати, нетрудно видеть, что составляющая с длиной волны, равной междушпальному расстоянию 0,544 м, хорошо просматривается на этом рисунке. В работах профессора М. Ф. Вериго можно встретить утверждение о том, что колесная пара совершает 25 колебаний на рельсе длиной 12,5 м и 50 колебаний на рельсе длиной 25 м. Следовательно, это указывает на тот факт, что основным источником колебаний необрессоренной массы экипажа является наличие шпал. Жесткость пути под шпалой составляет порядка 8369 тс/м, а в междушпальном ящике - 7230 тс/м, т. е. ее изменение составляет около 1000 тс/м, а статический прогиб пути меняется всего на 0,471 мм.
При расчетах принималось: тк.п = 0,294 тс-с2/м, тп = 0,056 тс-с2/м, жб = 304 тс/м, ж0 = = 7800 тс/м, рб = 0,27 тс-с/м, рп = 27,8 тс-с/м и /0 = 2,838 мм.
Учитывая, что собственные частоты колебаний подпрыгивания и галопирования кузова и тележек существенно меньше, чем частота подпрыгивания колесной пары, то согласно тихоновской теореме о разделении движений механической системы на «быстрые» и «медленные» составляющие можно, конечно же, построить предельную математическую модель
■■¡И ИЗВЕСТИЯ Транссиба 45
только для быстрой переменной - подпрыгивание колесной пары, но мы пойдем стандартным путем, следуя курсу динамики подвижного состава, в котором существует раздел «Динамика неподрессоренных масс экипажей».
1.1-104 1104 9000 8000 7000 ж 6000 5000 4000
10
12
14
Рисунок 1 - График изменения жесткости пути (тс/м) в Сибирском регионе летом Следовательно, дифференциальное уравнение колебаний подпрыгивания колесной пары
экипажа имеет вид:
шд + Ьд + ж(1 )д = —ш/ — Ь/,
(2)
где д - обобщенная координата, отсчитываемая от положения равновесия колесной пары в данный момент времени; / - так называемый статический прогиб пути, который изменяется от сечения к сечению и поэтому является функцией времени; ш = шкп+шп - «приведенная» масса колесной пары; Ь = Ьб + Ьп - «приведенный» коэффициент вязкого трения в системе
«экипаж - путь»; ж(^) = жб+жп(^), ж(^) = (жб + ж0)
1 + 2е£ак соб(¿ + рк)
к=1
«приве-
денная» жесткость рассматриваемой механической системы; £ = ¡11 - малый параметр; а1 = = 1, а2 = ¡/¡ь а3 = ¡¡/¡а, а4 = ¡¡/¡1, а5 = ¡5/а - вспомогательные переменные; б/р, Ок = = жУ/1к - частота к-й гармоники изменения жесткости пути, рад/с; V - скорость движения экипажа, м/с.
Данное дифференциальное уравнение описывает, если допустимо так выразиться, свободные колебания подпрыгивания колесной пары при ее качении по неравноупругому по протяженности пути при отсутствии на поверхностях рельсов геометрических неровностей. Заметим, что если бы путь был равноупругим по протяженности, а начальные условия - тривиальными, то колесная пара просто бы перемещалась вдоль пути без колебаний, но это совершенно идеалистический случай, в действительности так не бывает, ибо всегда найдется какое-либо несовершенство.
Примем обычное допущение о том, что экипаж движется вдоль железнодорожного пути с постоянной скоростью, тогда имеем, что х = VI, здесь V - скорость экипажа, м/с. Следовательно, получим такое уравнение:
/ С) = -
Р
1
•мЪх ч - Ж , ,
1 + 2£
1//1
1//> • /¡\у I • Л\
ак соб (2&к1 + Рк)
(3)
0 к=1
0
2
4
6
8
X
«ИЗВЕСТИЯ Трансси ба №20Ц2в7)
Введем новые обозначения: / = р(жб + ж0) - модуль среднего статического прогиба железнодорожного пути под постоянным давлением колесной пары, м; 0.к = жУ/ 1к - частота параметрического возбуждения к-й гармоники изменения жесткости пути, рад/с; / = £ж0/(жб + ж0) - новый малый параметр, б/р, и перепишем уравнение (3) так:
/0
/ а)=■
1 + 2/£а°к ^ (Ц^ + (к )
(4)
к=1
Учитывая, что /<<1 - малый параметр, воспользуемся биномом Ньютона и получим приближенное уравнение для возмущающего фактора (здесь в разложении бинома учтено три слагаемых):
/Ц) « -/0 <! 1 - /£ а сов (2^ + (к) + т/
к=1
Еак С0В (2Пк* + (к )
к=1
(5)
Статический прогиб неравноупругого железнодорожного пути (здесь имеется в виду, что колесная пара мгновенно перемещается по сечениям) представлен на рисунке 2, откуда несложно установить, что по модулю он не превышает 3,458 мм.
Определим необходимые нам величины, опустив третье слагаемое в формуле (5), ввиду их малости:
/() = -2//0Е амп(2Ц^ + (к);
к=1
5
/ (I) = -4//0 Еа ^ сов (2Ц^ + ().
(6)
к=1
л
/с
ст —.
10
12
14
Рисунок 2 - Статический прогиб железнодорожного пути, мм
Изменение второй производной от статического прогиба пути в долях g показано на рисунке 3.
0
2
4
6
8
х
Установлено, что с ростом скорости движения экипажа максимальный модуль ускорения возрастает от 0,012 до 0,12^ (первое значение для V = 40 км/ч, второе - для V = 120 км/ч).
а
/ст''/Е
0,15 0,1 0,05 0
-0,05 -0,1 -0,15
10
12
14
Рисунок 3 - Вторая производная от статического прогиба в долях g при V = 120 км/ч
Результаты численного интегрирования дифференциального уравнения (2), полученные методом Рунге - Кутты четвертого порядка с фиксированным шагом, представлены на рисунке 4.
В относительном движении ускорение колесной пары определяется скоростью движения подвижного состава вдоль пути и составляет приблизительно 0,012g при V = 40 км/ч, -0,05g при V = 80 км/ч и -0,12g при V = 120 км/ч. Указанные величины нужно добавить к соответствующим максимумам ускорения подпрыгивания колесной пары в переносном движении. Следовательно, выполнив необходимые действия, получим такие абсолютные ускорения подпрыгивания колесной пары экипажа: 1, 212g при V = 40 км/ч, 1,25g при V = 80 км/ч и ~ g при V = 120 км/ч. Нетрудно установить, что где-то в районе скорости движения экипажа 80 км/ч должно находиться значение скорости V, при котором достигается максимум ускорения подпрыгивания колесной пары, но называть эту скорость резонансной мы не будем, зная о том, что при параметрических колебаниях это целые области.
1,5 1
0,5
0
-0,5 -1
Окт/И
-1,5
10
12
14
Рисунок 4 - Ускорение подпрыгивания колесной пары экипажа (в долях g) при движении по железнодорожному пути в Сибирском регионе
0
2
4
6
8
X
0
2
4
6
8
X
Дифференциальное уравнение (2) обладает как мультипликативным возмущением (это изменение, в нашем случае гармоническое, жесткости механической системы, т. е. пути), так и аддитивным воздействием, стоящим в правой части уравнения (2), характеризующим переносное движение системы. Подчеркнем еще раз, что обобщенная координата q отсчитывается от положения статического равновесия системы в каждой точке железнодорожного пути, которое постоянно изменяется от сечения к сечению. А так как у дифференциального уравнения появилась правая часть, то в механической системе неизбежно будут развиваться как вынужденные, так и параметрические колебания.
Чтобы отразить свойство взаимодействия вынужденных и параметрических колебаний, отбросим все гармоники, кроме той, которая обладает длиной волны, равной междушпаль-ному расстоянию. Итак, математическая модель системы, о которой говорилось выше, имеет такой вид:
q + 2nq + к02 (1 - 2¡¡cos2Qt)q = к02qcm cos (Qt + р),
(7)
где q^ = Р0/ж0 - статический прогиб пружины, на которой подвешен груз при среднем ее значении; Р0 - амплитуда силового возмущения. Здесь мы считаем, что частота параметрического воздействия в два раза больше частоты внешнего силового возмущения (это обстоятельство упростит решение задачи). Хотя в принципе можно ввести малую расстройку системы по частоте.
Решение дифференциального уравнения (7) будем искать согласно общей теории таких систем в следующей форме:
q = a sin Qt + b cos Qt, (8)
что приведет нас после несложных преобразований к СЛАУ:
(к02 + ¡к02 - Q2) a - 2nQb = -к02q^ sin р;
<
2nQa + (к02 - /ик1 - Q2) b = k02qCT cos р
(9)
или
(l + ¡ - Я2 )a - 2SÁb = -qCT sin р; 2dXa + (l - ¡-Я )b = q^ cosp,
(10)
здесь X = £2/к0 - расстройка системы по частоте; 8 = п/к0 - безразмерный коэффициент, характеризующий вязкое трение в системе (обычно он находится в диапазоне от 0 до 0,7). Разрешая систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) (10) и вычисляя амплитуду колебания по формуле А2 = а2 + Ь2, получим передаточную функцию системы в виде:
f A ' (1 - Я2 )2 + 4S2á2 + ¡48Я sin 2р + 2¡ (1 -Я2 )cos2p+I
V ^ст У J "(1 -Я2)2 + 4¿2¿2 -¡i" 2
(11)
Графики изменения этого соотношения показаны на рисунке 5.
Из представленного рисунка легко установить, что если сдвиг фазы р между силовым и параметрическим возбуждениями равен П4, то параметрическое возмущение усиливает амплитуду вынужденных колебаний на 20,9 %, если угол - р = -п/4, то амплитуда вынужденных колебаний уменьшается на 52,5 %. Впрочем, указанные проценты получены в так называемой зоне резонанса, когда собственная частота совпадает с частотой силового внешнего воздействия.
Следовательно, создавая в механической системе, подверженной внешнему силовому или кинематическому возмущению, параметрическое воздействие, обеспечив нужный сдвиг фазы между возмущениями, мы можем строить виброзащитную систему.
_А Чс
Рисунок 5 - Передаточная функция системы по перемещению
Рассмотренный выше пример параметрической системы, на которую воздействует силовое внешнее возмущение, позволил нам установить некоторые характерные их свойства. Далее обратимся к частному случаю, когда длина геометрической неровности в два раза больше или близка к междушпальному расстоянию, составляющему в среднем 0,544 м (в зависимости от эпюры шпал, в данном варианте - 1840 шт./км). В этот диапазон волн попадает средневолновый волнообразный износ рельсов, следовательно, рассматриваемый случай не так уж далек от реальности. Кроме того, в правой части математической модели взаимодействия колесной пары и неравноупругого по протяженности пути будут стоять дополнительные слагаемые, характеризующие аддитивное действие неравножесткости на экипаж. Это обстоятельство, разумеется, несколько усложнит нашу задачу.
Перепишем уравнение (7), дополнив его внешним возмущением от пути, так:
mq + bq + ж (1 - 2e sin 2Qt)q = m8 f0eQ2 sin 2Qt - b4 f0eQ cos 2Qt + +mnn0Q2 sin (Qt + ф)-bnv0Qcos(Qt + ф)-ж0ц0 {sin (Qt + ф)- (12)
- e [cos (Qt -ф)- cos (3Qt + ф)]},
здесь ф - угол сдвига фазы между параметрическим и внешним возмущениями; r¡0 - амплитуда геометрической неровности на рельсах. Первые два члена в правой части выражения (12) - это аддитивная составляющая возмущения от продольной неравноупругости пути, а следующие - характеризуют действие волнообразного возмущения на колесную пару экипажа. Согласно математике установившееся решение нужно искать в виде (в дальнейшем пренебрегаем четвертой, пятой гармониками):
q = — а0 + а sin Qt + h cos Qt + a2 sin 2Qt + b2 cos 2Qt +
4 2 0 1 1 2 2 (13)
+a3 sin 3Qt + b3 cos 3Qt.
Отметим, что здесь мы несколько упростили решение задачи, предположив точное выполнение частотного соотношения между вынуждающей силой и параметрическим возмущением, т. е. ( = О. В действительности указанное соотношение выполняется приблизительно, но отличаются они друг от друга мало, что почти не сказывается на амплитуде колебаний. Продифференцируем это соотношение два раза по времени, т. е. найдем скорость и ускорения обобщенной координаты д:
д = О( соб Оt -Ь1 Бт Оt) + 2О(а2 -Ь2 ) +
+3О(а3 собЗО- Ь3 бшЗО^);
д = -О2 ( бш Оt + Ь1 соб Оt) - 4О2 (а2 бш 2Оt + Ь2 соб 2Оt) --9О2 (а3 бш 3Оt + Ь3 соб 3Оt).
(14)
Стандартные действия, связанные с подстановкой выражений (13), (14) и тригонометрическими преобразованиями, приводят нас к следующей системе уравнений относительно амплитуд колебаний:
БХ = Е,
(15)
где Б - матрица коэффициентов, стоящих при неизвестных амплитудах колебаний, подлежащих определению; Е - вектор свободных членов, их выражения приведены ниже, ибо они очень громоздки. Кроме того, была предварительно найдена постоянная а0:
1
2 0
или
а
- £жа2 = 0
: 2£а2.
(16)
Постоянная а0 была подставлена в систему, что позволило сократить ее порядок до 6.
Угол сдвига фазы р примем равным 0 либо п/4, либо -п/4, что позволит выявить взаимосвязь между параметрически возбуждаемыми и вынужденными колебаниями механической системы. Внимательный анализ уравнения (15) указывает на то, что четные и нечетные гармоники решения формулы (13) не связаны между собой, следовательно, можно отдельно рассматривать две задачи, одна из которых описывается следующей системой уравнений (такое возможно только потому, что рассматриваемая механическая система является линейной):
а другая имеет вид:
к (1 - 2£)- 4тО2 а2 - 2ЬОЬ2 = 8£/0тО2; 2ЬОа2 + (ж - 4тО2) Ь2 = -4£/0ЬО,
[ ж (1 -£)- тО2 | а1 - ЬОЬ1 +£жЬ3 = /1; ЬОа1 + [ж (1 - £) - тО21Ь1 - £жа3 = /2; -£жа1 + (ж - 9тО2) а3 - 3ЬОЬ3 = /3; £жЬ1 + 3ЬОа3 + (ж - 9тО2) Ь3 = /4,
(17)
здесь имеем:
/=п
(тпО2 - ж0) соб р - (ЬпО - £ж0) бш р; (тпО2 - ж0) Бт р - (ЬпО - £ж0) соб р; еж0 Бт р; -£ж0 соб р.
Матрица Б и вектор Е алгебраического уравнения (15) после указанного выше преобразования имеют вид:
С
т=
ж(1-е)- тО2 ЬО 0 0
-еж 0
-ЬО ж(1-е)- тО2 0 0 0
еж Г
ж
0 0
(1-2е2)- т4О2 Ь2О 0 0
0 0
-Ь2О ж - т4О2 0 0
Е (е):
(тпО2 - ж0) соб р - (ЬпО - еж0) бш р
(тпО2 - ж0) Бт р - (ЬпО - еж0) соб р 8е /0 тО2 -4е10ЬО еж0п0 р -еж0п0 соб р
0
-еж 0 0
ж-т^О2 Ь3О
Л
П П
еж 0 0 0
-Ь3О ж - т9О2
Л
; (20)
у
(21)
Исходные данные локомотива приняты следующими: ткп = 0,22 тс с /м, тп = = 0,056 тс-с2/м, Рст = 23 тс, жб = 304 тс/м, ж0 = 7800 тс/м, Ьб = 1 тс-с/м, Ьп = 27,3 тс-с/м, 1ш = = 0,54 м, /н = 1,08 м, Ю = 2,84 мм, По = 0,2 мм. На рисунке 6 представлен график изменения амплитуды колебаний колесной пары от неравноупругости пути по протяженности.
Рисунок 6 - Изменение амплитуды колебаний колесной пары (в мм) от скорости движения экипажа и неравноупругости пути
Если коэффициент параметрического возмущения /и = 0,4, то резонансная амплитуда подпрыгивания колесной пары не превышает 4 мм, причем резонанс развивается в районе 15 м/с (54 км/ч). В дальнейшем амплитуда уменьшается, но не очень существенно.
Составляющая ускорения колесной пары экипажа от продольной неравноупругости пути приведена на рисунке 7, из которого нетрудно видеть, что максимальное ускорение может достигать около 8g при скорости движения экипажа около 100 км/ч и / = 0,4. Причем ускорение возрастает как с увеличением скорости движения колесной пары, так и с ростом коэффициента параметрического возбуждения.
А
10
/ч
1 / = 0,4
/ = 0,3
/ = 0,2 ......
/ = 0,2
--- / = 0,2
10
15
20
25
30
Рисунок 7 - Ускорение колесной пары (в долях g) от скорости движения экипажа и продольной неравноупругости железнодорожного пути
Первая и третья гармоники подпрыгивания колесной пары от действия геометрических неровностей на поверхности катания рельсов показаны на рисунках 8 и 9.
Из анализа рисунков 8 и 9 следует сделать важный вывод о том, что третья гармоника составляет около 50 % от первой и поэтому ее необходимо учитывать в расчетах. Так как рассматриваемая система является линейной, а возмущение представлено лишь одной гармоникой, то появление третьей гармоники нужно приписать действию параметрического (мультипликативного) возмущения.
ф = п/4, / = 0;
ф = п/4, / = 0,2; ф = 0, / = 0; ф = п/4, / = 0,4; = 0, / = 0,2; ф = 0, / = 0,4;
= -п/4, / = 0,4; ф = -п/4, / = 0,2; ф = -п/4, / = 0
10
15
20
25
30
Рисунок 8 - Амплитуда первой гармоники подпрыгивания колесной пары (в мм) от действия геометрической неровности на поверхности катания рельсов
8
6
4
2
0
0
5
V
0
5
V
№,03!2в7)Е ИЗВЕСТИЯ Транссиба 53
Ускорение колесной пары от действия гармонической геометрической неровности приведено на рисунке 10. Оно с увеличением скорости движения экипажа возрастает, хотя нетрудно обнаружить резонанс, который размыт и развивается в диапазоне скоростей от 20 до 30 м/с (от 72 до 108 км/ч) и далее убывает.
10
15
20
25
30
ё
1,4
1,2
а
0,8
0,6
0,4
0,2
Рисунок 9 - Амплитуда третьей гармоники подпрыгивания колесной пары (в мм) от действия геометрической неровности на поверхности катания рельсов
р = п/4, / = 0;
р = п/4, / = 0,2;
р = 0, / = 0; р = п/4, / = 0,4; р = 0, / = 0,2; р = 0, / = 0,4;
р = -п/4, / = 0,4; р = -п/4, / = 0,2; р = -п/4, / = 0
10
15
20
25
30
Рисунок 10 - Ускорение колесной пары экипажа (в долях g) по первой гармонике от действия гармонической геометрической неровности на поверхности катания рельсов
Заметим, что на рисунках выше 10-го представлена только первая гармоника решения (8). Результаты вычислений для третьей гармоники даны на рисунке 11. Максимальное уско-
0
5
V
1
0
0
5
V
3(27)
рение колесной пары по третьей гармонике не превышает 1,2^ при скорости движения 12 м/с (43,2 км/ч). Несложно обнаружить на этом рисунке и другие резонансные пики.
1,2
/\
■'З т
£
1,1 1
0,9 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0
— ф = -п/4 , ц = 0,4
/ \ / ф = 0, ц = 0,4
1
1 11 — П А
4, ц = 0,4 ч
ф = -п/4, ц = | ,4
ф = 0, ц = 0,2
_____
__^^ч»^ ф = п/4, 1 0,2
10
15
20
25
30
Рисунок 11 - Ускорение колесной пары экипажа (в долях g) по третьей гармонике от действия геометрической неровности на поверхности катания рельсов
На рисунках 12, 13 приведены интегральные графики подпрыгивания и ускорения подпрыгивания колесной пары экипажа от действия всех возмущений для трех скоростей движения - 10, 20 и 30 м/с, двух коэффициентов мультипликативного воздействия - 0,2 и 0,4 и двух сдвигов фазы между возмущениями - 45° и -45°.
л
0,001 0
-0,001
-0,002
-0,003
-0,004
-0,005
-0,006 0
ф = п/4, ц = 0,4
3 х
ф = -п/4, ц = 0,2 ф = п/4, ц = 0,2
ф = -п/4, ц = 0,4
Рисунок 12 - График подпрыгивания колесной пары экипажа (в м) при скорости его движения 30 м/с (108 км/ч) (абсциссой является перемещение экипажа вдоль пути, м)
Таким образом, учет продольной неравноупругости железнодорожного пути (хотя бы под шпалой и в междушпальном ящике) позволяет более точно установить резонансные области, оценить уменьшение или увеличение уровня ускорения и амплитуд подпрыгивания
0
5
V
г
хп
1
2
4
5
6
7
8
неподрессореннои массы подвижного состава, что в итоге сказывается на силах воздействия на путь в вертикальной плоскости со всеми вытекающими отсюда последствиями.
40 . __ф = п/4, ц = 0,4
20
-20
-40
ф = -п/4, ц = 0,4 ф = -п/4, ц = 0,2
ф = п/4, ц = 0,2
0
г
хп
012 3 4 5 678
Л" ->
Рисунок 13 - График ускорения подпрыгивания колесной пары экипажа
при скорости его движения 30 м/с (108 км/ч) (абсциссой является перемещение экипажа вдоль пути, м)
Следовательно, во-первых, параметрическая система в некотором смысле напоминает своим поведением нелинейную систему.
Во-вторых, угол сдвига фазы между возмущениями играет существенную роль, ибо либо увеличивает, либо уменьшает амплитуду колебаний подпрыгивания колесной пары.
В-третьих, резонирует основная гармоника на скоростях от 10 до 27 м/с (от 36 до 97,2 км/ч), а третья гармоника - в районе 10 м/с (36 км/ч).
В-четвертых, максимальная амплитуда подпрыгивания колесной пары от продольной неравноупругости пути на порядок превышает этот же показатель от геометрической неровности на поверхности катания рельсов. Поэтому, видимо, неравноупругость пути должна обязательно учитываться в расчетных схемах подвижного состава и их математических моделях.
Далее приведем главную и вторую зоны параметрического резонанса как функцию скорости (в километрах в час) от коэффициента параметрического возмущения ц, которые изображены на рисунке 14. Они обе находятся в диапазоне эксплуатационных скоростей современных поездов.
В заключение статьи сопоставим основные свойства обычного (возбуждаемого силовым или кинематическим внешним воздействием) и параметрического резонансов.
1) Обычный резонанс возникает при с ~к0 или пю ~к0 (что возможно только в нелинейной системе), но вынужденные колебания существуют при любой частоте воздействия ю.
2) В случае параметрического резонанса существуют лишь ограниченные частотные интервалы вблизи соотношения [ю = 2а>к/р к = 1,2,...,п; р = 1,2,.... или ю = |ю;. ±юк|/р у,к =
= 1, 2,...,п; р = 1, 2,..], внутри которых возникают и развиваются параметрически возбужденные колебания.
3) Любая по величине внешняя сила может вызвать обычный резонанс (важно лишь выполнение частотного соотношения).
4) Для возникновения параметрического резонанса в диссипативной системе величина возмущения, т. е. коэффициент параметрического возбуждения, должна быть больше некоторого порогового значения.
5) В силу существования порогового значения амплитуды параметрического воздействия в неконсервативной системе существует ограниченное число частотных интервалов, внутри которых осуществляется параметрический резонанс.
6) Для линейной диссипативной системы при обычном резонансе всегда характерна ограниченная амплитуда колебаний, ибо потери растут быстрее притока энергии.
7) В линейной неконсервативной системе при параметрическом резонансе происходит неограниченный рост амплитуды, так как и приток, и потери энергии пропорциональны квадрату амплитуды и только в нелинейной системе происходит ограничение колебаний.
140
/' ->
Рисунок 14 - Главная (первая) V1 и вторая У2 области динамической неустойчивости колесной пары экипажа, рассчитанные для исходных данных, представленных выше
В заключение необходимо сделать такой вывод: учет неравноупругости железнодорожного пути из-за наличия шпал в расчетных схемах подвижного состава и его математических моделях обязателен, особенно при исследовании динамики необрессоренных частей экипажа, причем нельзя заменять неравноупругость геометрической неровностью, ибо теряется качество процесса - возможность взаимодействия параметрически возбуждаемых и вынужденных колебаний экипажа.
Разумеется, ввод неравноупругости железнодорожного пути существенным образом усложняет решение задачи исследования динамических свойств подвижного состава особенно тогда, когда аддитивное внешнее возмущение является случайным процессом. Об этом пойдет речь в следующей статье, но не нужно забывать о методе статистических испытаний, который достаточно трудоемкий, однако легко реализуется на вычислительных машинах и позволяет анализировать практически любые динамические системы.
Если исследуемая механическая система является нелинейной и находится под действием мультипликативного и аддитивного возмущений, то всегда требуется провести анализ устойчивость найденных решений, хотя бы по первому приближению, но наличие мультипликативного возбуждения существенным образом усложняет изучение данной задачи.
Очевидно, что говорить о резонансной скорости движения железнодорожного экипажа как о какой-то конкретной величине совершенно невозможно, так как реальный железнодорожный путь всегда в продольном направлении неравноупруг. Речь может идти только о зонах резонансных скоростей подвижного состава. Причем нужно находить области не только простых, но и комбинационных параметрических резонансов разностного типа (что характерно для диссипативных динамических систем).
Список литературы
1. Болотин, В. В. Динамическая устойчивость упругих систем [Текст] / В. В. Болотин. -М.: Гостехиздат, 1956. - 600 с.
2. Гуляев, В. И. Прикладные задачи теории нелинейных колебаний механических систем [Текст] / В. И. Гуляев, В. А. Баженов, С. Л. Попов. - М.: Высшая школа, 1989. - 383 с.
3. Болотин, В. В. Вибрации в технике: Справочник. Т. 1. Колебания линейных систем [Текст] / В. В. Болотин. - М.: Машиностроение, 1978. - 352 с.
4. Шмидт, Г. Параметрические колебания / Г. Шмидт. - М.: Мир, 1978. - 336 с.
References
1. Bolotin V. V. Dinamicheskaia ustoichivost' uprugikh system (Dynamic stability of elastic systems). Moscow: Gostekhizdat, 1956, 600 p.
2. Guliaev V. I. Bazhenov V. A., Popov S. L. Prikladnye zadachi teorii nelineinykh kolebanii mekhanicheskikh sistem (Applications of the theory of nonlinear oscillations of mechanical systems). Moskow: Vysshaia shkola, 1989, 383 p.
3. Bolotin V. V. Vibratsii v tekhnike: Spravochnik. T. 1. Kolebaniia lineinykh sistem (Vibration Technique: A Handbook. T. 1. Vibrations of linear systems). Moscow: Mashinostroenie, 1978, 352 p.
4. Shmidt G. Parametricheskie kolebaniia (Parametric oscillations). Moscow: Mir, 1978, 336 p.
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРЕ
Нехаев Виктор Алексеевич
Омский государственный университет путей сообщения (ОмГУПС).
Маркса пр., д. 35, г. Омск, 644046, Российская Федерация.
Доктор технических наук, профессор кафедры «Теоретическая механика», ОмГУПС.
Тел.: +7 (3812) 37-60-82, +7 (3812) 31-16-88.
E-mail: NehaevVA@rambler.ru
БИБЛИОГРАФИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ СТАТЬИ
Нехаев, В. А. Взаимодействие вынужденных и параметрических возбужденных колебаний подвижного состава при движении по неравноупругому по протяженности пути с неровностями на поверхности катания рельсов [Текст] / В. А. Нехаев // Известия Транссиба / Омский гос. ун-т путей сообщения. -Омск. - 2016. - № 3 (27). - С. 44 - 58.
INFORMATION ABOUT THE AUTHOR
Nekhaev Victor Alekseevich
Omsk State Transport University (OSTU). 35, Marx st., Omsk, 644046, the Russion Federation. Doctor of Technical Sciences, Professor of the department « Theoretical Mechanics» Omsk State Transport University.
Phone: +7 (3812) 37-60-82, +7 (3812) 31-16-88. E-mail: NehaevVA@rambler.ru
BIBLIOGRAPHIC DESCRIPTION
Nekhaev V. A. The dynamics for non-spring mass of rolling stock in its motion on non-equal-elasticity of railway track with bumps; the interaction for forced and parametric oscillations. Journal of Transsib Railway Studies, 2016, vol. 27, no. 3, pp. 44 - 58. (In Russian).
УДК 629.488.27; 629.4.018
В. В. Харламов, Д. И. Попов, А. В. Литвинов
Омский государственный университет путей сообщения (ОмГУПС), г. Омск, Российская Федерация
УНИВЕРСАЛЬНЫЙ ЭНЕРГОЭФФЕКТИВНЫЙ СТЕНД ДЛЯ НАГРУЗОЧНЫХ ИСПЫТАНИЙ ТЯГОВЫХ АСИНХРОННЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ И ДВИГАТЕЛЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА
Аннотация. В статье представлен универсальный энергоэффективный стенд для нагрузочных испытаний тяговых асинхронных двигателей и двигателей постоянного тока. Предлагается использование двух вариантов схем для проведения испытаний тяговых двигателей постоянного тока с последовательным возбуждением и асинхронных двигателей, а также тяговых двигателей постоянного тока с параллельным (независимым) возбуждением и асинхронных двигателей, каждый из которых позволяет реализовать энергоэффективный метод испытаний - метод взаимной нагрузки. Приводятся преимущества применения предлагаемого стенда. Расчет основных параметров, фиксируемых в процессе испытаний (токов, напряжений и мощности),
